PREGUNTA

Barra: radio = 60 mm= 6 cm

Calcular la energía de deformación considerando todo
concepto. E=200 GPa, ν=0.3, radio de la barra=60 mm
R 4 D 4 J=2035.752cm4
J0  
2 32 J=2035.752x10-8m4
E = 200 GPa = 200x106Pax103
D 2 A=113.097cm2
A  R 2

4 A=113.097x10-4m2

R 4 D 4 I=1017.876cm4
I  
4 64 I=1017.876x10-8m4

E = 200 GPa E
G  G = 76. 923 GPa
𝝊= 0.3 2(1   )
Ing. María Esther Sánchez Llatas
EI = 2 035.7520 KNxm 2

GJ = 1 565. 962 KNxm2

K=10/9
AG = 869 976. 053 KN
AE = 2 261 940 KN
2
N2 V2 M2 Mt
W   dx    K dx    dx    dx
L
2 AE L
2 AG L
2 EI Z L
2GJ O
PLANO XY CARGA REAL CARGA REAL
Tramo BA
M = 10x PLANO XZ
V = 10 Tramo BA M
N=0 M N M = -8x
V = -8 x N
x V N=0

10KN M V
M
N V Tramo BA
N V
T = -12

Tramo CB 12KN-m
8KN
PLANO YZ M = - 8x
V = 8
N = -10 Ing. María Esther Sánchez Llatas
EI = 2 035.7520 KNxm2 0x1.5 0x 2 0x 2
GJ = 1 565. 962 KNxm2 Tramo CB Tramo BA Tramo BA Tramo BA
AG = 869 976. 053 KN M = - 8x M = 10x M = -8x T = -12
AE = 2 261 940 KN V = 8 V = 10 V = -8
K=10/9 N = -10 N=0 N=0
2
N2 V2 M2 Mt
W   dx    K dx    dx    dx
L
2 AE L
2 AG L
2 EI Z L
2GJ O
10  1.5 2 
1
       
1.5 2 2

2 AE 0 92 AG   0 0 0
W       
2 2 2
10 dx 8 dx 10 dx 8 dx

1  1.5  1  2 
       
2 2

2 EI  0 0 0  2GJ 0  0
       
2 2 2 2
8 x dx 10 x dx 8 x dx 12 dx


W 
75 Ing. María Esther Sánchez Llatas

10
424  1 509.333  1 288
AE 92 AG  2 EI 2GJ 0
75 KN 2  m 235.556 KN 2  m 254.667 KN 2  m 3 144 KN 2  m 3
W    
AE AG EI GJ 0
W  0.000033KN  m  0.000271KN  m  0.1250 KN  m  0.0920 KN  m
W  0.033N  m  0.271N  m  125 N  m  92 N  m W  217.304 N  m
PLANO XY CARGA REAL CARGA UNITARIA
Tramo BA PLANO XY Tramo BA
m=0
M = 10x
v=0
V = 10
n=0
N=0 M N m n

x V v
x
10KN M m
N V n v

Tramo CB 1 Tramo CB
M = - 8x m=-x
V = 8 v = 1
Ing. María Esther Sánchez Llatas
N = -10 n = 0
 CARGA REAL CARGA UNITARIA
Ing. María Esther Sánchez Llatas
PLANO XZ PLANO XZ
Tramo BA M Tramo BA m
M = -8x m = -x
V = -8 x v = -1 x n
N
N=0 n=0
V v
M
Tramo BA Tramo BA n v
N V
T = -12 t = -1.5

12KN-m 1.5 1
8KN 1
Ing. María Esther Sánchez Llatas
 𝑀𝑚𝑑𝑥 𝐾𝑉𝑣𝑑𝑥 𝑁𝑛𝑑𝑥 𝑇𝑡𝑑𝑥
∆= ‫𝐼𝐸 ׬‬ +‫׬‬ +‫׬‬ +‫׬‬
𝐺𝐴 𝐴𝐸 𝐺𝐽

1.5 −8𝑥 −𝑥 𝑑𝑥 2 −8𝑥 −𝑥 𝑑𝑥

∆𝑉𝐶 = ‫׬‬0 𝐸𝐼
+ ‫׬‬0 𝐸𝐼
1.5 2 2
𝐾 8 1 𝑑𝑥 𝐾 −8 −1 𝑑𝑥 −12 −1.5 𝑑𝑥
+න +න +න +
0 𝐴𝐺 0 𝐴𝐺 0 𝐺𝐽

30.333KNxm3 31.111KNxm 36KNxm3

∆𝑉𝐶 = + +
𝐸𝐼 𝐴𝐺 𝐺𝐽
Ing. María Esther Sánchez Llatas
Barra: radio = 60 mm= 6 cm K=10/9
I=1017.876x10-8m4 A=113.097x10-4m2 J=2035.752x10-8m4
E = 200 GPa G = 76. 923 GPa
EI = 2 035.7520 KNxm2
AG = 869 976. 053 KN
GJ = 1 565. 962 KNxm2
∆𝑉𝐶 = 14.9𝑚𝑚 + 0.036𝑚𝑚 + 22.989𝑚𝑚
∆𝑉𝐶 = 37.925𝑚𝑚 = 3.79 𝑐𝑚
𝑬𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒂𝒅𝒊𝒛𝒐
 5𝐾 2.5𝐾𝑁 2.5𝐾𝑁 2.5𝐾𝑁
2.5KN

12𝐾 5𝐾𝑁
13𝐾 6.5𝐾𝑁
2.5KN

11KN
෍ 𝐌𝐀 = 𝟎
Ing. María Esther Sánchez Llatas
Ex 12pies = 6KN 5pies
Ex= 2.5KN
 5𝐾 5/12 5/12 5/12
5/12

12𝐾 13𝐾 𝟏 13/12

5/12

1
෍ 𝐌𝐀 = 𝟎 Ing. María Esther Sánchez Llatas
Ex 12pies = 1 5pies
Ex= 5/12
 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

5𝐾

12𝐾 13𝐾

෍ 𝐌𝐀 = 𝟎 Ing. María Esther Sánchez Llatas

Ex 12pies = 1 12pies
Ex=1
CARGA REAL 1 𝐾𝑁 = 224.809 𝑙𝑏 DESPLAZAMIENTO VERTICAL DEL PUNTO B
BARRA L Área S (KN) s 𝑺𝒔𝑳
(pies) (pulg2) 𝑨
AB 13 5 - 6.5 - 13/12 18.3083
BC 5 4 2.5 5/12 1.3021
CD 5 4 2.5 5/12 1.3021
DE 5 4 2.5 5/12 1.3021
CARGA UNITARIA VERTICAL EN B
22.2146
𝑆𝑠𝐿 22.2146 x 0.2248Klbx12 pulg
∆𝑉𝐵 = σ 𝐴𝐸 = = 0.002 pulg
pulg2x29x103 Klb/pulg2

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DEL PUNTO B

PODEMOS RESOLVER LA ARMADURA PARA CARGA

CARGA UNITARIA HORIZONTAL EN B HORIZONTAL UNITARIA EN B.
PERO HAY DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL RESTRINGIDO
∆𝐻𝐵 = 0

Ing. María Esther Sánchez Llatas

 𝜽B=- 2.5x10-4

𝜽B=- 2.75x10-4
Ing. María Esther Sánchez Llatas
𝜽B=-3.2x10-4
 θB = −8.01667x10−4rad

−0.5𝜹2 − 12𝜹6 = 4.48 𝑚𝑚 𝜹2 = −1.078 𝑚𝑚

4𝜹2 − 18𝜹6 = 1.6 𝑚𝑚 𝜹6 = −0.328 𝑚𝑚

−0.5T δ2 + −12T δ6 = (−5T)(-0.25mm)+ (−4T)(-0.3mm)+(−4T)(-0.32mm)+(−3Txm)(-2.5x10-4)

−0.5T δ2 + −12T δ6 = (−5T)(-0.25mm)+ (−4T)(-0.3mm)+(−4T)(-0.32mm)+(−3Tx103mm)(-2.5x10-4)
−0.5𝜹2 − 12𝜹6 = 4.48 𝑚𝑚
4T δ2 + −18T δ6 + (−3Txm)(θB) = (−5T)(-0.22mm)+ (−4T)(-0.32mm)+(−4T)(-0. 2mm)+(−3Txm)(-2.75x10-4)
4 δ2 + −18 δ6 + (−3x103mm)(θB) = (−5)(-0.22mm)+ (−4)(-0.32mm)+(−4)(-0. 2mm)+(−3x103mm)(-2.75x10-4)
4𝜹2 − 18𝜹6 − 3x103mmθB = 4.005 𝑚𝑚 4𝜹2 − 18𝜹6 + 2.405mm = 4.005 𝑚𝑚
(−6Txm)(θB) = (−5T)(-0.25mm)+ (−4T)(-0.4mm)+(−4T)(-0. 25mm)+(−3Txm)(-3.2x10-4)
(−6x103mm)(𝜽B) = (−5)(-0.25mm)+ (−4)(-0.4mm)+(−4)(-0. 25mm)+(−3x103mm)(-3.2x10-4)
−6x103mmθB = 4.81 𝑚𝑚
 θB = −8.01667x10−4rad

𝜹2 = −1.078 𝑚𝑚

𝜹6 = −0.328 𝑚𝑚

Ing. María Esther Sánchez Llatas

−0.5T δ2 + −12T δ6 = (−5T)(-0.25mm)+ (−4T)(-0.3mm)+(−4T)(-0.32mm)+(−3Txm)(-2.5x10-4)
−0.5𝜹2 − 12𝜹6 = 4.48 𝑚𝑚
4T δ2 + −18T δ6 + (−3Txm)(θB) = (−5T)(-0.22mm)+ (−4T)(-0.32mm)+(−4T)(-0. 2mm)+(−3Txm)(-2.75x10-4)
4𝜹2 − 18𝜹6 − 3x103mmθB = 4.005 𝑚𝑚
(−6Txm)(θB) = (−5T)(-0.25mm)+ (−4T)(-0.4mm)+(−4T)(-0. 25mm)+(−3Txm)(-3.2x10-4)
−6x103mmθB = 4.81 𝑚𝑚
 Calcular, considerando la flexión:
a) Desplazamiento vertical del punto B (punto más alto de la estructura)
b) Desplazamiento angular de B
E=210 GPa, I=8000 cm4

Ing. María Esther Sánchez Llatas

 𝟔𝟎Klb 𝟐𝟎 𝟏𝟎Klb

α
𝐾 10
K
𝟐𝟎Klb α
α 3K
Ing. María Esther Sánchez Llatas
𝟔𝟎 𝑲𝒍𝒃
10
α
𝟖𝟎 𝑲𝒍𝒃 30

𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
66.667 𝑲𝒍𝒃
 K
α
3K

𝟔𝟎 𝑲𝒍𝒃
α
𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
𝟏𝟖. 𝟗𝟕𝟒 𝑲𝒍𝒃
M
𝟔𝟎 𝑲𝒍𝒃
α
3x
x 𝟓𝟔. 𝟗𝟐𝟏𝑲𝒍𝒃
α 2.108 𝐊𝐥𝐛
𝟔. 𝟑𝟐𝟓𝐊𝐥𝐛
𝟖𝟎 𝑲𝒍𝒃
𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃 𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
66.667 𝑲𝒍𝒃
Ing. María Esther Sánchez Llatas
 K
α
3K
𝟐𝟓. 𝟐𝟗𝟗 𝑲𝒍𝒃

600𝐊𝐥𝐛𝐱𝐩𝐢𝐞
α
𝟓𝟒. 𝟖𝟏𝟑𝑲𝒍𝒃
𝟏𝟖. 𝟗𝟕𝟒 𝑲𝒍𝒃
M
𝟔𝟎 𝑲𝒍𝒃
α
3x
x 𝟓𝟔. 𝟗𝟐𝟏𝑲𝒍𝒃
α 2.108 𝐊𝐥𝐛
𝟔. 𝟑𝟐𝟓𝐊𝐥𝐛
𝟖𝟎 𝑲𝒍𝒃
𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃 𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
66.667 𝑲𝒍𝒃
Ing. María Esther Sánchez Llatas
 𝑴 = −𝒙𝟐 − 𝟐𝟓. 𝟐𝟗𝟗𝒙 − 𝟔𝟎𝟎
K
α
3K
𝟐𝟓. 𝟐𝟗𝟗 𝑲𝒍𝒃

600𝐊𝐥𝐛𝐱𝐩𝐢𝐞
α
𝟓𝟒. 𝟖𝟏𝟑𝑲𝒍𝒃
M
M
x/2
𝑴 = −𝟖𝟎𝒙 x x 𝑴 = −𝟏. 𝟓𝒙𝟐
3x

𝟖𝟎 𝑲𝒍𝒃
𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
66.667 𝑲𝒍𝒃
Ing. María Esther Sánchez Llatas
 1 𝒎=𝟎

𝑀𝑚𝑑𝑥
∆= Σ න
𝐸𝐼
0
𝒎=𝟎
m m 𝒎=𝟎 ∆𝑉𝐵 = 0
x x

1 0
Ing. María Esther Sánchez Llatas
 𝒎 = 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟐𝒙 K
α
3K
1
𝑀𝑚𝑑𝑥
𝜽𝐵 = න
𝐸𝐼
𝒎=𝟎 10 10
(−𝑥2 − 25.299𝑥 − 600)(0.3162𝑥)𝑑𝑥
𝜽𝐵 = න
m
1/3 0 𝐸𝐼
m

x x
Ing. María Esther Sánchez Llatas
𝒎=𝟎
1/3 1/3
 𝟔𝟎Klb 𝟐𝟎 𝟏𝟎Klb

α
𝐾 10
K
𝟐𝟎Klb α
α 3K

Ing. María Esther Sánchez Llatas

𝟔𝟎 𝑲𝒍𝒃
10
α
𝟖𝟎 𝑲𝒍𝒃 30

𝟔. 𝟔𝟔𝟕 𝑲𝒍𝒃
66.667 𝑲𝒍𝒃