Statistics">
Solemne 1
Solemne 1
Solemne 1
Estadística e Inferencia
Pauta Solemne 1
= 0,9616 − 0
= 0,9616
b) (5 ptos)¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para las 200 entregas hayan tardado
más de 115 horas?
𝑆: tiempo total
𝑆 ∼ 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑛𝜇 = 200 ⋅ 35 , 𝑛𝜎 " = 200 ⋅ 8" )
𝑃(𝑆 > 6900) = 1 − 𝑃(𝑆 < 6900)
-%.$$$ ,1$$%.$$$
= 1−𝑃= < >
√0"'$$ √0"'$$
= 1 − 𝑃(𝑍 < −0,88)
= 1 − 0,1894
= 0,8106
c) (5 ptos) Determine cual es el tiempo promedio del 25% de las entregas que más se
tardaron.
𝑘 − 35
𝑍$,.& =
8/√200
𝑘 − 35
0,68 =
8/√200
8
0,68 ⋅ = 𝑘 − 35
√200
35,38467 = 𝑘
2
Pregunta 2 [15 ptos]
En un estacionamiento, el número de veces (𝑋) que se debe subir la barrera en un intervalo
de 10 minutos, para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad, se considera una
variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro 𝜆 desconocido.
𝑒 %3 𝜆4
𝑃(𝑋 = 𝑥) = , 𝑥 = 0,1,2,3, …
𝑥!
" 1
𝐿(𝜆) = 𝜆∑!#$ +! ⋅ 𝑒 &$' ⋅
∏$()! 𝑥( !
" 1
ℒ(𝜆) = ln 4𝜆∑!#$ +! ⋅ 𝑒 &$' ⋅ 5
∏$()! 𝑥( !
$
1
ℒ(𝜆) = 7 𝑋( ⋅ ln 𝜆 − 𝑛𝜆 ln 𝑒 + ln
∏$()! 𝑥( !
()!
$
1
ℒ(𝜆) = 7 𝑋( ⋅ ln 𝜆 − 𝑛𝜆 + ln
∏$()! 𝑥( !
()!
∑$()! 𝑋(
𝜆= =
𝑛
𝜆= = 𝑥̅
3
b) (7 ptos) Si Sea (𝑥0 , 𝑥" , … , 𝑥5 ) una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 que sigue una
distribución Poisson de parámetro 𝜆. Si
∑5!60 𝑥! 𝑥0 + 3𝑥5
Q0 =
𝜆 ; Q" =
𝜆
𝑛 4
Son dos estimadores del parámetro 𝜆. Determine cuál de ellos es el mejor estimador
del parámetro 𝜆.
0
= 5 𝐸(∑5!60 𝑥! )
0
= 5 ∑5!60 𝐸(𝑋! )
0
= 5 ⋅ 𝑛𝜆
=𝜆 Es insesgado
Como ambos estimadores son insesgados, calculamos su ECM que corresponde a sus
respectivas varianzas:
"
Q0 W = 𝑉𝑎𝑟 =∑!#$ 4! >
𝑉𝑎𝑟V𝜆 5
0
= 5% 𝑉𝑎𝑟(∑5!60 𝑥! )
0
= 5% ∑5!60 𝑉𝑎𝑟(𝑋! )
0
= 5% 𝑛 ⋅ 𝜆
0
= 5𝜆
4
Q" W = 𝑉𝑎𝑟 =4$ 8#4">
𝑉𝑎𝑟V𝜆 9
0
= 0, 𝑉𝑎𝑟(𝑥0 + 3𝑥5 )
0
= 0, V𝑉𝑎𝑟(𝑥0 ) + 9𝑉𝑎𝑟(𝑥5 )W
0
= 0, (𝜆 + 9𝜆)
0$
= 0, 𝜆
&
= '𝜆
Q0
Buscamos menor varianza, nos combine el estimador 𝜆
5
Pregunta 3 [15 ptos]
Una empresa está interesada en saber la percepción que tienen sus clientes con respecto al
servicio entregado. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 1000 clientes, de los cuales
542 están muy conformes con el servicio contratado. Con la información entregada,
responda:
Parámetro de estudio: (𝑝): Proporción Poblacional de clientes que están muy conformes
con el servicio contratado.
Estimador del parámetro: 𝑝̂ Proporción muestral de clientes que están muy conformes con
el servicio contratado.
Variable de estudio: La variable responde a una variable tipo Bernoulli (1,p), en este caso
definida como: cliente i-ésimo está muy conforme con el servicio contratado.
𝑝^ (1 − 𝑝̂ ) 0,542 ∙ (1 − 0,542)
[𝑝̂ ± 𝑍 0%: ] _ = [0,542 ± 1,65 ∙ ] _ = [0,516; 0,528]
" 𝑛 1000
c) (2 ptos) ¿Puede considerarse, con un nivel de confianza del 90 %, que los clientes
están muy conformes con el servicio contratado?
@ (𝟏%𝒑
𝒑 @) 𝟎,𝟓𝟒𝟐∙(𝟏%𝟎,𝟓𝟒𝟐)
𝒅 = 𝒁𝟏%𝜶⁄𝟐 e 𝒏
= 𝟏, 𝟔𝟓 ∙ e 𝟏𝟎𝟎𝟎
=0,026
𝒅
𝒆 = 𝒑@ = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖 (4,8%)
6
Pregunta 4 [15 ptos]
En una empresa de retail están interesado en estudiar los ingresos obtenidos durante los
últimos meses. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 120 días y se registra el
ingreso en millones de pesos. Si en promedio se tiene un ingreso de 3,6 millones con una
desviación estándar de 1,82 millones y los ingresos siguen una distribución normal responda
las siguientes preguntas:
I
d=𝑡5%0,0%& =1.9801*182/√120=0.33
% √5
7
b) Si la varianza muestral fuese la verdadera variabilidad (poblacional), ¿cuál es el
tamaño de muestra necesario para que el error de estimación asociado a la media sea
a lo más un tercio?
𝝈𝟐 𝟏
𝒁 𝟏%𝜶 e 𝒏 ≤ 𝟑
𝟐
𝟏.𝟖𝟐𝟐 𝟏
𝒁 𝟏%𝜶 e 𝒏
≤𝟑
𝟐
𝟐
V𝟑 ∙ 𝒁 ,𝟗𝟕𝟓 ∙ 𝟏, 𝟖𝟐W ≤ 𝒏
𝟏𝟏𝟒, 𝟓 ≤ 𝒏
𝟏
Luego el tamaño muestral mínimo de modo que el margen de error no exceda es n ≥ 115.
𝟑
c) Establezca los supuestos necesarios para que sean válidas sus respuestas a las
preguntas a) y b).