DESCRIPCIÓN BREVE

Un breve análisis de las funciones costo, ingreso y utilidad

Autor
Lcdo Pavel Santeliz

FUNCION EXCEDENTE
UTILIDAD O GANANCIA
 Sea x la cantidad de lazos a vender, la función ingreso viene dada de la siguiente
Función Excedente manera;
1.15𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 100
Función Ingreso 𝐼(𝑥) = {0.99𝑥 𝑠𝑖 100 < 𝑥 ≤ 500
0.78𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 500
Si vende 1500 unidades obtiene de ingreso
El ingreso es el pago obtenido por una o más transacciones comerciales , y a veces se
la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de p cada 𝑰(𝟏𝟓𝟎𝟎) = 𝟎. 𝟕𝟖(𝟏𝟓𝟎𝟎) = 𝟏𝟏𝟕𝟎 (𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 )
uno, entonces I es la función lineal
La diferencia de vender 100 y 101 unidades es;
𝑰(𝒙 ) = 𝒑𝒙
𝑰(𝟏𝟎𝟏) − 𝑰(𝟏𝟎𝟎) = 𝟎. 𝟗𝟗(𝟏𝟎𝟏) − 𝟏. 𝟏𝟓(𝟏𝟎𝟎) = 𝟗𝟗. 𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟓 = −𝟏𝟓. 𝟎𝟏
y el precio de venta p se puede también llamar ingreso marginal.
Al vender una unidad más, se deja de percibir 15.01$.
Ejemplo: Un vendedor de muebles vende sillas a 6$ cada una, realicé un modelo
matemático del ingreso por las ventas de sillas, para un ingreso de 1500$ cuantas sillas
se deben vender. Función Costo
Sea p=6 (valor de ventas de las sillas) y x la cantidad de sillas a vender, así que el
modelo matemático de ingreso es
El costo de producir, elaborar o distribuir un bien, servicio o producto es lo que se
𝑰(𝒙 ) = 𝟔𝒙 tiene que pagar por dicho bien, servicio o producto. Para este curso la función costo
esta definida de la siguiente manera;
Si el ingreso fue de 1500$,
𝑪 (𝒙 ) = 𝑪𝒗 (𝒙 ) + 𝑪𝒇
𝟏𝟓𝟎𝟎 = 𝟔𝒙
Donde,
Despejando x, tenemos
𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑪𝒗 (𝒙 ) = 𝒎𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆) ,
𝒙= = 𝟐𝟓𝟎 𝒎 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒊𝒆𝒏, 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐
𝟔
Debe de vender 250 sillas. 𝑪𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒃𝒊𝒆𝒏, 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐.

Ejemplo: Una joven confecciona lazos, desea venderlos a una cadena de ropa bajo las 𝒙 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒊𝒆𝒏, 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐.
siguientes condiciones;
La administración utiliza este modelo para ejecutar diferentes escenarios de
Cantidad Precio producción y ayudar a predecir cuál sería el costo total para suministrar un producto a
Menor a 100 unidades 1.15 $ diferentes niveles de producción.
101 unidades a 500 0.99 $
La comprensión de la función de costo de una empresa es útil dentro del proceso de
Más de 500 0.78 $
presupuestario, ayuda a la administración a comprender el comportamiento del valor
de un producto. esto es a menudo vital para anticipar los costos que se incurrirán en el
¿Cuánto ganara si vende 1500 unidades, cual es la diferencia en vender 100 y 101 próximo período de operación en el nivel de actividad planificado. Además, esto
unidades? permite a la gerencia calcular cuán eficiente fue el proceso de montaje en la parte
superior del período de operación.
Ejemplo: Un fabricante de muebles elabora sofás a un costo de producción de 45$, Función Excedente
tiene costos fijos por 3200$ al mes en pago de nómina y servicios. ¿cuál será el costo
de producir 200 sofás?, ¿si se tiene un costo total de 50.000$, cuantos sofás fueron
elaborados? La función Excedente (utilidad,
Ganancia) es el beneficio económico
𝒙 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒇𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊𝒅𝒐𝒔
de una operación comercial o
𝑪𝒗 (𝒙 ) = 𝟒𝟓𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆) 𝒚 𝑪𝒇 = 𝟑𝟐𝟎𝟎 financiera de compra-venta de un
bien, servicio o producto, en pocas
𝑪(𝒙 ) = 𝑪𝒗 (𝒙 ) + 𝑪𝒇 = 𝟒𝟓𝒙 + 𝟑𝟐𝟎𝟎 palabras es la diferencia entre la
función ingreso y la función costo
Si se produce 200 sofás el costo total es total;
𝑪 (𝟐𝟎𝟎) = 𝟒𝟓(𝟐𝟎𝟎) + 𝟑𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟐𝟎𝟎
𝑬 (𝒙 ) = 𝑰(𝒙 ) − 𝑪 (𝒙 ) = 𝒑𝒙 − [ 𝑪𝒗 (𝒙 ) + 𝑪𝒇 ]
Si el costo total fue de 50.000$
Es fácil ver que si en un numero x dado la función ingresos es mayor a la de costo total
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟐𝟎𝟎 abra ganancias, caso contrario se tiene perdida.
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟓𝒙 + 𝟑𝟐𝟎𝟎 → 𝒙 = = 𝟏𝟎𝟒𝟎
𝟒𝟓
Desglosando un poco la ecuación dada se tiene;
Se debe de producir 1040 sofás.
𝑬 (𝒙 ) = 𝑰(𝒙 ) − 𝑪 (𝒙 ) = 𝒑𝒙 − [𝑪𝒗 (𝒙 ) + 𝑪𝒇 ] = 𝒑𝒙 − 𝒎𝒙 − 𝑪𝒇 = (𝒑 − 𝒎) 𝒙 − 𝑪𝒇
Ejemplo: La dirección de Mattel, fabricante de juguetes, ha pedido un estudio de Es decir, 𝑬 (𝒙 ) = (𝒑 − 𝒎)𝒙 − 𝑪𝒇 .
costos de reposición para mejorar las previsiones presupuestarias del próximo año.
Pagan un alquiler de 30.000 dólares al mes y que pagan un promedio de 3.000 dólares Recordemos que p es el precio de venta, m el precio de costo del bien, servicio o
al mes por la electricidad, nómina y servicios. Cada juguete requiere 5 dólares en producto.
plástico y 2 dólares en tela.
Ejemplo: Un vendedor de muebles vende sillas a 6$ cada una, cuyo costo de compra
¿Qué proporción les costará fabricar 1200 juguetes al año?, es de 3.1$ y genera un costo fijo mensuales de 120$, realicé un modelo matemático de
las ganancias por las ventas de sillas, cual es la ganancia por 1000 sillas. Si se obtiene
Como deseamos conocer la estructura de costo total en un año se tiene que el costo una ganancia de 5.000$ ¿Cuántas sillas fueron vendidas?
fijo anual seria
Se x la cantidad de sillas a vender,
30.000 (𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑙𝑒𝑟 ) + 3000 (𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ) = 33.000 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 ∗ 12 𝑰(𝒙 ) = 𝟔𝒙 𝒚 𝑪(𝒙 ) = 𝟑. 𝟏𝒙 + 𝟏𝟐𝟎
= 396.000 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
de acá,
Sea x la cantidad de juguetes, pero cada juguete es 5$ de plástico y 2$ de tela es
𝑬 (𝒙 ) = 𝟔𝒙 − (𝟑. 𝟏𝒙 + 𝟏𝟐𝟎) = 𝟐. 𝟗𝒙 − 𝟏𝟐𝟎
igual a 7$ por juguete, así que la función costo total (dada anualmente) es;
Para 1000 sillas
𝑪 (𝒙 ) = 𝑪𝒗 (𝒙 ) + 𝑪𝒇 = 𝟕𝒙 + 𝟑𝟗𝟔. 𝟎𝟎𝟎
𝑬 (𝟏𝟎𝟎𝟎) = 𝟐. 𝟗(𝟏𝟎𝟎𝟎) − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟐𝟕𝟖𝟎
Al producir 1200 juguetes
Si se venden 1000 sillas se obtiene una ganancia de 2780$.
𝑪(𝟏𝟐𝟎𝟎) = 𝟕(𝟏𝟐𝟎𝟎) + 𝟑𝟗𝟔. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟒. 𝟒𝟎𝟎
Para 5000$ de ganancia
Lo que indica que para producir al año 1200 juguetes se requiere 404.400$.
 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 las ventas mensuales proyectadas son 800 termostatos a un precio unitario de $40,
𝟓. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐. 𝟗𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 → 𝒙 = = 𝟏𝟕𝟔𝟓. 𝟓𝟖
𝟐. 𝟗 ¿cuál proceso deberá escoger la gerencia para maximizar la utilidad de la empresa?
Se debe producir 1766 sillas. 5. Remitiéndonos al Ejemplo anterior, decide cuál proceso debe escoger la gerencia de
Robertson si las ventas mensuales proyectadas son:
Cuando nos preguntamos 𝑬 (𝒙 ) = 𝟎, nos referimos al momento donde
a) 1500 unidades b) 3000 unidades.
𝑰(𝒙 ) = 𝑪(𝒙 )
6. Un fabricante tiene un costo fijo mensual de $60000 y un costo de producción de
Lo cual nos va indicar las unidades mínimas para que los ingresos sean iguales los $10 por unidad producida. El producto se vende a $15 por unidad.
costos, a partir de este número existe ganancia y por debajo de este las perdidas.
¿Cuál es la función de costo? , ¿Cuál es la función de ingreso? , ¿Cuál es la función
Usando el ejemplo anterior,
de utilidad? , Calcule la utilidad (pérdida) correspondiente a niveles de producción de
𝟏𝟐𝟎 10000 y 14000 unidades/mes.
𝟐. 𝟗𝒙 = 𝟏𝟐𝟎 → 𝒙 = = 𝟒𝟏. 𝟑𝟖
𝟐. 𝟗
7. Determine el punto de equilibrio para la empresa cuya función de costo C y función
Esto indica que basta producir 42 unidades de sillas para obtener la mínima ganancia, de ingreso I son:
comprobamos lo anterior sustituyendo 42 en las funciones de ingreso y costo total;
a. C(x) = 5x + 10000; I(x) = 15x
𝑰(𝟒𝟐) = 𝟔(𝟒𝟐) = 𝟐𝟓𝟐 𝒚 𝑪(𝟒𝟐) = 𝟑. 𝟏(𝟒𝟐) + 𝟏𝟐𝟎 = 𝟐𝟓𝟎. 𝟐
b. C(x) = 0.2x + 120; I(x) = 0.4x
Al valor que hace posible que la función ingreso sea igual a la función costo lo
8. la gerencia de T&I determinó que los costos fijos mensuales atribuibles a la
llamaremos punto de equilibrio del excedente
producción de sus focos de 100 watts es de $12100. Si el costo de producir cada
paquete de dos focos es de $0.60 y cada paquete se vende a $1.15, determine las
funciones de costo, ingreso y utilidad de la empresa.
EJERCICIOS PROPUESTOS
9. Análisis de punto de equilibrio: AutoTime, un fabricante de temporizadores
1. Prescott fabrica sus productos a un costo de $14 por unidad y los vende a $20 variables de 24 horas, tiene un costo mensual fijo y un costo de producción de $48000
por unidad. Si el costo fijo de la empresa es de $12000 por mes, determine el y $8, respectivamente, por cada temporizador fabricado. Los temporizadores se
punto de equilibrio de la empresa. venden a $14 cada uno.
2. Pasteuring, un fabricante de filtros de agua, tiene un costo fijo mensual de
$20000, un costo de producción de $20 por unidad y un precio de venta de a. Traza las gráficas de la función de costo y la función de ingreso y encuentre con
$30 por unidad. Determine la función de costo, la función de ingreso y la ellas el punto de equilibrio.
función de utilidad de Pasteuring.
b. Encuentra algebraicamente el punto de equilibrio.
3. Con los datos dados en el Ejercicio 1 responde las siguientes preguntas:
c. Traza la gráfica de la función de utilidad.
a. ¿Cuál es la pérdida sufrida por la empresa si se producen y venden sólo
1500 unidades cada mes? b. ¿Cuál es la utilidad si se producen y venden 3000 d. ¿En qué punto la gráfica de la función de utilidad cruza por el eje x? Interpreta este
unidades cada mes? c. ¿Cuántas unidades deberá producir la empresa para obtener resultado.
una utilidad mensual de $9000?
10. Análisis del punto de equilibrio: La empresa Gibson Corporation fabrica bombas
4. La gerencia de Robertson Controls debe decidir entre dos procesos de manufactura de bicicleta. Cada bomba se vende a $9 y el costo variable de fabricar cada unidad es
para su termostato electrónico modelo “Premium”. El costo mensual del primer de 40% del precio de venta. Los costos mensuales fijos de la división son $50000.
proceso es C1(x) = 20x + 10000 dólares, donde x es el número de termostatos ¿Cuál es el punto de equilibrio?
fabricados; el costo mensual del segundo proceso es C2(x) = 10x + 30000 dólares. Si
11. Análisis de decisiones: un producto puede fabricarse con la máquina I o la máquina
II. El fabricante estima que los costos mensuales fijos de usar la máquina I son $18000,
mientras que los de usar la máquina II son $15000. Los costos variables de fabricación
de una unidad con la máquina I y la máquina II son $15 y $20, respectivamente. El
producto se vende a $50 cada uno.

a. Encuentra las funciones de costo asociadas con el uso de cada máquin a.

b. Traza las gráficas de las funciones de costo de la parte (a) y las funciones de ingreso
en el mismo sistema de ejes.

c. ¿Cuál máquina deberá escoger la gerencia para incrementar al máximo su utilidad

d. ¿Cuál es la utilidad en cada caso de la parte (c)?

12. Un productor de Jabón líquido tiene gastos fijos de $370 y

por cada pipa de jabón que produce gasta $80, si desea vender cada pipa de jabón a
$120

determine:

a) La función costo total.

b) La función ingreso.

c) La función ganancia.

d) Cuanto dinero se debe invertir para producir 150 pipas de jabón.

e) Cuanto dinero ingresa a su cuenta al vender 210 pipas de jabón.

f) Que ganancia obtiene al vender 130 pipas de jabón.