CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 58

58 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

1.5 EJERCICIOS

1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con 17–18 Encuentre la función exponencial f x  Ca x cuya gráfica
base a  0. se proporciona.
(b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
y
(c) Si a  1, ¿cuál es el intervalo de esta función?
17. (3, 24)
(d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponen-
cial para cada uno de los casos siguientes.
(i) a  1 (ii) a  1 (iii) 0  a  1
(1, 6)
2. (a) ¿Cómo se define el número e?
(b) )¿Cuál es un valor aproximado para e? 0 x
(c) ¿Cuál es la función exponencial natural?

; 3–6 Dibuje las funciones que se proporcionan sobre una pantalla y

común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 18.
3. y  2 x, y  e x, y  5 x, y  20 x 2
x x
4. y  e , x
ye , y8, x
y8
x x 2
5. y  3 ,
x
y  10 x, y  ( 13 ) , y  (101 ) ”2,  9 ’

6. y  0.9 x, y  0.6 x, y  0.3 x, y  0.1x 0 x

7–12 Realice un boceto de la gráfica de la función. No utilice calcu-

ladora. Sólo use las gráficas de las figuras 3 y 12 y, si es necesario, las 19. Si f x  5 x, demuestre que
transformaciones de la sección 1.3.
7. y  4x  3
x
8. y  4x  3 f (x  h)  f (x)
h

 5x
5h  1
h

9. y  2 10. y  1  2e x
x1
12. y  21  e x  20. Suponga que le ofrecen un trabajo que dura un mes. ¿Cuál de
11. y  1  2 e
los métodos de pago siguientes prefiere?
I. Un millón al mes.
II. Un centavo el primer día del mes. Dos centavos el segundo
13. Comenzando por la gráfica de y  e , escriba la ecuación de la
x
día, cuatro centavos el tercero y, en general, 2n1 centavos
gráfica que resulta de el n-ésimo día.
(a) desplazarse 2 unidades hacia abajo
(b) desplazarse 2 unidades hacia la derecha 21. Suponga que las gráficas de f x  x 2 y tx  2 x se dibujan
(c) reflejar respecto al eje x sobre una plantilla de coordenadas donde la unidad de medi-
(d) reflejar respecto al eje y ción es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a
la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es 48 pies pero
(e) reflejar respecto al eje x y a continuación al eje y
la altura de la gráfica es alrededor de 265 mi.

14. Empezando por la gráfica de y  e x, encuentre la ecuación de ; 22. Compare las funciones f x  x y tx  5 al trazar ambas
5 x

la gráfica resultante de en varios rectángulos de visualización. Encuentre todos los

(a) reflejar respecto a la recta y  4 puntos de intersección de las gráficas corregidos a un solo lugar
(b) reflejar respecto a la línea x  2 decimal. ¿Qué función crece más rápidamente cuando x es
grande?
15–16 Encuentre el dominio de cada función.
; 23. Compare las funciones f x  x y tx  e trazando tanto f
10 x

1 1 como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo rebasa

15. (a) f x  (b) f x 
1  ex 1  ex finalmente la gráfica de t la gráfica de f?

16. (a) tt  senet  (b) tt  s1  2 t

; 24. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que
ex  1 000 000 000.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 59

SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 59

25. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de la población de Estados Unidos desde 1900. Use el modelo
bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al principio para estimar la población en el año 1925 y predecirla en el
hay 100 bacterias. 2010 y el 2020.
(a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
(b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? Año Población Año Población
(c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas.
1900 76 1960 179
; (d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se 1910 92 1970 203
requiere para que la población llegue a 50 000. 1920 106 1980 227
26. Un cultivo de bacterias inicia con 500 baterias y duplica su 1930 123 1990 250
tamaño cada media hora.. 1940 131 2000 281
(a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas? 1950 150
(b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas?
(c) ¿Cuantas baterias existen después de 40 minutos? ; 29. Si gráfica la función
; (d) Grafique la función población y estime el tiempo para que
1  e1/x
la población alcance 100 000. f x 
1  e1/x
; 27. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión ex-
ponencial para modelar la población del mundo con la informa- verá que f parece una función impar. Demuéstrelo
ción de 1950 a 2000 que aparecen en la tabla 1 en la página 55. ; 30. Dibuje diferentes grupos de la familia de funciones
Recurra al modelo para estimar la población en el año 1993 y
predecirla en el año 2010. 1
f x 
1  aebx
; 28. La tabla siguiente presenta la población de Estados Unidos, en
millones, para los años 1900 a 2000. Use una calculadora gra- donde a  0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia?
ficadora con capacidad de regresión exponencial para modelar ¿Cómo cambia cuando a cambia?

1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS

La tabla 1 proporciona información de un experimento en el cual un cultivo de bacte-

rias se inició con 100 bacterias en un medio nutriente limitado; el tamaño de la población de
bacterias se registró a intervalos de horas. El número de bacterias N es una función del
tiempo t: N  f t.
Sin embargo, suponga que la bióloga modifica su punto de vista y se interesa en el tiem-
po que se requiere para que la población alcance diversos niveles. En otras palabras, ella
considera a t como una función de N. A esta función se le llama función inversa de f,
denotada por f 1, y se lee “f inversa”. De esta manera, t  f 1N es el tiempo que se re-
quiere para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse
leyendo la tabla 1 de derecha a izquierda o bien consultando la tabla 2. Por ejemplo,
f 1550  6 porque f 6  550.

TABLA 1 N como una función de t TABLA 2 t como función de N

t N  f t t  f 1N
(horas)  población en el tiempo t N  tiempo para llegar a N bacterias

0 100 100 0
1 168 168 1
2 259 259 2
3 358 358 3
4 445 445 4
5 509 509 5
6 550 550 6
7 573 573 7
8 586 586 8
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 70

70 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que
se resumen en seguida.

 
11 y  csc1x  x  1 &? csc y  x y y  0, 2
  , 3 2

y
 
y  sec1x  x  1 &? sec y  x y y  0, 2  , 3 2

y  cot1x x   &? cot y  x y y  0, 

0 π 2π x
_1

No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las defini-
ciones de csc1 o sec1. Por ejemplo, algunos autores usan y  0, 2   2,
en
FI GURA 2 6 la definición de sec1. [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la
y=sec x figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).]

1.6 EJERCICIOS

1. (a) ¿Qué es una función uno a uno? 13. f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la
(b) ¿Cómo puede decir a partir de la gráfica de una función si patada de salida.
ésta es uno a uno? 14. f(t) es su altura a la edad de t.
2. (a) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A e
intervalo B. ¿Cómo se define la función inversa f1? ¿Cuál 15. Si f es una función uno a uno tal que f 2  9, ¿cuánto
es el dominio de f1? ¿Cuál es el rango de f1? es f 19?
(b) Si le dan una fórmula para f, ¿cómo encuentra una 16. Sea f(x)  3  x2  tan( x2), donde 1  x  1.
fórmula para f1? (a) Halle f1(3).
(c) ¿Si le dan la gráfica de f, ¿cómo encuentra la gráfica de (b) Encuentre f(f1(5)).
f1?
1
17. Si t(x)  3  x  e , encuentre t (4).
x

3–14 Se da una función mediante una tabla, una gráfica, una fórmula
o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 18. Se proporciona la gráfica de f.
(a) ¿Por qué f es uno a uno?
3. x 1 2 3 4 5 6 (b) Defina el dominio y el rango de f1.
(c) ¿Cuál es el valor de f 12.
f x 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
(d) ¿Estime el valor de f 10.
4. y
x 1 2 3 4 5 6

f x 1 2 4 8 16 32
1
5. y 6. y
0 1 x

x x
19. La fórmula C  9 F  32, donde F  459.67, expresa
5

la temperatura en grados Celsius C como una función de la

temperatura en grados Fahrenheit F. Encuentre una fórmula
7. y 8. y
para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de
la función inversa?
x x 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapi-
dez v es m0
m  f v 

s1 v 2c 2
donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez
9. f x  x 2  2x 10. f x  10  3x
de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y expli-
11. tx  1/x 12. tx  cos x que su significado.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 71

SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 71

21–26 Encuentre una fórmula para la inversa de la función.

; 41–42 Use la fórmula 10 para dibujar las funciones que se propor-
cionan en una pantalla común. ¿De qué manera se relacionan estas
4x  1
21. f x  s10  3x 22. f x  gráficas?
2x  3
3
41. y  log 1.5 x , y  ln x, y  log 10 x , y  log 50 x
23. f x  e x 24. y  2 x 3  3
42. y  ln x, y  log 10 x , ye ,
x
y  10 x
ex
25. y  lnx  3 26. y 
1  2e x
43. Suponga que la gráfica de y  log2x se dibuja en una plantilla
de coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada.
1
; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f y úsela para dibujar ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen hay que desplazarse
f1, f y la recta y  x sobre la misma pantalla. Para verificar su antes que la altura de la curva llegue a 3 pies?
trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflejos respecto a la recta.
; 44. Compare las funciones f(x)  x y t(x)  ln x mediante el
0.1

27. f x  x4  1 , x  0 28. f x  2  ex dibujo de tanto f como t en varios rectángulos de visualización.
¿Cuándo termina la gráfica de f por rebasar la gráfica de t?

45–46 Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No

29–30 Utilice la gráfica que se proporciona para f para dibujar la use una calculadora. Utilice sólo las gráficas que se proporcionan en
gráfica de f1. las figuras 12 y 13 y, de ser necesario, las transformaciones de la
sección 1.3.
29. 30.
y y 45. (a) y  log 10x  5 (b) y  ln x
1 46. (a) y  lnx (b) y  ln x 
1 0 2 x
47–50 Resuelva cada ecuación para x.
0 1 x
47. (a) 2 ln x  1 (b) ex  5
48. (a) e 2x3  7  0 (b) ln5  2 x  3
31. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y  logax? 49. (a) 2
x5
3 (b) ln x  lnx  1  1
(b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
(c) ¿Cuál es el rango de esta función? 50. (a) lnln x  1 (b) e ax  Ce bx, donde a  b
(d) Trace la forma general de la gráfica de la función
y  logax si a  1. 51–52 Resuelva cada desigualdad para x.
32. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? 51. (a) e x  10 (b) ln x  1
(b) ¿Qué es el logaritmo común?
(c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la fun- 52. (a) 2  ln x  9 (b) e 23x  4
ción exponencial natural con un conjunto común de ejes.

33–36 Encuentre el valor exacto de cada expresión. 53–54 Encuentre (a) el dominio de f y (b) f1 y su dominio.
1
33. (a) log5125 (b) log 3 27 53. f  x  s3  e 2x 54. f  x  ln2  ln x
34. (a) ln1e (b) log10 s10
35. (a) log26  log215  log220 CAS 55. Dibuje la función f x  sx 3  x 2  x  1 y explique por
(b) log3 100  log318  log350 qué es uno a uno. A continuación use un sistema algebraico de
36. (a) e 2 ln 5
(b) lnln e  e10 computadora para encontrar una expresión explícita para
f1(x). (Su CAS generará tres expresiones posibles. Explique
por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.)
37–39 Exprese la cantidad que se proporciona como un logaritmo
único. CAS 56. (a) Si t(x)  x6  x4, x  0, utilice un sistema algebraico de
computadora para encontrar una expresión para t1(x).
37. ln 5  5 ln 3 (b) Use la expresión del inciso (a) para dibujar y  t(x),
38. lna  b  lna  b  2 ln c y  x y y  t1(x) en la misma pantalla.

39. ln1  x 2   2 ln x  ln sen x

1
57. Si una población de bacterias inicia con 100 bacterias y se du-
plica cada tres horas, luego el número de bacterias una vez que
transcurren t horas es n  f(t)  100  2t3. (Véase el ejercicio
40. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo aproximado hasta 25 en la sección 1.5.)
seis cifras decimales. (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado.
(a) log12 10 (b) log 2 8.4 (b) ¿Cuándo llegará la población a 50 000?
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 72

72 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

58. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empie- 66–68 Simplifique la expresión.
zan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual alma-
66. tansen1x 67. sentan1x
cena carga eléctrica dada por
68. cos2 tan1x
ta
Qt  Q 0 1  e 
; 69–70 Grafique las funciones dadas en la misma pantalla. ¿Cuál es
(La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en la relación entre estas gráficas?
segundos.)
(a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. 69. y  sen x ,  2 x 2; y  sen1x ; yx
(b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90% de su capa- 70. y  tan x,  2  x  2; 1
y  tan x; yx
cidad si a  2?

71. Determine el dominio y el rango de la función.

59–64 Calcule el valor exacto de cada expresión.
tx  sen13x  1
59. (a) sen1(s32) (b) cos11 1
; 72. (a) Grafique la función f x  sensen x y explique el
60. (a) tan 1s3 (b) sec1 2 aspecto de la gráfica.
61. (a) arctan 1 (b) sen 1
(1s2) (b) Grafique la función tx  sen1sen x. ¿Cuál es su expli-
1
cación sobre el aspecto de esta gráfica?
62. (a) cot s3 (b) arccos12
73. (a) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su
63. (a) tanarctan 10 (b) sen1sen7p3 reflejo respecto a la línea y  x? En vista de este principio
64. (a) tansec 1
4 (b) sen(2 sen ( ))
1 3 geométrico, encuentre una expresión para la inversa de
5
t(x)  f(x  c) donde f es una función uno a uno
(b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x)  f(cx),
65. Demuestre que cossen1x  s1  x 2 . donde c  0.
APENDICES-H-A 06/04/2009 21:45 Page A66

A66 |||| APÉNDICE I RESPUESTAS A EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR

13. 3. 5 y=20 ® y=5® y=´ Todas se aproximan a 0 cuan-

11 2 do x l 
, todas pasan por
y=2®
(0, 1), y todas son crecientes.
Cuanto mayor es la base, más
_2π 2π _
π π rápido es el ritmo de aumento.
25 25

_1 2
0
_11 _2
5. y=” 13 ’® y=” 10
1 ®
  ’ 5 y=10® y=3® Las funciones con base mayor
15. 1
a 1 son crecientes; aquellas con
base menor a 1 son decrecien-
tes. Estas últimas son reflexio-
nes de las primeras alrededor
_1 1 del eje y.
_2 2
0

7. y 9. y
_1

0 x 0 x
17. No 19. 9.05 21. 0, 0.88 23. t _1 y=_2–®
25. 0.85  x  0.85 _2
27. (a) (b) y=4 ®-3
3 2 y=_3
x
Œ„
x
œ„ $œx„
x %œ„
x
_3 3 11. y
^œx„
_1 4 y=1
1
”0,  2 ’
_1 _2 0 x

1
(c) 2 (d) Las gráficas de raíces pares y=1- 2 e–®
œ„
x
Œ„
x son semejantes a sx, las gráficas
$œx„ de raíces impares son semejan-
%œ„
x tes a s
3
x. Cuando n aumenta, la 13. (a) y  e x  2 (b) y  e x2 (c) y  e x
_1 3 gráfica de y  s n
x se hace más
inclinada cerca de 0 y más plana (d) y  ex (e) y  ex
_1 para x  1. 15. (a) 
,
 (b) 
, 0  0,

17. f x  3  2 x
23. A x 35.8
29. 1 _1.5 2 -1 -2 -3 25. (a) 3 200 (b) 100  2 t3 (c) 10,159
(d) 60 000 t 26.9 h
_2.5 2.5

_4

0 40

Si c  1.5, la gráfica tiene tres crestas: dos puntos mínimos y uno

máximo. Estas crestas se hacen más planas cuando c aumenta hasta 27. y  ab t, donde a 3.154832569  1012 y b 1.017764706;
que en c  1.5 desaparecen dos de las crestas y sólo hay un punto 5 498 millones; 7 417 millones
mínimo. La cresta sola se mueve entonces a la derecha y se aproxima
al origen cuando c aumenta. EJERCICIOS 1.6 & PÁGINA 70
31. La cresta se hace más grande y se mueve a la derecha. 1. (a) Véase la definición 1.
33. Si c  0, el lazo está a la derecha del origen; si c  0, el lazo está (b) Debe pasar la prueba de la recta horizontal.
a la izquierda. Cuanto más cerca está c de 0, más grande es el lazo. 3. No 5. Sí 7. No 9. No 11. Sí
13. No 15. 2 17. 0
19. F  5 C  32; la temperatura Fahrenheit como función de la
EJERCICIOS 1.5 & PÁGINA 58 9

1. (a) f x  a x, a  0 (b)  (c) 0,

 temperatura Celsius; 273.15,

21. f 1x   3 x 2  3 , x  0 23. f 1x  s
1 10 3
(d) Véase figuras 4(c), 4(b) y 4(a), respectivamente. ln x
APENDICES-H-A 06/04/2009 21:45 Page A67

APÉNDICE I RESPUESTAS A EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR |||| A67

25. y  e x  3 69. π
y=sen– ! x
27. f 1x  sx
4
1 29. 2

6 y=sen x
y La segunda gráfica es la
f reflexión de la primera
f –! π π
_2
2 gráfica alrededor de la
f recta y  x.
0 x
f –!
π
_2
0 6

31. (a) Está definida como la inversa de la función exponencial con [

71. (a)  3 , 0
2
] (b)  2, 2

base a, es decir,, log a x  y &? a  x. y

73. (a) t1x  f 1x  c (b) h1x  1c f 1x
(b) 0,
 (c)  (d) Véase figura 11.
33. (a) 3 (b) 3 35. (a) 3 (b) 2 37. ln 1215 REPASO DEL CAPÍTULO 1 & PÁGINA 73

39. ln
(1  x ) sx
2
Preguntas de verdadero-falso
sen x 1. Falso 3. Falso 5. Verdadero 7. Falso 9. Verdadero
41. y=log 1.5 x Todas las gráficas se 11. Falso 13. Falso
3
y=ln x aproximan a 
cuando
y=log 10 x x l 0, todas pasan por Ejercicios
0 4 (1, 0), y todas son cre-
y=log 50 x 1. (a) 2.7 (b) 2.3, 5.6 (c) 6, 6
(d) 4, 4

cientes. Cuanto mayor

es la base, más lento es (e) 4, 4
(f) No; no pasa la prueba de la recta horizontal.
el ritmo de aumento. (g) Impar; su gráfica es simétrica alrededor del origen.
5
3. 2a  h  2 5. 
, 3  3,
, 
, 0  0,

1 1

43. Unos 1,084,588 millones 7. 6,

, 
9. (a) Traslade la gráfica 8 unidades hacia arriba.
45. (a) y (b) y
(b) Traslade la gráfica 8 unidades a la izquierda.
y=log 10 (x+5)
(c) Estire la gráfica verticalmente en un factor de 2, luego trasládela
_5 _4 0 x 1 unidad hacia arriba.
0 x
1 (d) Traslade la gráfica 2 unidades a la derecha y 2 unidades
hacia abajo.
(e) Refleje la gráfica alrededor del eje x.
47. (a) se (b) ln 5 (f) Refleje la gráfica alrededor de la recta y  x (suponiendo que
49. (a) 5  log 2 3 o 5  ln 3ln 2 (b) 1
2 (1  s1  4e ) f es biunívoca).
51. (a) x  ln 10 (b) x  1e 11. y 13. y
53. (a) (
, 12 ln 3] (b) f 1x  12 ln3  x 2 , 0, s3 ) [ y=_sen 2x

55. 5 0 π x
1
y= 2 (1+´)
1 1
y= 2

0 x
La gráfica pasa la prueba de la 15. y
1
recta horizontal. x=_2 y= x+2
1
_2 4 2
0 x
_1

f 1x  (s
3
46)(s
3
D  27x 2  20  s
3
D  27x 2  20  s
3
2 ),
donde D  3 s3 s27x  40x  16; dos de las expresiones son com-
4 2 17. (a) Ninguna (b) Impar (c) Par (d) Ninguna
plejas. 19. (a)  f  tx  lnx  9, 
, 3  3,

2

57. (a) f 1n  3ln 2 lnn100; el tiempo transcurrido cuando (b) t  f x  ln x2  9, 0,

hay n bacterias (b) Después de unas 26.9 horas (c)  f  f x  ln ln x, 1,

59. (a) 3 (b) 61. (a) 4 (b) 4 (d) t  tx  x 2  92  9, 
,

63. (a) 10 (b) 3 67. xs1  x 2 21. y  0.2493x  423.4818; unos 77.6 años