ESTADÍSTICA APLICADA

TRABAJO AUTÓNOMO 2.1

ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

G. Carvajal Chávez 2024.01.11

Todos los casos presentados deben resolverse empleando los conceptos de intervalos de
confianza. De los 26 casos, has de presentar un mínimo de 12.

1. Concentraciones de Cromo 6+ han sido determinadas en las aguas de proceso de empresas

dedicadas a la curtiembre en la provincia del Tungurahua. Se han tomado muestras de agua a 17
empresas, con estos resultados (mg/L): 1470, 1510, 1690, 1740, 2000, 2030, 2100, 2190, 2200,
2290, 2380, 2390, 2480, 2500, 2580, 2700.

a) ¿Es factible construir un intervalo de confianza para la media? Si es así, construya un intervalo
al 99 % de confianza. b) Si la norma ambiental señala un límite máximo permisible igual a 1800
mg/L, construya un intervalo de confianza para la proporción de empresas que cumple los límites,
c) De qué tamaño ha de ser la muestra si se quiere reducir el tamaño del intervalo al 30 % del
literal b); d) ¿Se puede construir un intervalo de confianza para la relación de varianzas? ¿Por
qué? Realice el cálculo de ser el caso.

2. Se hicieron las siguientes observaciones de tenacidad a la fractura de una placa base de acero
maraging con 18 % de níquel [“Fracture Testing of Weldments”, ASTM Special Publ. No. 381, 1965:
328-356, dadas en orden creciente)]: 69,5 71,9 72,6 73,1 73,3 73,5 75,5 75,7 75,8 76,1 76,2
76,2 77,0 77,9 78,1 79,6 79,7 79,9 80,1 82,2 83,7 93,7. a) Calcule un intervalo de confianza de
99 % para la desviación estándar de la distribución de la tenacidad a la fractura. ¿Es válido este
intervalo cualquiera que sea la naturaleza de la distribución? Explique, b) ¿Cuántos ensayos deben
realizarse para que el intervalo anterior se reduzca a la mitad del tamaño?

3. Para obtener información acerca de las propiedades de resistencia a la corrosión de cierto tipo de
tubería, se entierran en el suelo 45 especímenes durante dos años. Luego, se mide la penetración
máxima (milésimas de pulgada), obteniendo una media de 52,7 y una desviación estándar de 4,8.
Los conductos se fabricaron con la especificación de que la penetración promedio real no exceda
las 50 milésimas de pulgada. ¿Cuál sería su conclusión?

4. A company manufactures impellers for use in jet-turbine engines. One of the operations involves
grinding a particular surface fi nish on a titanium alloy component. Two different grinding processes
can be used, and both processes can produce parts at identical mean surface roughness. The
manufacturing engineer would like to select the process having the least variability in surface
roughness. A random sample of n1 = 11 parts from the fi rst process results in a sample standard
deviation of 5.1 microinches, and a random sample of n2 = 16 parts from the second process results
in a sample standard deviation of of 4.7 microinches. Assuming that the two processes are
independent and that surface roughness is normally distributed:

Find a 90% confidence interval for the ratio on the two standard deviations. b) How large should
the samples be if the ratio of variances is to be reported in a range of 2?
5. En un artículo técnico aparecen las siguientes observaciones acerca del grado de polimerización del
papel, donde la viscosidad de la pasta tuvo las siguientes lecturas: 418, 434, 454, 421, 437, 463,
421, 439, 465, 422, 466, 425, 447, 427, 448, 431, 453. a) ¿Es factible que las observaciones
muestrales se eligieran de una población normal?, b) Calcular un intervalo de confianza bilateral
para la viscosidad promedio real de la pasta. ¿400 es un valor factible para la viscosidad? ¿450
es un valor factible?, c) Calcular un intervalo de confianza al 98 % para el valor máximo de
viscosidad, d) Establecer un intervalo de predicción para la siguiente medición de viscosidad, al
99,9 %.

6. Una investigación de seguridad en el trabajo, señala que cuando cada casco de seguridad en una
muestra aleatoria de 37 cascos se sometió a una prueba de impacto, 24 mostraron daños. Sea p la
proporción de todos los cascos de este tipo que mostraría daños cuando se someten a prueba de la
manera prescrita. a) Calcule un intervalo de confianza de 99 % para p. b) ¿Qué tamaño de muestra
se requeriría para que el ancho de un intervalo de confianza de 99 % sea cuando mucho de 7 %?

7. In semiconductor manufacturing, wet chemical etching is often used to remove silicon from the backs
of wafers prior to metallization. The etch rate is an important characteristic in this process and known
to follow a normal distribution. Two different etching solutions have been compared using two
random samples of 10 wafers for each solution. The observed etch rates are as follows (in mils per
minute):

Solution 1: 9.9 10.6 9.4 10.3 9.3 10.0 9.6 10.3 10.2 10.1
Solution 2: 10.2 10.0 10.6 10.2 10.7 10.7 10.4 10.4 10.5 10.3

If it’s possible, find a 95% confidence interval on the difference in mean etch rates.

8. A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5
inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these
bearings is 1.4975 inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard
deviation = 0.01 inch. (a) Is there sufficient evidence to affirm that the diameter is different from
1.5? Explain how the question could be answered by constructing a two-sided confidence interval on
the mean diameter.

9. An article in the Journal of Agricultural Science [“The Use of Residual Maximum Likelihood to Model
Grain Quality Characteristics of Wheat with Variety, Climatic and Nitrogen Fertilizer Effects” (1997,
Vol. 128, pp.135–142)] investigated means of wheat grain crude protein content (CP) and Hagberg
falling number (HFN) surveyed in the United Kingdom. The analysis used a variety of nitrogen
fertilizer applications (kg N/ha), temperature (oC), and total monthly rainfall (mm). The following
data below describe temperatures for wheat grown at Harper Adams Agricultural College between
1982 and 1993. The temperatures measured in June were obtained as follows:

15.2 14.2 14.0 12.2 14.4 12.5 14.3 14.2 13.5 11.8 15.2

(a) Construct a 99% two-sided confidence interval on the mean temperature. (b) Construct a 95%
lower-confidence bound on the mean temperature. (c) Suppose that you wanted to be 95%
confident that the error in estimating the mean temperature is less than 2 degrees Celsius. What
sample size should be used? (d) Suppose that you wanted the total width of the two-sided
confidence interval on mean temperature to be 1.5 degrees Celsius at 95% confidence. What
sample size should be used?

10. A un fabricante de focos eléctricos industriales le gusta que éstos tengan una vida media que
sea aceptable para sus clientes, además de tener una variación en vida que sea relativamente
pequeña. Si algunos focos se funden demasiado pronto en su vida útil, los clientes se molestan y
 cambian a productos de la competencia. Grandes variaciones arriba de la media reducen las ventas
de repuestos y una variación en general interrumpe los programas de reposición de los clientes. Una
muestra de 16 focos probados produjo las siguientes duraciones de vida útil (en horas):

2100 1951 2067 2415 1883 2101 2146 2019 2183 2077 2392 2286 1946 2161 2253 1827

El fabricante desea controlar la variabilidad en duración de vida útil para que la desviación
estándar sea menor a 150 horas. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el fabricante
está alcanzado su objetivo?

11. The concentration of active ingredient in a liquid laundry detergent is thought to be affected by
the type of catalyst used in the process. The standard deviation of active concentration is known to
be 3 grams per liter regardless of the catalyst type. Ten observations on concentration are taken
with each catalyst, and the data follow:

Catalyst 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0
Catalyst 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4,65.3, 68.8

(a) Find a 95 % confidence interval on the difference in mean active concentrations for the two
catalysts.
(b) Is there any evidence to indicate that the mean active concentrations depend on the choice of
catalyst? Base your answer on the results of part (a).

12. Un artículo técnico presenta un estudio de la contaminación en basureros que contienen desechos
de construcción y desperdicio de demolición. De un sitio de prueba se tomaron muestras de lixiviado.
De cada 42 muestras, 26 contienen niveles detectables de plomo, 41 de arsénico y 32 de cromo.

a) Encuentre un intervalo de confianza de 95 % para la probabilidad de que una muestra

contendrá un nivel detectable de plomo.
b) Determine un intervalo de confianza de 99 % para la probabilidad de que una muestra no
contenga un nivel detectable de arsénico.
c) Determine un intervalo de confianza de 99,9 % para la probabilidad de que una muestra
contenga niveles detectables de cromo y plomo.

13. Concentraciones de cromo 6+ son de interés ambiental en las empresas de curtiembre. La norma
ambiental ecuatoriana indica que no debe excederse un promedio de 2000 mg/L anual. Para la
empresa Papelito, se han tomado muestras 15 muestras en un año, con estos resultados (mg/L):
1510, 1690, 1740, 2000, 2030, 2100, 2190, 2200, 2290, 2380, 2390, 2480, 2500, 2580, 2700.

a. Verificar la aplicabilidad de las técnicas estadísticas estudiadas, b) de acuerdo con el literal a,

determinar si existe evidencia de que la media de la concentración excede el límite establecido en
la norma ambiental ecuatoriana, b) Un estudio afirma que la desviación estándar de la
concentración de cromo 6+ en esta empresa es de 250. ¿Qué señala la evidencia al respecto?

14. Un inspector de control de contaminación sospechaba que una empresa que descarga sus aguas
de proceso directamente a un río, estaba vertiendo cantidades de aguas poco tratadas al río. Para
comprobar su teoría, sacó cinco muestras de agua de río escogidos al azar en un lugar aguas arriba
del pueblo, y otras cinco de aguas abajo. Las lecturas de oxígeno disuelto (en partes por millón) son
como sigue:
Aguas arriba: 4,8 5,2 5,0 4,9 5,1 5,0
Aguas abajo: 5,0 4,7 4,9 4,8 4,9 4,8
 a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el contenido medio de oxígeno aguas abajo
del pueblo es menor que el contenido medio de oxígeno aguas arriba?

15. Un fabricante farmacéutico compra un material particular a dos proveedores diferentes. El nivel
medio de impurezas en la materia prima es aproximadamente igual para ambos proveedores, pero
el fabricante está preocupado por la variabilidad de las impurezas de un embarque a otro. Si el
nivel de impurezas tiende a variar en forma excesiva de una fuente de abastecimiento, podría
afectar la calidad del producto farmacéutico. Para comparar la variación en el porcentaje de
impurezas de cada uno de los dos proveedores, el fabricante selecciona 10 envíos de cada uno de
ellos y mide el porcentaje de impurezas en la materia prima para cada embarque. Las medias
muestrales y varianzas se muestran en la tabla:

Si, de un análisis previo de datos, se conoce que -para ambos proveedores- el nivel de impurezas
tiene un comportamiento normal:

a. Encuentre un intervalo de confianza de 99,9 % para la desviación del proveedor B e interprete

sus resultados.
b. Al mismo nivel de confianza, ¿puede asumirse que las desviaciones del nivel de impurezas es el
mismo para ambos proveedores?

16. Una etapa en la fabricación de cierta abrazadera de metal implica perforar cuatro huecos. En
una muestra de 150 abrazaderas, el promedio del tiempo necesario para completar dicha etapa
era de 72 segundos y la desviación estándar de 10 segundos. a) Determine un intervalo de
confianza de 95 % para la media del tiempo necesario para completar tal etapa, b) Determine un
intervalo de confianza de 99.5% para la media del tiempo necesario para completar esta etapa,
c) ¿Cuál es el nivel de confianza del intervalo (71, 73)?, d) ¿Cuántas abrazaderas se deben
muestrear con el propósito de que un intervalo de confianza de 95% especifique la media dentro
de +-1,5 s?, e) ¿Cuántas abrazaderas se deben muestrear con el objetivo de que un intervalo de
confianza 99.5% especifique la media dentro de +-1,5 s?

17. En una muestra aleatoria de 100 baterías producidas por cierto método, el promedio del
tiempo de vida fue de 150 horas y la desviación estándar de 25 horas.

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo de vida de las baterías
producidas por este método.
b) Determine un intervalo de predicción de 99 % para el tiempo de vida de las baterías
producidas por dicho método.
c) Un ingeniero afirma que la media del tiempo de vida está entre 147 y 153 horas. ¿Con qué
nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?
d) ¿Aproximadamente cuántas baterías se deben muestrear con el propósito de que un intervalo
de confianza de 95 % especificará la media dentro de +-2 horas?
e) ¿Aproximadamente cuántas baterías se deben muestrear con el fin de que un intervalo de
confianza de 99 % especificará la media dentro de +-2 horas?

18. An automatic filling machine is used to fill bottles with liquid detergent. A random sample of 20
bottles results in a sample variance of fill volume of s2 = 0.0153 (fluid ounces)2. If the variance of
fill volume exceeds 0,01 (fluid ounces)2, an unacceptable proportion of bottles will be underfilled or
 overfilled. Is there evidence in the sample data to suggest that the manufacturer has a problem with
underfilled or overfilled bottles? Use α = 0,05. Assume that fill volume has a normal distribution.

19. Se está estudiando las tasas de quemado de dos diferentes propulsantes de combustible sólido.
Se sabe que ambos propulsantes tienen aproximadamente la misma desviación estándar de tasa
de quemado; esto es, 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de n1 = 20 y n2 = 20
especímenes, y las tasas de quemado medias de muestra son X1media = 18 cm/s y X2media = 24 cm/s.
¿Qué supuesto necesita verificar para que construya un intervalo con 99 por ciento de confianza
respecto a la diferencia de medias de la tasa de quemado? Asúmalo y constrúyalo.

20. El volumen de huecos en una tela afecta las propiedades de comodidad, inflamabilidad y
aislantes. La permeabilidad de una tela se refiere a la accesibilidad de los espacios huecos al flujo
de un gas o líquido. El artículo “The Relationship Between Porosity and Air Permeability of Woven
Textile Fabrics” (J. of Testing and Eval., 1997: 108-114) contiene información resumida sobre
permeabilidad al aire (cm3/cm2/s) de varios tipos diferentes de tela. Considere los siguientes datos
sobre dos tipos diferentes de tela de tejido ordinario:

Suponiendo que las distribuciones de porosidad de ambos tipos de tela son normales, a) calcule
un intervalo de confianza para la relación de las variaciones de la porosidad de la tela de
algodón y la de la tela de acetato, utilizando un intervalo de confianza de 95 %; b) ¿Qué tamaño
de muestras ha de usarse si se desea disminuir el tamaño del intervalo anterior en un 50 %, al 99
%?

21. Un artículo técnico describe un estudio del efecto de la temperatura y otros factores en los
coeficientes de transporte de gas en polímeros semicristalinos. El coeficiente de permeabilidad (en
10-6 (STP)/cm.s.MPa) de CO2 fue medido para la densidad media extrudida de polietileno tanto a
60°C como 61° C. Los resultados fueron:

60° C: 54 51 61 67 57 69 60 60 63 62
61° C: 58 60 66 66 68 61 60

De ser posible, determine un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en el coeficiente

de permeabilidad entre 60° C y 61° C, b) ¿Cómo cambia el cálculo anterior si se supone que las
varianzas a ambas temperaturas son iguales?

22. Un ingeniero civil está probando la resistencia compresiva de concreto. Realiza la prueba con
16 especímenes:

a) Puede construirse un intervalo de confianza respecto a la media?, b) Construya un intervalo de

confianza de dos lados del 95 por ciento respecto a la resistencia media. c) Construya un intervalo
de confianza inferior del 95 por ciento respecto a la resistencia media. d) Construya un intervalo
de confianza de dos lados del 95 por ciento respecto a la resistencia media suponiendo que  =
36. Compare este intervalo con el de la parte a)
23. Un modelo de transferencia de calor de un cilindro sumergido en un líquido predice que el
coeficiente de transferencia de calor para el cilindro es constante en razones muy bajas de
circulación del fluido. Se toma una muestra de diez mediciones. Los resultados, en W/m2K, son:
13,7 12,0 13,1 14,1 13,1 14,1 14,4 12,2 11,9 11,8

Determinar si los datos obedecen a un comportamiento normal, y de ser el caso, determine un

intervalo de confianza de 95 % para el coeficiente de transferencia de calor, b) ¿Qué tamaño
debe tener la muestra para estimar la desviación estándar dentro en un intervalo de 0,5 W/m2K?

24. Fifteen adult males between the ages of 35 and 50 participated in a study to evaluate the
effect of diet and exercise on blood cholesterol levels. The total cholesterol was measured in each
subject initially and then three months after participating in an aerobic exercise program and
switching to a low-fat diet. The data are shown in the following table.

a) If the data allow it, construct a 98 % confidence interval for the mean difference in cholesterol
levels before and after the aerobic exercise program, b) Do these data allow us to conclude that
the exercise was effective in reducing the cholesterol levels?

25. Es frecuente que los químicos orgánicos purifiquen compuestos orgánicos por un método
conocido como cristalización fraccional. Un método experimental desarrollado en un trabajo de
investigación, señala que, al preparar y purificar 4,85 g de anilina, se obtiene un rendimiento de
3,75 g de acetanilido. Un tesista sigue este proceso y, partiendo de diez cantidades de anilina de
4,85 g, registró los siguientes rendimientos en seco para acetanilido: 3.85, 3.80, 3.88, 3.85, 3.90,
3.36, 3.62, 4.01, 3.72, 3.82.

a) Determinar si existe diferencia estadística entre método experimental del trabajo de

investigación y la evidencia proporcionada por el tesista.

26. Two different types of polishing solutions are being evaluated for possible use in a tumble-
polish operation for manufacturing interocular lenses used in the human eye following cataract
surgery. Three hundred lenses were tumble polished using the first polishing solution, and of this
number, 253 had no polishing-induced defects. Another 300 lenses were tumble-polished using the
second polishing solution, and 196 lenses were satisfactory upon completion. (a) Is there any reason
to believe that the two polishing solutions differ? Discuss how this question could be answered with a
confidence interval on p1 - p2.