Lerner y Sadosky

Postítulo “Enseñanza de la Matemática
para el nivel primario (EGB1 y EGB2)”
El sistema de numeración: primera parte

Lerner-Sadovsky
En Parra y Saiz (comp): Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires.
Paidós.
Editorial Paidós Educador
Primera edición, 1994
Quinta reimpresión, 1997

Buenos Aires
Este material se utiliza con fines exclusiva-

mente didácticos
ÍNDICE
Lista de autores......................................................................................9
Prólogo................................................................................................. 11
1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló ......................... 21
2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez ............................. 39
3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por Roland Charnay 51
4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau ........................... 65

5. El sistema de numeración: un problema didáctico, por Delia Lerner y Patricia
Sadovsky ............................................................................................... 95
6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz.............. 185
7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra ..................... 219
8.La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de

la geometría
en la escuela elemental, por Grecia Gálvez ............................................ 273
CAPÍTULO V
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN: UN PROBLEMA DIDÁCTICO
Delia Lerner y Patricia Sadovsky,

con la colaboración de Susana Wolman
Donde se expresa nuestro reconocimiento hacia:
–Emilia Ferreiro, porque sus investigaciones pioneras –aunque ya clásicas–sobre el

sistema de escritura permitieron vislumbrar la reconstrucción de otros sistemas de
representación por parte de los niños.
–Guy Brousseau, porque sus investigaciones nutren nuestro trabajo y nos obligan a
repensar una y otra vez la didáctica de la matemática.
–Todos aquellos que –como G. Sastre, M. Moreno y, sobre todo, Anne Sinclair– estu-
diaron la representación numérica desde una perspectiva psicogenética.
–Los maestros y los chicos que, con sus afirmaciones y sus interrogantes, hacen cre-
cer día a día la propuesta que llevamos a la práctica.
–Las escuelas que albergan nuestro trabajo: Aequalis, Martin Buber, Numen, jardín de
Infantes Municipal de Wilde.
–Raquel Gutman, por su colaboración en la primera etapa de esta investigación.
I. De cómo y por qué se inició la investigación que es objeto de estas páginas
Había que encontrar una respuesta. A pesar de los diversos recursos didácticos
puestos en juego, el acceso de los niños al sistema de numeración seguía constitu-
yendo un problema. A pesar de nuestros esfuerzos por materializar la noción de agru-
pamiento –no sólo en base diez, sino también en otras bases–, la relación entre esas
agrupaciones y la escritura numérica seguía siendo un enigma para los niños.
Pero la cuestión era más grave aún: al entrevistar niños con los que no trabajá-
bamos didácticamente, constatamos una y otra vez que los famosos “me llevo uno” y
“le pido al compañero” –ritual inherente a las cuentas escolares– no tenían ningún
vínculo con las unidades, decenas y centenas estudiadas previamente. Esta ruptura se
manifestaba tanto en los niños que cometían errores al resolver las cuentas como en
aquellos que obtenían el resultado correcto: ni unos ni otros parecían entender que los
algoritmos convencionales están basados en la organización de nuestro sistema de
numeración (Lerner, D., 1992).
Estas dificultades, lejos de ser una particularidad de los niños con los que
hemos trabajado, fueron detectadas y analizadas en el marco de estudios realizados
en otros países (Kamii, C. y Kamii, M., 1980/1988; Sellares, R y Bassedas, M., 1983;
Bednarz B. y Janvier, B., 1982). Al constatar que los niños no comprenden cabalmen-
te los principios del sistema, diversos investigadores proponen alternativas didácticas
también diferentes. De este modo, Kamii sugiere postergar la enseñanza de las reglas
del sistema de numeración, en tanto que Bednarz y Janvier intentan perfeccionar el
trabajo sobre el agrupamiento explicitándolo a través de distintas materializaciones y
planteando situaciones en las que agrupar resulte significativo por ser un recurso eco-
nómico para contar rápidamente cantidades grandes.
Ninguna de estas dos propuestas toma en cuenta un hecho que la didáctica
constructivista no puede ignorar: dado que la numeración escrita existe no sólo dentro
de la escuela sino también fuera de ella, los niños tienen oportunidad de elaborar co-
nocimientos acerca de este sistema de representación desde mucho antes de ingresar
en primer grado. Producto cultural, objeto de uso social cotidiano, el sistema de nu-
meración se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los libros, las listas de
precios, los calendarios, las reglas, los talonarios de la panadería, las direcciones de
las casas...
¿Cómo se aproximan los niños al conocimiento del sistema de numeración?
Averiguarlo era un paso necesario para diseñar situaciones didácticas que dieran opor-
tunidad a los chicos de poner en juego sus propias conceptualizaciones y confrontarlas
con las de los otros, que les permitieran elaborar diversos procedimientos y explicitar
argumentos para justificarlos, que los llevaran a descubrir lagunas y contradicciones
en sus conocimientos, que brindaran elementos para detectar los propios errores, que
–en suma– los obligaran a cuestionar y reformular sus ideas para aproximarse pro-
gresivamente a la comprensión de la notación convencional.
Era necesario entonces –antes de elaborar una propuesta didáctica y someterla
a prueba en el aula– emprender un estudio que permitiera descubrir cuáles son los
aspectos del sistema de numeración que los niños consideran relevantes, cuáles son
las ideas que han elaborado acerca de ellos, cuáles son los problemas que se han
planteado, cuáles son las soluciones que han ido construyendo, cuáles son los conflic-
tos que pueden generarse entre sus propias conceptualizaciones o entre éstas y cier-
tas características del objeto que están intentando comprender.
Las entrevistas clínicas que realizamos con parejas de niños de cinco a ocho
años1 no sólo confirmaron nuestras expectativas –al poner de manifiesto la relevancia
de los conocimientos construidos por los chicos sobre la numeración escrita–, sino que
además nos depararon una agradable sorpresa: desde un principio fue posible esta-
blecer regularidades al analizar los datos que obteníamos.
La aparición y reaparición de ciertas respuestas –ideas, justificaciones, conflic-
tos– fue el disparador que nos llevó a esbozar, antes de lo previsto, posibles líneas de
trabajo didáctico. Es por eso que, mientras continuábamos realizando entrevistas clí-
nicas, empezamos a poner a prueba en el aula algunas actividades. Como suele suce-
der, cuando llevábamos a la práctica cada una de estas actividades, la propuesta se
iba ajustando y enriqueciendo: por una parte, nosotros descubríamos nuevos proble-
mas que era necesario resolver; por otra parte, los chicos establecían relaciones y nos
sorprendían con preguntas o con procedimientos que abrían nuevas perspectivas para
el trabajo didáctico.
1
Entrevistamos a 50 niños; los integrantes de cada pareja pertenecían al mismo grado o sección.
Queda mucho camino por recorrer: es necesario dar respuesta a nuevos inter-
rogantes –surgidos a partir de lo que ahora sabemos– sobre el proceso de apropiación
de la numeración escrita; es imprescindible también que la propuesta diseñada sea
objeto de una investigación didáctica rigurosa que permita elaborar conocimiento váli-
do sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración en el contexto es-
colar.
De todos modos, los resultados ya obtenidos son suficientes para poner en tela
de juicio el enfoque que hasta ahora se ha dado a la enseñanza del sistema de nume-
ración y para mostrar la eficacia de otra modalidad de enseñanza que favorece una
comprensión mucho más profunda y operativa de la notación numérica.
II. Donde se cuenta la historia de los conocimientos que los niños elaboran sobre la
numeración escrita
¿Qué conclusiones podrían extraer los chicos a partir de su contacto cotidiano

con la numeración escrita? ¿Qué información relevante podrían obtener al escuchar a
sus padres quejarse del aumento de los precios, al tratar de entender cómo sabe su
mamá cuál de las marcas de un producto es la más barata, al ver que su hermano
recurre al almanaque para calcular los días que aún faltan para su cumpleaños, al ale-
grarse porque en la panadería “ya van por el treinti” y su papá tiene el treinta y cua-
tro, al preguntarse qué tiene que ver la dirección que escribió su mamá (Córdoba
4859) con la indicación que le está dando a su hermana (“tenés que bajar al cuatro
mil ochocientos”) ... ? Dicho de otro modo: ¿qué podrían aprender los chicos al pre-
senciar situaciones en las que los usuarios del sistema de escritura que los rodean
nombran, escriben y comparan números? Preguntas como éstas nos hacíamos antes
de iniciar la investigación. Suponíamos que los niños construían tempranamente crite-
rios para comparar números; pensábamos que –mucho antes de sospechar la existen-
cia de centenas, decenas y unidades– alguna relación debían establecer entre la posi-
ción de las cifras y el valor que ellas representan; creíamos que los chicos detectaban
regularidades al interactuar con la escritura de fragmentos de la serie. Algunas pro-
ducciones no convencionales que habíamos visto reiteradamente en las aulas nos lle-
varon a formular dos suposiciones: que los chicos elaboran criterios propios para pro-
ducir representaciones numéricas y que la construcción de la notación convencional no
sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa cons-
trucción.
Para verificar –y también para precisar– estas suposiciones, diseñamos una si-
tuación experimental centrada en la comparación de números y otra centrada en la
producción.
La primera era una variante del juego de la guerra: utilizamos un mazo de vein-
te cartas con números comprendidos entre el 5 y el 31 y con un único dibujo en cada
carta –el que identificaba el palo–, de tal modo que la comparación se basara exclusi-
vamente en la escritura numérica. Al finalizar cada mano, pedíamos a los niños que
justificaran las decisiones tomadas durante el juego.
La consigna que daba inicio a la segunda situación era: “Piensen un número
muy alto y escríbanlo”. Comenzaba luego una discusión en la que los niños opi-
naban sobre la escritura del compañero y decidían cuál de los dos había escrito
un número mayor. Lo que ocurría después dependía mucho de las respuestas y
argumentos proporcionados por los chicos y, aunque tomaba la apariencia de
un “dictado de cantidades”, se trataba de un dictado cuya característica central
era el debate sobre las escrituras producidas.
Los datos que recogimos mostraron una alentadora coincidencia con los obteni-
dos en el marco de la investigación que están realizando Bressan, Rivas y Scheuer, y
nos permitieron delinear el recorrido de los chicos en su intento por conocer el siste-
ma de numeración. Intentaremos explicitar los aspectos esenciales de ese recorrido.
Cantidad de cifras y magnitud del número o “Este es más grande, ¿no ves que tiene
mas números?”
Las afirmaciones de los niños entrevistados muestran que ellos han elaborado
una hipótesis que podría explicitarse así: “Cuanto mayor es la cantidad de cifras
de un número, mayor es el número”.
Veamos algunos ejemplos:
–Alina (6 años, primer grado), al justificar sus decisiones en el juego de la gue-

rra, afirma que 23 es mayor que 5 “porque éste (23, pero ella no lo nombra porque
desconoce su denominación oral) tiene dos números y tiene más, y éste (5) tiene un
solo número”.
–Loli (6 años, primer grado) afirma –en la misma situación– que 12 es mayor
que 6 “porque tiene más números”.
–Alan (6 años, primer grado) pone en evidencia que la hipótesis referida a la
cantidad de cifras que constituyen un número es mucho más fuerte que cualquier otra
consideración vinculada al valor absoluto de cada cifra:
(El experimentador hace una contrasugestión que estaba prevista en el diseño
de la situación y que fue rechazada por todos los niños cuando se comparaban núme-
ros de una y dos cifras.)
Experimentador Alan
A mí me dijo un chico el otro día que el
más grande era éste (9), porque acá
había un dos y un uno, y, el nueve era (Se ríe) ¿Cuántos años tiene?
más grande que el dos y el uno.
Después te cuento. Vos primero decíme Nada que ver. Un año.

qué pensás de lo que dijo.
¡Porque qué tienen que ver el dos y el
¿Por qué? uno! Se forma un número solo.
Y sí, por ejemplo, algo de cien son tres

¿Se forma un número solo? números y forman un número solo.
En el caso de Jonathan y Sebastián (primer grado), la hipótesis que vincula la

cantidad de cifras a la magnitud del número no se refiere sólo a los números de una y
dos cifras, sino que se ha generalizado a la comparación de números más grandes:
Experimentador Jonathan Sebastián

Ahora les voy a pedir a los (Ambos escriben convencio- 1005)
dos que escriban el mil cin- nalmente
co. lo escribimos los dos
igual.
(A Sebastián.) Fíjate cómo
lo escribió Jonathan.
¿Y por qué escribiste así el No sé.

mil cinco?
Si se lo tuvieras que expli- Le diría que es con un uno,

Experimentador Jonathan Sebastián
car a otro chico, ¿qué le un cero, otro cero y un cinco.
dirían?
El otro día un nene me dijo Porque éste (1000) es mil

que el mil cinco se escribía y éste es cinco.
así:1000 5
No. Porque el cinco tiene
Mil cinco que ir acá (señala el últi-
mo cero de 1000).
¿Te parece que está bien Porque en vez del cero va
así ¿ ¿Por qué? el cinco.
Es otro número. Sí.
¿Por qué tiene que ir acá? Es más.
Porque tiene más números, Porque tiene más.
¿Y éste (10005) entonces? tiene un cero más.
¿Cómo te das cuenta? Sí. Sí.
¿Los que tienen más núme-

ros son más grandes?
Como se puede observar en las últimas líneas del ejemplo anterior, el criterio
de comparación que los chicos han construido funciona aun cuando ellos no conozcan
la denominación oral de los números que están comparando.2 Se trata entonces de un
criterio elaborado fundamentalmente a partir de la interacción con la numeración es-
crita y en forma relativamente independiente del manejo de la serie de los nombres
de los números. Se trata también de una herramienta poderosa en el ámbito de la
notación numérica, ya que permitirá comparar cualquier par de números cuya canti-
dad de cifras sea diferente.
Ahora bien, esta herramienta –que era manejada ya por todos los niños entre-
vistados para establecer comparaciones entre números de una y dos cifras y que mu-
chos de ellos utilizaban también para comparar números compuestos por más cifras–3
no se generaliza de forma inmediata a todos los casos.
Fue uno de nuestros sujetos el que nos mostró algunas de las dificultades por
las que debe atravesar esta generalización: Pablo (6 años, primer grado), después de
haber afirmado –como los niños anteriormente citados– que es mayor “el que tiene
más números” siempre que se trataba de comparar un número de una cifra con otro
de dos y también en algunas situaciones donde se comparaban números de dos y tres
cifras (824 y 83, 138 y 39, etc.), hace afirmaciones contradictorias cuando se trata de
comparar 112 y 89. En efecto, él dice en primer término que 112 es mayor que 89
(señalándolos, no conoce las denominaciones) “porque tiene más números”, pero lue-
go cambia de opinión: “No, es más grande éste (89), porque 8 más 9 es 17, y enton-
ces es más”.
Dado que en los otros casos Pablo no había apelado para nada a la suma de los
valores absolutos de las cifras y había tomado la cantidad de cifras como criterio único
2
Cuando los niños conocen el nombre de los números que están comparando, justifican sus afirma-
ciones apelando no sólo a la cantidad de cifras sino también al lugar que ocupan en la serie numéri-
ca oral: “12 es mayor por que tiene más números atrás, porque 6 para abajo tiene menos atrás”
(Alan) .
3
La información que tenemos sobre el proceso de generalización es aun insuficiente: no todos nues-
tros entrevistados tuvieron la oportunidad de comparar números de tres o más cifras, porque esta
cuestión se planteó sólo en ciertos casos, en función de las respuestas que los niños suministraban.
para establecer la comparación, pensamos que es la gran diferencia entre los valores
absolutos de las cifras de ambos números lo que lo lleva a poner en tela de juicio el
criterio de comparación que había utilizado consistentemente en todos los casos ante-
riores, a renunciar a él y a elaborar otro específico para esa situación. Cabe pregun-
tarse por qué Pablo no apela explícitamente al valor de los dígitos que componen esos
números, sino al resultado que se obtiene al sumarlos.4
Aunque Pablo fue el único de los sujetos entrevistados que puso en juego otro
criterio de comparación además del basado en la cantidad de cifras, consideramos
significativa la información que él aporta porque confirma que –como ocurre con otros
objetos de conocimiento– la generalización está lejos de ser inmediata. Además, el
criterio alternativo utilizado por Pablo da cuenta de un problema que probablemente
se planteen todos los chicos en determinado momento de la construcción: ¿cómo se
puede explicar que un número cuyas cifras son todas “bajitas” (1110, por ejemplo)
sea mayor que otro formado por cifras “muy altas” (999, por ejemplo)?
Si bien es necesario profundizar en el estudio del proceso a través del cual se
construye este criterio de comparación –cómo se concibe, cómo se generaliza, qué
conflictos debe afrontar–, es indudable que su elaboración constituye un paso relevan-
te hacia la comprensión de la numeración escrita.
La Posición de las cifras como Criterio de comparación o “el primero es el que
manda”
Al comparar numerales de igual cantidad de cifras, los niños esgrimen argu-
mentos a través de los cuales se evidencia que ellos ya han descubierto que la posi-
ción de las cifras cumple una función relevante en nuestro sistema de numeración:
–Lucila (5 años, preescolar), después de afirmar que 21 es mayor que 12, lo
justifica así: “Porque el uno (en 12) es primero y el dos es después; porque (en 21) el
dos es primero y el uno es después”.
–Nadia (6 años, primer grado) no consigue explicar cómo se da cuenta de que
31 es mayor que 13. Se le pregunta entonces cómo se lo explicaría a otro chico, y ella
responde: “Que se fije dónde está el 3 y dónde está el 1, o dónde está el 1 y dónde
está el 3”.
–Alina, y sobre todo Ariel (6 años, primer grado), son más explícitos:
Experimentador Alina Ariel

¿Porqué ganó éste? (21)
(El experimentador pide
justificación de la decisión
que ellos tomaron cuando
los números comparados
eran 12 y 2l.) Porque éste (21) es más
alto que éste(12).
Pero son los mismos núme- Sí, pero al revés Al revés.
ros Tiene que ver mucho. Este
¿Al revés? ¿Yeso qué tiene (el 2 de
que ver? 21) es más alto que éste
(el 1 de 12) y se diferencia
por el primero
¿Y por que será que se di-
ferencia por el primero? Porque sí.
¿No hay una razón? ¡Yo qué sé!
¿Vos sabés qué número es Veintiuno
éste? Doce.
¿Y éste? Sí, porque éste (21) esta
4
Esta es una de las cuestiones que será necesario seguir investigando.
¿Y de ahí podés sacar algo después y éste(12) está
para darte cuenta de cuál primero.
es más alto?
Hacemos la cuenta Mira:
uno, dos,
¿Dónde está primero? tres... (sigue contando has-
ta doce)
acá esta el doce... trece,
catorce... (sigue contando
hasta veintiuno) veintiuno.
De acuerdo. Ahora me con- ¿Viste? ¿Hicimos la cuenta?
venciste (Luego, al comparar 21 y
23, Ariel dice que este últi-
mo es mayor, porque tres
es más que uno y, ante una
pregunta del experimenta-
dor, aclara que en este ca-
so se fija en el segundo
número “porque en el pri-
mero hay un dos y un
dos”.)
Otros sujetos explicitan con mayor claridad aún cómo debe aplicarse el criterio
de comparación basado en la posición de las cifras. Véamos cómo lo expresa Guiller-
mo:
Guillermo Yael
(Ya decidió que 21 es mayor que
12.)
Tienen los mismos números. Nada
más que acá el dos está adelante y
acá está atrás.
El que más valor tiene es Los dos tienen valor.

el de adelante.
Sí, los dos tienen valor.

Podés fijarte en el de atrás.
Pero primero fíjate en el de
adelante.
[...] Si el primer número de
una carta es igual al primer
número de la otra y el segun-
do es uno más alto que el
otro, sí importa el segundo.
Los niños citados han descubierto ya –además de la vinculación entre la canti-

dad de cifras y la magnitud del número– otra característica específica de los sistemas
posicionales: el valor que una cifra representa, lejos de ser siempre el mismo, depen-
de del lugar en el que esté ubicada con respecto a las otras que constituyen el núme-
ro. Saben también que, si se comparan dos números de igual cantidad de cifras, será
necesariamente mayor aquel cuya primera cifra sea mayor y por eso pueden afirmar –
como lo hicieron muchos de los sujetos entrevistados– que “el primero es el que man-
da”. Saben además que, cuando la primera cifra de las dos cantidades es la misma,
hay que apelar a la segunda para decidir cuál es mayor.
Llama la atención el hecho de que para muchos niños los argumentos estricta-
mente referidos a la numeración escrita tengan prioridad sobre los vinculados a la se-
rie numérica oral. Alina y Ariel, por ejemplo, justifican originalmente sus afirmaciones
apelando a la posición de las cifras en los números escritos (“Están al revés”, “Se dife-
rencia por el primero”), y sólo aportan argumentos referidos a la serie oral (“Sí, por-
que éste [21] está después y éste [12] está primero”) cuando el experimentador los
insta a hacerlo.
Ahora bien, tal como lo observáramos en relación con la hipótesis referida a la
cantidad de cifras, el criterio de comparación basado en la posición de las cifras está
lejos de construirse de una vez y para siempre, ya que su generalización requiere
también la superación de algunos obstáculos. Es lo que nos muestra Alina, quien –a
pesar de haber aplicado consistentemente este criterio en casi todos los casos–
tropieza con una dificultad cuando se trata de comparar 25 y 16:
(La situación se produce durante el Juego. La carta de Alina tiene el número 25,
la de Ariel el número 16.)
Experimentador Alina Ariel

¿ Quién ganó? Ganó Ariel. No, ganó ella.
El, porque éste (25) tiene
un dos y un cuatro (!), y
éste (16), un uno y un seis
[...]).Este (25) tiene un
número menos, y éste (se-
ñalando el 6 de 16), un ¡No! Pero se cuenta con el
número más. primero.
Alina parece sostener aquí que es mayor el número que contiene la cifra más
alta, independientemente del lugar en que ella esté ubicada. Parece que, también en
este caso, el valor absoluto de los números puede hacer dudar de la validez de un cri-
terio que se consideraba válido para muchos otros casos.
Por otra parte, como lo muestran claramente algunas respuestas de Ariel (“Por-
que sí”, “,Yo qué sé!”), el conocimiento que los niños tienen sobre la variación del va-
lor de las cifras en función del lugar que ocupan no va acompañado –ni mucho menos
precedido– por el conocimiento de las razones que originan esta variación. Estos niños
no sospechan aún que “el primero es el que manda” porque representa grupos de 10
si el número tiene dos cifras, de 102 Si tiene tres... en tanto que las siguientes repre-
sentan potencias menores de la base 10.
Todavía no han descubierto la regla del sistema (la agrupación recursiva en ba-
se 10), pero esto no les impide en absoluto elaborar hipótesis referidas a las conse-
cuencias de esa regla –la vinculación entre la cantidad de cifras o su posición y el va-
lor del número– y utilizarlas como criterios válidos de comparación de números. A
partir de estas hipótesis, ellos podrán sin duda plantearse –y el maestro podrá plan-
tearles–interrogantes que los conducirán, a través de aproximaciones sucesivas, a
descubrir las reglas del sistema.
En efecto, en tanto que Ariel no intenta justificar su afirmación –contesta con
un lacónico “porque sí” cuando se le pregunta por qué “se diferencia por el primero”–,
otros niños han encontrado ya una explicación de ese criterio que ellos mismos han
elaborado. Es lo que nos muestra, por ejemplo, Guillermo (6 años, primer grado),
quien se ve obligado a explicitar su argumentación para convencer a su compañera:
Experimentador Guillermo Yael
¿Cuál es más alto? (se es- Este (31). A mí me parece que és-
tán comparando 25 y 31). te(25), porque tiene un dos
y un cinco y éste (31) tiene
un tres y, un uno. Más altos
son éstos números (seña-
Este (31) es más alto. ¿Por lando las cifras de 25).
qué? Porque mirá: no tiene
nada que ver el segundo
número con el primero,
porque acá tres y acá (2 de
25) dos. Dos es menos que
tres. Esto es treintiuno y
(A Yael) ¿Qué te parece lo esto es veinticinco, no
que él dice? ¿Lo entendés? treinticinco.
Explicále mejor, Guillermo. No (riéndose).
Mirá, primero viene el diez

y segundo saltás diez, diez,
diez, así ¿no? Entonces se
cuenta, diez, veinte, trein-
ta... entonces al treinta le
sacamos cinco y nos queda
veinticinco y, acá (31) al
treinta le agregamos uno,
nos queda treinta y uno.
Guillermo no ha oído aún hablar de “decenas” (acaba de ingresar en primer

grado); ni siquiera afirma que la primera cifra de un número de dos cifras se refiere a
“dieces”. Pero él sabe muy bien que esa primera cifra se refiere a algo del orden de
los “veinti”, “treinti” o “cuarenti” en lugar de representar simplemente “dos”, “tres” o
“cuatro”, y sabe también que esos números –veinte, treinta, etc.– se obtienen con-
tando de a diez en el orden de la serie.
Sin disponer del extraordinario manejo operatorio que refleja el último argu-
mento de Guillermo, otros niños han proporcionado argumentos similares al primero
que él aporta. Seguramente, este tipo de justificación se hace posible cuando los ni-
ños logran coordinar lo que han descubierto en la escritura numérica –que el valor de
una cifra varía en función de la posición que ocupa– con la información que les aporta
la serie numérica oral. a partir de la cual ellos pueden establecer intervalos constitui-
dos por “veintis”, “treintis”, etcétera.
Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los niños intentan combinar los conocimientos
que ellos han construido con los que les han impartido en la escuela? Para responder
a esta pregunta, tomaremos como ejemplo a los únicos niños de primer grado que
incluyeron en sus respuestas la palabra “decenas”.
Experimentador Loli Alan

(Los niños afirmaron que
veintiuno es mayor que
doce)
¿Cómo saben que es más
grande, si los dos tienen
Experimentador Loli Alan
los mismos números?
Acá (21) el dos está delan-
te y acá (12) está atrás. Sí.
Yo no me doy cuenta muy
bien, porque son los mis-
mos números. Sí, pero no están igual or-
denados. Esto (12) es una decena
¡Ah! ¡No! Es una docena.
¿Cuál? Yo no lo sé...Qué es vein-
¿Y veintiuno? tiuno una decena... ¡qué se
yo!
¿Una decena? Sí, tiene una, dos. Creo... ¿o no?
Acá (señala el 2 del 21). No, no tiene ninguna dece-
na. El uno no es ninguna
decena y el dos tampoco
El veinte sí, en el veinte sí
hay dos decenas.
¿Por qué introduce Alan el término “decena”? Tal vez porque sospecha la exis-
tencia de alguna relación entre ese término y el valor de la cifra que aparece ubicada
“adelante” en los números de dos cifras. Pero esta sospecha es suficientemente vaga
como para que él pueda afirmar que 21 “no tiene ninguna decena, el uno no es nin-
guna decena y el dos tampoco”.
En el caso de Loli, ocurre algo diferente: aunque ella no acude espontáneamen-
te al concepto de decena –sino a la posición de las cifras– para explicar por qué 21 es
mayor que 12, parece comprender que el 2 de 21 representa dos decenas. Su res-
puesta final muestra claramente cómo llegó a comprenderlo: puede entender que en
21 hay dos decenas porque ese 2 no significa para ella “dos” sino “veinti”.
Cabe preguntarse entonces: ¿aprender el concepto de decena ayuda realmente
a conocer los números? ¿O es más bien el conocimiento de los números –y de su es-
critura– lo que ayuda a comprender el concepto de decena?
Algunos números privilegiados: el rol de los nudos
La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de

la serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura de los nudos –es
decir de las decenas, centenas, unidades de mil..., exactas– y sólo después elaboran
la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre nudos.
Veamos ante todo las respuestas de los niños:
Experimentador Gisela
Escribí un número, el que tengas
ganas, que te parezca bastante alto. (Escribe 1000).
¿Cuál es ése? El mil.
¿Y el dos mil cómo se escribe? (Escribe 200.)
¿Ese es el dos mil? (Agrega un cero a su escritura anterior.)
¿Y éste (200) cuál es? Doscientos.
¿Y éste? (tapando un 0 del 1000) El cien.

¿Y el tres mil? (Escribe 3000).
¿Y cómo escribirías el dos mil quinientos? (Gran desconcierto.) No me acuerdo.
¿Y el quinientos? (Escribe 005.)
Acá tenés el dos mil (señalando una escri-

tura anterior) y acá el quinientos...No te
servirá para nada para escribir el dos mil Sí... (No se anima.)
quinientos?
El caso de Nadia (6 años, primer grado) es aún más claro:
Experimentador Nadia
Ahora te voy a pedir que escribas un nú-
mero que vos pienses que es muy alto
¿Muy alto?
Sí. Voy a escribir como máximo mil (escribe
900).
¿Cuál es?
Novecientos.
¿Y mil cómo es?
(Escribe 1000.)
¿Cómo te parece que será dos mil?
(Escribe 2000.)
¿Y cuatro mil ?
(Escribe 4000.)
¿ Nueve mil ?
(Escribe 9000.)
¿ Diez mil ?
(Escribe 10000.)
Y decíme... Mil cien, ¿cómo te parece que
es? (Muy sorprendida.) ¿Mil cien? Para mí ese
número no existe.
¿ No existe ¿
(Piensa un largo rato y luego escribe,
¿Mil quinientos? 1000100.)
(Escribe 1000500.)
Si bien la mayoría de los niños entrevistados escribían ya en forma convencio-

nal los nudos de las decenas, las centenas y las unidades de mil, obtuvimos algunas
respuestas que proveen indicios sobre el camino que los niños recorren para elaborar
estas escrituras. Observemos, por ejemplo, las producciones y reflexiones de Christian
(5 años, preescolar) en la siguiente situación:
Experimentador Christian Rubén

[...}
¿Y cómo escribirían ustedes

el cien?
Ah, No, yo lo puedo escribir
bastantes veces el cien.
¿Cómo es? Un uno (lo escribe) y dos

ceros (los escribe) (Escribe 100.)
¿Y el doscientos? Yo no lo sé escribir. Acá está el doscientos (es-
cribe 200).
¿Y el trescientos? Voy a escribir todos los
números desde el cien has-
ta donde se termina el cien.
100 100 200
cien ciento ciento
uno dos (Escribe 300)
Este (marcando el primer
número escrito por Chris- Sí.
tian) ¿es el cien?
Este (marca su segundo
¿Y cuál es el ciento uno? número: 100).
¿Y es igual que éste? (Se-

ñalando el primero.) Sí..., no, porque éste (se-
ñalando el primer 100) tie-
ne el cero más chiquito y
éste (marcando el segundo)
tiene el cero más grande.
Ah! ¿ El que tiene el cero
más grande es ciento uno?
(Es cierto!!) Sí, y el uno también es más
grande.
Ajá...¿Y ciento cinco, cómo Esperá que quiero escribir (Escribe 105.)
sería? desde el uno hasta donde
termina el cien.
Bueno, cuando termines,
avisános. (Mientras tanto,
se pide a Rubén que escri- (Escribe:
ba ciento treinta, ciento 130
treinta y ocho, doscientos (Christian ha escrito: 100 138
veintitrés, quinientos.) 100 200 3000 400) 223
500.)
¿ Quién no lo sabe al qui-

Y vos, Christian , ¿podrías nientos? Espero que me
escribir quinientos? salga bien el cinco. (Escribe
500.)
Bueno, explícame lo que (Lee)
100 100 200 300
400
cien ciento ciento ciento
Vos dijiste antes que ibas a ciento
escribir hasta que se acabar uno dos
el cien, ¿Cuándo se acaba tres cuatro
el cien?
(Piensa un rato) Iba a es-

cribir hasta ciento nueve
(agrega a su serie 500)
100 100 200 300 400
500
Es el ciento cinco (señalan-
¿Cuál era ése? do 500) El mismo, mirá!!
(mostrando la escritura an-
¿Y éste? (señalando el que terior de 500 que él mismo
él acaba de producir). había producido.)
Quinientos.
¿Y te parece que puede ser
que quinientos y ciento cin-
co se escriban igual? Ciento cinco.
¿Y cómo nos damos cuenta

de cuál es cuál?
No.
¿Con los mismos números?
Hago uno grande y uno (Ha escrito mientras tanto,
chiquito. a pedido del experimenta-
dor siempre en forma con-
¿Con raya cuál es? vencional: 110,
¿Y sin raya? A éste (al que había inter- 900,932,907)
pretado antes como qui-
nientos) le hago una raya :
500 y al otro lo dejo sin
¿Y mil? raya.
Quinientos. 1000
A ver, ¿cómo lo escribirían? Ciento cinco.
Yo lo sé escribir.
(Escribe 1000.) Cómo no

voy a saber escribir el mil si
antes escribí el cien mil!
(Efectivamente, lo había
escrito así: 1001000.)
Christian maneja ya la escritura convencional de la segunda y la tercera poten-

cia de la base (100 y 1000). ¿Cómo utiliza el conocimiento de la escritura de cien para
producir los números siguientes? Parece que no la utiliza como base para producir los
otros nudos de las centenas –él dice que no sabe escribir doscientos, y quinientos pa-
rece ser una forma fija, probablemente conocida a través del billete de 500 australes–
,5 sino para hipotetizar acerca de la escritura de los números comprendidos entre cien
5
Cuando se entrevistó a Christian, los australes estaban aún en curso.
y ciento diez. El supone que estos números tendrán dos ceros –como cien– y que se
diferenciarán de cien por la cifra inicial. El problema es que esta hipótesis no le permi-
te diferenciar –utilizando números distintos– cien de ciento uno, y seguramente es por
eso que apela al tamaño para diferenciarlos. Resulta además impactante constatar
que el hecho de conocer la escritura convencional de quinientos no lo lleva a dudar de
su hipótesis –en efecto, sigue afirmando que 500 representa ciento cinco–, sino a em-
plear un recurso no numérico para diferenciar las dos escrituras.6
Ahora bien, varios niños nos proveyeron –trabajando en el aula– escrituras apa-
rentemente inversas a las de Christian, pero cuyo significado nos parece similar: ellos
escriben cuatrocientos como 104, trescientos como 103, seiscientos como 106. Estos
niños piensan que la escritura de los otros nudos de las centenas conserva caracterís-
ticas de la escritura de 100: también tienen tres cifras, pero en este caso se mantie-
nen las dos primeras –el uno y el cero iniciales de 100– y se expresa la diferencia va-
riando el último número.
Todos estos datos sugieren que los niños se apropian en primer término de la
escritura convencional de la potencia de la base (100, es decir 102, en este caso), y
que la escritura de los otros nudos correspondientes a esa potencia se elabora sobre
ese modelo, conservando la cantidad de cifras, manteniendo dos de las cifras que
componen cien y variando la otra. El caso de Christian indica que un procedimiento
similar podría ser utilizado –al menos por algunos niños– para reconstruir la escritura
de los números ubicados entre 100 y 110. El problema que se les planteará entonces
será el de encontrar una manera de diferenciar numéricamente la escritura de dos-
cientos y la de ciento dos, la de quinientos y la de ciento cinco, etcétera. La búsqueda
de esta diferenciación seguramente conducirá a descubrir que en el caso de los nudos
(200, 300, etc.) lo que varía –en relación con la escritura de cien– es el primer núme-
ro, en tanto que en el caso de 101 ... 109, lo que varía es el último.
El papel de la numeración hablada
Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números,

basándose en las informaciones que extraen de la numeración hablada y en su cono-
cimiento de la escritura convencional de los nudos.
Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado
aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que
se correspondan con el orden de los términos en la numeración hablada.
Veamos algunas escrituras y justificaciones de los sujetos entrevistados que
ilustran claramente lo que intentamos decir:
–Lucila y Santiago (los dos tienen cinco años y asisten al jardín de infantes) es-
criben:
108 109
Los dos interpretan sus escrituras como “dieciocho” y “diecinueve” respectiva-
mente.
–Yael hace algo similar, pero además nos lo explica:

Mientras está registrando su puntaje en el juego de la guerra, anota “dieciocho”
como 108 y justifica diciendo que dieciocho se escribe así “porque hay un diez, que es
un uno y un cero, entonces se ponen los dos con el ocho”.
Guillermo –su compañero, que escribe convencionalmente los números de dos
cifras– objeta: “¡No! Porque es como pasa con el veinte o con el treinta... Porque el
cero se usa para el treinta, pero no se usa para el treinta y uno, ni para el treinta y
6
Aunque el recurso que utiliza Christian pueda parecer exótico, tal vez resulte más pertinente si se
recuerda que otros sistemas de numeración –como por ejemplo el romano– han apelado a grafías
del mismo tipo para diferenciar números (V y V ).
dos, ni para el treinta y tres. [ ... ] De tres números no se puede, no se puede [ ... ]
porque el cien se escribe así [ 100 ]”. Yael lo escucha atentamente, pero un rato des-
pués escribe treinta y cuatro como 304 y –al mirar la escritura convencional de Gui-
llermo (34)– afirma: “Para mí, se puede hacer de las dos maneras”.
– Martín (6 años, primer grado) escribe:
700 25 1000 800 32

Setecientos veinticinco mil ochocientos treinta y dos
8000 200 6000 300 45

ocho mil doscientos seis mil trescientos cuarenta y cin-
co
En el último caso, corrige su escritura después de interpretarla y lo hace así:

630045.
–Dan (6 años, primer grado) escribe también 600030045; al igual que Martín,
considera incorrecta su escritura, pero la corrige de otra forma: 63045.
–Daniela (5 años, preescolar), que escribe convencionalmente todos los núme-

ros de dos y tres cifras que le proponemos, y también un número de cuatro cifras
(1036), hace algo diferente cuando le pedimos que escriba mil quinientos treinta y
seis. Su producción original es: 1000 500 36,
la lee así: mil quinientos treinta y seis
e inmediatamente la corrige: 1000536.
Luego escribe ocho mil quinientos treinta y cuatro: 8 1000 50034, y en seguida
rectifica: 8 1000534. Para cuatro mil ciento cuarenta y cinco produce: 4 1000 145.
– Christian –quien, como hemos visto en el punto anterior, escribe convencio-

nalmente cien y mil, pero produce los números comprendidos entre 100 y 110 basado
en una hipótesis que le es propia– escribe en forma convencional también un millón
(1.000.000). Sin embargo, cuando le solicitamos que escriba otros números, sus pro-
ducciones son las siguientes:
Mil ciento cinco: 1000 100 5

Dos mil: 2 1000
Diez mil: 10 1000
Cien mil: 100 1000
Al comparar su escritura de cien mil con la de Rubén (100.000), Christian con-

sidera posibles las dos escrituras: “Si yo le sacara éste (el 1 de 1000) y pusiera un
punto, igual dice cien mil”. Pero en seguida señala: “También sé escribir un millón
diez” y escribe: 100000010. “Cuando escribís un millón diez –agrega– no
podés sacarle el uno (el de diez), porque no sabés si es ése. Y entonces, ¿cómo adivi-
nás qué número es? No sabés que es diez”. (En otros términos, este uno no puede
reemplazarse por un punto, como ocurre con el 1 de 1000 en cien mil).
La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia
con la numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convenciona-
les. ¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numera-
ción hablada no es posicional.
En efecto, si la organización de la numeración hablada fuera posicional, la de-
nominación oral correspondiente a 4705, por ejemplo, sería “cuatro, siete, cero, cin-
co”; sin embargo, la denominación realmente utilizada para ese número explicita,
además de las cifras cuatro, siete y cinco, las potencias de diez correspondientes a
esas cifras (cuatro mil setecientos cinco).
Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta es la de las operaciones involu-
cradas en la numeración hablada y en la numeración escrita.
En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una
operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma (mil cuatro signifi-
ca 1000 + 4, por ejemplo) y en otros una multiplicación (ochocientos significa 8 x
100, por ejemplo). En la denominación de un número, estas dos operaciones aparecen
en general combinadas (por ejemplo, cinco mil cuatrocientos significa 5 * 1000 + 4 -
*100) y –como para complicarle la existencia a quien intente comprender el sistema–
un simple cambio en el orden de enunciación de las palabras indica que ha cambiado
la operación aritmética involucrada: cinco mil (5 - 1000) y mil cinco (1000 + 5), seis-
cientos (6 - 100) y ciento seis (100 + 6). Para colmo de males, la conjunción “y” -que
representa lingüísticamente la adición- sólo aparece cuando se trata de reunir decenas
y unidades.
Ahora bien, ¿podemos afirmar que las escrituras no convencionales producidas
por los chicos son efectivamente aditivas y/o multiplicativas? Cuando ellos escriben
doscientos cincuenta y cuatro como 200504, ¿piensan que el valor total de ese núme-
ro se obtiene sumando 200+50+4?; cuando escriben 4 1000 para cuatro mil, ¿están
representando la idea de que el valor total de ese número se obtiene multiplicando 4
* 1000? ¿Comprenden los niños las operaciones que parecen estar involucradas en
sus escrituras o bien éstas resultan simplemente del establecimiento de una corres-
pondencia con la numeración hablada?
Nos interesa encontrar respuestas para los interrogantes formulados porque la
suma y la multiplicación por las potencias de la base están también involucradas en la
numeración escrita convencional. Por lo tanto, si los chicos descubrieran las operacio-
nes implicadas en la numeración hablada, este conocimiento sería relevante para en-
tender cómo funciona la numeración escrita.
La numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que la
numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican
siempre de la misma manera: se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la
que corresponde, se suman los productos resultantes de esa multiplicación. 7 Es más
hermética porque en ella no hay ningún rastro de las operaciones aritméticas involu-
cradas y porque –a diferencia de lo que ocurre con la numeración hablada– las poten-
cias de la base no se representan a través de símbolos particulares sino que sólo pue-
den inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras.
Hemos iniciado indagaciones destinadas a responder las preguntas antes plan-
teadas. Los datos recogidos hasta ahora muestran que los chicos que producen nota-
ciones en correspondencia con la numeración hablada pueden haber descubierto o no
las relaciones aritméticas subyacentes a ella: mientras que algunos vinculan –por
ejemplo– la escritura 200 50 4 a la adición de 200, 50 y 4, otros la justifican apelando
exclusivamente a las palabras que constituyen la denominación oral del número re-
presentado. Estos resultados –muy insuficientes aún– llevan a suponer una progresión
posible desde una simple correspondencia entre el nombre y la notación del número
hacia la comprensión de las relaciones aditivas y multiplicativas involucradas en la
numeración hablada. Las escrituras numéricas no convencionales producidas por los
niños están hechas entonces a imagen y semejanza de la numeración hablada. Ahora
bien, quien adhiere a la escritura no convencional ¿lo hace en forma absoluta o es si-
multáneamente partidario de la notación convencional?
En las escrituras numéricas realizadas por cada niño en el curso de una entre-
vista, coexisten modalidades de producción distintas para números ubicados en dife-
rentes intervalos de la serie. En efecto, niños que escriben convencionalmente cual-
7
4815 = 4 -103 + 8. 102 + 1.101 + 5. 100
quier número de dos cifras (35, 44, 83, etc.) producen escrituras en correspondencia
con la numeración hablada cuando se trata de centenas (10035 para ciento treinta y
cinco, 20028 para doscientos veintiocho, etc.). Del mismo modo, niños que escriben
convencionalmente números de dos y tres cifras apelan a la correspondencia con lo
oral cuando se trata de escribir miles: escriben –por ejemplo– 135, 483 o 942 en for-
ma convencional, pero representan mil veinticinco como 100025 o mil trescientos
treinta y dos como 100030032 o 1000332.
Sin embargo, la coexistencia de escrituras convencionales y no convencionales
puede aparecer también para números de la misma cantidad de cifras: algunos chicos
escriben convencionalmente números entre cien y doscientos (187,174, etc.), pero no
generalizan esta modalidad a las otras centenas (y anotan entonces 80094 para ocho-
cientos noventa y cuatro o 90025 para novecientos veinticinco). Por otra parte, mu-
chos niños producen algunas escrituras convencionales y otras que no lo son en el
interior de una misma centena o de una misma unidad de mil: 804 (convencional),
pero 80045 para ochocientos cuarenta y cinco; 1006 para mil seis, pero 1000324 para
mil trescientos veinticuatro.
Señalemos, finalmente, que la relación numeración hablada numeración escrita
no es unidireccional: así como la información extraída de la numeración hablada inter-
viene en la conceptualización de la escritura numérica, recíprocamente, los conoci-
mientos elaborados sobre la escritura de los números inciden en los juicios comparati-
vos referidos a la numeración hablada. Veamos, por ejemplo, lo que ocurre con Chris-
tian (5 años) al comparar cien mil y mil cien:
Experimentador Christian
¿Cómo escribirías mil cien? No, cien mil.
Cien mil es un número. Mil cien, ¿es otro

número? No, es igual. Es al revés.
¿Pero es el mismo número?

Por ejemplo, si yo digo que tengo cien mil No, porque está al revés el número.
australes o mil cien australes, ¿es lo mis-
mo?
Cuando tengo mil cien.
¿Y cuándo tengo más? ¿Cuando tengo
cien mil o cuando tengo mil cien austra-
les? Porque en mil cien está el mil primero, y
el mil es más grande que el cien.
¿Y cómo te das cuenta de que mil cien es
más? (Respuestas similares se producen luego
al comparar diez mil y mil diez.)
Christian aplica a la numeración hablada un criterio que, como sabemos, ha

elaborado para la numeración escrita: “El que manda es el primero”. El razonamiento
subyacente al argumento que esgrime parece ser el siguiente: cien mil y mil cien es-
tán compuestos los dos por los mismos símbolos –mil y cien (o 1000 y l00)–; para
saber cuál es mayor, hay que fijarse en el de adelante. Christian supone que esta re-
gla –válida para la numeración escrita– es válida también para la numeración hablada
y es esta suposición de una coherencia mayor que la existente la que lo induce a
error. Evidentemente, no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la nu-
meración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita, aceptar que lo
uno no coincide siempre con lo otro, detectar cuáles son las informaciones provistas
por la numeración hablada que resulta pertinente aplicar a la numeración escrita y
cuáles no, descubrir que los principios que rigen la numeración escrita no son direc-
tamente trasladables a la numeración hablada...
Y, sin embargo, a pesar de todas estas dificultades inherentes al objeto de co-
nocimiento, los niños se apropian progresivamente de la escritura convencional de los
números que antes producían a partir de la correspondencia con la numeración habla-
da. ¿Cómo lo hacen? Es lo que trataremos de mostrar en el próximo punto.
Del conflicto a la notación convencional
Dos de las conceptualizaciones que hemos descrito en los puntos anteriores lle-
varán a los niños a conclusiones potencialmente contradictorias:
–por una parte, ellos suponen que la numeración escrita se corresponde estric-
tamente con la numeración hablada,
–por otra parte, ellos saben que en nuestro sistema de numeración la cantidad
de cifras está vinculada a la magnitud del número representado.
La primera de estas conceptualizaciones se aplica fundamentalmente a la escri-
tura de números ubicados en los intervalos entre nudos, en tanto que estos últimos
son representados en forma convencional. En consecuencia, las escrituras producidas
por los niños para los números ubicados a entre dos nudos determinados tendrán más
cifras que las que representan a los nudos mismos: ellos escribirán convencionalmen-
te, por ejemplo, 2000 y 3000, pero dos mil setecientos ochenta y dos será represen-
tado como 200070082 (o, eventualmente, como 2000782).
El niño podría aceptar que dos mil setecientos ochenta y dos se escriba con más
cifras que dos mil, puesto que el primero es mayor que el segundo. Pero, si él piensa
simultáneamente que un número es mayor cuantas más cifras tenga, ¿cómo puede
aceptar que dos mil setecientos ochenta y dos se escriba con más cifras que tres mil?
De este modo, la escritura producida a partir de una de sus conceptualizaciones –la
correspondencia con la numeración hablada– resulta inaceptable si se la evalúa a par-
tir de otra de sus conceptualizaciones –la vinculación entre cantidad de cifras y magni-
tud del número.
¿Cómo maneja el niño esta contradicción entre sus conceptualizaciones? ¿Toma
conciencia de ella de inmediato? ¿En qué se apoya para resolverla?
Los datos recogidos hasta ahora sugieren que, en un comienzo, la contradicción
detectada por el observador no se constituye en un conflicto para los niños. Veamos
algunos ejemplos:

Ahora les voy a pedir que
escriban cuatro mil ciento
tres. 410001003. 4000103.
¿Cuál es más grande, cua-

tro mil o cuatro mil ciento Siempre es más grande que
tres? cuatro mil.
Porque cuatro mil es un

cuatro y tres ceros pero
¿Cuál es más grande? cuatro mil ciento tres tiene
más de tres ceros; porque
mirá, contá: uno, dos tres,
cuatro, cinco (mientras
cuenta los ceros de su es- 5000 (el cinco lo escribe en
critura). espejo)
Y el cinco mil, ¿cómo es? 51000
Vamos a discutir cuál es la

diferencia entre lo que pu- (Según Rubén no hay que
sieron los dos. (Para Christian es lo mis- poner el uno.)
mo.)
¿No te acordás de que an-
tes dijimos que podíamos
poner el mil con uno o sin
Parece que él no está de uno? ¿No te acordás?
acuerdo Entonces, entre
cuatro mil ciento tres y cin- Cuatro mil ciento tres.
co mil, ¿Cuál es más? Siempre es más éste.
(410001003).
¿Cuatro mil ciento tres es
más que cinco mil? No...., éste...., sí. Sí, éste
es más, porque mirá qué
diferencia: tres ceros acá, y
0 sea que..... acá... ¿Cuántos ceros?
(Interrumpe) ¡Ah!, pero eso

sí, una cosita, más que un
millón NO es esto, no te
No, no me lo creo. ¿Me creas que es el último nú-
pueden explicar un poco mero infinito.
más por qué el cuatro mil
ciento tres es más que el Este (4000103).
cinco mil? Sí, porque éste (51000)
tiene menos ceros.
¿Vos, Rubén, qué pensás? Porque es más grande.
¿Por qué? Sí.
¿Porque tiene más núme-

ros?
Christian y Rubén se centran exclusivamente en la cantidad de cifras de las es-

crituras que ellos mismos han producido y parecen ignorar cualquier otra considera-
ción acerca del valor de los números representados. ¿Piensan ellos realmente que
cuatro mil ciento tres es mayor que cinco mil? ¿O bien saben que cinco mil es mayor
que cuatro mil ciento tres, pero no pueden hacer intervenir aquí este conocimiento?
La duda momentánea de Christian (“No... éste... sí [ ... ]”), es en este caso, el único
indicio de que él podría tener algún motivo para cuestionar el juicio que emite basán-
dose en la cantidad de cifras.
Las respuestas de Gisela (5 años, preescolar) muestran más claramente que no
es suficiente con conocer el valor de los números para tomar conciencia del conflicto,
ni –menos aún– para contrarrestar las conclusiones fundamentadas en la cantidad de
cifras:
Experimentador Gisela
(Se está trabajando con dinero. Gisela ha
contado billetes de a diez y de a cien)
¿Y cómo formás mil quinientos? Con éste y con éste (toma un billete de
mil australes y otro de quinientos) .
Muy bien. Y mil quinientos, ¿cómo se es-
cribirá? No sé.
Probá, como a vos te parezca (Piensa un largo rato.)
¿Qué números te parece que tiene mil [...]

quinientos? Sí.
Sí.
¿Tendrá uno? Sí.
¿Y cinco?
¿Y cero? (Escribe 1000500.) Es muy largo.
Bueno, escribílo como a vos te parece que
es. Sí.
¿Te parece muy largo para ser mil qui- Sí, es.
nientos?
(Escribe 2000500.)
¿Será o no será mil quinientos?
Ajá. ¿Cómo escribirías dos mil quinientos? Dos mil quinientos.
Escucháme una cosa. ¿Cuál es más, dos (Toma tres billetes de mil.)
mil quinientos o tres mil? (Señalando
3000, que Gisela había escrito antes con- (Toma dos billetes de mil y, uno de qui-
vencionalmente). nientos.)
Formá tres mil con la plata.

Tres así (señalando los tres billetes de
¿Y dos mil quinientos? mil).
¿Y qué es más: dos así y uno así (dos de

mil y uno de quinientos) o tres así (tres de
mil)? Sí.
Ahora fijáte cómo están escritos. Vos di- Este (señala 2000500).
jiste que éste (3000) es tres mil y éste
(2000500) es dos mil quinientos, ¿no?
Tres mil.
¿Y cuál es más?
Este (2000500).
Y con la plata (señalando los montonci-
tos), ¿cuál es más? No, no importa.
Y acá (señalando las escrituras), ¿cuál es

más?
¿Y no importa que con la plata sea más

éste (montón de tres mil australes)?
Es indudable que Gisela sabe –al menos con referencia al dinero– que tres mil
representa una cantidad mayor que dos mil quinientos. Sin embargo, cuando se le
pide que compare los números tomando en cuenta la representación escrita que ha
hecho de ellos, parece “olvidar” el significado y centrarse únicamente en la cantidad
de cifras de los significantes que ha producido. Además –y a pesar de haber señalado
ella misma que su escritura 1000500” era muy larga para representar ese número–,
no parece advertir contradicción alguna entre sus afirmaciones sucesivas. Es como si
ella pensara: “Si me fijo en los billetes, tres mil es más; si me fijo en los números es-
critos, es más 2000500”.
De este modo, al centrarse alternativamente en el referente y en el significante
–sin relacionar para nada estas dos centraciones–, Gisela evita tomar conciencia del
conflicto que se le plantearía si pudiera tomar en cuenta simultáneamente ambas
cuestiones.
Las respuestas de otros sujetos nos muestran que, tarde o temprano, hay que
enfrentarse con el conflicto:
Experimentador Dany (6 años, primer grado)

(Se están comparando oralmente pares de
números, sin referir las comparaciones a
ningún material concreto.)
¿Cuál será más grande, ochocientos o se-
tecientos cincuenta? Ochocientos es más grande.
¿Cómo escribirías ochocientos?
(Escribe 800.)
¿Y setecientos cincuenta?
(Escribe 70050.)
(Se queda perplejo, contemplando los
números que ha escrito.)
–Otros niños, después de haber producido escrituras en correspondencia con la

numeración hablada, señalan de inmediato que “son demasiados números” y –lejos de
limitarse a señalarlo, como lo había hecho Gisela– hacen reiterados intentos de modi-
ficar su producción para lograr reducir la cantidad de cifras. Es lo que hacen, por
ejemplo, Martín y Dan (citados en el punto anterior) cuando transforman su escritura
original para seis mil trescientos cuarenta y cinco (600030045) en 630045 y 63045
respectivamente. Ante cada pedido del experimentador, estos niños vuelven a produ-
cir una escritura en correspondencia con la numeración hablada, pero se muestran
insatisfechos con el resultado y lo corrigen, suprimiendo uno o más ceros de la escri-
tura original. Sin embargo, el resultado de estas correcciones coincide sólo en algunos
casos con la escritura convencional, porque los niños siempre dejan por lo menos un
cero: mil treinta y seis, por ejemplo, llega a ser escrito como 1036 (a partir de
100036), en tanto que la versión final de mil quinientos treinta y seis es 10536.
–Luciana también advierte el conflicto, pero intenta resolverlo modificando la
lectura del número, en lugar de corregir su escritura:
Experimentador Luciana Leandro

¿Cómo escribirían ocho mil
novecientos veinticuatro?
(Escribe 800090024.) (Escribe 8924.)
Comparen lo que pusieron
los dos. (Señalando la escritura de
Luciana) ¡No! Ése es muy
Bueno... (Se ríe). Entonces alto.
ahora yo lo leo de otra for-
Experimentador Luciana Leandro
ma: ocho mil millones no-
vecientos veinticuatro.
Luciana comprende muy bien –y comparte– la objeción formulada por Leandro.

Seguramente es por eso que propone una nueva interpretación de su escritura,
haciéndola corresponder con un número mucho más alto, tan alto como para
representarse por una escritura de nueve cifras. Sin embargo, cuando se le pide
–unos minutos después– que escriba siete mil veinticinco y mil quinientos, ella
anota: 7100025 y 1000500.
La primera manifestación de que los niños comienzan a hacerse cargo del con-
flicto es entonces la perplejidad, la insatisfacción frente a la escritura por ellos produ-
cida. Esta insatisfacción lleva luego a efectuar correcciones dirigidas a “achicar” la es-
critura –o a interpretarla atribuyéndole un valor mayor–, pero estas correcciones son
posibles sólo después de haber producido la escritura. De este modo, los ajustes efec-
tuados por los sujetos antes citados representan una compensación local: ellos logran
encontrar una solución más o menos satisfactoria reduciendo la cantidad de cifras,
pero esta solución no funciona aún en forma anticipatoria, y por eso vuelven a enfren-
tarse con el conflicto frente a cada nuevo número que intentan escribir.
¿Cómo llegan los niños a encontrar una solución que les permita superar el con-
flicto planteado?
El proceso evidenciado por Nadia a lo largo de las dos entrevistas que tuvimos
con ella, con un intervalo de quince días entre ambas, nos ayudará a responder a esta
pregunta. Durante el primer encuentro, sus respuestas son similares a las de algunos
sujetos que ya hemos citado:
(Ella ha escrito antes convencionalmente
2000-4000-9000-10000, y ha producido
otras escrituras -1000100 para mil cien y
1000500 para mil quinientos– estable-
ciendo correspondencia con la numeración
hablada.)
(Se queda pensando, escribe 90050, mira
¿Y novecientos cincuenta, ¿cómo lo escri- largo rato su escritura.) ¡Me equivoqué!
birías?
No sé.
¿Cómo es?
Así (9005) o así (905).
¿Y novecientos cinco, cómo lo escribís?
Para mí es así (señala 905).
¿De las dos maneras?
Porque acá (90050) me equivoqué...Tiene
¿Por qué a novecientos cinco le dejás un que ser así: 9050.
cero y a novecientos cincuenta le dejás (Escribe 9048.)
dos?
¿Y novecientos cuarenta y ocho? Mil.
Entre novecientos cuarenta y ocho y mil,

¿cuál es más?
(Se juega con dinero. El experimentador

pide a Nadia que le entregue tres mil aus-
trales, Nadia le da tres billetes de mil; lue-
go le pide dos mil trescientos cincuenta ¡Tres mil!
australes, Nadia se los entrega correcta-
mente.) (Escribe 3000.)
¿Qué es más, dos mil trescientos cincuen-
ta australes o tres mil? (Escribe 200030050.)
¿Cómo escribirías tres mil?
¿Cómo que es menos?
¿Y dos mil trescientos cincuenta?
¿Por qué éste, que es menos, tiene tantos No, no sé. (Está muy preocupada, piensa
números? largo rato.)
Vos me dijiste antes que dos mil trescien- Sí.

tos cincuenta es menos que tres mil. Que no entiendo nada.
¿Tenés un grave problema?

.(Se ríe.) ... Pero esto es muy raro... por-
¿Cuál es tu problema? que mirá (señalando en su escritura ante-
rior)
A mí me parece que vos entendés un 2000 300 50
montón dos mil trescientos cin-
cuenta
Para mí no (se ríe).

Porque no tengo otra forma de escribirlo...
Ajá, ¿se escribe así? por ahora lo escribo así.
Claro.
Entonces a vos te parece que no es así,

pero como no tenés otra forma, lo escribís Con menos.
así.
Tres... cuatro... algo así.
¿Y cómo te parece que será? ¿Con más
números o con menos? Como éste (señala 9000, después de
¿Con cuántos números te parece? haber revisado sus escrituras anteriores).
¿Más o menos como cuál?
Puede observarse que Nadia ha comenzado a “achicar” sus escrituras: en el ca-

so de novecientos cinco, ella propone desde el comienzo dos posibilidades, una de las
cuales está en correspondencia con la numeración hablada, en tanto que la otra –la
que finalmente elige y que coincide con lo convencional– tiene un cero menos. Des-
pués de corregir en este mismo sentido su escritura original de novecientos cincuenta,
ella produce directamente 9048 para novecientos cuarenta y ocho, omitiendo esta vez
en forma anticipatoria el otro cero (de novecientos) que seguramente hubiera incluido
si no estuviera tratando de controlar sus escrituras para que incluyeran menos cifras
de las que resultan al establecer correspondencia con la numeración hablada. Sin em-
bargo, la anticipación con respecto a la supresión de ceros deja de operar cuando se
trata de escribir dos mil trescientos cincuenta. Es más: aunque acaba de afirmar (en
relación con los australes) que tres mil es mayor que dos mil trescientos cincuenta,
ella parece “olvidar” esta afirmación cuando el experimentador la vincula a la cantidad
de cifras de sus escrituras y pregunta sorprendida: “¿Cómo que es menos?”.
A pesar de ese “olvido”, Nadia está en condiciones de reconocer que se está en-
frentando con un serio problema, con un problema que tarde o temprano tendrá que
resolver y que la llevará a modificar su conceptualización de la escritura numérica. La
conciencia que ella tiene de la provisoriedad del conocimiento (“por ahora lo escribo
así”) es francamente notable.
Aunque esta vez ella no corrige su escritura (200030050), sus respuestas fina-
les indican que sabe en qué dirección habría que corregirla: se trata de lograr
que esa escritura tenga sólo cuatro cifras. ¿Cómo hacerlo?
Este es el problema que queda planteado al final de la primera entrevista y Na-
dia seguirá reflexionando sobre él en nuestra ausencia. En efecto, al iniciarse el se-
gundo encuentro, ella señala:
El otro día hice todo mal, me equivoqué
¿Por qué creés que te equivocaste? mucho.
Porque en los números altos, por ejemplo

el doscientos..., el doscientos cinco supo-
¿Cómo te diste cuenta de que doscientos néte, yo lo hice así: 2005, y lo tenía que
cinco es así? (205) hacer así: 205.
¿Y doscientos treinta y cinco cómo es? Después pense que me equivoqué... No sé

cómo explicar.
¿No va ningún cero en el doscientos trein- 235 (escribe el cero y encima el tres).
ta y cinco?
¿Puede ser que el otro día lo hayas escrito No.
así: 2035?
Sí.
¿Y el otro día, por qué te parecía que iba No sé.
con cero?
¿Novecientos cincuenta y ocho cómo lo 958.
escribís? No.
(Escribe 9050, lo tacha, luego escribe 900
¿No lleva ceros? ¿Ningún cero? y pone un cinco sobre el último cero.) 905
¿Y novecientos cinco?
Porque acá (905) es cinco y acá (958)
¿Por qué acá (905) sí lleva cero y acá cincuenta y ocho... Porque cincuenta y
(958) no lleva cero? ocho son dos números y cinco es uno.
Si no le pongo ningún cero, es noventa y

¿Y qué pasa si a éste (905) no le pongo cinco. Hay que ponerlo para que se sepa
ningún cero? que es novecientos cinco.
2500.
(Escribe primero 2000 y luego el 5 sobre
[ ... ] el primer cero.)
Y el dos mil quinientos, ¿cómo será? No sé.
2058 (escribe primero 2000 y luego, so-

Contáme cómo lo pensaste. bre los ceros, 5-5 y 8).
¿Y el dos mil quinientos cincuenta y ocho?
Primero pongo dos mil, y después voy po-

¡Qué bárbaro! Explícame cómo lo hacés, niendo... Pongo. quinientos cincuenta y
así yo se lo cuento a otros nenes. Ese mé- ocho, porque si me equivoco y pongo un
todo que usaste puede servirles a otros cero me queda suelto.
chicos.
Nadia ha elaborado una estrategia que le permite superar el conflicto plantea-

do: ella puede ahora -a diferencia de lo que ocurría en la sesión anterior– anticipar
con exactitud la cantidad de cifras que tendrá el número solicitado. Esta anticipación
parece hacerse posible gracias a una resignificación de la relación entre la escritura de
los nudos y la de los números ubicados en los intervalos entre ellos.
En efecto, las últimas producciones de Nadia se apoyan –como las anteriores–
en la escritura convencional de los nudos (900 o 2000 en este caso), pero la forma en
que se utiliza esta apoyatura ha variado radicalmente: en tanto que antes se yuxta-
ponían los símbolos correspondientes a las partes de la denominación oral del número
(2000 300 50, por ejemplo) –y se hacían luego correcciones para “achicar” el numeral
resultante–, ahora la escritura del número se usa como un modelo útil para fijar la
cantidad de cifras que debe tener el número a representar y luego se “rellena”, susti-
tuyendo los ceros por los números correspondientes.
Notemos que Nadia ha descubierto la posibilidad de usar de otra manera una
información que ya tenía. ¿Por qué la ha descubierto en este momento y no antes?
Porque esta posibilidad adquiere sentido –creemos– cuando se constituye en el ins-
trumento que permite resolver un conflicto del cual se ha tomado conciencia. La utili-
zación de la escritura del nudo como modelo para la de otros números aparece preci-
samente cuando Nadia se está preguntando cómo hacer para reducir la cantidad de
cifras de sus escrituras y, más precisamente aún, cómo hacer para reducirlas a la
misma cantidad de cifras que corresponde a los nudos entre los cuales están com-
prendidos los números que intenta representar.
Ahora bien, cuando Nadia anticipa que la escritura de dos mil trescientos cin-
cuenta tendrá cuatro cifras, seguramente no se basa sólo en el conocimiento específi-
co de que dos mil se escribe con esa cantidad de cifras, sino también en una conclu-
sión más general que ella –como muchos otros sujetos– ha elaborado a partir de la
información provista por la escritura convencional: los cientos van con tres, los miles
van con cuatro.
En síntesis, las escrituras que se corresponden con la numeración hablada en-
tran en contradicción con las hipótesis vinculadas a la cantidad de cifras de las nota-
ciones numéricas. Tomar conciencia de este conflicto y elaborar herramientas para
superarlo parecen ser pasos necesarios para progresar hacia la notación convencional.
Hemos intentado describir los rasgos esenciales del proceso a través del cual los
niños se aproximan a comprender la naturaleza de nuestro sistema de numeración;
hemos mostrado que los chicos producen e interpretan escrituras convencionales mu-
cho antes de poder justificarlas apelando a la ley del agrupamiento recursivo; hemos
puesto en evidencia conceptualizaciones y estrategias que los chicos elaboran en rela-
ción con la notación numérica.
Es una opción didáctica tener en cuenta o no lo que los chicos saben, las pre-
guntas que se hacen, los problemas que se plantean y los conflictos que deben super-
ar. Es también una decisión didáctica tomar en consideración la naturaleza del objeto
de conocimiento y valorar las conceptualizaciones de los chicos a la luz de las propie-
dades de ese objeto. La posición que en tal sentido hemos asumido inspira tanto el
análisis de la relación existente entre las conceptualizaciones infantiles y el sistema de
numeración como la crítica a la enseñanza usual y el trabajo didáctico que propone-
mos. De todas estas cuestiones hablaremos en los puntos siguientes.
El sistema de numeración: segunda parte

Lerner-Sadovsky
Paidós.
III. De las relaciones entre lo que saben los niños y la organización posicio-
nal del sistema de numeración
Según afirman los niños, un número es mayor que otro “porque tiene más ci-
fras” o “porque el primero es el que manda”. El saber que así se expresa, ¿se refiere a
propiedades de los números o a propiedades de la notación numérica?
La pregunta que antecede puede resultar extraña: estamos tan acostumbrados
a convivir con el lenguaje numérico que en general no distinguimos lo que es propio
de los números como tales –es decir, del significado– de las propiedades del sistema
que usamos para representarlos. Sin embargo, esta distinción es necesaria.
En efecto, mientras que las propiedades de los números son universales, las le-
yes que rigen los distintos sistemas de numeración producidos por la humanidad no lo
son.
“Ocho es menor que diez” es una afirmación válida en cualquier cultura, inde-
pendientemente del sistema de numeración que en ella se utilice. Pero si esta afirma-
ción se justifica alegando que “ocho tiene una sola cifra y diez tiene dos”, se está es-
grimiendo un argumento que es específico de los sistemas posicionales, ya que en los
no-posicionales la cantidad de cifras no está relacionada con el valor del número.
Ahora bien, ¿qué tiene el sistema posicional que los otros no tengan? La posi-
cionalidad, justamente. Ella es la responsable de la relación cantidad de cifras-valor
del número; de ella depende también la validez de “el primero es el que manda”.
En nuestro sistema de numeración –como es sabido–, el valor que representa
cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por una cierta potencia de la base. Si un
número tiene más cifras que otro, necesariamente intervendrán en su descomposición
potencias de diez de mayor grado que las involucradas en el otro y, en consecuencia,
será mayor.
Por otra parte, cuando se trata de dos números de la misma cantidad de cifras
–excepto en el caso de que los dos empiecen con la misma cifra– es la primera la que
determina cuál es el mayor, porque esa cifra indica por cuánto hay que multiplicar la
potencia de grado más alto que “interviene” en el número. Por razones similares, si
las primeras cifras fueran iguales, la responsabilidad de determinar el número mayor
sería transferida a la cifra contigua, y así sucesivamente.
El contraste con sistemas no-posicionales contribuye a aclarar la cuestión.
Veamos, por ejemplo, lo que ocurre en el sistema de numeración egipcio (5000 a. C.),
que era aditivo y disponía de símbolos sólo para representar las potencias de 10. Así,
el número 3053 se anotaba:
En el sistema egipcio la cantidad de símbolos de un número no informa acerca
de su magnitud: para representar, por ejemplo, 9999 se utilizaban 36 símbolos, en
tanto que 10.000 se anotaba con uno solo.
Además, cada símbolo representaba siempre el mismo valor, ocupara el lugar
que ocupara y, si bien una convención establecía cierto orden de anotación, esta con-
vención podía alterarse sin que por ello cambiara la interpretación del número repre-
sentado.
Es indudable que, si nuestros entrevistados hubieran sido niños egipcios del

5000 a. C., hubiéramos obtenido resultados muy diferentes. Como se trata de seres
nacidos en los umbrales del siglo XXI, inmersos en una cultura digitalizada, sus con-
ceptualizaciones apuntan a la organización posicional de nuestro sistema de numera-
ción.
Sin embargo, como ya vimos, no todo es posicional en la vida de los niños. La
numeración hablada viene a interponerse en el camino de la posicionalidad y da ori-
gen a producciones “aditivas”. Estas producciones son fácilmente interpretadas no
sólo por los adultos, sino también por los compañeros que ya escriben convencional-
mente los números en cuestión, lo cual pone de manifiesto una indudable ventaja de
los sistemas aditivos: su transparencia.
En efecto, para interpretar un número representado en forma aditiva –ya sea
en un sistema como el egipcio o en las aproximaciones de nuestros chicos, basadas en
la numeración hablada– es suficiente sumar los valores de los símbolos utilizados.8
Un sistema posicional es al mismo tiempo mucho menos transparente y mucho
más económico que un sistema aditivo.
Es menos transparente porque el valor de cada símbolo depende de la posición
que ocupa, y porque esa posición es el único rastro de la presencia de una potencia de
la base. A diferencia de lo que ocurre al interactuar con otros sistemas que utilizan
símbolos específicos para anotar las potencias de la base, para interpretar un número
representado en un sistema posicional es necesario inferir cuál es la potencia de la
base por la que hay que multiplicar cada cifra.
Es más económico porque, justamente como consecuencia de la posicionalidad,
una cantidad finita de símbolos diez –en nuestro caso– es suficiente para anotar cual-
8
Entendemos que cuando los chicos producen una escritura como 1000500 (1500), están usando
1000 y 500 como “símbolos originales”.
quier número.9 En un sistema como el egipcio, en cambio, la cantidad de símbolos
necesarios para que sea posible anotar cualquier número no es finita: si se dispone de
símbolos para uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil y un millón –son los que proba-
blemente existieron en la cultura egipcia–, se puede escribir cualquier número hasta
nueve millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve, pero
será necesario crear un nuevo símbolo para anotar diez millones. La creación de este
nuevo símbolo permite extender la escritura a todos los números menores que cien
millones, pero la representación de este último exigirá un nuevo símbolo y esta exi-
gencia volverá a presentarse cada vez que aparezca una nueva potencia de la base.
Economía y transparencia no son variables independientes: cuanto más econó-
mico es un sistema de numeración, menos transparente resulta. Un sistema como el
egipcio es casi una traducción de las acciones de contar, agrupar y reagrupar; fue ne-
cesario ocultar esas acciones detrás de la posicionalidad para lograr un sistema cuya
economía es indiscutible.
Quienes, como los chicos, intentan apropiarse de nuestro sistema de numera-
ción deberán desentrañar lo que él oculta. Ellos empiezan –como hemos visto– por
detectar aquello que les resulta observable en el marco de la interacción social. A par-
tir de estos conocimientos, multiplican sus preguntas acerca del sistema y con ellas
llegan a la escuela. Las respuestas que ofrece el ámbito escolar, ¿son verdaderamente
respuestas a las preguntas que los chicos se plantean?, ¿deberían serlo? ¿Es válido el
esfuerzo de la escuela por explicitar todo aquello que el sistema de numeración ocul-
ta? ¿Tiene sentido el intento de evitar que los chicos se enfrenten con la complejidad
de la notación numérica? ¿Por qué reducir la reflexión sobre el sistema al ritual aso-
ciado a las unidades, decenas, centenas ... ?
IV. Donde se cuestiona el enfoque usualmente adoptado para enseñar el sis-

tema de numeración
La modalidad que en general asume la enseñanza de la notación numérica pue-

de caracterizarse así:
–Se establecen topes definidos por grado: en primer grado se trabaja con los
números menores que cien, en segundo con los menores que mil y así sucesivamente.
Sólo desde quinto grado se maneja la numeración sin restricciones.
–Una vez enseñados los dígitos, se introduce la noción de decena como conjun-
to resultante de la agrupación de diez unidades, y sólo después se presenta formal-
mente a los niños la escritura del número diez, que debe ser interpretada como repre-
sentación del agrupamiento (una decena, cero unidades). Se utiliza el mismo proce-
dimiento cada vez que se presenta un nuevo orden.
–La explicitación del valor posicional de cada cifra en términos de “unidades”,
“decenas”, etc., para los números de un cierto intervalo de la serie se considera requi-
sito previo para la resolución de operaciones en ese intervalo.
–Se intenta “concretar” la numeración escrita materializando la agrupación en
decenas o centenas.
Dicho de otro modo: hay que trabajar paso a paso y acabadamente, hay que
administrar el conocimiento entregándolo en cómodas cuotas anuales, hay que trans-
mitir de una vez y para siempre el saber socialmente establecido.
Es así como los números van presentándose uno a uno y lo hacen concienzu-
damente: además de dar su nombre, se esfuerzan por exhibir su patrimonio en mate-
ria de decenas y unidades. Aportan información exhaustiva sobre sus datos persona-
9
Actualmente estamos intentando establecer cómo y cuándo descubren los niños esta característica
de nuestro sistema.
les, pero el espectro de sus relaciones es tan limitado que se reduce a los vecinos más
cercanos.
Se pretende simultáneamente graduar el conocimiento y arribar desde el co-
mienzo al saber oficial. ¿Son compatibles estas dos pretensiones? Si se recorta tan
drásticamente el universo de los números posibles, si –al introducir los números de a
uno y predeterminar un tope para cada grado– se obstaculiza la comparación entre
diferentes intervalos de la serie y se dificulta la búsqueda de regularidades, ¿se está
propiciando realmente el acceso a las reglas que organizan el sistema de numeración?
Y si esto no es así, ¿cuál es el “saber oficial” que efectivamente se está impartiendo?
Saber acabado y graduación del saber parecen incompatibles. Habrá que renun-
ciar a la ilusión de comunicar de inmediato el saber definitivo o bien habrá que renun-
ciar a la dosificación del conocimiento. O tal vez haya que renunciar a ambas.
“Paso a paso y acabadamente” es –por otra parte– una consigna que los chicos
no están dispuestos a acatar: ellos piensan al mismo tiempo sobre los “dieces”, los
millones y los miles, elaboran criterios de comparación fundados en el contraste entre
rangos de números más o menos alejados, pueden conocer la notación convencional
de números muy “altos” y no manejar la de números menores. Los chicos tampoco
necesitan –recordémoslo– apelar a “decenas” y “unidades” para producir e interpretar
escrituras numéricas; saber “todo” acerca de los numerales no es entonces requisito
para usarlos en contextos significativos.
Anticipamos una objeción posible: aunque se pueda prescindir de unidades y
decenas cuando sólo se trata de leer y escribir números, no será posible dejarlas de
lado en el momento de resolver operaciones. Esta objeción es parcialmente válida: lo
es si se piensa en los algoritmos convencionales –en los famosos “me llevo uno” y “le
pido al compañero”– como único procedimiento posible; deja de serlo cuando se ad-
miten algoritmos alternativos.
¿Por qué pensar en algoritmos alternativos? Porque los procedimientos que los
chicos elaboran para resolver las operaciones tienen ventajas nada despreciables si se
los compara con los usuales en la escuela.
Una desventaja evidente de los algoritmos convencionales es que –por exigir
que se sume o reste “en columna”, aislando cada vez las cifras que corresponden a un
mismo valor posicional– llevan a perder de vista cuáles son los números con los que
se está ,operando. Algo muy diferente ocurre con las propuestas de los niños, ya que
–como veremos en el próximo punto– las formas de descomposición que ellos ponen
en práctica permiten conservar el valor de los términos de la operación.
Por otra parte, en tanto que la anticipación del resultado se hace difícil (o impo-
sible) cuando se empieza a sumar o a restar por la derecha –es decir por el menor
valor posicional–, la persistente decisión de los niños de empezar por la izquierda ex-
plicitando el valor representado por las cifras10 pone en primer plano el cálculo
aproximado, lo cual hace posible controlar el resultado.
Es así como los procedimientos de los chicos hacen desaparecer la diferencia
entre cuentas “con dificultad” y “sin dificultad”.
Si la interpretación de las cifras en términos de decenas y unidades no es requi-
sito para la lectura y escritura de números, si tampoco es condición necesaria para
resolver operaciones, ¿por qué tomarla como punto de partida? ¿Valdrá la pena inver-
tir tanta energía en un intento cuyo resultado casi inevitable es el recitado mecánico
de los términos en cuestión?
El esfuerzo por lograr que los chicos comprendan algo tan complejo como nues-
tro sistema de numeración –y por evitar el riesgo de una mera memorización– ha lle-
vado a utilizar diferentes recursos para materializar el agrupamiento.
10
Si se trata –por ejemplo- de sumar 33 y 35, un procedimiento posible sería: 80 + 10 = 90; 90 + 10
= 100; 100 + 10 = 110; 110 + 8 = 118.
Uno de estos recursos consiste en crear un código que introduce símbolos espe-
cíficos –círculos, cuadrados, triángulos– para representar aquello que en nuestro sis-
tema sólo puede inferirse a partir de la posición: las potencias de diez. Los símbolos
en cuestión deben sumarse para determinar cuál es el número representado.
El parecido con el sistema egipcio es notable. Y a este parecido se refiere el nú-
cleo de nuestra objeción: paradójicamente, para que los niños comprendan la posicio-
nalidad, se hace desaparecer la posicionalidad.
Una crítica similar puede aplicarse a otro de los recursos usuales en la escuela:
poner en correspondencia la cifra ubicada en el lugar de las unidades con elementos
sueltos, la ubicada en el lugar de las decenas con “ataditos” de diez, la que está en el
lugar de las centenas con “ataditos” de cien. Esta manera de proceder tiene la ventaja
de apelar a la agrupación realizada por los chicos en lugar de partir de un código im-
puesto; sin embargo, si se considera el resultado final de la agrupación, presenta el
mismo inconveniente que la materialización a través de figuras geométricas: la posi-
ción deja de ser relevante para entender de qué número se trata ya que, sea cual fue-
re el orden en que estén colocados los ataditos y los palitos sueltos, el total de ele-
mentos será siempre el mismo.
El supuesto subyacente a los dos recursos descritos parece ser el siguiente: pa-
ra que nuestro sistema de numeración resulte comprensible, es necesario transfor-
marlo en otro sistema de numeración.
Finalmente, analizaremos la utilización del ábaco, un instrumento que –a dife-
rencia de los materiales anteriores– refleja claramente la posicionalidad del sistema.
Dos ideas subyacen al empleo didáctico del ábaco: agrupar y reagrupar son ac-
ciones imprescindibles para comprender la posicionalidad, la representación de una
cantidad en el ábaco puede traducirse directamente a la notación numérica conven-
cional y esa traducción arroja luz sobre la organización del sistema.
Los dos supuestos son objetables desde nuestra perspectiva. Por una parte,
como hemos visto, la noción de agrupamiento no es el origen de la comprensión de la
posicionalidad: los chicos descubren este principio de manera totalmente independien-
te de las acciones de agrupar y reagrupar objetos, lo elaboran a partir de su acción
intelectual sobre las escrituras numéricas que los rodean. Por otra parte, ¿para qué
apelar a una traducción si la versión original está al alcance de la mano?
De todos modos, si el ábaco fuese hoy –como lo fue en la antigüedad– un ins-
trumento de cálculo socialmente vigente, su utilización en la escuela estaría segura-
mente justificada. Dadas las condiciones actuales, ¿no habrá que decidirse a sustituir
el ábaco por la calculadora?
Ahora bien, todos los recursos concretizadores que hemos analizado tienen en
común la esperanza de reconstruir una relación entre la notación numérica y las ac-
ciones de agrupar y reagrupar. Esta relación, que efectivamente posibilitó la invención
de los diversos sistemas de numeración producidos en el curso de la historia, ya no
está presente en el uso social que se hace del sistema. Tal vez es por eso que los chi-
cos no necesitan pensar que alguien formó ochenta y ocho grupos de diez y después
reagrupó formando ocho grupos de cien para entender que, en 880, el primer ocho
representa ocho cientos, y el segundo ocho “dieces”.
La notación numérica aparece ante los chicos como un dato de la realidad: es
necesario entender lo antes posible cómo funciona, para qué sirve, en qué contextos
se usa; averiguar por qué llegó a ser como es no es tan urgente para ellos, quizá por-
que comprenderlo no puede ser de ninguna manera un punto de partida y sí puede
constituirse en el punto de llegada que se hace posible después de un largo y comple-
jo recorrido.
Algo está fallando en el juego de preguntas y respuestas que –según este enfo-
que– tiene lugar en el aula: se ofrecen respuestas para aquello que los chicos no pre-
guntan, se ignora que ellos ya encontraron algunas respuestas y que todavía se hacen
muchas preguntas, se evita formular interrogantes que podrían orientar la búsqueda
de nuevas respuestas.
Si no es restringir la numeración, si no es explicitar el valor de las cifras en
términos de decenas y unidades, si no es apelar exclusivamente a los algoritmos con-
vencionales, si no es apoyarse en concretizaciones externas al sistema, si no es apun-
tar de entrada al saber acabado.... ¿cuál será entonces el camino que puede trazarse
en el contexto escolar para andar entre los números?
V. Donde se intenta reflejar la vida numérica del aula
“[...] La enseñanza directa del saber definitivo es imposible. [...]El uso y

la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de
aprender. En consecuencia, hay que admitir una cierta reorganización didáctica
del saber, que cambia su sentido, y hay que admitir –al menos a título transito-
rio– una cierta dosis de errores y contrasentidos, no sólo del lado de los alum-
nos, sino también del lado de la enseñanza.”
G. BROUSSEAU
“Porque no tengo otra forma de escribirlo, por ahora lo escribo así.”

NADIA
Trabajar con la numeración escrita y sólo con ella; abordarla en toda su com-
plejidad; asumir que el sistema de numeración –en tanto objeto de enseñanza– pasa-
rá por sucesivas definiciones y redefiniciones antes de llegar a su última versión. Son
éstas las ideas que desde un comienzo orientaron nuestro trabajo didáctico.
Del uso a la reflexión y de la reflexión a la búsqueda de regularidades, ése es el
recorrido que propondremos una y otra vez.
Usar la numeración escrita es producir e interpretar escrituras numéricas, es
establecer comparaciones entre esas escrituras, es apoyarse en ellas para resolver o
representar operaciones.
Usar la numeración escrita –cuando uno está intentando apropiarse de ella–
hace posible que aparezcan, en un contexto pleno de significado, problemas que ac-
tuarán como motor para desentrañar la organización del sistema.
La búsqueda de soluciones llevará a establecer nuevas relaciones, a reflexionar
sobre las respuestas posibles y los procedimientos que condujeron a ellas, a argumen-
tar a favor o en contra de las diferentes propuestas, a convalidar ciertos conocimien-
tos y desechar otros. En el curso de este proceso, comienzan a imponerse las regula-
ridades del sistema. Las regularidades aparecen ya sea como justificación de las res-
puestas y de los procedimientos utilizados por los chicos –o al menos por algunos de
ellos–, ya sea como descubrimientos que es necesario propiciar para hacer posible la
generalización de ciertos procedimientos o la elaboración de otros más económicos.
El análisis de las regularidades de la numeración escrita es –de más está decir-
lo– una fuente insustituible de progreso en la comprensión de las leyes del sistema
por parte de los niños.
Ahora bien, si pretendemos que el uso de la numeración sea realmente el punto
de partida de la reflexión, si esperamos que sea efectivamente posible establecer re-
gularidades, resulta entonces necesario adoptar otra decisión: trabajar desde el co-
mienzo y simultáneamente con diferentes intervalos, de la serie. De este modo, se
hará posible favorecer comparaciones entre números de la misma y de distinta canti-
dad de cifras, promover la elaboración de conclusiones –tales como “los cienes van
con tres, los miles van con cuatro”– que funcionarán como instrumentos de autocon-
trol de otras escrituras numéricas, propiciar el conocimiento de la escritura convencio-
nal de los nudos y su utilización como base de la producción de otras escrituras, lograr
–en suma– que cada escritura se construya en función de las relaciones significativas
que mantiene con las otras.
Introducir en el aula la numeración escrita tal como es, trabajar a partir de los
problemas que plantea su utilización..., son dos consignas que nos sumergen ineludi-
blemente en la complejidad del sistema de numeración.
El desafío que este enfoque plantea es evidente: supone correr el riesgo de en-
frentar a los chicos con problemas que aún no les hemos enseñado a resolver, obliga
a trabajar simultáneamente con respuestas correctas –aunque a veces parciales– y
con respuestas erróneas, así como a encontrar formas de articular procedimientos o
argumentos diferentes para hacer posible la socialización del conocimiento. Se trata
entonces de aceptar la coexistencia de diferentes conceptualizaciones acerca del sis-
tema, se trata de invertir todo el esfuerzo necesario para lograr que la diversidad –en
lugar de constituirse en un obstáculo– opere a favor del progreso del grupo y de cada
uno de sus miembros.
El trabajo en el aula está así teñido de provisoriedad: no sólo son provisorias
las conceptualizaciones de los niños, también lo son los aspectos del objeto que se
ponen en primer plano, los acuerdos grupales que se promueven, las conclusiones que
se van formulando, los conocimientos que se consideran exigibles.
Complejidad y provisoriedad son entonces didácticamente inseparables. Si se
decide abordar la complejidad, habrá que renunciar a establecer de entrada todas las
relaciones posibles, habrá que pronunciarse por la reorganización progresiva del cono-
cimiento. Recíprocamente, si uno se atreve a abordar la complejidad es precisamente
porque ha aceptado la provisoriedad.
Complejidad y provisoriedad son inevitables. Lo son porque el trabajo didáctico
está obligado a tomar en cuenta tanto la naturaleza del sistema de numeración como
el proceso de construcción del conocimiento.
El sistema de numeración en el aula
Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita, es imprescindible tener

presente una cuestión esencial: se trata de enseñar –y de aprender– un sistema de
representación. Habrá que crear entonces situaciones que permitan tanto develar la
organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna
las propiedades de la estructura numérica que él representa.
Dado que el sistema de numeración es portador de significados numéricos –los
números, la relación de orden y las operaciones aritméticas involucradas en su orga-
nización–, operar y comparar serán aspectos ineludibles del uso de la numeración es-
crita. Resultará también imprescindible producir e interpretar escrituras numéricas, ya
que producción e interpretación son actividades inherentes al trabajo con un sistema
de representación.
Estas cuatro actividades básicas –operar, ordenar, producir, interpretar– consti-
tuyen ejes alrededor de los cuales se organizan las situaciones didácticas que propo-
nemos. Ahora bien, cuando –frente a las exigencias que nos planteó la escritura de
este artículo– intentamos clasificar las situaciones realizadas en el aula, descubrimos
que no era posible formar simplemente cuatro grupos (uno correspondiente a cada
eje). En efecto, producir, interpretar, ordenar y comparar son actividades tan estre-
chamente vinculadas en la práctica didáctica que se hace difícil diferenciarlas con cla-
ridad: por una parte, para comparar números y para realizar operaciones resulta en
general necesario producir o interpretar notaciones numéricas; por otra parte, en mu-
chos casos la relación de orden interviene en la producción e interpretación de escritu-
ras numéricas.
Es por eso que optamos por constituir dos grandes categorías: la primera com-
prende todas las situaciones didácticas que de algún modo se vinculan a la relación de
orden, la segunda abarca aquellas que están centradas en las operaciones aritméticas.
Producción e interpretación aparecen incluidas en cada una de estas dos categorías.
Seguramente, esta clasificación estará sujeta a sucesivas revisiones. Como diría
Nadia, “Por ahora la hacemos así”.
1. Situaciones didácticas vinculadas a la relación de orden
La relación de orden está presente en las situaciones propuestas de dos mane-

ras diferentes: en algunos casos, es el eje de la actividad que se plantea; en otros
casos, interviene como estrategia para resolver situaciones que no están centradas en
ella.
1. 1. Una consigna: comparar números
¿Por qué proponer actividades centradas en la comparación? Cuando los núme-

ros se representan a través del sistema decimal posicional, la relación de orden –como
hemos visto– adquiere una especificidad vinculada a la organización del sistema. Es
justamente esa especificidad la que se pretende movilizar a partir de las situaciones
de comparación que se proponen a los niños.
Supongamos, por ejemplo, que hemos decidido instalar en el aula diferentes
“negocios” –cuyo funcionamiento servirá como fuente de múltiples problemas aritmé-
ticos– y que estamos organizando el “kiosco”. Les contamos a los chicos que, con los
caramelos que tenemos (todos iguales) armaremos bolsitas que contendrán cantida-
des diferentes (4, 26, 62, 30, 12 y 40) y que los precios de esas bolsitas son (en cen-
tavos) los siguientes: 45, 10, 40, 60, 25, 85. Les pedimos entonces que decidan cuál
es el precio de cada tipo de bolsita y lo anoten. Luego se propondrá que, en pequeños
grupos, confronten sus anotaciones y que, en caso de discrepancia, argumenten a fa-
vor o en contra de las distintas producciones. Finalmente, se discutirá con todo el
grupo, a fin de establecer acuerdos.
Esta situación requiere que los niños ordenen –sea cual fuere la estrategia que
utilicen para hacerlo– los dos conjuntos de números presentados, ordenamiento que
estará orientado por un supuesto seguramente compartido por la mayoría de los ni-
ños: cuanto mayor sea la cantidad de caramelos, mayor será el precio de la bolsita.
Los criterios de comparación a los que apunta esta actividad
–”el primero es el que manda”, “a mayor cantidad de cifras...”11 no necesaria-
mente serán puestos en acción por todos los miembros del grupo. Surgen entonces
dos preguntas que –con toda justicia– el lector se estará formulando en este instante:
¿cómo resuelven la actividad quienes no utilizan criterios vinculados al sistema?, ¿qué
aprenden los niños que ya han elaborado esos criterios?
La diversidad, como de costumbre, hace su aparición a través de las respuestas
de los chicos: algunos realizan –con mayor o menor esfuerzo– el ordenamiento co-
rrecto, otros ordenan algunos números y aventuran una secuencia posible para los
demás, hay quienes no se atreven a hacer nada sin consultar y también hay quienes
se limitan a copiar las anotaciones de algún compañero. Para los niños que realizan el
ordenamiento sin esfuerzo, el momento de la discusión es también el momento del
aprendizaje: por una parte, la necesidad de fundamentar su producción los llevará a
conceptualizar aquello que hasta ese momento era simplemente un recurso que utili-
11
Nótese que es necesario elegir los números de tal modo que efectivamente permitan movilizar los
criterios en cuestión.
zaban pero sobre el cual seguramente aún no habían reflexionado; por otra parte, la
elaboración de argumentos para apoyar o rebatir las producciones de sus compañeros
enriquecerá su conceptualización. Quienes logran ordenar los números a través de un
proceso que incluye muchas autocorrecciones aprenden tanto durante este proceso –
la tarea para ellos todavía constituye un desafío– como cuando tienen que defender
su producción frente a los demás.
Los chicos que establecen un orden parcial –ya sea porque se basan sólo en la
serie numérica oral y ordenan entonces las escrituras numéricas cuya denominación
conocen, ya sea porque utilizan únicamente el criterio que permite comparar números
de diferente cantidad de cifras– aprenden a lo largo de toda la situación. En efecto,
mientras, ordenan, se ven obligados a plantearse una pregunta que tal vez aún no se
habían formulado: en qué basarse para establecer comparaciones entre los números
que no pudieron incluir en el ordenamiento; durante la discusión, las argumentaciones
de sus compañeros abrirán el camino hacia la respuesta. Formularse una nueva pre-
gunta constituye un aprendizaje porque es el punto de partida para la elaboración de
un nuevo conocimiento; escuchar la respuesta que otros dan a esa pregunta siempre
hace posible algún progreso: puede ocurrir que esa respuesta –en el mejor de los ca-
sos– se asimile inmediatamente como propia, o que genere nuevas preguntas, o que
–por lo menos– permita enterarse de que esas preguntas tienen respuesta y descubrir
entonces que vale la pena buscarla.
Los niños que no arriesgan ninguna respuesta sin consulta previa aprenden
porque también se hacen preguntas y, por lo tanto, lo que sus compañeros les contes-
tan adquirirá necesariamente algún significado en relación con la pregunta formulada:
puede ser que confirme lo que ellos habían pensado pero no se atrevían a asegurar,
que entre en contradicción con sus ideas previas y genere entonces nuevas preguntas
o que resulte una información nueva que habrá que comenzar a procesar. Es difícil
saber, en cambio, qué aprenden los que se limitan a copiar –son muchas las causas
que pueden motivar esta actitud– y por eso es fundamental incitarlos a reflexionar
sobre lo que han anotado y a encarar la responsabilidad de producir una respuesta
propia. Tanto los que consultan sin cesar como los que únicamente copian están emi-
tiendo señales que será necesario registrar: habrá que intervenir orientándolos hacia
formas de trabajo más autónomas.
Intentar que los chicos se consulten a sí mismos antes de apelar a una ayuda
externa, que cada uno recurra ante todo a lo que sabe acerca de la numeración
hablada y de la numeración escrita y descubra que algunos de sus conocimientos son
pertinentes para resolver el problema planteado es tal vez la mejor manera de pro-
mover la autonomía.
Alentar la utilización de materiales donde aparecen números escritos en serie –
centímetro, almanaque, regla, etc.– hace posible que los chicos aprendan a buscar por
sí mismos la información que necesitan. Apelar a estos portadores resulta, además,
útil para todos los chicos: los que están en condiciones de ordenar todos los números
propuestos podrán utilizarlos para verificar su producción; los que pueden hacer orde-
namientos parciales descubrirán cómo completarlos, ya que seguramente saben que –
en esos materiales– “los números que están después son mayores”; los que aún no
utilizan criterios de comparación descubrirán que en el soporte los números propues-
tos aparecen ubicados en un cierto orden, lo cual –además de permitirles efectuar el
ordenamiento solicitado– tal vez los lleve a preguntarse sobre las razones de ese or-
den.
En síntesis, en el curso de esta situación, todos los chicos tienen oportunidad de
buscar una respuesta, todos crecen gracias al trabajo cooperativo, todos realizan al-
gún aprendizaje.
Situaciones similares a la planteada pueden proponerse apelando a contextos
diferentes: ordenar las edades de los familiares de los chicos integrantes de un grupi-
to, decidir el orden en que serán atendidas en la “panadería” las personas que han
sacado determinados números, establecer comparaciones entre las alturas de los
miembros del grupo –expresadas encentímetros– después de haberse medido... Por
otra parte, todas las situaciones incidentales en las que establecer un orden es rele-
vante –por ejemplo, cuando se leen noticias en las que aparecen encuestas de opinión
sobre algún problema de actualidad- pueden dar lugar a discusiones acerca de los cri-
terios de comparación.
Si bien muchas de las situaciones que proponemos –sobre todo al principio– re-
producen contextos cotidianos en los cuales ordenar números tiene sentido, esta con-
textualización no siempre es imprescindible: la avidez de los chicos por develar los
misterios que encierra el sistema de numeración hace de éste un objeto digno de ser
considerado en sí mismo. Resulta entonces posible y productivo plantear algunas acti-
vidades que están centradas en los números como tales. Es lo que ocurre, por ejem-
plo, en los siguientes casos:
–Formar, con tres dígitos dados, todos los números posibles de dos y tres cifras
y ordenarlos. Si se permite que las cifras se repitan en los números que se van a for-
mar, la actividad resulta mucho más compleja, ya que en este caso habrá que formar
y ordenar treinta y seis números en lugar de doce.
–Dado un número de dos cifras (45, por ejemplo), ¿dónde hay que ubicar una
tercera cifra (4, por ejemplo) para que quede formado el número más grande posible?
La situación se plantea proponiendo sucesivamente diferentes “terceras cifras”, para
discutir luego en qué casos hay que ubicarlas a la derecha y en cuáles a la izquierda,
elaborar una conclusión general y fundamentarla.
Ahora bien, cuando la mayoría de los niños pone en juego criterios de compara-
ción válidos para producir ordenamientos, la discusión acerca de la fundamentación
puede avanzar un paso más: vale la pena preguntarse por qué el primero es el que
manda, por qué es mayor un número cuando tiene más cifras que otro. El eje de la
discusión se ha trasladado: ya no se trata de apelar a los criterios para fundamentar
el ordenamiento, se trata ahora de buscar la fundamentación de los criterios mismos.
Esta reflexión conducirá a una comprensión mas profunda de la organización del sis-
tema, al promover que se establezca la relación entre los criterios elaborados y el va-
lor de cada cifra en términos de “dieces” o “cienes”.
Cuando se les requiere la fundamentación de los criterios, algunos niños se ven
obligados a explicitar relaciones que ya utilizaban sin saberlo, otros coordinan conoci-
mientos que tenían pero aún no habían relacionado y otros realizan un descubrimiento
que se hace posible para ellos sólo en el marco de esta discusión. De este modo, afir-
maciones como “no importa cuáles sean los números; si tiene tres (cifras) es más
porque es de los cienes y éstos son “dieces” o “hay que fijarse en el primero porque
así sabés (en un número de dos cifras) cuántos “dieces hay” son la conclusión común
de historias diferentes para diferentes chicos.
1. 2 La consigna es producir o interpretar, el orden es un recurso
Producir e interpretar escrituras numéricas es siempre un desafío para quienes

están intentando adentrarse en el mundo de los números. “¿Qué número es éste?” y
“¿cómo será el... (cincuenta y dos, por ejemplo)?” son preguntas aparentemente muy
banales que resultan, sin embargo, apasionantes para los chicos cuando se refieren a
números cuya escritura convencional aún no conocen.
Era posible prever –ejerciendo un prejuicio didáctico amplia mente compartido,
a veces también por nosotras mismas– que resultaría más interesante y productivo
trabajar con los números en contexto que con los números despojados de toda refe-
rencia a su uso social. Sin embargo, pudimos constatar que nuestros alumnos se en-
tusiasmaban tanto cuando les proponíamos escribir los números del talonario de tur-
nos para la “panadería” del aula como cuando simplemente les pedíamos que anota-
ran determinados números, que se interesaban tanto por leer las direcciones de sus
compañeros como por interpretar números que habíamos escrito en el pizarrón.
La simple consigna de producir o interpretar un número –referido o no a un
contexto cotidiano– funciona como una chispa a partir de la cual se entablan discusio-
nes productivas: “Ese (1092, escrito en el sobre de una carta) no puede ser de los
cienes, ¿no ves que los del cien tienen tres números y ése tiene cuatro?”, “El quinien-
tos se escribe con los ceros cuando es quinientos solo –objeta Diego al ver que Male-
na, para anotar el precio 599, ha puesto en primerlugar '500'–, pero si decís quinien-
tos noventa y nueve, los ceros quedan debajo de los nueves y no hay que escribirlos”.
Trabajar con los números enmarcados en el uso que socialmente se hace de
ellos –es decir, con los números como precios, como edades, como fechas, como me-
didas...– es fundamental, no sólo porque les otorga sentido, sino también porque hace
posible entender cómo funcionan en diferentes contextos. Trabajar con los números
fuera de contexto también es significativo, porque los problemas cognitivos que se
plantean son los mismos que aparecen en las situaciones contextualizadas y porque la
interacción con los números al desnudo pone en primer plano que se está trabajando
sobre el sistema de numeración, es decir sobre uno de los objetos que la escuela tiene
la misión de enseñar y los chicos la misión de aprender.
Ilustración 1
Primer grado. Los chicos, agrupados de a dos, deben formar todos los números que
puedan utilizando para ello la fecha de cumpleaños (día y mes) de los miembros de
cada pareja. Finalmente, ordenarán de mayor a menor los números formados. Bruno
y Leandro, que cumplen años el 11/4 y el 1/6, respectivamente, lo hicieron así:
¿Cuáles son entonces las situaciones de producción e interpretación que propo-
nemos?
Armar listas de precios o ponerlos en los artículos correspondientes, hacer las
facturas, inventariar la “mercadería” existente, fabricar talonarios para dar turno,
identificar el precio de los productos que se quieren comprar, interpretar las otras ci-
fras que aparecen en los envases, consultar las ofertas... son actividades que realizan
“vendedores” y “compradores” en el juego de los negocios.
Interpretar el valor de los billetes (fotocopiados o producidos por los chicos),
determinar el importe de facturas de los diferentes servicios, leer la fecha de venci-
miento de esas facturas para decidir si se acepta o no el pago, llenar cheques o leerlos
para saber por cuánto dinero cambiarlos... son atribuciones de los “cajeros” y “clien-
tes” cuando el aula se transforma en un banco.
En el marco de estos proyectos12 se encadenan naturalmente actividades de
producción e interpretación, realizadas a veces por un mismo chico y otras por chicos
diferentes: el “cajero” del banco leerá los números de las facturas, los cheques y los
billetes, pero también tendrá que anotar las cantidades que recibe o entrega; los
“vendedores” producirán listas de precios que serán interpretadas por los comprado-
res...
Ahora bien, insertarse en proyectos y favorecer el encadenamiento de produc-
ción e interpretación no son requisitos que todas las actividades estén obligadas a
cumplir. Los chicos también aprenden mucho acerca de la numeración escrita en si-
tuaciones que se plantean de forma aislada y que están centradas sólo en la produc-
ción o sólo en la interpretación. Es lo que ocurre –por ejemplo– con actividades de
interpretación como el juego de la lotería o el análisis de la numeración de las calles, y
con actividades de producción como “escribir números difíciles” o anotar números dic-
tados por el maestro o los compañeros.
Los números que aparecen en las situaciones de producción e interpretación –
propuestos por nosotros o por los chicos– son números cuya escritura convencional no
se ha enseñado previamente. ¿Qué es lo que nos autoriza a cometer semejante osa-
día? Lo hacemos no sólo porque sabemos que los niños tienen sus ideas al respecto y
porque aceptamos que las respuestas se alejen de lo correcto, sino porque sabemos
también que tienen o pueden construir recursos para producir e interpretar esas escri-
turas y para acercarse progresivamente a lo convencional.
Los chicos nos enseñaron que la relación de orden es para ellos un recurso rele-
vante cuando deben enfrentar la situación de producir o interpretar números que ofi-
cialmente no conocen, cuando deben argumentar a favor o en contra de una escritura
numérica producida por sus compañeros o por ellos mismos.
“Yo antes nunca me acordaba de cómo se escribía el veinte, el veintiuno y los
de esa familia –explica Cecilia a sus compañeros–. Ahora, si tengo que escribir el
veinticinco, busco ahí (en el calendario) el diecinueve, después viene el veinte, y
cuento. Y enseguida me doy cuenta. Ahora ya sé que los del veinte van todos con un
dos adelante.”
En otras oportunidades, los chicos acuden a la serie numérica sin apoyarse en
un soporte material. Es así como Fabián logra escribir convencionalmente el número
quince a través del siguiente procedimiento: cuenta pausadamente a partir de uno,
como si al nombrar cada número pensara al mismo tiempo en la notación correspon-
diente. Algo similar puede ocurrir en situaciones de interpretación: cuando Ariel
–encargado de “cantar” los números en el juego de la lotería– saca el número 23,
cuenta con los dedos para sí mismo hasta llegar a decir “veintitrés”.
Los procedimientos empleados por los chicos confirmaban un supuesto que
habíamos formulado al iniciar el trabajo didáctico: como la relación de orden es una
herramienta poderosa para producir e interpretar notaciones numéricas, habrá que
lograr que todos se apropien de ella. Será necesario entonces sugerir su utilización a
los niños que no la emplean por sí mismos, será necesario favorecer que quienes usan
esta herramienta la compartan con sus compañeros.
Un primer efecto que se produce al intervenir en este sentido es la modificación
de la escritura o de la interpretación originalmente realizadas. Es lo que ocurre, por
ejemplo, en el caso de Martina, quien, al “cantar” el número 85 en la lotería, comien-
za leyéndolo como “ocho, cinco” y logra luego interpretarlo como . ochenta y cinco”
12
Los llamamos así porque, si bien no reúnen todas las condiciones de los proyectos, cumplen al-
gunas que resultan esenciales: dan lugar a múltiples actividades que se organizan alrededor de un
eje común y se desarrollan durante un período más o menos prolongado (alrededor de dos o tres
meses).
gracias a dos intervenciones de la maestra: en primer término, le muestra el número
80 sin nombrarlo y le pregunta cuál es; como Martina no responde, la maestra co-
mienza a escribir los nudos de las decenas (10, 20.... 80) y le solicita que interprete
cada una de las escrituras que va produciendo.
Intervenir de este modo es contagioso: si el maestro lo hace, los chicos se da-
rán cuenta de que es una buena manera de ayudar a sus compañeros y la adoptarán.
Es lo que ocurre, por ejemplo, cuando Santiago está intentando escribir el número
veinticinco y Federico le sugiere: “Fijáte en el veinte; si el veinte va con un dos y un
cero y el veintiuno con un dos y un uno, –cómo hacés para escribir el veinticinco?”;
Santiago acepta la propuesta de su compañero, cuenta hasta veinticinco oralmente y
lo anota. Ahora bien, el efecto más importante que estas intervenciones persiguen no
es el que se hace sentir de inmediato. No se trata sólo de que los chicos corrijan una
escritura o una interpretación particulares acercándose momentáneamente a lo con-
vencional, se trata sobre todo de que hagan suya una estrategia, de que la relación de
orden esté siempre disponible como un recurso al que se puede apelar para resolver
problemas de producción e interpretación.
Por otra parte, lejos de intervenir sólo en el momento en que se producen o in-
terpretan notaciones, la relación de orden atraviesa la discusión que se entabla con
todo el grupo y se refleja en los argumentos esgrimidos por los chicos.
La presencia de la relación de orden en los debates puede ilustrarse a través de
una situación desarrollada a principios de segundo grado.
Al analizar las notaciones producidas por los chicos ante un dictado de números,
la maestra detecta que sólo uno de ellos –el 653– ha dado lugar a diferentes versio-
nes y decide, por lo tanto, someterlas a discusión al día siguiente. La maestra señala
que encontró cuatro maneras diferentes de anotar “seiscientos cincuenta y tres”, las
escribe en el pizarrón –sin identificar a los autores de cada versión– y requiere argu-
mentos a favor o en contra de las distintas escrituras. Las producciones en cuestión
son:
60053 653 610053 61053
Bárbara: La que está bien es ésta (la segunda) porque cuando es ciento.. no
lleva dos ceros.
Jonathan: Sí, es ésa. Pero cuando uno dice ciento a veces lleva cero y otras no.
No sé cuándo lleva cero o no, porque ciento uno sí lleva cero.
Vicky: Esta (señala la tercera) no puede ser, porque cien es otro número y vie-
ne mucho antes que seiscientos.
Jimena: Sí es ésa (la tercera), porque primero está el seis y después el ciento.
Julián: No, no es, porque si no seiscientos uno sería 61001 seiscientos dos sería
61002... La tercera es mucho más grande que seiscientos cincuenta y tres, porque
tiene más números.
Brian: Esta (la tercera) es más grande que ésa (la cuarta), porque tiene un cero
más.
Vicky (a Jimena): Para mí, es ésta (653). No importa que uno diga seiscientos,
igual no tiene que haber un cien escrito en ese número.
Brian: Los ceros están de más; si querés, los ponés adelante (00653).
Jonathan: No, porque adelante no valen nada.
Los argumentos utilizados por los chicos para rechazar las notaciones no con-
vencionales apelan de todas las formas posibles a la relación de orden: Vicky alude al
orden de la serie oral, Julián y Brian recurren tanto al criterio que permite ordenar
números de distinta cantidad de cifras como al conocimiento de que los números ubi-
cados entre cien y novecientos noventa y nueve se escriben con tres cifras. Estos ar-
gumentos seguirán resonando en los chicos que habían producido escrituras no con-
vencionales –escrituras que sólo Jimena defiende explícitamente– y llegarán a trans-
formarse, gracias a sucesivas discusiones, en objeciones que ellos se harán a sí mis-
mos.
Los aportes de Bárbara y Jonathan hacen surgir un problema que no estaba
planteado antes de la discusión: ¿puede tener ceros un número cuyo nombre incluye
“ciento” o “cientos”? ¿Cuántos ceros?, ¿uno, dos o ninguno? La maestra toma nota de
este problema y en algún momento abrirá un espacio para discutirlo grupalmente
(véase 1.3).
Además de este uso sui generis de la relación de orden –para producir, inter-
pretar y justificar notaciones–, los chicos la emplean también de la misma manera
que los adultos.
En efecto, aunque no siempre tengamos conciencia de ello, los usuarios del sis-
tema de numeración apelamos con frecuencia al orden: ¿cuál es el precio del artículo
cuyo código está en el listado?, ¿salió en el extracto de la lotería el número de mi bi-
llete?, ¿para qué lado caminar si voy al tres mil quinientos de esta calle? Plantear si-
tuaciones que requieran ubicar ciertos números en una lista seriada o determinar si
esos números están o no incluidos en ella hará posible que los chicos elaboren proce-
dimientos vinculados a la relación de orden, tal como ella se encarna en nuestro sis-
tema de numeración. Situaciones como éstas encuentran un marco propicio en el jue-
go de los negocios. Es lo que ocurre, cuando, para averiguar los precios reales de los
artículos que se venderán, los chicos visitan –por ejemplo– una perfumería en la que
los artículos están identificados mediante un código: el problema para ellos es ubicar,
en la lista facilitada por la encargada del comercio, el número de código de los pro-
ductos elegidos, para determinar así su precio. Del mismo modo, si en el “negocio” se
acepta el pago con “tarjeta de crédito”, antes de cobrar habrá que consultar la lista de
tarjetas rechazadas.
Un trabajo similar puede realizarse con actividades incidentales: buscar en una
cuadra el número de la casa de alguien, encontrar –tomando en cuenta la información
provista por el índice– la página en la que comienza el cuento que leeremos.
A partir del análisis aquí realizado, se hace evidente el rol relevante que des-
empeña la serie oral en el desarrollo de la escritura numérica. Contar será entonces
una actividad imprescindible, que tendrá lugar tanto en el marco de “los negocios” o
“el banco” como en situaciones específicamente planificadas para generarla. Habrá
que contar los artículos existentes en los negocios o los billetes de cada tipo disponi-
bles en las distintas “cajas”, coleccionar determinados objetos y contarlos periódica-
mente para controlar el crecimiento de la colección, hacer encuestas y determinar –
por ejemplo– la cantidad de adeptos a determinados programas infantiles, realizar
votaciones para tomar ciertas decisiones que así lo requieran...
Ahora bien, la relación numeración hablada-numeración escrita es un camino
que los chicos transitan en ambas direcciones: no sólo la serie oral es un recurso im-
portante a la hora de comprender o anotar escrituras numéricas, también recorrer la
serie escrita es un recurso para reconstruir el nombre de un número. Esta es una de
las razones por las cuales resulta fundamental proponer actividades que favorezcan el
establecimiento de regularidades en la numeración escrita.
El sistema de numeración: tercera parte

Lerner-Sadovsky
Paidós.
Ilustración 2
En este grupo de primer grado, cada chico tiene su propia colección. Algunos coleccio-
nan llaveros; otros, chapitas de gaseosas; otros, piedritas, otros, figuritas... Una vez
por semana, se determina el estado de las colecciones: Martín hace grupitos con las
figuritas, anota la cantidad que hay en cada uno y luego suma; su compañero cuenta
nada menos que doscientos treinta figuritas y anota simplemente el resultado.
Esteban colecciona monedas. El 28/4, para saber (y recordar) cuántas monedas tiene,
él hace anotaciones agrupándolas por tamaño. La maestra “traduce”, por las dudas.
Quince días después, Esteban tiene muchas más monedas y se ve obligado a encon-
trar una manera más clara de anotar Hace entonces una tabla a partir de la cual po-
drá evocar fácilmente, la próxima vez, cuántas monedas de cada tipo había en su co-
lección. El 12/5: 3 monedas de 50 centavos, 7 monedas de 1000 australes, 14 mone-
das de 25 centavos... Va sumando los datos que ha anotado (3 + 7 + 14 + 8 + 3) y,
cuando obtiene este resultado (35), lo anota y pide ayuda. Sumar 35 + 31 es dema-
siado para él. La maestra y sus compañeros cuentan con él y es así como –juntos–
determinan que la colección de Esteban tiene ahora 66 monedas.
Ilustración 3
1.3. A la búsqueda de regularidades

El papel de las regularidades pudo vislumbrarse ya, tanto en las situaciones de com-
paración como en las de producción o interpretación. En el primer caso, las situacio-
nes apuntan precisamente a la elaboración de regularidades, ya que eso y no otra co-
sa son los criterios de comparación. En el segundo caso, se evidenciaron sobre todo a
través de los argumentos utilizados por los chicos para fundamentar o rechazar cier-
tas escrituras numéricas.
¿Cuáles son las regularidades sobre las cuales es necesario trabajar? Cobran especial
importancia –además de los criterios para ordenar números– “leyes” como “los 'die-
ces' van con dos, los 'cienes' van con tres”; “después de nueve viene cero y el otro
número pasa al siguiente”; “hay diez números (de dos cifras) que empiezan con uno,
diez que empiezan con dos...”
Establecer regularidades cumple un doble objetivo: hace posible plantear problemas
dirigidos a explicitar la organización del sistema y permite generar avances en el uso
de la numeración escrita.
Formular preguntas acerca de las razones que explican las regularidades sólo tiene
sentido una vez que los chicos las han descubierto; alentar la búsqueda de respuestas
sólo tiene sentido cuando los chicos están en condiciones de hacerse cargo de las pre-
guntas.
El recorrido didáctico invierte así el orden en que se planteó la relación causa-
consecuencia para aquellos que inventaron el sistema de numeración: para éstos, las
regularidades son consecuencia de la posicionalidad, regla fundamental del sistema;
para quienes no tienen que inventar un sistema sino comprender el que ya existe, las
regularidades se hacen presentes antes que las causas que las generaron.
Ahora bien, no es usual que los chicos se interroguen espontáneamente acerca de las
causas e incluso ocurre a veces que la pregunta formulada por el maestro no encuen-
tre ningún eco. La pregunta debe ser formulada, porque se trata de lograr que los chi-
cos conceptualicen las reglas que rigen el sistema. Cuando la respuesta mayoritaria es
“¡Y qué sé yo!, ¡los números se inventaron así!”, habrá que saber postergar la pregun-
ta hasta un momento más propicio, aunque no muy lejano; si, en cambio, un grupo
apreciable de la clase –no necesariamente la mayoría– se inquieta ante la pregunta y
comienza a arriesgar alguna respuesta, valdrá la pena emprender la discusión. El
momento propicio para volver a plantear la pregunta y también el grado de elabora-
ción que alcancen las respuestas dependerán del conjunto de actividades que se estén
realizando, y en particular de las regularidades establecidas en relación con las opera-
ciones aritméticas (véase punto 2).
Las respuestas a las que aspiramos tienen aproximadamente la siguiente forma: los
“cienes” van con tres cifras porque con dos se puede escribir sólo hasta nueve “die-
ces” y el cien tiene diez “dieces”; cuando tienen dos cifras, los que empiezan con tres
son “treinti” y al lado se puede poner desde el cero hasta el nueve, si hay uno más es
otro diez, es cuarenta y entonces ya no se pone tres, es cuatro...
Ahora bien, detectar regularidades es necesario –ya lo anunciamos– no sólo para
avanzar en la comprensión del sistema; es imprescindible también para lograr un uso
cada vez más adecuado de la notación convencional.
Si se quiere lograr –por ejemplo– que los chicos adquieran herramientas a partir de
las cuales puedan autocriticar las escrituras basadas en la correspondencia con la nu-
meración hablada, hay que garantizar la circulación de información referida a las re-
gularidades. De este modo, se hace posible que argumentos como “éste (61053) no
puede ser seiscientos cincuenta y tres, porque los cienes van con tres” –que en un
principio son utilizados sólo por algunos chicos y en relación con la escritura de otros–
lleguen a ser patrimonio de toda la clase y puedan aplicarse también a la propia escri-
tura.
Un problema concreto planteado en el aula nos permitió descubrir que establecer re-
gularidades es también un recurso para favorecer una adquisición tan básica como
contar. En efecto, algunos chicos de primer grado, cuando tienen que pasar a la dece-
na siguiente interrumpen el conteo o pasan directamente a cualquier otra decena cuyo
nombre conocen. Si bien lo más habitual es que esta dificultad se presente cuando
hay que pasar a veinte (“dieciocho, diecinueve... treinta”, por ejemplo), ya que esta
denominación no evoca para nada –a diferencia de lo que ocurre con las de los otros
nudos de las decenas– el nombre del dígito al que se refiere, también aparece con
frecuencia en intervalos posteriores de la serie (“cuarenta y ocho, cuarenta y nueve...
no sé más” o “treinta y ocho, treinta y nueve... cincuenta”).
¿Cómo intervenir para que estos chicos avancen en el manejo de la serie oral? Darles
la respuesta sólo sirve para que la actividad emprendida pueda continuar –es decir
para seguir contando lo que se está contando–; sugerirles que acudan a un portador
puede ser más útil porque hace posible que los chicos, al tener que crear una manera
de buscar, descubran por sí mismos la regularidad; proponer una actividad específica,
como buscar en los números del uno al cien cuáles son los siguientes de los que ter-
minan con nueve, es un buen recurso para lograr que los chicos puedan apropiarse de
la regularidad y utilizarla no sólo cuando cuentan sino también cuando producen o
interpretan.
En este caso, está claro que el análisis de una regularidad observable en la notación
numérica–además de incidir en el progreso hacia la escritura convencional– contribu-
ye al avance de la numeración hablada.
Ahora bien, las propuestas tendientes a favorecer el establecimiento de regularidades
pueden partir de una consigna más o menos abierta: una consigna como “Encuentren
en qué se parecen y en qué no se parecen los números que están entre el uno y el
cuarenta” apunta a lograr que los chicos descubran por sí mismos la reiteración de la
secuencia del cero al nueve para cada decena, y detecten cuál es el cambio que se
produce al cumplirse cada una de esas secuencias; una consigna más específica, co-
mo “Ubiquen todos los números de dos cifras terminados en nueve, fíjense cuál es el
siguiente de cada uno y piensen en qué se parecen” puede contribuir a precisar las
conclusiones de la actividad anterior cuando ésta no ha conducido a todas las regula-
ridades esperadas o a orientar a aquellos chicos que se desconciertan frente a una
consigna abierta.
La realización de cualquiera de estas actividades se apoya, por supuesto, en la utiliza-
ción de portadores como el centímetro, el almanaque o la regla.
Las regularidades estudiadas no fueron sólo las que habíamos previsto inicialmente,
ya que los chicos –a través de sus argumentos– introdujeron otras que valió la pena
someter al análisis de todo el grupo. Es lo que ocurrió, por ejemplo, cuando Bárbara y
Jonathan plantearon una relación entre la denominación oral “ciento” y la existencia o
no de ceros en las escrituras numéricas correspondientes (véanse las págs. 153-4).
Para generalizar el interrogante y buscar la respuesta, se organizó una situación alre-
dedor de la siguiente consigna: “Ubiquen en el centímetro los números que están en-
tre cien y ciento cincuenta y fíjense qué pasa con los ceros en los números que se
llaman 'ciento'..., ¿hay alguno que tenga ceros?, ¿cuáles tienen y cuáles no?”.
Una vez establecidas las regularidades para este intervalo, se podrá propiciar su gene-
ralización a través del uso de soportes que contengan números mayores. Como de
costumbre, una vez establecida la regularidad, será posible comenzar a preguntarse
por su significado.
La cuestión de las regularidades no termina aquí. Volverán a aparecer en nuestro ca-
mino al analizar las relaciones entre las operaciones aritméticas y el sistema de nume-
ración.
El sistema de numeración: cuarta parte

Lerner-Sadovsky
Paidós.
2. Situaciones centradas en las operaciones aritméticas
El sistema de numeración y las operaciones aritméticas son dos contenidos bá-

sicos que atraviesan la escolaridad primaria. ¿Cuál es la relación que puede estable-
cerse entre ellos?
Nuestro trabajo didáctico anterior a esta investigación ya nos había mostrado
que, cuando los chicos se enfrentan a situaciones problemáticas, generan –además de
estrategias propias para resolverlas– procedimientos originales para encontrar los re-
sultados de las operaciones involucradas, procedimientos que están vinculados a la
organización del sistema de numeración decimal.
No pretendemos abordar aquí un tema tan amplio como el de las operaciones
aritméticas; nos centraremos en el análisis de los procedimientos elaborados por los
chicos para hallar los resultados, ya que son ellos los que guardan una estrecha rela-
ción con el problema que es objeto de este capítulo. Sin embargo, se hace necesario
aclarar que los procedimientos en cuestión aparecen en ciertas condiciones didácticas:
la propuesta que se ha planteado a los niños es resolver un problema y no una cuenta
aislada, se alienta la producción de procedimientos propios y no se enseñan de entra-
da los algoritmos convencionales.
¿Cuál es la naturaleza de la relación entre los procedimientos infantiles para ob-
tener los resultados de las operaciones y el conocimiento que los niños van elaboran-
do acerca del sistema de numeración?
Se trata de una relación recíproca: por una parte, los procedimientos de los chi-
cos ponen en acto –además de las propiedades de las operaciones– lo que
ellos saben del sistema y, por otra parte, la explicitación de esos procedimientos per-
mite avanzar hacia una mayor comprensión de la organización decimal.
Las regularidades que es posible detectar a partir del trabajo con las operacio-
nes también hacen lo suyo: contribuyen a mejorar el uso de la notación escrita, ayu-
dan a elaborar estrategias más económicas, nutren las reflexiones que se hacen en el
aula.
2. 1 Resolver operaciones, confrontar procedimientos...
¿Por qué afirmamos que los procedimientos que los chicos utilizan están estre-
chamente vinculados a la organización del sistema de numeración? Tal vez lo mejor
sea cederles la palabra:
–Frente a un problema que se resuelve sumando trece y veinte, Mariano (pri-
mer grado) ha anticipado que el resultado es treinta y tres. Cuando la maestra le pide
que explique cómo llegó a ese resultado, él responde: “En el trece hay un diez y en el
veinte hay dos diez más, entonces son diez más veinte que es treinta, y tres del trece,
me da treinta y tres”.
–En relación con un problema en el que había que sumar diez, trece y trece,
Sebastián (primer grado) explica: “A mí me dio treinta y seis, porque sumé los tres
diez y tres y tres son seis más”.
–Así explica Cecilia (primer grado) cómo obtuvo el resultado de 19 + 28 + 31:
“Yo pongo todo desarmado, todos los diez (el de diecinueve, los dos de veinte y los
tres de treinta) y después me fijo y agrego los que dan diez (suma el nueve de dieci-
nueve y el uno de treinta y uno) y después agrego el ocho”.
– Después de resolver un problema sumando treinta y nueve y veinticinco, Gi-
selle (segundo grado) afirma que lo hizo “pensando con la cabeza” y agrega: “Primero
sumé de diez en diez y después sumé los demás números”. Como la maestra le pide
que explique mejor qué es lo que sumó de diez en diez, ella dice: “Al treinta y nueve
le dejo de lado el nueve, entonces es treinta; después le pongo los dos diez del vein-
te, es cincuenta; después sumo el nueve y después el cinco”.
–Cuando se pide a los chicos que anoten sus procedimientos y los expliquen, se
obtienen producciones como:
–Otros chicos de segundo grado suman reiteradamente diez a uno de los térmi-
nos al mismo tiempo que los van restando del otro, como para lograr un máximo con-
trol sobre cada resultado. En efecto, al sumar 279 + 186 (invitados que se encuentran
en dos salones de una gran fiesta), algunos chicos lo hacen así:
200 + 100 = 300

300+79+86
300 86 330 56 360 26 386
310 76 340 46 370 16
320 66 350 36 380 6
Los autores de esta estrategia han explicitado con asombrosa claridad una con-
secuencia de la propiedad asociativa que en general permanece implícita al resolver
operaciones: lo que se suma a uno de los términos hay que restárselo al otro. Esta
estrategia tan reveladora del alto grado de reflexión de los chicos sobre las operacio-
nes muestra al mismo tiempo que para ellos no resulta obvio –como lo es para noso-
tros– que 300 + 86 es 386.
–Apoyarse sistemáticamente en los nudos es un recurso que utilizan algunos
niños para configurar procedimientos más económicos. Es así como, para terminar la
cuenta del ejemplo anterior, Javier suma 386 + 79 de la siguiente manera:
386+79
300
80 + 70 = 150
450 + 10 = 460 (Nótese la transformación de 9 + 6 en 10 + 5)

460 + 5 = 465
Del mismo modo, para resolver 36 + 145, Sebastián escribe:
145 + 5 + 10 + 10 + 10 + 1 = 181
Luego explica: “Puse el cinco porque con cinco ya sé que llego a ciento cincuen-
ta”. La maestra le pregunta dónde estaba ese cinco y él responde: “En el treinta y
seis, por eso al final también está el uno; si no, sólo hubiera sumado treinta y cinco”.
Todos estos chicos han tenido que resolver un problema matemático: el de ela-
borar por sí mismos procedimientos para encontrar el resultado de una operación. Al
enfrentarse con este problema, ellos apelan sistemáticamente a la descomposición
decimal de los términos. Esta descomposición adquiere distintas formas: en algunos
casos se descomponen todos los sumandos y en otros sólo uno de ellos; en ciertos
casos cada término se descompone en nudos y en otros también los nudos se des-
componen en “dieces” o “cienes”.
Cuando esta cuestión se plantea por primera vez en primer grado, no todos los
chicos utilizan procedimientos como los que hemos reseñado. La diversidad hace nue-
vamente su aparición: algunos cuentan con los dedos; otros trazan tantas rayitas co-
mo objetos deben sumar y luego las cuentan de a uno, y otros encuentran velozmente
el resultado. Entre estos últimos hay quienes no pueden explicar cómo lo hicieron,
mientras otros dan explicaciones similares a las de Mariano, Sebastián o Cecilia.
Proponer a los chicos que anoten de qué manera resolvieron la operación es dar
un paso importante hacia el progreso de todos, porque esto permite que cada uno de
ellos tome conciencia del procedimiento que ha utilizado y porque la confrontación se
ve favorecida al abrirse la posibilidad de comparar anotaciones (y ya no sólo explica-
ciones orales).
Entre los chicos que inicialmente cuentan con los dedos o con marquitas en el
papel, hay muchos que avanzan hacia la descomposición decimal gracias a la interac-
ción con los compañeros que la utilizan. Para otros, en cambio, resulta difícil abando-
nar sus estrategias originales y es necesario ayudarlos de diversas maneras:13 propo-
niéndoles que recurran a los portadores, intentando que tiendan un puente entre su
procedimiento y el de los otros chicos –por ejemplo, sugiriéndoles que vayan marcan-
do con números los nudos a medida que van contando sus marquitas (el número diez
al llegar a la décima ... )–, trabajando con los nudos de las decenas. Las actividades
relativas a las regularidades vinculadas a las operaciones (véase el punto 22) jugarán
también aquí un papel importante.
Ahora bien, ¿qué progresos en la comprensión del sistema pueden realizarse
una vez que se utilizan procedimientos basados en el sistema decimal?
Cuando se incita a los chicos a buscar estrategias más económicas –y a veces
antes–, surgen otras propuestas:
–Federico, para resolver el problema en el que hay que sumar treinta y nueve y
veinticinco, anota:
30 + 20 = 50
50+ 9 =59
59 + 5 = 64
Luego, como para aclarar lo que hizo, agrega:
30 39 9
20 25 5
Cuando la maestra le pregunta por el significado de las flechitas, Federico res-

ponde: “Las puse para que se dieran cuenta de dónde saqué el treinta y el veinte que
sumé primero”.
– Emanuel hace el cálculo de la misma manera que Federico y, cuando la maes-
tra le pregunta cómo hizo para saber cuánto era treinta más veinte, él contesta: “Mi-
rá, si tres más dos es cinco, entonces treinta más veinte tiene que ser cincuenta”.
– Diego (segundo grado) explica cómo ha realizado la suma 473 + 218 ano-
tando lo siguiente:
– Florencia (segundo grado), además de seleccionar –en un enunciado que in-

cluye datos superfluos– sólo los datos pertinentes para dar respuesta a la
13
Citamos aquí, entre las muchas intervenciones posibles, sólo aquellas que se relacionan con el
sistema de numeración.
pregunta, explicita el procedimiento que ha utilizado para obtener el resulta-
do:
La tarea en el aula nos permitió descubrir que no se pasa fácilmente del proce-
dimiento que consiste en sumar reiteradamente diez o cien al procedimiento utilizado
por los últimos chicos citados. ¿Por qué? Seguramente porque el segundo supone una
comprensión mayor del sistema de numeración. En efecto, para descomponer cuaren-
ta en cuatro “dieces” –cuando se suma, por ejemplo, treinta más cuarenta– es sufi-
ciente con saber que cuarenta (como significado) incluye cuatro dieces; en cambio,
para afirmar “si tres más cuatro es siete, entonces treinta más cuarenta es setenta”
hace falta haber entendido además algo fundamental en relación con los significantes
numéricos: que el tres de treinta representa tres dieces y el cuatro de cuarenta se
refiere a cuatro dieces.
Estos últimos procedimientos revelan entonces que los chicos han hecho una
generalización válida en nuestro sistema de numeración.
Para analizar de cerca en qué consiste esta generalización, apelaremos a un se-
ñalamiento de R. Skemp. Este autor hace notar que nuestro sistema de numeración –
a diferencia de lo que ocurre con otros, como el romano– utiliza una posibilidad fun-
damental que ofrecen los números: si se suman –por ejemplo– dos objetos cuales-
quiera y tres objetos de la misma clase, se obtienen siempre cinco objetos de esa cla-
se, independientemente de que los objetos en cuestión sean elementos singulares,
conjuntos o conjuntos de conjuntos. Así, dos medias más tres medias son cinco me-
dias, dos pares de medias más tres pares de medias son cinco pares, dos docenas de
pares de medias más tres docenas de pares de medias son cinco docenas... Es por
eso que la organización del sistema de numeración autoriza a los chicos a hacer uso
de la abstracción 2 + 3 = 5 para deducir que dos “dicces” más tres “dieces” son cinco
“dieces”, o que dos “cienes” más tres “cienes” son cinco 11 cienes”. La estructura
“si... entonces” empleada por ellos sintetiza con gran precisión relaciones cuya explici-
tación suele requerir muchas líneas (como ocurre en este artículo).
Resulta evidente entonces que la búsqueda de estrategias más económicas para
resolver las operaciones funciona como un motor para descubrir nuevas relaciones
involucradas en la notación numérica.
La confrontación de procedimientos abre las puertas para que cada niño pueda
entender o al menos comenzar a entender los que utilizan sus compañeros. Es lo que
ocurre, por ejemplo, en la situación siguiente.
Al resolver un problema que requiere sumar 50 + 70, aparecen tres procedi-
mientos diferentes, cada uno de los cuales es utilizado por varios chicos. La maestra
los anota en el pizarrón e incita a compararlos. Los procedimientos son:
70 + 10 = 80 50 + 50 = 100 70 + 50 = 120
80 + 10 = 90 100 + 20 = 120
90 + 10 = 100
100 + 10 = 110
110 + 10 = 120
Muchos alumnos dicen que el procedimiento de la derecha no está explicado,

que se anotó el resultado pero no se sabe cómo se llegó a él. Uno de los chicos que
utilizó este último procedimiento explica: '”Yo hice lo mismo que ustedes, ustedes pu-
sieron cinco dieces, acá (señalando los de la izquierda) hay uno, dos, tres, cuatro, cin-
co dieces, ¿no? Bueno, yo también sume cinco dieces (señala el cinco de 70 + 50),
pero los sumé directamente, porque cinco más siete es doce, ¿no?”.
Al propiciar que se establezcan relaciones entre diferentes procedimientos, se
hace posible lograr no sólo un acercamiento entre éstos, sino también una mayor
comprensión de la naturaleza del sistema de numeración por parte de todos los chicos
–tanto de los que explicitan– un procedimiento muy económico como de los que em-
piezan a vislumbrar la posibilidad de modificar el que utilizaban para adoptar el que
sus compañeros proponen.
De este modo, la experiencia didáctica ha mostrado que la búsqueda de proce-
dimientos para resolver operaciones no es sólo una aplicación de lo que los chicos ya
saben del sistema, es también el origen de nuevos conocimientos sobre las reglas que
rigen la numeración escrita.
Por lo tanto, habrá que poner en marcha todos los recursos posibles para lograr
que los chicos que cuentan (o suman) de a uno acerquen su procedimiento al de los
que suman de a diez y que éstos progresen hacia estrategias más económicas del tipo
si... entonces. La búsqueda de regularidades vinculadas a las operaciones hará posible
estos progresos... y algo más.
El sistema de numeración: quinta parte

Lerner-Sadovsky
Paidós.
2.2. Reflexionar sobre las operaciones, descubrir “leyes” “ del sistema de

numeración
Los chicos –lo hemos visto– inventan algoritmos propios. Al hacerlo, ponen en
juego tanto propiedades de las operaciones como conocimientos implícitos sobre el
sistema de numeración. Explicitarlos es un paso necesario para descubrir leyes que
rigen el sistema.
Un procedimiento muy popular es sumar reiteradamente diez o cien. Estudiar lo
que ocurre cuando se realizan estas sumas –comparando el primer término con el re-
sultado– permite establecer regularidades referidas a lo que cambia y lo que se con-
serva.
“En una casa de artículos para el hogar –les contamos a los chicos– aumentaron
10 pesos todos los precios. Esta es la lista de los precios viejos, pongamos al lado los
nuevos.” Cada niño resuelve la situación planteada: mientras que algunos anotan rá-
pidamente el resultado, otros cuentan de a uno cada vez que suman diez. Una vez
que, en pequeños grupos, se confronta y se corrige, se reproduce la lista en el piza-
rrón. Ha llegado entonces el momento de analizar cómo se transforman los números
cuando se les suma diez.
Al comparar los precios originales (12, 43, 51, 82, 25, 36... por ejemplo) con
los nuevos correspondientes (22, 53, 61 ... ), los chicos formulan reglas como las si-
guientes: “Siempre que agregás diez, te queda más”; “Los números de adelante cam-
bian por un número más en la escalera y los de atrás siguen iguales”. A lo largo del
tiempo y a través de las actividades que se realicen, esta última ley se irá reformu-
lando, hasta adoptar más o menos esta forma: “E1 que cambia por el que sigue es el
de los dieces, porque vos sumaste diez; el otro queda igual”.
Una actividad similar puede hacerse suministrando como dato los nuevos pre-
cios y solicitando que se averigüen los viejos. Las regularidades que en este caso se
establecerán estarán referidas, por supuesto, a las transformaciones que se producen
cuando se resta diez.
Contar de a diez –por ejemplo los billetes del “banco”– y anotar lo que se va
contando, armar listas de precios en números “redondos” (los nudos de las decenas)
que han aumentado o rebajado diez pesos, comparar los cambios que se producen en
los números cuando se suma (o se resta) uno y cuando se suma (o se resta) diez...
son situaciones útiles para todos, y en particular para los que aún se aferran al conteo
de uno en uno.
Otra perspectiva posible para analizar la misma cuestión es la que se adopta en
una actividad como la siguiente:
“Los empleados de una biblioteca estaban haciendo un inventario para saber
cuántos libros había. Varios de ellos contaban los libros existentes en las diferentes
secciones e iban anotando las cantidades obtenidas. Algunas de sus anotaciones eran:
Pedro Juan Marta Pablo Rosaura
20 40 40 45 3
22 45 50 50 6
24 50 60 55 9
– – – – –
– – – – –
36 80 120 115 69
– ¿Cómo contaba cada uno de los empleados?

– - ¿Cómo hiciste para averiguarlo?
– ¿Podríamos darnos cuenta de la forma en que contaban sin calcular nada,
limitándonos a observar los números?
– - ¿Cómo seguirán los apuntes de cada uno de los empleados?”
Esta actividad, a diferencia de las anteriores, exige que los chicos se centren en
las representaciones numéricas, puesto que es a partir de ellas como podrán descubrir
las operaciones involucradas en cada serie.
Una tercera perspectiva puede introducirse planteando situaciones como ésta:
“Pablo estaba leyendo un artículo en la página 25 del diario. Cuando llegó al fi-
nal de la página, se encontró con una notita que decía 'continúa en la página
35’ ¿Cuántas páginas tuvo que pasar Pablo? ¿Cómo te diste cuenta? ¿Qué otros
datos se podrían poner en el problema sin cambiar la cantidad de páginas que
Pablo tuvo que pasar para continuar leyendo el artículo?”
La última pregunta es lo que distingue esta actividad de las anteriores: se trata
ahora de producir pares de números cuya diferencia es diez y ya no de inferir la
transformación operada entre números dados.
Por otra parte, será interesante proponer problemas que permitan analizar las
transformaciones que se producen en las notaciones numéricas al sumar o restar
otras cantidades “redondas”. Planteamos un ejemplo:
“En un videoclub que acaba de abrir hay 13 películas. Cada semana, los dueños
compran diez películas más. ¿Cuántas tendrán a las tres semanas? ¿Ya las ocho se-
manas? ¿Ya las diez semanas?
Otro videoclub procedió de la misma manera, pero tenía originalmente 38 ví-
deos. ¿Cuántos tendrá tres, ocho y diez semanas después?
En un tercer videoclub, compraron también diez vídeos por semana y al final de la
quinta semana tenían 84 vídeos. ¿Cuántos tenían al principio?”
Este problema apunta a establecer regularidades como “sumar directamente

treinta produce el mismo resultado que sumar tres veces diez”, “sumar directamente
ochenta es lo mismo que sumar ocho veces diez”, “restar cinco veces diez da lo mis-
mo que restar de una vez cincuenta”. Al centrar la comparación en los estados inicia-
les y los resultados correspondientes, será posible establecer reglas como “cuando
sumo treinta, tengo que agregar tres dieces más a los dieces que hay”, “si querés
sumar ochenta, lo que tenés que hacer es agregarle ocho dieces a los que ya tenés”,
“cuando sumamos ochenta, a veces el resultado tiene tres números y a veces tiene
dos”. Estas “leyes” que formulan los chicos desembocarán en el reconocimiento gene-
ral de una regularidad que había llegado al aula de la mano de algunos niños como
explicación de uno de los procedimientos que utilizaban para resolver operaciones: “Si
–por ejemplo– uno más ocho es nueve, entonces un diez más ocho dieces son nueve
dieces, es noventa”.
La reflexión sobre los aspectos multiplicativos involucrados en la notación nu-
mérica se hace posible también a partir de un juego con dados: se establece que cada
punto vale diez, los chicos –organizados en grupos– arrojan el dado por turno y ano-
tan el puntaje que obtuvieron.
En el desarrollo del juego, aparecen diversos procedimientos: algunos cuentan
con los dedos hasta diez mientras señalan un punto del dado, luego señalan el segun-
do punto y siguen contando hasta veinte ... ; otros chicos cuentan de diez en diez,
otros dan el resultado de inmediato sin evidenciar cómo hicieron para encontrarlo.
Después de varios partidos, la maestra pregunta: “Cuando salen cuatro puntos,
¿ustedes qué anotan?''. Hace preguntas similares para otros números que aparecieron
en el juego y luego las extiende a otros casos posibles.
Maestra: ¿Cómo se dan cuenta?

Fernanda: Y.., porque si al 8 le pongo un 0 es 80, si le agregás al 9 un 0, te
queda 90, es todo lo mismo.
Maestra: Miren: si sacan 4, ustedes se dan cuenta de que es 40 (escribe los
números), pero ¿qué tiene que ver el 4 con el 40?
Leo: Acá con cuatro cosas y acá cuarenta cosas.
Maestra: Pero el 40 también tiene un 4. ¿Por qué hay un 4 en el 40;
Giselle: Porque acá (40) son cuatro de diez.
Miguel: Si contás de diez en diez, con cuatro de diez ya es cuarenta, por eso va
4 (en 40).
Las intervenciones de la maestra tienden a lograr que los chicos reflexionen

acerca de la función multiplicativa de 4 en la notación 40 (4 x 10) y la relacionen con
la interpretación aditiva de ese número (10 + 10 + 10 + 10).
Es así como se hace posible –en esta actividad y en muchas otras– utilizar la si-
tuación de sumar o restar reiteradamente diez como vía de acceso a una mayor com-
prensión del valor posicional.
Actividades similares a las que hemos descrito pueden proponerse en relación
con la suma o la resta de cien. En este caso, compiten dos candidatos privilegiados:
los billetes y la numeración de las calles.
Pueden plantearse, por ejemplo, problemas como los siguientes: “¿Cuántas
cuadras hay que caminar para ir de Rivadavia al 700 a Rivadavia al 1000?, ¿y para ir
del 1700 al 2000?, ¿y del 2700 al 3000?”, “Martín y Pablo viven en la calle Corrien-
tes. Martín vive al 500 y camina cuatro cuadras para llegar a la casa de Pablo; ¿a qué
altura vive Pablo?”, Florencia y Lorena viven en la calle Córdoba. Para visitarse tienen
que caminar diez cuadras, ¿a qué altura de Córdoba está la casa de cada una de
ellas? (encontrar por lo menos diez posibilidades) “.
La comparación de diferentes situaciones conducirá a establecer regularidades
también para el caso de los “cienes” a contrastarlas con las ya establecidas para los
“dieces”, a continuar reflexionando sobre la organización del sistema de numeración.
La calculadora puede contribuir a la reflexión sobre la estructura aditiva de la
numeración hablada y su vinculación con las reglas de la numeración escrita si se la
utiliza, por ejemplo, de la siguiente manera: la maestra dicta un número que los niños
marcan en la calculadora y luego pregunta qué hay que hacer para que aparezca un
cero en lugar de alguna (o algunas) de las cifras que constituyen el número.
Al realizar esta actividad en un segundo grado, se dictó en primer término 9815
y se preguntó qué orden había que dar para que el resultado fuera 9015. Muchos res-
taron primero ocho, luego ochenta y sólo después ochocientos, en tanto que otros
hicieron directamente la resta correcta. Cuando se discutió la cuestión en grupo, todos
sabían ya que había que restar 800, puesto que las otras soluciones –restar 8 o restar
80– habían sido descartadas por conducir a un resultado diferente del buscado. Cuan-
do la maestra pidió que explicaran cómo se habían dado cuenta de que había que res-
tar ochocientos y no ocho u ochenta, Francisco respondió: “Vos podés restar así (9815
- 15), y eso te da nueve mil ochocientos; ahí ya te ayudás un poquito, ¿no?, entonces
ya sabés que son ochocientos”.
Luego se dictó 9268 y se pidió a los chicos que hicieran algo para obtener como
resultado 9208. Nuevamente, algunos restaron primero seis y sólo después sesenta,
en tanto que otros hicieron de entrada esta última resta. Durante la discusión, todo el
mundo estaba de acuerdo en que había que restar sesenta, pero justificarlo no era tan
fácil. Francisco ofreció una explicación inesperada: “Se junta el seis que hay en el
número que pusiste con el cero que hay que tener en el resultado y es sesenta”. Tali
preguntó: “¿Pero vos cómo sabías desde antes que tenías que sacar sesenta?”. Hubo
dos respuestas: la de Patricio fue “Porque es nueve mil doscientos sesenta y ocho,
entonces tengo que sacar sesenta, no seis”; la de Jenny fue “Hay que sacar sesenta,
porque cuando uno lee el número no lee ni seiscientos ni seis, lee sesenta”.
Fue instructivo descubrir que los argumentos de los chicos estaban exclusiva-
mente basados en la numeración hablada y que ninguno de ellos –ni siquiera los que
en otros casos suministraban justificaciones del tipo “si... entonces”– apelaba aquí al
valor posicional. Decidimos entonces plantear otras situaciones de este tipo y, al com-
parar casos en que, para un mismo número, el cero del resultado aparecía ubicado en
diferentes lugares –por ejemplo, determinar cuáles son las órdenes que hay que dar a
la calculadora para transformar 6275 en 6075, 6205 y 6270–, los chicos comenzaron
a tomar conciencia de que en ciertos casos había que restar cienes; en otros, dieces;
en otros, unidades. La cuestión se aclaró aún más cuando propusimos partir de núme-
ros como 4444 o 7777 y cuando comparamos muchos casos diferentes en los cuales
se trataba de obtener un cero ubicado en un lugar determinado.
La calculadora es un instrumento valioso para la realización de estas activida-
des, ya que hace posible que cada chico detecte por sí mismo cuándo está en lo cierto
y cuándo se ha equivocado, autocorrija sus errores y empiece a plantearse la necesi-
dad de buscar una regla que le permita anticipar la operación que efectivamente per-
mite llegar al resultado buscado.
En síntesis, reflexionar sobre la vinculación entre las operaciones aritméticas y
el sistema de numeración conduce a formular “leyes” cuyo conocimiento permitirá
elaborar procedimientos más económicos. Y hace posible algo más: preguntarse por
las razones de esas regularidades, buscar respuestas en la organización del sistema,
comenzar a develar aquello que está más oculto en la numeración escrita.
Instantáneas del trabajo en el aula
La maestra de primer grado propone una escritura no convencional –inspirada

en las producidas por sus alumnos hasta muy poco tiempo antes–; al elaborar argu-
mentos para rechazarla, los chicos analizan la relación numeración hablada-
numeración escrita (para los números comprendidos entre diez y veinte).
En una situación incidental, surge la necesidad de anotar el número diecinueve.
Micaela pasa al pizarrón y lo escribe convencionalmente.
Maestra: ¿Qué les parece?, ¿es así el diecinueve?
Niños: (asienten).
Maestra: A mí me contaron unos nenes de otra escuela que se podría escribir
así: 109. ¿A ustedes qué les parece?
Román: A mí me parece que ese número es del cien...
Juan Alberto- ¡No!, ¡ése no es! ¿No te das cuenta de que el diecinueve es el
otro? ¿No te das cuenta de que decís diez y nueve?
Maestra: Pero, ¿dónde está el diez aquí? (señala 19).
Gusty: No está en ninguna parte.
Vero- ¡Sí! está abajo del nueve.
Román: El uno significa diez, lo que pasa es que no podés escribir un 10 a cada
número porque... ¡Sería cualquier cosa!
Maestra: ¿Y en el diecisiete? (Lo escribe en el pizarrón de manera convencio-
nal.)
Juan Alberto: Lo que yo te digo pasa con todos los números: con el dieciséis,
con el diecisiete, el dieciocho, el diecinueve...
Diego- Cuando vos decís diecisiete suena un poco diez y siete, pero no se escri-
be el diez y el siete.
María: Pero..., no decimos diez y siete (lo dice acentuando la separación), lo
decimos todo junto.
Maestra: Y con el quince sucede igual que con el dieciséis, el diez y siete...
Vero: Sí, porque si le sacás cinco, quedan diez.
La maestra aporta un contraejemplo; los chicos se ven obligados a precisar sus

afirmaciones.
Alguien escribió 35, todos lo interpretaron correctamente.
Maestra: ¿Cómo se dan cuenta de que es el treinta y cinco?
Un alumno: Porque empieza con tres.
Otro niño: Porque cuando digo treinta y cinco, sé que empieza con tres... tres...
treinnn... treinta.
Otro niño: Porque diez y diez y diez son treinta, hay tres de diez.
La maestra escribe entonces 366 en el pizarrón y pregunta:
Maestra: ¿Y este número cuál es:! También empieza con tres.
Un chico: No, ése no es de los treinta aunque empiece con tres. Es de la familia
de los cien porque tiene tres números, pero no sé...
La maestra pone en duda las afirmaciones correctas de sus alumnos, éstos res-
ponden explicitando más claramente lo que saben acerca del sistema.
Los chicos de segundo grado dictan “ciento treinta y tres” y dicen: “Es con un
uno, un tres y un tres”.
Maestra: ¿Cómo?, ¿con dos tres?
Un niño: Bueno, es que los dos son el número tres, pero valen diferente.
Maestra: ¿Cómo puede ser que el mismo número valga diferente? ¿Cómo va-
mos a entender así?
Otro niño: Mirá, los números son siempre el tres, pero hay distintos tres. Anotá
así: tres, tres, tres. Es el trescientos treinta y tres, ¿no? Hay un tres que es tres, el
segundo que es treinta y el otro es tres de ciento”.
Maestra: ¿Siempre pasa así?
Otro alumno: Sí... Con el 555 también, el del medio es cincuenta.
Maestra: Yo no veo ningún cincuenta ahí.
Varios- ¡No!, ¡porque está el otro cinco! Si no está, le ponés cero;
pero si está el cinco es cincuenta y cinco.
Dos observaciones son necesarias acerca del conjunto de actividades que

hemos propuesto.
En primer lugar, las situaciones relacionadas con el orden y las vinculadas a las
operaciones se van desarrollando de forma simultánea, ya que la decisión de poner en
primer plano en el aula el funcionamiento del sistema de numeración así lo exige. Ca-
da categoría de situaciones constituye un ámbito en el cual se pone de relieve algún
aspecto particular de la numeración escrita. Los aprendizajes que se realizan en estos
diferentes ámbitos van conformando una trama a partir de la cual los chicos organizan
y reorganizan su conocimiento acerca del sistema. Optar por abordar en el aula el sis-
tema de numeración en toda su complejidad significa también enfrentar un alto grado
de complejidad didáctica.
En segundo lugar, existe un parentesco entre algunas de las situaciones pro-
puestas y actividades muy tradicionales en la escuela: llenar cheques supone escribir
cantidades en números y en palabras, descomponer los términos para sumar o restar
lleva a producir escrituras (como 386 = 300 + 80 + 6) que evocan los “ejercicios de
descomposición”, dictar números se parece mucho... al dictado de números (!).
Sin embargo, el parentesco no es tan cercano. Cuando se trata de llenar che-
ques, el pasaje de las cifras a la escritura con palabras (o viceversa) aparece en el
marco de una situación donde cobra sentido: por una parte, el soporte utilizado re-
quiere efectivamente –para evitar ambigüedades– la doble escritura del número; por
otra parte, la actividad se orienta hacia la discusión de las producciones o interpreta-
ciones realizadas por los chicos. Hacia este último objetivo apuntamos también al dic-
tar números: lo esperado es que las producciones reflejen diferentes conceptualiza-
ciones y constituyan –por lo tanto– el punto de partida para la confrontación, para el
intercambio de información, para el acercamiento progresivo a la escritura convencio-
nal. Finalmente, la descomposición decimal de números –lejos de constituir la consig-
na alrededor de la cual se organiza la actividad– es una herramienta que los chicos
elaboran para resolver ciertos problemas.
Lo que importa entonces no es que una actividad esté catalogada como “tradi-
cional” o “innovadora”; lo que importa es que las propuestas de trabajo reúnan ciertas
condiciones: partir de los problemas que plantea el uso de la numeración escrita, con-
templar diferentes procedimientos, admitir diferentes respuestas, generar algún
aprendizaje sobre el sistema en todos los miembros del grupo, favorecer el debate y
la circulación de información, garantizar la interacción con la numeración escrita con-
vencional, propiciar una autonomía creciente en la búsqueda de información, acercar
–en la medida de lo posible– el uso escolar al uso social de la notación numérica.
Intercambiar mensajes
A partir de los cheques, se deriva otra actividad: mientras un grupito hace una
lista de números escritos con cifras, otro hace su lista escribiendo con palabras los
nombres de los números. Luego, intercambian sus mensajes: el grupo que recibe nú-
meros escritos con cifras debe anotar el nombre de cada uno, el que recibe los nom-
bres debe anotar en cifras los números correspondientes.
Resulta sugestiva la diferencia existente entre los números elegidos por los chi-
cos de lº grado y los propuestos por los de segundo:
Preguntas otra vez
“Había que encontrar una respuesta”, señalamos al comenzar este artículo.

Ahora, muy cerca del final, se hacen presentes las nuevas preguntas. Nuestro propio
juego de preguntas y respuestas nos alienta a seguir indagando.
Si la diversidad es tan marcada ya no de un grupo a otro, sino dentro de cada
grupo, ¿cómo establecer límites que tengan validez general entre el trabajo que se
realiza en primer grado y el que se lleva a cabo en segundo o en tercero?, ¿cómo de-
finir cuáles son los saberes que se consideran patrimonio de todos en un momento
dado?, ¿qué otras estrategias implementar para ayudar a los niños a abandonar pro-
cedimientos poco económicos y progresar hacia aquellos que suponen conceptualiza-
ciones más profundas?
Sabemos que haber establecido regularidades en el sistema es una condición
necesaria para que resulte significativo interrogarse acerca de las razones que las
fundamentan. ¿Podrá establecerse una relación como ésta entre otras adquisiciones?,
¿cuáles?
Los chicos encontraron “leyes” que no habíamos previsto, ¿habrá otras cuyo
descubrimiento podría contribuir al progreso de la conceptualización” ¿Qué nuevos
problemas es necesario incluir en nuestra propuesta para garantizar que los chicos
transiten con éxito hacia la comprensión del sistema?
Las preguntas nos llevan otra vez al aula. Porque aprendemos al compartir el
trabajo con maestros y chicos, enfrentaremos el desafío de seguir buscando. Cuando
encontremos alguna respuesta tendrá sentido emprender el próximo capítulo.

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Postítulo “Enseñanza de la Matemática

para el nivel primario (EGB1 y EGB2)”

El sistema de numeración: primera parte

Editorial Paidós Educador

Primera edición, 1994

Quinta reimpresión, 1997

Este material se utiliza con fines exclusiva-

1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló ......................... 21

2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez ............................. 39

3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por Roland Charnay 51

4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau ........................... 65

6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz.............. 185

7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra ..................... 219

8.La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de

Delia Lerner y Patricia Sadovsky,

Donde se expresa nuestro reconocimiento hacia:

–Emilia Ferreiro, porque sus investigaciones pioneras –aunque ya clásicas–sobre el

–Raquel Gutman, por su colaboración en la primera etapa de esta investigación.

I. De cómo y por qué se inició la investigación que es objeto de estas páginas

¿Qué conclusiones podrían extraer los chicos a partir de su contacto cotidiano

Veamos algunos ejemplos:

–Alina (6 años, primer grado), al justificar sus decisiones en el juego de la gue-

Después te cuento. Vos primero decíme Nada que ver. Un año.

Y sí, por ejemplo, algo de cien son tres

En el caso de Jonathan y Sebastián (primer grado), la hipótesis que vincula la

Experimentador Jonathan Sebastián

¿Y por qué escribiste así el No sé.

Si se lo tuvieras que expli- Le diría que es con un uno,

El otro día un nene me dijo Porque éste (1000) es mil

¿Cómo te das cuenta? Sí. Sí.

¿Los que tienen más núme-

Experimentador Alina Ariel

El que más valor tiene es Los dos tienen valor.

Sí, los dos tienen valor.

Los niños citados han descubierto ya –además de la vinculación entre la canti-

Experimentador Alina Ariel

Mirá, primero viene el diez

Guillermo no ha oído aún hablar de “decenas” (acaba de ingresar en primer

Experimentador Loli Alan

Algunos números privilegiados: el rol de los nudos

La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de

¿Cuál es ése? El mil.

¿Y el dos mil cómo se escribe? (Escribe 200.)

¿Ese es el dos mil? (Agrega un cero a su escritura anterior.)

¿Y éste (200) cuál es? Doscientos.

¿Y éste? (tapando un 0 del 1000) El cien.

¿Y cómo escribirías el dos mil quinientos? (Gran desconcierto.) No me acuerdo.

¿Y el quinientos? (Escribe 005.)

Acá tenés el dos mil (señalando una escri-

El caso de Nadia (6 años, primer grado) es aún más claro:

Si bien la mayoría de los niños entrevistados escribían ya en forma convencio-

Experimentador Christian Rubén

¿Y cómo escribirían ustedes

¿Cómo es? Un uno (lo escribe) y dos

¿Y es igual que éste? (Se-

¿ Quién no lo sabe al qui-

(Piensa un rato) Iba a es-

¿Y cómo nos damos cuenta

(Escribe 1000.) Cómo no