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Bfi06 Clase Semana12
Bfi06 Clase Semana12
Bfi06 Clase Semana12
r
K’
k R
⃗⃗
𝐸𝑖 (𝜌⃗𝑚𝑛𝑝 ) = 𝐸𝑜 𝑒 𝑖(𝑘.𝜌⃗⃗𝑚𝑛𝑝 −𝑤𝑡)
Aproximaciones:
En el denominador: r≈R
𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗
𝐸𝑑 (𝑅⃗⃗ ) = 𝐸𝑜 𝑒 𝑖(𝑘.𝜌⃗⃗𝑚𝑛𝑝 −𝑤𝑡) 𝑒 𝑖(𝑘𝑅−𝑘´.𝜌⃗⃗𝑚𝑛𝑝 )
𝑅
𝐶 ⃗⃗
𝐸𝑑 (𝑅⃗⃗ ) = 𝐸𝑜 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑒 −𝑖(∆𝑘).𝜌⃗⃗𝑚𝑛𝑝
𝑅
⃗⃗
Amplitud: 𝑒 −𝑖(∆𝑘).𝜌⃗⃗𝑚𝑛𝑝
Condición de difracción:
O, lo que es equivalente:
(∆𝑘⃗⃗ ). 𝑎⃗ = 2𝜋ℎ
{(∆𝑘⃗⃗ ). 𝑏⃗⃗ = 2𝜋𝑘 (Ecuaciones de Laue)
(∆𝑘⃗⃗ ). 𝑐⃗ = 2𝜋𝑙
Red Recíproca
Red de puntos.
Tiene celda unitaria, vectores base, vectores primitivos, etc.
Su relación con la red directa (de vectores primitivos 𝑎⃗′, 𝑏⃗⃗′, 𝑐⃗′ ) es:
𝐴⃗′. 𝑎⃗′ = 2𝜋 ⃗⃗′. 𝑎⃗′ = 0
𝐵 𝐶⃗′. 𝑎⃗′ = 0
{ 𝐴⃗′. 𝑏⃗⃗′ = 0 ⃗⃗′. 𝑏⃗⃗′ = 2𝜋
𝐵 𝐶⃗′. 𝑏⃗⃗′ = 0
𝐴⃗′. 𝑐⃗′ = 0 ⃗⃗′. 𝑐⃗′ = 0
𝐵 𝐶⃗′. 𝑐⃗′ = 2𝜋
Ejemplo:
Determine la red recíproca de una sc y una fcc.
2𝜋 2𝜋 2𝜋
𝐴⃗ = (𝑏⃗⃗𝑥𝑐⃗) = 3 (𝑎2 𝑖̂) = 𝑖̂
𝑣 𝑎 𝑎
2𝜋 2𝜋
⃗⃗ =
𝐵 (𝑐⃗𝑥𝑎⃗) = 𝑗̂
𝑣 𝑎
2𝜋 2𝜋
𝐶⃗ = (𝑎⃗𝑥𝑏⃗⃗) = 𝑘̂
𝑣 𝑎
2𝜋
La red recíproca es también sc de “parámetro” .
𝑎
1 𝑎
𝑎⃗1 = (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = (𝑗̂ + 𝑘̂ )
2 2
1 𝑎
𝑎⃗2 = (𝑎⃗ + 𝑐⃗) = (𝑖̂ + 𝑘̂ ) ; 𝑣 = 𝑎⃗1 . (𝑎⃗2 𝑥𝑎⃗3 ) = 𝑎3 /4
2 2
1 𝑎
𝑎⃗3 = (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) = (𝑖̂ + 𝑗̂)
2 2
2𝜋 2𝜋 𝑎2 2𝜋
𝐴⃗1 = (𝑎⃗2 𝑥𝑎⃗3 ) = 3 . ( ) (𝑘̂ + 𝑗̂ − 𝑖̂) = (−𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂)
𝑣 𝑎 4 𝑎
4
2𝜋 2𝜋
𝐴⃗2 = (𝑎⃗3 𝑥𝑎⃗1 ) = (𝑖̂ − 𝑗̂ + 𝑘̂)
𝑣 𝑎
2𝜋 2𝜋
𝐴⃗3 = (𝑎⃗1 𝑥𝑎⃗2 ) = (𝑖̂ + 𝑗̂ − 𝑘̂)
𝑣 𝑎
4𝜋
La red recíproca es bcc (cubo de lado )
𝑎
Ejemplo:
Determine la red recíproca de la siguiente red bidimensional.
𝑎⃗ = 𝑎𝑖̂
𝑏⃗⃗ = 2𝑎𝑗̂
Solución:
𝑣 = 2𝑎2
𝐴⃗. 𝑎⃗ = 2𝜋 , ⃗⃗. 𝑎⃗ = 0
𝐵
𝐴⃗. 𝑏⃗⃗ = 0 , ⃗⃗. 𝑏⃗⃗ = 2𝜋
𝐵
2𝜋 𝜋
𝐴𝑥 = , 𝐴𝑦 = 0 , 𝐵𝑥 = 0 , 𝐵𝑦 =
𝑎 𝑎
𝑏⃗⃗ 𝑎⃗
𝑃⃗⃗ = −
𝑘 ℎ
𝑐⃗ 𝑎⃗
⃗⃗ = −
𝑄
𝑙 ℎ
Si 𝐺⃗ℎ𝑘𝑙 es perpendicular al plano, entonces debe ser perpendicular a
⃗⃗ . Veamos si es así.
𝑃⃗⃗ y 𝑄
𝑏⃗⃗ 𝑎⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 . 𝑃 = (ℎ𝐴 + 𝑘𝐵 + 𝑙𝐶 ). ( − ) = −2𝜋 + 2𝜋 = 0
𝑘 ℎ
𝑐⃗ 𝑎⃗
𝐺⃗ℎ𝑘𝑙 . 𝑄
⃗⃗ = (ℎ𝐴⃗ + 𝑘𝐵
⃗⃗ + 𝑙𝐶⃗). ( − ) = 2𝜋 − 2𝜋 = 0
𝑙 ℎ
Condición de difracción
∆𝑘⃗⃗ = 𝐺⃗ℎ𝑘𝑙
Deducción de 2𝑑 sin 𝜃 = 𝑛𝜆
∆𝑘⃗⃗ = 𝑘⃗⃗′ − 𝑘⃗⃗ = 𝐺⃗ℎ𝑘𝑙
Elevamos al cuadrado
2
𝑘′2 + 𝑘 2 − 2. 𝑘 ′ . 𝑘 cos 2𝜃 = 𝐺ℎ𝑘𝑙
2( 2
2𝜋 2
2𝑘 2𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) = ( )
𝑑ℎ𝑘𝑙
2𝜋 2𝜋
2𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2. . sin 𝜃 =
𝜆 𝑑ℎ𝑘𝑙
2. 𝑑ℎ𝑘𝑙 . sin 𝜃 = 𝜆
(para n=1)
Según las fuerzas entre los átomos o moléculas o iones, existen los
siguientes tipos de cristales.
Cristales moleculares:
Cristales iónicos
Enlace iónico
Ejemplo: NaCl
Cristales metálicos
Fuerza entre el gas de electrones libre y la red de iones positivos.
Ejemplo: Na
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