Investigación U2, U3 y U4

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR JUAN
RODRÍGUEZ CLARA
MATERIA:
CALCULO INTEGRAL
DOCENTE: JOSE DANIELS CRUZ PAEZ
INVESTIGACIÓN
AGRONOMÍA_201
ALUMNA: VANESSA BETZAIN AZAMAR CARLIN
229T0111
FECHA DE ENTREGA: 30/JUN/2023

UNIDAD 2 Y 3
Definición de la Integral definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la
libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la
integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella
que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está
integrada con respecto a ciertos límites.
Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b].
Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea
continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un
caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real.
Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n
yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.
Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas
definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el
gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.
Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de
la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la
integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan
límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que
el límite superior.
Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio
Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada la
variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos simples,
se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función
produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada
anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función
dada f(x) en sus límites de integración.
Propiedades de la integral indefinida

El producto integral de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
Aplicaciones de la integral: calculo del centroide
Centroide es un término mayormente utilizado en geometría, y se refiere a la intersección

de todos los hiperplanos que dividen a un objeto X en dos partes que cuentan con volumen
igual con respecto al hiperplano. En pocas palabras, el centroide es el promedio de todos
los puntos del objeto X. Y como ya se mencionó, el concepto de centroide es puramente
geométrico, esto porque depende de la forma del sistema que lo contiene. También se le
suele llamar centro de simetría de una figura geométrica.
Para determinar la ubicación del
centroide de la figura solo se tiene que
dividir los primeros momentos del área
entre el área total de la figura, en el
caso de una figura compuesta será la
suma de los primeros momentos del
área entre la suma de las áreas de las
figuras que forman la figura principal.
Esta operación se debe hacer dos
veces una con el primer momento del
eje X o la suma de estos, para
determinar la coordenada en x y otra
con el primer momento en Y o la suma
de estos, para determinar la coordenada en y.
UNIDAD 4 SERIES
Definición de serie infinita

Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto
vínculo entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece
de fin.
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El
concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un
determinado momento.
Ejemplos de series infinitas
Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series
numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números
múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2
son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números
positivos impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los
números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En
cambio, si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una
serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series
numéricas infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por
ejemplo, si mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -
2, -3, -4, -5, -6…
Definición de serie Finita

Las series son sucesiones ordenadas de elementos que mantienen una relación
entre sí. Finito, por su parte, es aquello que dispone de límite o fin.
Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una
sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las
series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o
prolongarse indefinidamente).
Características de una serie finita
Si pensamos en una serie numérica (una serie compuesta por números), podemos
encontrar muchos ejemplos de series finitas. Estas series tienen un primer y un
último término que ya están definidos.
Precisamente esa característica subrayada es la que establece que exista una
notable diferencia de la llamada serie finita en cuanto a la serie infinita. Y es que
esta última se caracteriza por el hecho de que no tiene final, de ahí que, por ejemplo,
en ella y en cualquiera de las de su tipología se hace imprescindible proceder a
hacer uso de contundentes herramientas de análisis matemático para poder
comprenderlas, especialmente.
Algunos ejemplos
De este modo, si tomamos una serie numérica formada por los números positivos
pares de un solo dígito, encontraremos que se trata de una serie finita cuyos
componentes son 2, 4, 6 y 8.
Esta serie es finita ya que el primer número positivo par es 2 y el último número
positivo par de un solo dígito es 8. El resto de los números pares (10, 12, 14…)
tienen más de un dígito y, por lo tanto, no corresponden a la serie numérica
mencionada.
Las series finitas también pueden ser descendentes. Una serie finita descendente
de números positivos múltiplos de 3 que tenga como número más grande al 15 será
la siguiente: 15, 12, 9, 6 y 3.
Serie de potencias
Una serie de potencias es una suma de términos dados en la forma general aₙ(x-
a)ⁿ. Que esta serie converja o diverja, y el valor al cual converge o diverge, depende
del valor de x, lo cual hace a la serie una función.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno,
en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más
aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de
vista más práctico, las series de
potencias aproximan a su
función suma. Es decir, la suma
parcial de orden n, que no es
más que un polinomio de grado n
a lo sumo, representa una
aproximación a la función suma
en su dominio de convergencia.
En la siguiente figura, Fig. 4.1,
puede verse la función f(x) = e x
junto con algunas
aproximaciones mediante sumas
parciales de su serie de
potencias.
Serie de Taylor
La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde
cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.
Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la
función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado
por x-a elevado a la potencia n.
En términos formales o matemáticos, la serie de Taylor tiene la siguiente forma:
Para entender mejor la serie de Taylor, debemos tener en cuenta que a es un punto
de una recta tangente a la función f. Dicha recta puede, a su vez, expresarse como
una función lineal que tiene como pendiente la misma pendiente de la función f en
el punto a.
Representación de funciones mediante la serie de Taylor
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que

es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la
serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a;
la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos
como uno.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es
igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para conprovar si la serie
converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una
función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los
coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de la
serie de Taylor.
Continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos

los desarrollos son también válidos para valores complejos.

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Propiedades de la integral indefinida

Centroide es un término mayormente utilizado en geometría, y se refiere a la intersección

Definición de serie infinita

Definición de serie Finita

Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que

que puede ser escrito de una manera más compacta como

Continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos

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