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Temas Capitulo Viii Diseno A Cortante de
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CAPÍTULO VIII
DISEÑO A CORTANTE DE VIGAS DE HORMIGÓN
ARMADO
8.1 INTRODUCCIÓN:
El comportamiento de las piezas estructurales de hormigón armado sometidas a fuerzas
cortantes, es más complejo que su comportamiento bajo solicitaciones flexionantes. La
resistencia a la compresión y a la tracción del hormigón simple, la orientación del
refuerzo de acero con relación a las fisuras de corte, y la proximidad de cargas
concentradas, el nivel dentro de la viga en el que actúan las cargas, son algunos de los
factores que definen los mecanismos que se desarrollan dentro de los elementos
estructurales para resistir las fuerzas cortantes. La presencia simultánea de todos estos
factores determina que las fallas por cortante sean frágiles, lo que es una característica
indeseable que debe ser controlada durante el proceso de diseño.
Los elementos de hormigón armado afectados por fuerzas cortantes usualmente también
están sometidos a la acción de momentos flectores. Es posible que también estén
presentes solicitaciones axiales y torsionales que pueden volver aún más compleja la
predicción del comportamiento de las estructuras.
La teoría de cortante en vigas, desarrollada para materiales homogéneos, isotrópicos y
elásticos, puede ser utilizada como punto de partida, pero debe ser modificada para
tomar en consideración los restantes factores involucrados.
La fisuración en el hormigón, una vez alcanzado un determinado nivel de esfuerzos,
cambia el comportamiento de los elementos estructurales. Esta incompatibilidad entre
las hipótesis teóricas y el comportamiento real bajo solicitaciones de cortante ha sido
superada ampliamente a través de una extensa investigación experimental.
transversales, pero que por equilibrio también generan cortantes horizontales como se
observa en la siguiente figura.
203 Octubre-2008
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la altura a la que se miden tales esfuerzos, para materiales homogéneos, isotrópicos y
elásticos.
En el caso del hormigón armado, el ACI 2008 y el Código Ecuatoriano de la
Construcción 2001 se optó por manejar un esfuerzo cortante referencial o característico
promedio v, lo que facilita la inclusión de los diferentes parámetros que influyen en la
resistencia al cortante.
Para el caso de secciones rectangulares, secciones T, secciones L, y secciones I, el ACI
y el CEC establecen como esfuerzo cortante característico, antes de afectarse con otros
factores, al obtenido mediante la siguiente expresión:
v=
V
Ecuación (8.1)
bw . d
Donde:
v: esfuerzo cortante referencial promedio
V: fuerza cortante
bw: ancho del alma resistente al cortante
d: distancia desde el centroide del acero de refuerzo hasta la fibra extrema en
compresión
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Si se toma como referencia a la viga de la figura anterior, se produce un estado
tensional con flujo de compresiones desde el un apoyo hacia el otro apoyo, a modo de
arco.
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A continuación se presenta una tabla con los valores de resistencia mínima al cortante
para los hormigones más usuales en el medio.
Tabla 8.1: Resistencia al cortante de los hormigones según ACI.
f’c vc
2
(Kg/cm ) (Kg/cm2)
210 7.68
240 8.21
280 8.87
350 9.92
420 10.86
490 11.73
Para un análisis más refinado, cuando exista, además de las fuerzas cortantes, la acción
de fuerzas axiales de compresión, el código ACI-2008 recomienda utilizar la siguiente
expresión para definir la resistencia al cortante [ACI 11.3.2]:
⎛ ⎞
v c = 0.53⎜ 1 + ⎟ f 'c
⎜ ⎟
Nu
⎝ ⎠
Ecuación (8.2.a)
140A g
Donde:
Nu: carga axial última de compresión que ocurre simultáneamente con Vu, en Kg.
Ag: Sección transversal de hormigón en cm2.
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encima del eje neutro de flexión por lo que se requiere de acero adicional que atraviese
esas fisuras en todos los niveles y controle el crecimiento de las mismas para evitar la
falla de la estructura.
El acero resistente al corte tiene generalmente la forma de estribos transversales, y
ocasionalmente de varillas longitudinales dobladas a 45º.
Figura 8.9: Armadura doblada diagonal que cose a las fisuras de cortante.
Mientras los estribos cruzan a las fisuras con sus 2 ramales verticales, en el caso de las
barras dobladas el cruce se produce en un solo sitio, por lo que los estribos son
doblemente efectivos.
La fisuración por flexión se produce en la dirección transversal (zona central de la
siguiente figura), y la fisuración por cortante en la zona crítica de los apoyos se produce
aproximadamente a 45º del eje longitudinal.
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8.5 DISEÑO A CORTANTE DE VIGAS DE HORMIGON ARMADO,
CON REFUERZO TRANSVERSAL EN EL ALMA:
Las vigas de hormigón armado presentan 2 mecanismos para resistir a las fuerzas
cortantes:
Ü Resistencia pura del hormigón
Ü Resistencia del acero transversal o diagonal
Como consecuencia, la capacidad resistente nominal viene dada por la siguiente
expresión [ACI 11.1.1]:
Vn = Vc + Vs Ecuación (8.3)
Donde:
Vn: capacidad resistente nominal a corte de la viga de hormigón armado
Vc: capacidad resistente a corte del hormigón simple
Vs: capacidad resistente a corte del acero de refuerzo
Vu = φ ⋅ Vn Ecuación (8.4)
Donde:
Vu: solicitación última de cortante
φ:
Vn: capacidad resistente nominal a corte de la viga de hormigón armado
factor de reducción de capacidad a cortante cuyo valor para el CEC 2001 y el
ACI 2002 es de 0.85
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La condición básica que se debe cumplir para que la capacidad resistente sea adecuada
Vu = φ ⋅ (Vc + Vs )
con relación a las solicitaciones es que:
Ecuación (8.5)
La capacidad resistente del hormigón simple en vigas rectangulares, T, L o I [ACI 11.3.2]
está definida por:
Vc = v c ⋅ b w ⋅ d Ecuación (8.6)
Donde:
( )
Vc: capacidad resistente a corte del hormigón simple
vc: esfuerzo resistente del hormigón ( 0.53 f ' c o v c = 0.53 1 + N u /(140A g ) f ' c )
bw: ancho del alma resistente al cortante
d: distancia desde el centriode del acero de refuerzo a tracción hasta la fibra
extrema en compresión
La parte del cortante que no puede ser absorbida por el hormigón debe ser resistida por
la armadura transversal. Dicha fuerza, bajo la suposición de que el acero ha entrado en
fluencia, es el producto del área de todos los estribos que cruzan la fisura por el
esfuerzo de fluencia. La ecuación que describe a la magnitud de la fuerza absorbida por
el acero transversal es:
Vs = n ⋅ A v ⋅ Fy Ecuación (8.7)
Donde:
Vs: Fuerza cortante absorbida por los estribos
n: Número de estribos que cortan a la fisura
Av: Sección transversal de acero de cada estribo que cruza la fisura (2 veces
la sección transversal de la varilla)
Fy: Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo
El número de estribos que cortan a la fisura se puede calcular en base a su
espaciamiento.
n=
d
s
Donde:
d: altura efectiva de la viga
s: espaciamiento longitudinal de los estribos que cortan la fisura
Reemplazando la última expresión en la Ecuación (8.7) se tiene [ACI 11.4.7.2]:
Vs = ⋅ A v ⋅ Fy
d
Ecuación (8.8)
s
Las ecuaciones previas expresadas en términos de esfuerzos son:
vu =
Vu
φ ⋅ bw ⋅ d
Ecuación (8.9)
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Donde:
vu: esfuerzo unitario de corte último
vu = vc + vs Ecuación (8.10)
Donde:
vc: esfuerzo unitario resistente del hormigón simple
vs: esfuerzo unitario equivalente del acero de refuerzo transversal
Despejando “vs” se tiene:
vs = vu − vc Ecuación (8.10a)
Otra manera de definir “vs” es:
vs =
Vs
bw ⋅ d
Ecuación (8.11)
⋅ A v ⋅ Fy
d
vs = s
bw ⋅ d
Simplificando [ACI 11.4.7.2]:
A v ⋅ Fy
vs =
s ⋅ bw
Ecuación (8.12)
EJEMPLO 8.1:
Una viga de 30 cm de base por 45 cm de altura está solicitada por una fuerza cortante
última Vu de 22.5 T. Si el hormigón tiene una resistencia característica de 210 Kg/cm2,
y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2, determinar el espaciamiento
al que se deben colocar los estribos rectangulares de 10 mm. de diámetro.
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Solución:
Los datos del ejemplo son:
Vu = 22500 Kg
bw = 30 cm
d = 39 cm
f’c = 210 Kg/cm2
Fy = 4200 Kg/cm2
Av = 2x(0.79 cm2) = 1.58 cm2
El esfuerzo cortante último es:
vu =
Vu
φ ⋅ bw ⋅ d
Ecuación (8.9)
vu =
22500 Kg
(0.85) ⋅ (30 cm) ⋅ (39 cm)
v u = 22.62 Kg / cm 2
La capacidad resistente del hormigón simple es:
v c = 0.53 f ' c Ecuación (8.2)
v c = 0.53 210
v c = 7.68Kg / cm 2
El espaciamiento de los estribos es:
A v ⋅ Fy
s=
(v u − v c ) ⋅ b w
Ecuación (8.13)
(1.58cm 2 ) ⋅ (4200Kg / cm 2 )
s=
(22.62Kg / cm 2 − 7.68Kg / cm 2 ) ⋅ (30cm)
s = 14.81cm
Se requieren estribos cerrados de 10 mm de diámetro cada 14 cm.
211 Octubre-2008
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8.6 ESPECIFICACIONES PARA EL DISEÑO DE VIGAS ANTE
FUERZAS CORTANTES:
EJEMPLO 8.2:
En el ejemplo 8.1, verficar que el acero de refuerzo transversal cumple con la condición
de máximo cortante admisible para el acero.
Solución:
Los datos del ejemplo 8.1 son:
v u = 22.62 Kg / cm 2
v c = 7.68Kg / cm 2
El esfuerzo cortante equivalente absorbido por el acero transversal es:
vs = v u − vc Ecuación (8.10a)
v s = 22.62Kg / cm 2 − 7.68Kg / cm 2
v s = 14.94Kg / cm 2
El máximo esfuerzo cortante equivalente que puede absorber el acero es:
v s ≤ 2.12 f ' c
v s ≤ 2.12 210
v s ≤ 30.72Kg / cm 2
14.94Kg / cm 2 < 30.72Kg / cm 2 OK
Se verifica que el esfuerzo cortante equivalente absorbido por el acero transversal no
supera el máximo esfuerzo aceptable, por lo que el diseño previo es aceptable para ese
criterio.
212 Octubre-2008
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Ü Ninguna carga concentrada se aplica entre la cara interna del apoyo y la sección
crítica descrita previamente.
En caso de que se cumplan las 3 condiciones anteriores, todas las secciones entre la
sección crítica y la cara interna del apoyo se pueden diseñar para el cortante en la
sección crítica.
s≤
d
Ecuación (8.15)
2
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s ≤ 60cm Ecuación (8.16)
Donde:
s: Espaciamiento de los estribos
d: Altura efectiva de la viga
NOTA: El primer criterio permite que, en cualquier lugar del elemento estructural, al
menos 2 estribos crucen a cada fisura diagonal.
s≤
d
Ecuación (8.17)
s ≤ 8φ L
4
Ecuación (8.18)
s ≤ 24φ T
s ≤ 30cm
Ecuación (8.19)
Ecuación (8.20)
Donde:
φL:
φT:
Menor diámetro de las varillas longitudinales
Diámetro de los estribos transversales
NOTA: El primer criterio permite que en las zonas críticas a cortante de la viga, al
menos 4 estribos crucen a cada fisura diagonal.
La distancia desde el apoyo hasta la cual deben colocarse los estribos con este
espaciamiento mínimo es de 2 veces la altura del elemento (2h), medidos desde la cara
interna del apoyo [ACI 21.3.4.2].
El primer estribo no puede ubicarse a más de 5 cm de la cara interna del apoyo [ACI
21.3.4.2], ni a más de la mitad del espaciamiento entre estribos (s).
214 Octubre-2008
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Para esfuerzos de fluencia de 4200 Kg/cm2, la Ecuación (8.21) controla el armado
transversal mínimo de los hormigones de más de 320 Kg/cm2, mientras que la Ecuación
(8.22) define el armado transversal mínimo de los hormigones de menos de 320
Kg/cm2.
215 Octubre-2008
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EJEMPLO 8.3:
Diseñar las secciones críticas de la viga de la figura, si se conoce que se construirá en
zona sísmica, y que:
f’c = 210 Kg/cm2
Fy = 4200 Kg/cm2
Solución:
El diagrama de cortes de la viga es:
216 Octubre-2008
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Ü Cálculo del armado requerido por resistencia:
El esfuerzo cortante último es:
vu =
Vu
φ ⋅ bw ⋅ d
Ecuación (8.9)
vu =
23480 Kg
(0.85) ⋅ (25 cm) ⋅ (44 cm)
v u = 25.11 Kg / cm 2
La capacidad resistente del hormigón simple es:
v c = 0.53 f ' c Ecuación (8.2)
v c = 0.53 210
v c = 7.68Kg / cm 2
Se pueden escoger estribos cuyo diámetro es de 10 mm, en cuyo caso el área de corte de
cada estribo es:
A v = 2 × (0.79cm 2 )
A v = 1.58cm 2
El espaciamiento de los estribos es:
A v ⋅ Fy
s=
(v u − v c ) ⋅ b w
Ecuación (8.13)
(1.58cm 2 ) ⋅ (4200Kg / cm 2 )
s=
(25.11Kg / cm 2 − 7.68Kg / cm 2 ) ⋅ (25cm)
s = 15.2cm
s≤
d
Ecuación (8.15)
4
s≤
44cm
s ≤ 11cm
4
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El menor espaciamiento, de las expresiones previas, en las proximidades de los apoyos
es de 11 cm (d/4), que al compararlo con el sepaciamiento requerido por resistencia es
más restrictivo por lo que:
s = 11cm
A continuación se presenta el armado transversal requerido en las proximidades de los
apoyos:
s≤
d
s mín = 22cm
2
En el presente caso el area efectiva de cortante “Av” es 1.58 cm2, por lo que:
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(1.58cm 2 ) ⋅ (4200Kg / cm 2 )
=
0.196 210 ⋅ (25cm)
s mín
s mín = 93.5cm
En vista de que tanto el espaciamiento de 11 cm en zona de apoyo y el de 22 cm en
zona central son más restrictivos que el que se acaba de calcular, se requieren estribos
cerrados de 10 mm de diámetro cada 11 cm en la proximidad de los apoyos y cada 22
cm en la zona central.
No se requiere armado transversal para comportamiento dúctil de los nudos por no
existir momentos de continuidad en los extremos de barra.
La distribución de los estribos transversales es la siguiente:
EJEMPLO 8.4:
Diseñar a cortante las vigas centrales en dirección del eje “x” de primera planta de la
estructura de la figura, cuyos datos básicos y diseño a flexión se detallan en el Ejemplo
6.16.
Solución:
Los diagramas de corte del procesamiento de la estructura son los siguientes:
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Ü Diagrama de Corte por carga permanente de un pórtico central en “x”:
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Ü Diagrama de Corte por carga sísmica en “x” (escala reducida):
Los cortantes medidos en la zona crítica de diseño (a una distancia “d” de la cara
interna de la columna) son:
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U = 1.4 D + 1.7 L
U = 0.75 (1.4 D + 1.7 L + 1.87 E)
Los cortantes últimos son:
Sección vD vL vE vu,1 vu,2 Cortante
de Diseño
1 4.03 1.68 3.06 8.582 10.665 10.665
3 4.05 1.69 3.32 8.628 11.064 11.064
4 2.97 1.23 4.13 6.311 10.479 10.479
A v = 1.58cm 2
El formulario para calcular el espaciamiento de los estribos en secciones rectangulares
es:
vu =
Vu
φ ⋅ bw ⋅ d
Ecuación (8.9)
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Ü Espaciamiento Mínimo:
El espaciamiento mínimo a lo largo de toda la viga es de 24 cm (d/2).
Hasta una distancia de 1.10 m (2h) desde el apoyo el espaciamiento mínimo es:
s≤
d
4
s≤
49cm
s ≤ 12cm
4
s ≤ 8φ L
s ≤ 8(1.6cm)
s ≤ 12.8cm
s ≤ 24φ T
s ≤ 24(0.8cm)
s ≤ 19.2cm
s ≤ 30cm
El menor espaciamiento es de 12 cm, que es más restrictivo que el requerido por
resistencia, por lo que:
s = 12cm
Se requieren estribos cerrados de 10 mm de diámetro cada 12 cm hasta una distancia de
1.10 m desde el apoyo.
El armado transversal corregido por armadura mínima transversal se refleja en el
siguiente gráfico:
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A la altura de la zona crítica de cortante en las vigas (a una distancia “d” de la cara
interna de la columna correspondiente), los cortantes parciales sin mayorar por cargas
gravitacionales (VD, VL), y los cortantes totales mayorados gravitacionales (VT)
asociados a la combinación de cargas crítica de sismo [T = (0.75 x 1.4) D + (0.75 x
1.87) L], excluido el efecto sísmico, son:
Sección vD vL Cortante Gravitacional
Mayorado - vT
1 4,03 1,68 6,59
3 4,05 1,69 6,62
4 2,97 1,23 4,84
Asumiendo una carga uniformemente distribuida que actúa sobre la viga, los cortantes
isostáticos por cargas gravitacionales VI son iguales en los 2 extremos de barra:
Viga Va Vb VI
T T T
1 6.59 6.62 7.88
2 4.84 4.84 5.34
3 6.62 6.59 7.88
Los cortantes por plastificación son:
Viga Longitud Entre MP M’P VP
Articulaciones Plásticas T-m T-m T-m
m
1 5.50 27.21 14.94 7.66
5.50 27.21 14.94 7.66
2 4.50 27.21 14.94 9.37
4.50 27.21 14.94 9.37
3 5.50 27.21 14.94 7.66
5.50 27.21 14.94 7.66
Los cortantes de diseño son:
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Viga VI VP VU = VI + VP
T T T
1 7.88 7.66 15.54
7.88 7.66 15.54
2 5.34 9.37 14.71
5.34 9.37 14.71
3 7.88 7.66 15.54
7.88 7.66 15.54
El espaciamiento requerido para la armadura transversal es:
A v ⋅ Fy
s=
(v u − v c ) ⋅ b w
Cortante
Sección b h d f'c Fy Av de Diseño vu vc Espaciamiento
cm cm cm Kg/cm2 Kg/cm2 cm2 Kg Kg/cm2 Kg/cm2 cm
1 30 55 49 210 4200 1.58 15540 12.44 7.68 46.5
3 30 55 49 210 4200 1.58 15540 12.44 7.68 46.5
4 30 55 49 210 4200 1.58 14710 11.77 7.68 54.1
Ü Distribución de la Armadura:
El siguiente gráfico presenta la distribución de la armadura transversal.
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40 cm
6 cm
25 cm
Si se conoce que:
f’c = 280 Kg/cm2
Fy = 4200 Kg/cm2
c. Diseñar a cortante por cargas gravitacionales a la viga continua de la figura, si se
construirá en una zona afectada por los sismos.
Si se conoce que:
f’c = 210 Kg/cm2
Fy = 4200 Kg/cm2
REFERENCIAS:
8.1 Winter G. y Nilson A., Proyecto de Estructuras de Hormigón, Editorial Reverté,
S.A.
8.2 Park R. y Pauley T., Estructuras de Concreto Reforzado, Editorial LIMUSA S.
A.
8.3 Nilson A., (1999), Diseño de Estructuras de Concreto, Mc Graw Hill.
8.4 ACI 318S-08, (2008), Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y
Comentario, American Concrete Institute.
8.5 CEC-2001, (2001), Código Ecuatoriano de la Construcción, Instituto
Ecuatoriano de Normalización.
227 Octubre-2008