Unidad 3 Unificado

ÍNDICE
1. Información de la unidad / Tema de la semana

3
2. Información de los subtemas 34
2.1 Descripción algebraica. 4
2.2 Notación de Leibniz. 7
2.3 Ejemplo conceptual. 9
2.4 Ejemplo algebraico. 11
3. Bibliografía 12
2
1. Informacion de la unidad
Tema de la semana:
» Objetivo:
Desarrollar métodos para calcular la derivada de una función de variable real,

aplicando teoremas y reglas de derivación del cálculo, para ser capaz de
conocer y aplicar algunas técnicas de derivación.
» Tema:
Regla de la cadena
» Subtemas:
1. Descripción algebraica.
2. Notación de Leibniz.
3. Ejemplo conceptual.
4. Ejemplo algebraico.
» Unidad:
La derivada en la función real
» Total de horas de la asignatura:
9H
3
La derivada en la función real - Regla de la cadena
2. Informacion de los subtemas
2.1 Descripción algebraica
Se sugiere observar el siguiente video:
Fuente: (Matemáticas sencillas, 2016)

11:46
http://bit.ly/2H5csv8
Existen funciones del tipo (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥 )); Por ejemplo, si tenemos las
funciones 𝑓 (𝑥 ) = 𝑢2 y 𝑢 = 3𝑥 2 + 2𝑥 entonces podemos escribir 𝑓 (𝑥 ) = (3𝑥 2 + 2𝑥)2 ,
y se la denomina función compuesta.
Sabiendo que es una función compuesta, ahora expondremos un método para derivar
este tipo de funciones denominada regla de la cadena. Según Stewart (2012) la regla
de la cadena se define como:
© Universidad Estatal de Milagro – UNEMI
Regla de la cadena: si 𝒈 es derivable en 𝒙 y 𝒇 es derivable en 𝒈(𝒙), entonces la

función compuesta 𝑭 = 𝒇 𝒐 𝒈 definida mediante 𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) es derivable en 𝒙, y
𝑭′ está dada por el producto 𝑭′ (𝒙) = 𝒇′(𝒈(𝒙)) ∙ 𝒈′(𝒙).
Demostración:
Teniendo en cuenta que:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥 ) = lim
ℎ→0 ℎ
4
Ahora, para hacerlo más simple vamos a realizar la siguiente asignación:

𝑓(𝑔(𝑥 )) = 𝑘(𝑥)
Ya que, al realizar una composición de funciones, tendremos una nueva función.
Entonces, aplicamos la derivada de 𝑘(𝑥):
𝑘(𝑥 + ℎ) − 𝑘(𝑥)
𝑘′(𝑥) = lim
ℎ→0 ℎ
Como ya sabemos que 𝑓(𝑔(𝑥 )) = 𝑘(𝑥), tendremos que:
𝑘(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ))
Sustituyendo en 𝑘′(𝑥 ):
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑘′(𝑥) = lim
ℎ→0 ℎ
Luego realizamos lo siguiente:
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑘′(𝑥) = lim ∙
ℎ→0 ℎ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
Debe notar que la expresión no se altera ya que:
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
=1
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
Por ende:
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑘′(𝑥) = lim ∙
ℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ
Aplicando la propiedad del producto de un límite:
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑘′(𝑥) = lim ∙ lim
ℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ→0 ℎ
Note qué:
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
lim = 𝑔′(𝑥)
ℎ→0 ℎ
Entonces:
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥 ))
𝑘′(𝑥) = lim ∙ 𝑔′(𝑥)
ℎ→0 𝑔 (𝑥 + ℎ ) − 𝑔 (𝑥 )
Realizamos otro cambio de variable así:
𝐻 = 𝑔 (𝑥 + ℎ ) − 𝑔 (𝑥 )
Analizando lo que pasa cuando ℎ ⟶ 0:
𝐻 = 𝑔 (𝑥 + ℎ ) − 𝑔 (𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 + 0) − 𝑔 (𝑥 ) = 𝑔 (𝑥 ) − 𝑔 (𝑥 ) = 0
5
Podemos observar que 𝐻 ⟶ 0, ya que esto se cumple podemos despejar 𝑔(𝑥 + ℎ) y

reemplazar:
𝑔(𝑥 ) + 𝐻 = 𝑔(𝑥 + ℎ)
𝑓(𝑔(𝑥 ) + 𝐻) − 𝑓(𝑔(𝑥 ))
𝑘′(𝑥) = lim ∙ 𝑔′(𝑥)
𝐻→0 𝐻
𝑘 ′ (𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)
6
2.2 Notación de Leibniz
Se sugiere ver el siguiente video:
Fuente: (Luis Corona, 2015)

10:37
http://bit.ly/2H7BY2Z
La notación de Leibniz es una de las distintas maneras de representar la derivada de

una función. La notación que usualmente se utiliza para representar una función es
𝑦 = 𝑓(𝑥) e indica que la variable dependiente es 𝑦, y la variable independiente es 𝑥.
Como ya se ha mencionado, existen diversas maneras de representar una derivada:
𝑑𝑦 𝑑𝑓 𝑑
𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑥 ) = = = 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑓 (𝑥 ) = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Características importantes
𝑑𝑦
» Las notaciones 𝐷 y son operadores de derivación.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
» La notación de Leibniz es un sinónimo de 𝑓′(𝑥)
𝑑𝑥
» Esta notación es útil cuando se usa en la notación de incrementos.
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 𝑑𝑦
» La definición de derivada en la notación de Leibniz se escribe lim =
ℎ→0 ℎ 𝑑𝑥
7
Teniendo en cuanta la notación de Leibniz, la regla de la cadena se representaría

como:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥 ) ⇒ =
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
8
2.3 Ejemplo conceptual

1 𝑑
Ejemplo: sea 𝑓 (𝑥 ) = , encuentre 𝑓(𝑥)
(2𝑥 5 −7)
3 𝑑𝑥
Realizamos un cambio de variable:

1
𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 𝑢 = 2𝑥 5 − 7
𝑢3
Aplicando la regla de la cadena, y teniendo en cuenta que 𝑦 = 𝑓(𝑥):
= .
Primero se deriva:
𝑑𝑦 𝑑 1 𝑑
= ( 3) = (𝑢−3 ) = −3𝑢−4
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢
Luego:
𝑑𝑢 𝑑
= (2𝑥 5 − 7) = 10𝑥 4
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Entonces:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 30𝑥 4
= = (−3𝑢−4 )(10𝑥 4 ) = − 4
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢
Realizando el cambio de variable:
𝑑𝑦 30𝑥 4 30𝑥 4
=− 4 =−
𝑑𝑥 𝑢 (2𝑥 5 − 7)4
𝑑
Ejemplo: sea 𝑓 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 2 + 𝑥), encuentre 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑓 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑦 𝑢 = 𝑥2 + 𝑥
=
Primero se deriva:
𝑑𝑦 𝑑
= (𝑠𝑒𝑛 𝑢) = cos 𝑢
𝑑𝑢 𝑑𝑢
Luego:
9
𝑑𝑢 𝑑 2
= (𝑥 + 𝑥 ) = 2𝑥 + 1
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Entonces:
= = (cos 𝑢)(2𝑥 + 1)
𝑑𝑦
= (2𝑥 + 1) cos(𝑥 2 + 𝑥)
𝑑𝑥
2𝑥−3 𝑑
Ejemplo: sea 𝑓 (𝑥 ) = , encuentre 𝑓(𝑥)
(𝑥 2 +4)2 𝑑𝑥

2𝑥 − 3
𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 𝑢 = 𝑥2 + 4
𝑢2
=
Primero se deriva:
𝑑𝑦 𝑑 2𝑥 − 3 2𝑢2 − (2𝑥 − 3)(2𝑢) 2𝑢2 − 4𝑥𝑢 + 6𝑢 𝑢(2𝑢 − 4𝑥 + 6)
= ( ) = = =
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 (𝑢2 )2 𝑢4 𝑢4
2𝑢 − 4𝑥 + 6
=
𝑢3
Luego:
𝑑𝑢 𝑑 2
= (𝑥 + 4) = 2𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Entonces:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 2𝑢 − 4𝑥 + 6 4𝑥𝑢 − 8𝑥 2 + 12𝑥
= =( ( )
) 2𝑥 =
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢3 𝑢3

𝑑𝑦 4𝑥𝑢 − 8𝑥 2 + 12𝑥 4𝑥(𝑥 2 + 4) − 8𝑥 2 + 12𝑥 4𝑥 3 + 16𝑥 − 8𝑥 2 + 12𝑥
= = =
𝑑𝑥 𝑢3 (𝑥 2 + 4)3 (𝑥 2 + 4)3
𝑑𝑦 4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 28𝑥
=
𝑑𝑥 (𝑥 2 + 4)3
10
2.4 Ejemplo algebraico
Ejemplo: sea 𝑦 = (4 + 2𝑥 2)7, encuentre 𝑦′

Utilizamos la derivada de la potencia:
𝑦 ′ = 7(4 + 2𝑥 2)6(4𝑥)
Luego derivamos la función contenida 4 + 2𝑥 2:
𝑦 ′ = 7(4 + 2𝑥 2)6(4𝑥)
Finalmente, reducimos la función realizando las operaciones matemáticas
necesarias: 𝑦 ′ = 7(4 + 2𝑥 2)6(4𝑥) = 28𝑥(4 + 2𝑥 2)6
Ejemplo: sea 𝑦 = cos(3𝑥2 − 2𝑥), encuentre 𝑦′

Utilizamos la derivada del coseno:
𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛(3𝑥 2 − 2𝑥)(6𝑥 − 2)
Luego derivamos la función contenida en el argumento del coseno 3𝑥 2 − 2𝑥:
𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 2 − 2𝑥)(6𝑥 − 2)
Finalmente, tenemos la derivada de la función:
𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 2 − 2𝑥)(6𝑥 − 2)
Ejemplo: sea 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛2(2𝑥), encuentre 𝑦′
Primero
𝑑 𝑑 𝑠𝑒𝑛2(2𝑥)2comenzando por la derivada de la potencia:
derivamos
𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥 ) = (𝑠𝑒𝑛 2𝑥) = 2(𝑠𝑒𝑛 2𝑥)(2)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Luego derivamos la función contenida en el argumento del seno 2𝑥:
𝑑 𝑑
𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥 ) = (𝑠𝑒𝑛 2𝑥)2 = 2(𝑠𝑒𝑛 2𝑥)(2)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ya teniendo la derivada del 𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥), entonces aplicamos la derivada de un producto :

𝑦 ′ = (1)𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 + 𝑥[2(𝑠𝑒𝑛 2𝑥 )(2)] = 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 + 4𝑥(𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
Resolver los siguientes ejercicios de límites al infinito:

1. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛4 (3𝑥 2 )
(𝑥+1)2
2. 𝑦 =
3𝑥−4
3. 𝑦 = (2 − 3𝑥 2 )4 (𝑥 7 + 3)3
11
3. Bibliografía
» Stewart, J. (2012). Cáculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Cengage

Learning.
» [Matemáticas sencillas]. (2016). Regla de la cadena para derivar funciones. Cálculo

diferencial [Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=QyS3P7txclA
» [Luis Corona]. (2015). Derivadas 17: Notación de Leibniz [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=ErKMGA76Wog&t=405s
12
ÍNDICE

3
2.1 Derivadas implícitas. 4

2.2 Derivadas en funciones trigonométricas. 7
2.3 Derivadas en funciones trigonométricas inversas. 12
2.4 Derivadas en función exponencial y logarítmica. 17
2.5 Derivadas en funciones paramétricas. 20
2.6 Derivadas de orden superior. 22
3. Bibliografía 24
2
Tema de la semana:
» Objetivo:

» Tema:
Derivadas en funciones no lineales
» Subtemas:
1. Derivadas implícitas.
2. Derivadas en funciones trigonométricas.
3. Derivadas en funciones trigonométricas inversas.
4. Derivadas en función exponencial y logarítmica.
5. Derivadas en funciones paramétricas.
6. Derivadas de orden superior.
» Unidad:
9H
3
La derivada en la función real - Derivadas en funciones no lineales
2.1 Derivadas implícitas
Teniendo en cuenta los teoremas estudiados anteriormente, podemos determinar la

derivada de cualquier función. Pero hay que tener en cuenta que existen otras
funciones que se expresan de una forma implícita, es decir, son de la forma general
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0.
Por ejemplo:
1. 𝑥 3 + 2𝑥 = 6𝑦𝑥 2 − 𝑦 7
𝑦
2. 𝑦𝑥 2 − 3 𝑥 + 2 = 0
3. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
Para encontrar la derivada de este tipo de funciones, se utilizará el método de
derivación implícita que consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a
𝑥, y luego resolver la ecuación resultante para 𝑦′.
𝑑𝑦
Ejemplo: Encontrar 𝑑𝑥 de la siguiente función:
𝑥 2 + 5𝑦 3 = 𝑥 + 9
Se comienza derivando ambos miembros de la ecuación:
𝑑 2 𝑑
(𝑥 + 5𝑦 3 ) = (𝑥 + 9)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑑
(𝑥 ) + (5𝑦 3 ) = (𝑥 ) + (9)
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑑
(𝑥 ) + 5 (𝑦 3 ) = (𝑥 ) + (9)
Cabe recalcar que 𝑦 es una función de 𝑥; así que se debe utilizar la regla de la cadena
para calcular:
𝑑 𝑑𝑦 2
(𝑦 3 ) = 3𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑥
4
Entonces:
𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑𝑦
(𝑥 ) + 5 (𝑦 3 ) = (𝑥 ) + (9) ⇒ 2𝑥 + 5 3𝑦 2 = 1
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
Por último debemos despejar 𝑑𝑥 , tendremos:
𝑑𝑦 1 − 2𝑥
=
𝑑𝑥 15𝑦 2
En el siguiente ejemplo se procederá a calcular la derivada utilizando los teoremas
antes mencionados, y además con el método de la derivación implícita.
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 = 𝑥 3 − 1.
Para derivar sin utilizar derivación implícita, debemos despejar 𝑦:
𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 = 𝑥 3 − 1
𝑦(𝑥 2 + 3𝑥) = 𝑥 3 − 1
𝑥3 − 1
𝑦= 2
𝑥 + 3𝑥
Luego derivamos:
(𝑥 2 + 3𝑥 )(3𝑥 2 ) − (𝑥 3 − 1)(2𝑥 + 3) 3𝑥 4 + 9𝑥 3 − 2𝑥 4 + 2𝑥 − 3𝑥 3 + 3
𝑦′ = =
(𝑥 2 + 3𝑥 )2 (𝑥 2 + 3𝑥 )2
′
𝑥 4 + 6𝑥 3 + 2𝑥 + 3
𝑦 =
(𝑥 2 + 3𝑥)2
Con derivación implícita:
𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 = 𝑥 3 − 1
𝑑 2 𝑑 𝑑 3 𝑑
(𝑥 𝑦) + 3 (𝑥𝑦) = (𝑥 ) − (1)
𝑑𝑦 𝑑𝑦
2𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 3𝑦 + 3𝑥 = 3𝑥 2
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
Despejando 𝑑𝑥 , tendremos:
𝑑𝑦 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦
=
𝑑𝑥 𝑥 2 + 3𝑥
Como se puede notar el resultado no es el mismo, ya que en el primer resultado solo
𝑥 3−1
incluye a las 𝑥, y en el siguiente a las 𝑥 y 𝑦. Por lo tanto, debemos sustituir 𝑦 = 𝑥 2 +3𝑥
en el resultado por derivación implícita:

𝑥3 − 1 𝑥3 − 1
2
𝑑𝑦 3𝑥 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 3𝑥 2 − 2𝑥 ( ) − 3 ( )
𝑥 2 + 3𝑥 𝑥 2 + 3𝑥
= =
𝑑𝑥 𝑥 2 + 3𝑥 𝑥 2 + 3𝑥
5
𝑥3 − 1 𝑥3 − 1
𝑑𝑦 3𝑥 2 − 2𝑥 ( ) − 3 ( ) 𝑥 4 + 6𝑥 3 + 2𝑥 + 3
𝑥 2 + 3𝑥 𝑥 2 + 3𝑥
= =
𝑑𝑥 𝑥 2 + 3𝑥 (𝑥 2 + 3𝑥 )2
Análisis de la derivada implícita mediante un ejercicio:
Fuente: (lasmatematicas.es, 2011)

9:04
http://bit.ly/2H5NtYF
Encontrar la derivada de las siguientes funciones implícitas:

1. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 6𝑥𝑦
2. 𝑥 4 + 𝑦 4 = 16
3. 𝑥 2 + 5𝑦 3 = 𝑥 + 9
6
2.2 Derivadas en funciones trigonométricas
Las derivadas de las funciones trigonométricas son las siguientes:

𝒅
𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒅𝒙
Se exponen unos ejemplos:
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛2 (3𝑥):
𝑔(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛2 (3𝑥 ) = (𝑠𝑒𝑛 3𝑥)2
Utilizando la regla de la cadena. Es decir, primero aplicamos la derivada de una
potencia:
𝑑
(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)2 = 2(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)2−1 = 2𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑑𝑥
Luego derivamos el 𝑠𝑒𝑛 3𝑥:
𝑔′ (𝑥 ) = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ) ∙ cos(3𝑥 ) ∙ 3 = 6𝑠𝑒𝑛(3𝑥) ∙ cos(3𝑥)
Y por último se deriva el argumento 3𝑥:
𝑔′ (𝑥 ) = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ) ∙ cos(3𝑥 ) ∙ 3 = 6𝑠𝑒𝑛(3𝑥) ∙ cos(3𝑥)
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4):

ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4)
Utilizando la regla de la cadena:
ℎ′ (𝑥 ) = (15𝑥 2 − 4𝑥)cos(5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4)
𝒅
𝒄𝒐𝒔 𝒙 = −𝐬𝐞𝐧 𝒙
𝒅𝒙

5
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = cos √𝑥 2 :
5
2
𝑔(𝑥 ) = cos √𝑥 2 = cos 𝑥 5
Utilizando la regla de la cadena. Primero aplicamos la derivada del coseno:
𝑑 2 2
cos 𝑥 5 = −sen 𝑥 5
𝑑𝑥
7
2
Luego derivamos el argumento del coseno 𝑥 5 :
𝑑 2 2 −3
𝑥5 = 𝑥 5
𝑑𝑥 5
Finalmente tendremos:
5
2 3 5 2𝑠𝑒𝑛 √𝑥 2
𝑔 𝑥 ) = − ( 𝑥 −5 ) 𝑠𝑒𝑛 √ 𝑥 2 = −
′(
5
5 5√𝑥 3
3𝑥+1
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = cos ( ):
𝑥

3𝑥 + 1 3𝑥 − 3𝑥 − 1) 3𝑥 + 1 1) 1 3𝑥 + 1
ℎ′ (𝑥 ) = −sen ( )( ) = −sen ( ) (− ) = 𝑠𝑒𝑛 ( )
𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥
𝒅
𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
𝒅𝒙
3
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = √𝑡𝑎𝑛2𝑥:
3
1
𝑔(𝑥 ) = √𝑡𝑎𝑛2𝑥 = (𝑡𝑎𝑛2𝑥)3
Utilizando la regla de la cadena. Se aplica la derivada de una potencia:
𝑑 1 1 2
(𝑡𝑎𝑛2𝑥)3 = ( ) (𝑡𝑎𝑛2𝑥)−3
𝑑𝑥 3
Luego, la derivada de la tangente:
𝑑
𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥
𝑑𝑥
Finalmente, la derivada del argumento de la tangente 2𝑥:
𝑑
2𝑥 = 2
𝑑𝑥
Quedando la derivada como:
1 2 2𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥
𝑔′ (𝑥 ) = ( ) (𝑡𝑎𝑛2𝑥)−3 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 ∙ 2 = 3
3 3√(𝑡𝑎𝑛2𝑥)2
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛2 (2𝑥):

ℎ(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2 (2𝑥) = (𝑡𝑎𝑛2𝑥)2
8

ℎ′ (𝑥 ) = 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 ∙ 2 = 4𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥
𝒅
𝒄𝒐𝒕 𝒙 = −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝒅𝒙
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = 2 3√𝑐𝑜𝑡𝑥:
1
𝑔(𝑥 ) = 2 3√𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑐𝑜𝑡𝑥)3
Utilizando la regla de la cadena. Se aplica la derivada de una potencia:
𝑑 1 1 2
(𝑐𝑜𝑡𝑥)3 = ( ) (𝑐𝑜𝑡𝑥)−3
𝑑𝑥 3
Luego, la derivada de la cotangente:
𝑑
𝑐𝑜𝑡𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
𝑑𝑥
′(
1 −
2
2
𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
)
𝑔 𝑥 = − ( ) (𝑐𝑜𝑡𝑥) ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 3
3
3 3√(𝑐𝑜𝑡𝑥)2
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑡 3 (5𝑥):

ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 3 (5𝑥) = (𝑐𝑜𝑡 5𝑥)3
Utilizando la regla de la cadena. Aplicamos la derivada de la potencia:
𝑑
(𝑐𝑜𝑡 5𝑥)3 = 3(𝑐𝑜𝑡 5𝑥)2
𝑑𝑥
Ahora, la derivada de la cotangente:
𝑑
cot 5𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥
𝑑𝑥
Y, por último, la derivada del argumento de la cotangente 5𝑥:
𝑑
5𝑥 = 5
𝑑𝑥
Obteniendo:
ℎ′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 3 (5𝑥 ) = 3𝑐𝑜𝑡 2 5𝑥(−𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥 )(5) = −15(𝑐𝑜𝑡 2 5𝑥)(𝑐𝑠𝑐 2 5𝑥)
𝒅
𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒔𝒆𝒙 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝒅𝒙
9

2
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = sec (𝑥):
1
𝑔(𝑥 ) = 2 3√𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑐𝑜𝑡𝑥)3
Utilizando la regla de la cadena. Se deriva la secante:
𝑑 2 2 2
sec ( ) = sec ( ) tan ( )
𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
2
Luego, la derivada del argumento de la secante 𝑥 :
𝑑 2 2
( )=− 2
𝑑𝑥 𝑥 𝑥
2 2 2
𝑔′ (𝑥 ) = (− 2
) sec ( ) tan ( )
𝑥 𝑥 𝑥
2𝑥−4
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = sec ( ):
𝑥
Utilizando la regla de la cadena. Se aplica la derivada de la secante:

𝑑 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4
sec ( ) = sec ( ) tan ( )
𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
2𝑥−4
Ahora, la derivada del argumento de la secante :
𝑥
𝑑 2𝑥 − 4 2𝑥 − 2𝑥 + 4 4
( )= =
𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥2
Obteniendo:
4 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4
ℎ′(𝑥) = 2
sec ( ) tan ( )
𝑥 𝑥 𝑥
𝒅
𝒄𝒔𝒄 𝒙 = −𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙
𝒅𝒙
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = csc(3 + 𝑥 3 ):
Utilizando la regla de la cadena. Se deriva la cosecante:
𝑑
csc(3 + 𝑥 3 ) = − csc(3 + 𝑥 3 ) cot(3 + 𝑥 3 )
𝑑𝑥
Luego, la derivada del argumento de la cosecante 3 + 𝑥 3 :
10
𝑑
(3 + 𝑥 3 ) = 3𝑥 2
𝑑𝑥
𝑔′ (𝑥 ) = −3𝑥 2 csc(3 + 𝑥 3 ) cot(3 + 𝑥 3 )
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 4√csc 𝑥:

1
4
ℎ(𝑥) = √csc 𝑥 = (csc 𝑥)4
Utilizando la regla de la cadena. Se aplica la derivada de la potencia:
𝑑 1 1 3
(csc 𝑥)4 = (csc 𝑥)−4
𝑑𝑥 4
Ahora, la derivada de la cosecante
𝑑
(csc 𝑥 ) = − csc 𝑥 cot 𝑥
𝑑𝑥
Obteniendo:
− csc 𝑥 cot 𝑥
ℎ′(𝑥) = 4
4√𝑐𝑠𝑐 3 𝑥
Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 3√𝑥
2. ℎ(𝑥) = √cos 𝑥
3. 𝑔(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛4 (3𝑥 + 1)
3
4. 𝑓(𝑥 ) = 2 √cot 𝑥
3𝑥
5. 𝑔 (𝑥 ) =
sec 4𝑥
𝑥2
6. ℎ(𝑥 ) = cot ( )
𝑥+1
11
2.3 Derivadas en funciones trigonométricas inversas
Se sugiere analizar el siguiente video:
Fuente: (lasmatematicas.es, 2012)

13:38
http://bit.ly/2POJAKf
Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son las siguientes:

𝒅 𝒇′(𝒙)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒇(𝒙) =
𝒅𝒙 √𝟏 − [𝒇(𝒙)]𝟐
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥 2 + 3):
Aplicamos la derivada del arcoseno. Para eso primero debemos derivar el argumento,
ya que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3:
𝑑
𝑓 ′ (𝑥 ) = (2𝑥 2 + 3) = 4𝑥
𝑑𝑥
Entonces:
4𝑥
𝑔 ′ (𝑥 ) =
√1 − (2𝑥 2 + 3)2
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 √𝑥:

1
Sabiendo que 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 = 𝑥 2 , entonces:
1 1 1
𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑥 −2 =
2 2 √𝑥
12
Reemplazando en la derivada del arcoseno:

1 1
2√𝑥 2 √𝑥 1
ℎ ′ (𝑥 ) = = =
√1 − 𝑥 2√𝑥√1 − 𝑥
√1 − (√𝑥)2
𝒅 −𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒇(𝒙) = ∙ 𝒇′(𝒙)
𝒅𝒙 √𝟏 − [𝒇(𝒙)]𝟐
2
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥):
2
Primero debemos derivar el argumento, ya que 𝑓(𝑥 ) = 𝑥:
𝑑 2 𝑑 2
𝑓 ′ (𝑥 ) = ( )= (2𝑥 −1 ) = −2𝑥 −2 = − 2
𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥
Reemplazando en la derivada:
−1 2 2
𝑔 ′ (𝑥 ) = ∙− =
2 𝑥2 4
√ 1 − ( 2) 𝑥 2 √1 −
𝑥 𝑥2
2𝑥
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (arccos 𝑥):
2𝑥
Sabiendo que 𝑓 (𝑥 ) = arccos 𝑥, entonces:
2𝑥
2 arccos 𝑥 +
𝑓 ′ (𝑥 ) = √1 − 𝑥 2
(arccos 𝑥)2
Reemplazando en la derivada del arcoseno:
2𝑥
2 arccos 𝑥 +
−1
ℎ ′ (𝑥 ) = ∙ √1 − 𝑥 2
2 (arccos 𝑥)2
√1 − ( 2𝑥 )
arccos 𝑥
𝒅 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒇(𝒙) = ∙ 𝒇′(𝒙)
𝒅𝒙 √𝟏 + [𝒇(𝒙)]𝟐
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(6𝑥 2 ):
Primero debemos derivar el argumento, ya que 𝑓(𝑥 ) = 6𝑥 2 :
13
𝑑
𝑓 ′ (𝑥 ) = (6𝑥 2 ) = 12𝑥
𝑑𝑥
Reemplazando en la derivada:
1 12𝑥
𝑔 ′ (𝑥 ) = ∙ 12𝑥 =
√1 + (6𝑥 2 )2 √1 + 36𝑥 4
2𝑥
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = :
arctan (𝑥+1)
Se deriva el argumento 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 + 1):

𝑑
𝑓 ′ (𝑥 ) = (𝑥 + 1) = 1
𝑑𝑥
Aplicamos la derivada del cociente:
1 2𝑥
2 arctan(𝑥 + 1) − 2𝑥 ∙ ∙ 1 2 arctan(𝑥 + 1) −
√1 + (𝑥 + 1) 2 2
ℎ ′ (𝑥 ) = = √𝑥 + 2𝑥 + 2
( )
[arctan 𝑥 + 1 ] 2 [arctan 𝑥 + 1)]2
(
𝒅 −𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒇(𝒙) = ∙ 𝒇′(𝒙)
𝒅𝒙 𝟏 + [𝒇(𝒙)]𝟐
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = √arccot 𝑥:
Se utiliza la regla de la cadena. Por eso aplicamos la derivada de la potencia primero:
1 1 1
𝑔′ (𝑥 ) = (arccot 𝑥)−2 =
2 2√arccot 𝑥
Y ahora derivamos arccot 𝑥:
𝑑 1
(arccot 𝑥 ) = −
𝑑𝑥 1 + 𝑥2
Quedando:
1 1 1
𝑔 ′ (𝑥 ) = ∙− 2
=−
2√arccot 𝑥 1+𝑥 2√arccot 𝑥 (1 + 𝑥 2 )
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = arccot(4 3√𝑥 ):
Se deriva el argumento 𝑓 (𝑥 ) = 4 3√𝑥:

𝑑 𝑑 1 4 2 4
𝑓 ′ (𝑥 ) = (4 3√𝑥 ) = (4𝑥 3 ) = 𝑥 −3 = 3
𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 3√𝑥 2
14
Derivando la función cotangente inversa:

−1 4 4
ℎ ′ (𝑥 ) = 3 ∙ 3 =− 3 3
1 + (4 √ 𝑥 )2 3√𝑥 2 3√𝑥 2 (1 + 16√𝑥 2 )
𝒅 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒇(𝒙) = ∙ 𝒇′(𝒙)
𝒅𝒙 𝒇(𝒙)√[𝒇(𝒙)]𝟐 − 𝟏
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = arcsec 2𝑥:
Se deriva el argumento 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥:
𝑑
𝑓 ′ (𝑥 ) = (2𝑥 ) = 2
𝑑𝑥
Ahora, derivamos la función secante inversa:
1 2
𝑔 ′ (𝑥 ) = ∙2=
2𝑥√(2𝑥)2 − 1 2𝑥√4𝑥 2 − 1
3
Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = arcsec (𝑥):
3
Se deriva el argumento 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥:
𝑑 3 𝑑 3
𝑓 ′ (𝑥 ) = ( )= (3𝑥 −1 ) = −3𝑥 −2 = − 2
𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥
Ahora, derivamos la función secante inversa:
1 3 3 −1
ℎ ′ (𝑥 ) = ∙− =− =
3√ 3 2 𝑥2 9 √9 − 𝑥
3𝑥√ −1
𝑥 (𝑥 ) − 1 𝑥2
𝒅 −𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒔𝒄 𝒇(𝒙) = ∙ 𝒇′(𝒙)

𝒅𝒙 𝒇(𝒙)√[𝒇(𝒙)]𝟐 − 𝟏
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑔(𝑥 ) = arccsc 𝑥 3 :
Se deriva el argumento 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 :
𝑑 3
𝑓 ′ (𝑥 ) = (𝑥 ) = 3𝑥 2
𝑑𝑥
Ahora, derivamos la función cosecante inversa:
15
−1 3𝑥 2 3
𝑔 ′ (𝑥 ) = ∙ 3𝑥 2 = − =−
𝑥 3 √(𝑥 3 )2 − 1 𝑥 3 √𝑥 6 − 1 𝑥√𝑥 6 − 1

2𝑥
1. 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥+1)
2. ℎ(𝑥) = arccos(2𝑥 + 1)
𝑥
3. 𝑔(𝑥 ) = arctan(2𝑥+1 )
2𝑥
4. 𝑓(𝑥 ) = arccot 𝑥
5. 𝑔(𝑥 ) = arcsec(3𝑥 + 2)
6. ℎ(𝑥) = arccsc( 3√𝑥 )
16
2.4 Derivadas en función exponencial y logarítmica
Además de las funciones trigonométricas, también existen otros tipos de funciones

como lo son las funciones exponenciales y las logarítmicas; de las cuales se puede
determinar su derivada de la siguiente manera:
Derivada de la función exponencial de base 𝒂:
𝑑 𝑥 𝑑 𝑔(𝑥)
𝑎 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑔(𝑥) ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = 25𝑥 :
Se deriva el exponente el cual es 𝑔(𝑥 ) = 5𝑥:
𝑑
𝑔 ′ (𝑥 ) = (5𝑥 ) = 5
𝑑𝑥
Ahora, Aplicamos la derivada de una función exponencial:
𝑓 ′ (𝑥 ) = 25𝑥 ∙ ln 2 ∙ 5 = 5(25𝑥 ln 2)
2+1)
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = 3(𝑥 :
Se deriva el exponente el cual es 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 1:
𝑑 2
𝑔 ′ (𝑥 ) = (𝑥 + 1) = 2𝑥
𝑑𝑥
2+1) 2+1)
𝑓 ′ (𝑥 ) = 3(𝑥 ∙ ln 3 ∙ 2𝑥 = 3(𝑥 (ln 3)(2𝑥)
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 𝜋 −4𝑥 :

Se deriva el exponente de la función de base 𝑎 el cual es 𝑔(𝑥) = −4𝑥:
𝑑
𝑔 ′ (𝑥 ) = (−4𝑥 ) = −4
𝑑𝑥
Ahora, Aplicamos la derivada de una función exponencial, y la derivada del producto:
𝑓 ′ (𝑥 ) = 2𝑥𝜋 −4𝑥 + 𝑥 2 𝜋 −4𝑥 (ln 𝜋)(−4) = 2𝑥𝜋 −4𝑥 − 4𝑥 2 𝜋 −4𝑥 ln 𝜋
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝜋 −4𝑥 (1 − 2𝑥 ln 𝜋)
17
Derivada de la función exponencial de base 𝒆:

𝑑 𝑥 𝑑 𝑔(𝑥)
𝑒 = 𝑒𝑥 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑒 = 𝑒 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 2𝑥 :
Se deriva el exponente el cual es 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥:
𝑑
𝑔 ′ (𝑥 ) = (2𝑥 ) = 2
𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑒 2𝑥 ∙ 2 = 2𝑒 2𝑥
𝑡3
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = :
𝑒 2𝑡 +𝑡
Se deriva el exponente de la función de base 𝑒 el cual es 𝑔(𝑥 ) = 2𝑡:
𝑑
𝑔 ′ (𝑥 ) = (2𝑡) = 2
𝑑𝑥
Ahora, Aplicamos la derivada de una función exponencial, y la derivada del cociente:
(𝑒 2𝑡 + 𝑡)(3𝑡 2 ) − (𝑡 3 )(2𝑒 2𝑡 + 1)
𝑓 ′ (𝑥 ) =
(𝑒 2𝑡 + 𝑡)2
Derivada de la función logarítmica:

𝑑 1
log𝑎 |𝑔(𝑥)| = (log𝑎 𝑒)𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥 𝑔 (𝑥 )
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = log 3 (2𝑥 3 + 5):
Se deriva el argumento el cual es 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 3 + 5:
𝑑
𝑔 ′ (𝑥 ) = (2𝑥 3 + 5) = 6𝑥 2
𝑑𝑥
Ahora, Aplicamos la derivada de la función logarítmica:

1 6𝑥 2
𝑓 ′ (𝑥 ) = (log 3 𝑒)6𝑥 2
= (log 3 𝑒)
2𝑥 3 + 5 2𝑥 3 + 5
Derivada de la función logaritmo natural:

𝑑 1
ln|𝑔(𝑥)| = 𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥 𝑔 (𝑥 )
18
Ejemplo: determinar la derivada de 𝑓(𝑥 ) = 𝑙𝑛4 (𝑥 2 + 5):

Se deriva el argumento el cual es 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 5:
𝑑 2
𝑔 ′ (𝑥 ) = (𝑥 + 5) = 2𝑥
𝑑𝑥
Aplicamos la regla de la cadena. Por tal motivo, primero utilizamos la derivada de la
potencia:
𝑑 4 2
𝑙𝑛 (𝑥 + 5) = 4𝑙𝑛3 (𝑥 2 + 5)
𝑑𝑥
Y derivamos el logaritmo natural:
𝑑 4 2 1
𝑙𝑛 (𝑥 + 5) = 4𝑙𝑛3 (𝑥 2 + 5)( 2 )(2𝑥)
𝑑𝑥 𝑥 +5
Simplificando:
′(
8𝑥𝑙𝑛3 (𝑥 2 + 5)
𝑓 𝑥) =
𝑥2 + 5
1. 𝑓(𝑥 ) = log2 √𝑥
2. ℎ(𝑥) = ln(√𝑥 + 1 + 𝑥)
3. 𝑔(𝑥 ) = 62√𝑥
2
4. 𝑓(𝑥 ) = 3𝑒 𝑥
19
2.5 Derivadas en funciones paramétricas
Hemos analizados como calcular la derivada de funciones del tipo:

» 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
» 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
Pero existen otros tipos de funciones como las siguientes 𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 2 + 𝑡; es decir,
ecuaciones como 𝑥 = 𝑔(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) que se las conoce como funciones paramétricas.
Para determinar la derivada de las funciones paramétricas utilizaremos el siguiente
teorema:
Teorema: sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en un intervalo |𝑡1 , 𝑡2 |. Supongamos que 𝑓
tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto 𝑓′(𝑡) ≠ 0, las
ecuaciones 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) implican que existe una función derivable 𝐹 tal que
𝑔′(𝑡) 𝐷𝑡 𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥), y además 𝐷𝑥 𝑦 = = .
𝑓′(𝑡) 𝐷𝑡 𝑥
Ejemplo: determinar 𝐷𝑥 𝑦 si 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 1 + 𝑡 2:
Derivamos 𝐷𝑡 𝑦 y 𝐷𝑡 𝑥:
𝐷𝑡 𝑦 = 2𝑡
𝐷𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝐷𝑦
Aplicamos el teorema 𝐷𝑥 𝑦 = 𝐷𝑡 𝑥 :
𝑡
𝐷𝑡 𝑦 2𝑡
𝐷𝑥 𝑦 = =
𝐷𝑡 𝑥 𝑒 𝑡
20
Fuente: (KhanAcademyEspañol, 2016)

7:54
http://bit.ly/2WrQhVp
Encontrar 𝑫𝒙 𝒚 de las siguientes funciones:

1. 𝑥 = 2𝑡 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑡 2 − cos 𝑡
2. 𝑥 = 3𝑡 𝑦 𝑦 = 4𝑡 − 2𝑡 2
21
2.6 Derivadas de orden superior
Como se ha podido observar que al calcular la derivada de una función se produce

como resultado otra función a la que llamamos primera derivada. Ahora bien, si a la
nueva función que se denotará 𝑓′ la derivamos tendremos otra función 𝑓′′ que será
denominada como segunda derivada; y si continuamos tendremos la tercera derivada,
la cuarta, etc. Estas son conocidas como derivadas de orden superior, ya que se habla
del orden de la derivada; es decir, si tenemos:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 9𝑥 − 1
Calculando las derivadas:
𝑓 ′ (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 12𝑥 − 9 ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑓 ′′ (𝑥 ) = 6𝑥 + 12 ⇒ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑓 ′′′ (𝑥 ) = 6 ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
Notación a utilizar para las derivadas en general
» 𝑓 ′ (𝑥) ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑓 ′′ (𝑥) ⇒ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 ⟶ 𝑓 ′′′ (𝑥) ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑓 (𝑛) (𝑥) ⇒ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛
» 𝑦 ′ ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑦 ′′ ⇒ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 ⟶ 𝑦 ′′′ ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑦 (𝑛) ⇒ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛
» 𝐷𝑥 𝑦 ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝐷𝑥2 𝑦 ⇒ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 ⟶ 𝐷𝑥3 𝑦 ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝐷𝑥𝑛 𝑦 ⇒ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛
𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑛 𝑦
» 𝑑𝑥
⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑑𝑥 2
⇒ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 ⟶ 𝑑𝑥 3
⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 ⟶ 𝑑𝑥 𝑛
⇒ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛
Ejemplo: determinar 𝑓′′′(𝑥) de 𝑓 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥:

Se comienza por derivar el argumento 2𝑥:
𝑑
(2𝑥 ) = 2
𝑑𝑥
Entonces:
𝑓 ′ (𝑥 ) = 2 cos(2𝑥)
Segunda derivada:
𝑓 ′′ (𝑥 ) = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥
Tercera derivada:
𝑓 ′′′ (𝑥 ) = −8 cos 2𝑥
22
Encontrar la derivada de orden superior:

1. 𝑓(𝑥 ) = √𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (𝑥)
1 2
𝑑2 𝑦
2. 𝑦 = 2𝑥 3 − 4𝑥 5 + 𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 2
23
3. Bibliografía
» [lasmatematicas.es]. (2011). Derivación implícita [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=7WqwTjs5KrE
» [lasmatematicas.es]. (2012). Cálculo de derivadas. Funciones trigonométricas y

sus inversas [Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=PzDgMgCLocQ
» [KhanAcademyEspañol]. (2016). Derivada de una función paramétrica | Cálculo

diferencial | Khan Academy en Español [Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=m_ukBqMOfeY
24
ÍNDICE

3
2.1 Demostración 4
2.3 Aplicación consecutiva 8
2.3 Cocientes incompatibles 11
2.4 Indeterminaciones no cocientes 12
3. Bibliografía 14
2
Tema de la semana:
» Objetivo:

» Tema:
Regla de l'hôspital-bernoulli
» Subtemas:
1. Demostración.
2. Aplicación consecutiva.
3. Cocientes incompatibles.
4. Indeterminaciones no cocientes
» Unidad:
9H
3
La derivada en la función real - regla de l'hôspital-bernoulli
2.1 Demostración
Se sugiere ver el siguiente video:

8:53
http://bit.ly/2VjK4hz
𝟎 ∞
La regla de L’Hospital se utiliza cuando se presentan indeterminaciones del tipo o ;
𝟎 ∞
Pero ya hemos analizados procedimientos para resolver este tipo de
indeterminaciones, aunque existen casos en que tales métodos no permiten obtener la
solución a un límite; y es en esos casos cuando se realiza el método de la regla de
L’Hospital.
Regla de L’Hospital: ya sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones de variable real derivables en
cualquier intervalo [𝒂, 𝒃] y teniendo:
lim 𝑓 (𝑥 ) = 0 𝑦 lim 𝑔(𝑥 ) = 0

𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
También:
lim 𝑓(𝑥 ) = ±∞ 𝑦 lim 𝑔(𝑥 ) = ±∞
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
Se cumple que:
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)
lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
4
Demostración:
Según la regla de la cadena:
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑎)
lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑎)
Aplicando límites:
𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎)
𝑓 ′ (𝑎) = lim 𝑦 𝑔′ (𝑎) = lim
𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
Entonces:
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑎)
lim
𝑓′(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
lim =
𝑥→𝑎 𝑔′(𝑎) 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎)
lim
𝑥→𝑎𝑥−𝑎
Aplicando la propiedad del cociente de los límites:
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑎)
lim
𝑓′(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 𝑥−𝑎
lim = = lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔′(𝑎) 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎)
lim
𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥−𝑎
Ya que 𝑓 (𝑎) = 𝑔(𝑎) = 0:
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑥 ) − 0 𝑓 (𝑥 )
lim = lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥 ) − 𝑔(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥 ) − 0 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥 )
Entonces se ha demostrado que:

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑎)
lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑎)
Ejemplo: determinar:
𝑠𝑒𝑛 𝑦
lim−
𝑦→𝜋 √𝜋 − 𝑦
Al evaluar el límite, tendremos:

𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜋 0
lim− = lim− = lim−
𝑦→𝜋 √𝜋 − 𝑦 𝑦→𝜋 √𝜋 − 𝜋 𝑦→𝜋 0
Como se puede notar, existe una indeterminación, entonces aplicamos la regla de

L’Hopital:
𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 (𝑠𝑒𝑛 𝑦)
lim = lim−
𝑦→𝜋− √𝜋 − 𝑦 𝑦→𝜋 𝑑
𝑑𝑦 (√𝜋 − 𝑦)
5
𝑑
(𝑠𝑒𝑛 𝑦) = cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑 𝑑 1 1 1 1
(√𝜋 − 𝑦) = (𝜋 − 𝑦) ⁄2 = (𝜋 − 𝑦)− ⁄2 =
𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 2√𝜋 − 𝑦
Ya calculadas las derivadas, tendremos:
𝑑
𝑑𝑦 (𝑠𝑒𝑛 𝑦) cos 𝑦
lim− = lim− = lim− 2√𝜋 − 𝑦 cos 𝑦
𝑦→𝜋 𝑑 𝑦→𝜋 1 𝑦→𝜋
( √𝜋 − 𝑦)
𝑑𝑦 2√𝜋 − 𝑦
Evaluamos el límite:
lim 2√𝜋 − 𝑦 cos 𝑦 = lim− 2√𝜋 − 𝜋 cos 𝜋 = 0
𝑦→𝜋− 𝑦→𝜋
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
lim
𝑥→∞ 1
arctan
𝑥
1 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∞ 𝑠𝑒𝑛 0 0
lim = lim = lim =
𝑥→∞ 1 𝑥→∞ 1 𝑥→∞ arctan 0 0
arctan 𝑥 arctan ∞

L’Hopital:
1 𝑑 1
(𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑦 𝑥)
lim = lim
𝑥→∞ 1 𝑥→∞ 𝑑 1
arctan 𝑥 (arctan
𝑑𝑦 𝑥)
1
𝑑 1 cos (𝑥)
(𝑠𝑒𝑛 ) = −
𝑑𝑦 𝑥 𝑥2
𝑑 1 1 1 1
(arctan ) = − 2 ( )=− 2
𝑑𝑦 𝑥 𝑥 1+ 1 𝑥 +1
𝑥2
1
𝑑 1 cos ( ) 1
𝑥
𝑑𝑦 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) −
𝑥 2 (𝑥 2 + 1) cos (𝑥 ) 1 1
lim = lim = lim = lim (1 + 2 ) cos ( )
𝑥→∞ 𝑑 1 𝑥→∞ 1 𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥→∞ 𝑥 𝑥
− 2
𝑑𝑦 (arctan 𝑥 ) 𝑥 +1
6
Evaluamos el límite:
1 1 1 1
lim (1 + 2
) cos ( ) = lim (1 + 2 ) cos ( ) = lim (1 + 0) cos(0) = 1(1) = 1
𝑥→∞ 𝑥 𝑥 𝑥→∞ ∞ ∞ 𝑥→∞
lim [2𝑥 𝑙𝑛 𝑥]
𝑥→0+

lim [2𝑥 𝑙𝑛 𝑥] = lim+[2(0)𝑙𝑛 (0)] = (0)(−∞)
𝑥→0+ 𝑥→0

L’Hopital:
Antes que nada cabe mencionar que 2𝑥 ln 𝑥 puede escribirse como:
ln 𝑥
1
2𝑥
Entonces:
ln 𝑥
lim+
𝑥→0 1
2𝑥
𝑑 1
(ln 𝑥 ) =
𝑑𝑥 𝑥
𝑑 1 𝑑 1 −1 1
( )= ( 𝑥 )=− 2
𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 2 2𝑥
1
ln 𝑥 2𝑥 2
lim+ = lim+ 𝑥 = lim+ − = lim+ −2𝑥 = lim+ −2(0) = 0
𝑥→0 1 𝑥→0 1 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥→0
− 2
2𝑥 2𝑥
2𝑥 −3𝑥
1. lim
𝑥→0 𝑥
1
𝑥2
2. lim 2
𝑥→∞ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
7
2.2 Aplicación consecutiva
Existen funciones que son 𝒏 veces continuas y derivables, entonces la regla de

L’Hospital puede aplicarse 𝒏 veces. Por ejemplo:
Tenemos el siguiente límite:
tan 𝑥 − 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

tan 𝑥 − 𝑥 tan 0 − 0 0
lim = lim =
𝑥→0 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 0 − 𝑠𝑒𝑛 0 0
L’Hopital por primera vez:
𝑑
tan 𝑥 − 𝑥 (tan 𝑥 − 𝑥)
lim = lim 𝑑𝑥
𝑥→0 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 𝑑
𝑑𝑥 (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑑
(tan 𝑥 − 𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1
𝑑𝑥
𝑑
(𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) = 1 − cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐 2 0 − 1 0
lim = lim =
𝑥→0 1 − cos 𝑥 𝑥→0 1 − cos 0 0
Otra vez tenemos la indeterminación, entonces aplicamos la regla de L’Hopital por
segunda vez:
𝑑
(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1) = 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
(1 − cos 𝑥 ) = sen 𝑥
𝑑𝑥
Entonces:
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 cos 𝑥 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
lim = lim = lim = lim
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 2𝑠𝑒𝑐 2 0 2(1)

lim = lim = =2
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 0 1
8
Tenemos el siguiente límite:

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 − 2𝑥
lim
𝑥→0 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 − 2𝑥 𝑒 0 − 𝑒 −0 − 20 0
lim = lim =
𝑥→0 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 0 − 𝑠𝑒𝑛 0 0
L’Hopital por primera vez:
𝑑 𝑥
(𝑒 ) = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑 −𝑥
(𝑒 ) = −𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
𝑑
(2𝑥 ) = 2
𝑑𝑥
𝑑
(𝑥 ) = 1
𝑑𝑥
𝑑
(𝑠𝑒𝑛𝑥 ) = cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑒 𝑥 − (−𝑒 −𝑥 ) − 2
lim
𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 2 𝑒 0 + 𝑒 −0 − 2 0
lim = lim =
𝑥→0 1 − cos 𝑥 𝑥→0 1 − cos 0 0
Otra vez tenemos la indeterminación, entonces aplicamos la regla de L’Hopital por
segunda vez:
𝑑 𝑥
(𝑒 ) = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑 −𝑥
(𝑒 ) = −𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
𝑑
(2) = 0
𝑑𝑥
𝑑
(1) = 0
𝑑𝑥
𝑑
(cos 𝑥 ) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
9
Entonces:
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 0 − 𝑒 −0 0
lim = lim =
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 0 0
Una vez más tenemos la indeterminación, entonces aplicamos la regla de L’Hopital por
tercera vez:
𝑑 𝑥
(𝑒 ) = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑 −𝑥
(𝑒 ) = −𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
𝑑
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) = cos 𝑥
𝑑𝑥
Finalmente:
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝑒 0 + 𝑒 −0 1 + 1
lim = lim = =2
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 0 1
10
2.3 Cocientes incompatibles
Se ha dicho que la regla de L’Hospital se utiliza cuando se presenta una

𝟎 ∞
indeterminación del tipo o una indeterminación del tipo ; este último tipo de
𝟎 ∞
indeterminación se puede transformar mediante la doble inversión de los cocientes.
Por ejemplo:
1
𝑥4
lim = lim 𝑥
𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 1
𝑥4
De este modo se demuestra que las indeterminaciones del tipo ∞⁄∞ también se
pueden resolver utilizando la regla de la L'Hospital de forma directa, sin aplicación de
la doble inversión.
11
2.4 Indeterminaciones no cocientes
Además de las indeterminaciones ya estudiadas en esta sección, existen otras

indeterminaciones de los límites que pueden ser resueltas con la regla de L’Hospital,
recurriendo a transformaciones que lleven a un cociente del tipo:
0 ∞
𝑜
0 ∞
Ahora veremos cómo resolver la indeterminación del tipo 0 ∙ ∞ y ∞ − ∞, y para esto
debemos realizar la siguiente transformación:
0 0 ∞ ∞
0∙∞ = = 𝑜 0∙∞ = =
1 0 1 ∞
∞ 0
Video donde se aprecia el proceso de resolución de unos ejemplos:
Fuente: (MateFacil, 2017)

6:01
http://bit.ly/2PVxZJo
Tipo 𝟎 ∙ ∞
Ejemplo: determinar el siguiente límite:

lim 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑥
𝑥→0
Se transforma el límite a una indeterminación (0⁄0 , ∞⁄∞):

𝑙𝑜𝑔 𝑥
lim 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = lim
𝑥→0 𝑥→0 1
𝑥
Aplicando L’Hospital:
12
1
𝑙𝑜𝑔 𝑥
lim = lim 𝑥 = lim −𝑥 = 0
𝑥→0 1 𝑥→0 1 𝑥→0
− 2
𝑥 𝑥
Tipo ∞ − ∞
Ejemplo: determinar el siguiente límite:
lim 𝑥 − √𝑥 2 − 𝑥
𝑥→∞
Se racionaliza para transforma el límite a una indeterminación (0⁄0 , ∞⁄∞):
𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥 𝑥2 − 𝑥2 + 𝑥 𝑥
lim 𝑥 − √𝑥 2 − 𝑥 ∙ = lim = lim
𝑥→∞ 𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥
Aplicando L’Hospital:
1 1 1 1
lim = lim = =
𝑥→∞ 2𝑥 − 1 𝑥→∞ 2(∞) − 1 1+1 2
1+ 2
1+
2√𝑥 − 𝑥 2
2√(∞) − (∞)
Resolver los siguientes ejercicios:
1−cos 𝑥
1. lim
𝑥→0 𝑥2
2𝑥 3
2. lim
𝑥→0 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
13
3. Bibliografía
» [KhanAcademyEspañol]. (2013). Introducción a la Regla de L'Hopital [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=vJ5V9U2mMP8
» [MateFacil]. (2017). 131.Límite por Regla de L'Hopital: forma infinito menos infinito, x
exponencial de 1/x | Límite [Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=9rv_2wo0SUY
14
ÍNDICE

3

3
2.1 Teorema de diferenciabilidad y continuidad 4
2.2 Criterios de continuidad 6
3. Bibliografía 8
2
Tema de la semana:
» Objetivo:

» Tema:
Diferenciabilidad y continuidad
» Subtemas:
1. Teorema de diferenciabilidad y continuidad.

2. Criterios de continuidad.
» Unidad:
9H
3
La derivada en la función real - Diferenciabilidad y continuidad
2.1 Teorema de diferenciabilidad y continuidad

12:25
http://bit.ly/2VR78DU
Debemos tener entendido la definición de derivadas laterales para comprender la

diferenciabilidad y continuidad de una función. Por tal motivo se presentará a
continuación las definiciones de:
Derivada por la derecha: se denota por 𝑓+′ (𝑥0 ) y se define por la igualdad:
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑓+′ (𝑥0 ) = lim+
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
Derivada por la izquierda: se denota por 𝑓−′ (𝑥0 ) y se define por la igualdad:
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑓−′ (𝑥0 ) = lim−
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede decir que la derivada 𝑓 ′ (𝑥0 ) existe siempre y
cuando las derivadas laterales sean iguales y existan 𝑓+′ (𝑥0 ) = 𝑓−′ (𝑥0 ) .
El teorema a describir a continuación relaciona a la diferenciabilidad con la continuidad
de una función en un punto 𝑥0 cualquiera:
4
Teorema de diferenciabilidad y continuidad
Si una función 𝑓 es derivable en un punto 𝑥0 , entonces 𝑓 es continua en el punto 𝑥0 .

(Hernández, 2009)
Ejemplo: se considera 𝑥0 = 0 y la función:

−1, 𝑥<0
𝑓 (𝑥 ) = {
𝑥 − 1, 𝑥≥0
Primero se determinará si 𝑓 es continua en 0 y si 𝑓′(0) existe:
𝑓 (0) = 0 − 1 = −1
Cabe recalcar que para calcular 𝑓(0) se utiliza 𝑥 − 1 ya que su dominio lo contiene 𝑥 ≥
0.
Ahora se procede a calcular los límites laterales:
lim 𝑓(𝑥) = lim+ (𝑥 − 1) = 0 − 1 = −1
𝑥→0+ 𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) = lim− (−1) = −1

𝑥→0− 𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = −1

𝑥→0+ 𝑥→0 𝑥→0
Puesto que lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) entonces se puede decir que 𝑓 es continua en 𝑥 = 0.
𝑥→0
Ahora se verificará si la función es derivable en 𝑥 = 0, para eso se calculan las

derivadas laterales:
𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(0) 𝑥 − 1 − (−1) 𝑥
𝑓+′ (0) = lim+ = = =1
𝑥→0 𝑥−0 𝑥 𝑥
𝑓(𝑥 ) − 𝑓(0) −1 − (−1) 0
𝑓−′ (0) = lim− = = =0
𝑥→0 𝑥−0 𝑥 𝑥
Debido a que 𝑓+′ (0) ≠ 𝑓−′ (0) entonces 𝑓′(0) no existe.
5
2.2 Criterios de continuidad
Definición de continuidad
» Una función 𝑓 es continua en un punto en el plano 𝑥0 si se cumple que:

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
» Además, una función 𝑓 es continua por la derecha en un punto 𝑥0 si:

𝑥→𝑥0+
» Y una función 𝑓 es continua por la izquierda en un punto 𝑥0 si:

𝑥→𝑥−
0

Fuente: (Prof.David, 2018)

7:12
http://bit.ly/2DWFfzU
6
En resumen, para que una función sea continua deberá cumplir con los siguientes
requerimientos:
1. 𝑓(𝑎) debe existir.
2. lim 𝑓(𝑥) debe estar definida.
𝑥→𝑥0
3. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥→𝑥0
Ejemplo: Determinar si la función es continua en 𝑥 = 2 y si 𝑓′(2) existe: (Ejemplo tomado

de: Cálculo diferencial: para cursos con enfoque por competencias. Ejemplo1. pág. 150)
𝑥2 − 4
𝑓 (𝑥 ) =
𝑥−2
Primero se determinará si 𝑓 está definida en 𝑥 = 2:
(2)2 − 4 4 − 4 0
𝑓 (2) = = =
2−2 2−2 0
Como se puede notar, la función no está definida en 𝑥 = 2. Pero en este caso se puede
factorizar para poder determinar el límite:
𝑥 2 − 4 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑓 (𝑥 ) = = =𝑥+2
𝑥−2 𝑥−2
𝑓 (2) = 2 + 2 = 4
Ya que se pudo factorizar para evaluar el límite y eliminar la indeterminación se dice
que la función es removible en 𝑥 = 2.
Ahora se procede a calcular los límites laterales:
𝑥 2 − 4 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
lim+ = =𝑥+2=2+2=4
𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2
𝑥 2 − 4 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
lim− = =𝑥+2=2+2=4
𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2
lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 4
𝑥→2+ 𝑥→2 𝑥→2
Ya que la función no está definida para 𝑥 = 2, se concluye que la función es

discontinua en tal punto. Ya que la función es discontinua entonces no es derivable.
7
3. Bibliografía
» Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial: para cursos con enfoque
por competencias. México: Pearson Educación de México, S.A.
» Hernández, E. (2009). Cálculo diferencial e integral, con aplicaciones. Costa Rica:

Revista digital Matemática Educación e Internet.
» [KhanAcademyEspañol]. (2015). Derivabilidad implica continuidad [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=a5wS0Gp7I_Y
» [Prof. David]. (2018). Continuidad de una función, Criterios y ejemplos [Archivo de
video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=CpHm775Ew_U
8
ÍNDICE

3

3
2.1 : Razón de cambio promedio 4
2.2 Razón de cambio instantánea 9
2.3 Aplicaciones de razón de cambio 13
3. Bibliografía 18
2
Tema de la semana:
» Objetivo:
Resolver situaciones problémicas en diferentes áreas del conocimiento, usando

el concepto de derivación, para aplicar la teoría a problemas de optimización.
» Tema:
Razón de cambio
» Subtemas:
1. Razón de cambio promedio.

2. Razón de cambio instantánea.
3. Aplicaciones de razón de cambio.
» Unidad:
Aplicaciones de la derivada
9H
3
Aplicaciones de la derivada – Razón de Cambio
2.1 Razón de cambio promedio
La razón de cambio promedio de una función 𝑓 en un intervalo 𝐼 cerrado, es la

pendiente de la recta secante que pasa por los puntos 𝑃 y 𝑄 :
Figura 1. Gráfica de razón de cambio promedio

Fuente: (Thomas & George, 2006)
Dicho lo anterior podemos definir a la razón de cambio promedio de una función 𝑓

como:
Δ𝑦 𝑓 (𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1 )

= =
Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ℎ
Teniendo en cuenta que el denominador sea diferente de cero, es decir ℎ ≠ 0.

Además, podemos decir lo siguiente:
4
» La variación ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1 ) muestra el cambio que experimenta la

variable 𝑦.
» De la misma manera, la variación ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = ℎ muestra el cambio que
experimenta la variable 𝑥.
En conclusión, la razón de cambio compara el cambio de la variable 𝑦 con respecto al

cambio de la variable 𝑥.
Ejemplos: (Ejemplo tomado de: Cálculo diferencial e integral I: Problemas resueltos. Razones de
cambio relacionadas. pág. 326-339)
1. La cantidad de calor ℎ (en joules) que se necesita para convertir un gramo de

agua en vapor es función de la temperatura 𝑡 (en ℃) de la atmósfera según la
−8𝑡+7520
ley ℎ(𝑡) = . Encuentre las razones de cambio promedio de la cantidad
3
de calor ℎ con respecto a la temperatura 𝑡 de la atmósfera, para 0 ≤ 𝑡 ≤ 60,

en intervalos de 15 grados de amplitud.
Como se ha dicho debemos calcular la razón de cambio promedio desde temperaturas

de 0 a 60 ℃ con amplitud de 15 grados:
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟓
−8(15) + 7520 −8(0) + 7520

Δℎ 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (15) − 𝑓(0) −
= = = 3 3
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 15 − 0 15 − 0
7400 7520
− 3 −40 8 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
= 3 = = − = −2,67
15 15 3 ℃
𝟏𝟓 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑𝟎
−8(30) + 7520 −8(15) + 7520

Δℎ 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (30) − 𝑓(15) −
= = = 3 3
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 30 − 15 30 − 15
7280 7400
− 3 −40 8 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
= 3 = = − = −2,67
15 15 3 ℃
𝟑𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒𝟓
5
−8(45) + 7520 −8(30) + 7520

Δℎ 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (45) − 𝑓(30) −
= = = 3 3
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 45 − 30 45 − 30
7160 7280
− 3 −40 8 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
= 3 = = − = −2,67
15 15 3 ℃
𝟒𝟓 ≤ 𝒕 ≤ 𝟔𝟎
−8(60) + 7520 −8(45) + 7520

Δℎ 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (60) − 𝑓(45) −
= = = 3 3
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 60 − 45 60 − 45
7040 7160
−
= 3 3 = −40 = − 8 = −2,67 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
15 15 3 ℃
Como se puede observar, la razón de cambio promedio se mantiene constante en

cualquier intervalo de temperatura. Se puede calcular de manera general, siguiendo la
definición de razón de cambio promedio:
−8(𝑡1 ) + 7520 −8(𝑡0 ) + 7520

Δℎ 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) −
= = 3 3
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0
−8𝑡1 + 7520 + 8𝑡0 − 7520 −8𝑡1 + 8𝑡0 −8(𝑡1 − 𝑡0 )

3 3 3 8
= = = =−
𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 3
𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔
Entonces el cambio de temperatura siempre es de −𝟐, 𝟔𝟕 .
℃
2. Un globo esférico se infla con un gas. Encuentre la razón de cambio media del
volumen con respecto al radio cuando éste cambia de 2 m a 2,5 m y cuando
cambia de 2,5 m a 3m.
4
Sabiendo que el volumen de la esfera se calcula por 𝑣 = 3 𝜋𝑟 3 , entonces:
De 2 m a 2,5 m:
4 3 4 3
Δ𝑣 𝑓 (𝑟1 ) − 𝑓(𝑟0 ) 3 𝜋(2,5) − 3 𝜋(2) 𝑚3
= = = 63,88
Δ𝑟 𝑟1 − 𝑟0 2,5 − 2 𝑚
De 2,5 m a 3 m:
6
4 3 4 3
Δ𝑣 𝑓 (𝑟1 ) − 𝑓(𝑟0 ) 3 𝜋(3) − 3 𝜋(2,5) 𝑚3
= = = 95,29
Δ𝑟 𝑟1 − 𝑟0 3 − 2,5 𝑚
3. Un cuerpo se mueve de modo que la ley 𝑠(𝑡) = 2𝑡 + 2 metros describe su

posición después de 𝑡 segundos. Determine la razón de cambio promedio del
desplazamiento con respecto al tiempo transcurrido, durante los primeros 5
segundos, en intervalos de un segundo de amplitud. ¿Cuál es la razón de
cambio del desplazamiento a los dos segundos de iniciado el movimiento?
Calculamos en intervalos de un segundo la razón de cambio:
𝟎≤𝒕≤𝟏
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (1) − 𝑓(0) 2(1) + 2 − 2(0) − 2

= = = = 2 𝑚⁄𝑠
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 1−0 1−0
𝟏≤𝒕≤𝟐
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (2) − 𝑓(1) 2(2) + 2 − 2(1) − 2

= = = = 2 𝑚⁄𝑠
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 2−1 2−1
𝟐≤𝒕≤𝟑
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (3) − 𝑓(2) 2(3) + 2 − 2(2) − 2

= = = = 2 𝑚⁄𝑠
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 3−2 3−2
𝟑≤𝒕≤𝟒
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (4) − 𝑓(3) 2(4) + 2 − 2(3) − 2

= = = = 2 𝑚⁄𝑠
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 4−3 4−3
𝟒≤𝒕≤𝟓
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 𝑓 (5) − 𝑓(4) 2(5) + 2 − 2(4) − 2

= = = = 2 𝑚⁄𝑠
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 5−4 5−4
Esto quiere decir que el móvil recorre 2 metros por cada segundo transcurrido,
también se puede interpretar como la razón de cambio promedio del desplazamiento
con respecto al tiempo.
7
También se puede calcular la razón de cambio, reemplazando la función 𝑠(𝑡) = 2𝑡 + 2

en la siguiente fórmula:
Δ𝑠 𝑓 (𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 ) 2(𝑡1 ) + 2 − [2(𝑡0 ) + 2] 2𝑡1 + 2 − 2𝑡0 − 2 2𝑡1 − 2𝑡0

= = = =
Δ𝑡 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0
2𝑡1 − 2𝑡0 2(𝑡1 − 𝑡0 )

= = 2 𝑚⁄𝑠
𝑡1 − 𝑡0 𝑡1 − 𝑡0
Hemos constatado que la razón de cambio promedio es de 2 𝑚⁄𝑠. Ahora como la razón
de cambio se mantiene constante en cualquier momento de 𝑡, por ende a los 2
segundos será también 2 𝑚⁄𝑠.
Ejercicio:
1. En un movimiento rectilíneo, la posición de un automóvil a las 𝑡 horas es:
7
𝑠(𝑡) = 50𝑡 − 𝑘𝑚
𝑡+1
Calcular la velocidad promedio durante las 2 primeras horas.

8
2.2 Razón de cambio instantánea
Se puede definir a la razón de cambio instantánea de una función 𝑓 con respecto a

otra variable 𝑥 en un número 𝑥0 , como la derivada de:
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim
ℎ→0 ℎ
Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea (siempre
y cuando el límite exista) de la variable 𝑦 con respecto a la variable 𝑥.
Figura 2. Gráfica de razón de cambio instantánea

Fuente: (Thomas & George, 2006)
Como se puede notar en la gráfica las razones de cambio instantáneas son los límites
de las razones de cambio promedio.
Cuando la variable independiente es el tiempo
» Si tenemos que 𝑥 = 𝑓(𝑡) es la posición de una partícula en un instante en el

𝑑𝑥
tiempo 𝑡, entonces su derivada = 𝑓′(𝑡) representa la velocidad instantánea de
𝑑𝑡
la partícula.
» Ahora si 𝑣 = ℎ(𝑡) es la velocidad de un móvil en un instante en el tiempo 𝑡,
9
𝑑𝑣
entonces 𝑑𝑡 = ℎ′(𝑡) representa la aceleración instantánea de la partícula.
Ejemplo: (Ejemplo tomado de: Cálculo diferencial e integral I: Problemas resueltos. Razones de cambio
relacionadas. pág. 326-339)
1. Un cuerpo que es lanzado hacia arriba se mueve de modo que su posición

después de 𝑡 segundos está dada por la función 𝑓 (𝑡) = −2𝑡 2 + 12𝑡 + 9
metros. ¿Cuál es la razón de cambio del desplazamiento a los dos segundos de
iniciado el movimiento?
Como se sabe la razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio
promedio, entonces:
𝑓 (𝑡0 + ℎ) − 𝑓(𝑡0 )
lim
ℎ→0 ℎ
−2(𝑡0 + ℎ)2 + 12(𝑡0 + ℎ) + 9 − [−2(𝑡0 )2 + 12(𝑡0 ) + 9]
= lim
ℎ→0 ℎ
−2(𝑡02 + 2𝑡0 ℎ + ℎ2 ) + 12𝑡0 + 12ℎ + 9 − [−2𝑡02 + 12𝑡0 + 9]
= lim
ℎ→0 ℎ
−2𝑡02 − 4𝑡0 ℎ − 2ℎ2 + 12𝑡0 + 12ℎ + 9 + 2𝑡02 − 12𝑡0 − 9
= lim
ℎ→0 ℎ
−4𝑡0 ℎ − 2ℎ2 + 12ℎ ℎ(−4𝑡0 − 2ℎ + 12)
= lim = lim = lim −4𝑡0 − 2ℎ + 12
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0
= −4𝑡0 + 12
Reemplazamos 𝑡0 por 2 segundos:
−4𝑡0 + 12 = −4(2) + 12 = −8 + 12 = 4 𝑚⁄𝑠
También podemos resolver esta cuestión derivando directamente 𝑓(𝑡), ya que la
derivada representa la velocidad instantánea del móvil en un instante 𝑡:
𝑓 (𝑡) = −2𝑡 2 + 12𝑡 + 9

𝑓′(𝑡) = −4𝑡 + 12
Reemplazando los 2 segundos:
𝑓 ′ (𝑡) = −4𝑡 + 12 = −4(2) + 12 = −8 + 12 = 4 𝑚⁄𝑠
2. Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una
𝑝𝑖𝑒𝑠⁄
velocidad inicial de 320 𝑠, entonces su distancia arriba del suelo está dada
10
por ℎ(𝑡) = −16𝑡 2 + 320𝑡. Calcule su velocidad a los 4 segundos de haber sido
lanzada.
Podemos utilizar el límite:
ℎ(𝑡0 + ℎ) − ℎ(𝑡0 )
lim
ℎ→0 ℎ
−16(𝑡0 + ℎ)2 + 320(𝑡0 + ℎ) − [−16(𝑡0 )2 + 320(𝑡0 )]
= lim
ℎ→0 ℎ
−16(𝑡02 + 2𝑡0 ℎ + ℎ2 ) + 320𝑡0 + 320ℎ − [−16𝑡02 + 320𝑡0 ]
= lim
ℎ→0 ℎ
−16𝑡02 − 32𝑡0 ℎ − 16ℎ2 + 320𝑡0 + 320ℎ + 16𝑡02 − 320𝑡0
= lim
ℎ→0 ℎ
−32𝑡0 ℎ − 16ℎ2 + 320ℎ ℎ(−32𝑡0 − 16ℎ + 320)
= lim = lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= lim −32𝑡0 − 16ℎ + 320 = −32𝑡0 + 320
ℎ→0

𝑝𝑖𝑒𝑠⁄
−32𝑡0 + 320 = −32(4) + 320 = −128 + 320 = 192 𝑠
Y se sabe que se puede resolver esta cuestión derivando directamente ℎ(𝑡):
ℎ(𝑡) = −16𝑡 2 + 320𝑡
ℎ′(𝑡) = −32𝑡 + 320
𝑝𝑖𝑒𝑠⁄
ℎ′ (𝑡) = −32𝑡 + 320 = −32(4) + 320 = −128 + 320 = 192 𝑠
3. En un movimiento rectilíneo, la posición de una partícula a los 𝑡 segundos es
𝑠(𝑡) = 2𝑡 2 − 3𝑡 + 1 metros. Encontrar la velocidad instantánea a los 3
segundos.
𝑠 (𝑡0 + ℎ) − 𝑠(𝑡0 )
lim
ℎ→0 ℎ
2(𝑡0 + ℎ)2 − 3(𝑡0 + ℎ) + 1 − [2(𝑡0 )2 − 3(𝑡0 ) + 1]

= lim
ℎ→0 ℎ
2(𝑡02 + 2𝑡0 ℎ + ℎ2 ) − 3𝑡0 − 3ℎ + 1 − [2𝑡02 − 3𝑡0 + 1]
= lim
ℎ→0 ℎ
2𝑡02 + 4𝑡0 ℎ + 2ℎ2 − 3𝑡0 − 3ℎ + 1 − 2𝑡02 + 3𝑡0 − 1
= lim
ℎ→0 ℎ
4𝑡0 ℎ + 2ℎ2 − 3ℎ ℎ(4𝑡0 + 2ℎ − 3)
= lim = lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= lim 4𝑡0 + 2ℎ − 3 = 4𝑡0 − 3
ℎ→0
11

4𝑡0 − 3 = 4(3) − 3 = 12 − 3 = 9 𝑚⁄𝑠
Y se sabe que se puede resolver esta cuestión derivando directamente 𝑠(𝑡):
𝑠(𝑡) = 2𝑡 2 − 3𝑡 + 1
𝑠 ′ (𝑡) = 4𝑡 − 3
𝑠 ′ (𝑡) = 4𝑡 − 3 = 4(3) − 3 = 12 − 3 = 9 𝑚⁄𝑠
Ejercicio:
1. En un movimiento rectilíneo, la posición de un automóvil a las 𝑡 horas es:
7
𝑠(𝑡) = 50𝑡 − 𝑘𝑚
𝑡+1
Calcular la velocidad instantánea a las 2 horas.

12
2.3 Aplicaciones de razón de cambio
Pasos para resolver ejercicios de aplicación sobre razón de cambio:

1) Lea un par de veces el problema tratando de imaginarse la situación planteada.
Si es factible, haga un esquema que represente la situación.
2) Identifique las variables y los datos en el problema.
3) Escriba los hechos numéricos conocidos acerca de las variables y de sus
derivadas con respecto a la variable 𝑡.
4) Escriba lo que desea determinar.
5) Escriba una ecuación que relacione a las variables que dependen de 𝑡. Este es el
modelo matemático de nuestra situación.
6) Derive con respecto a 𝑡 los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4)
para relacionar las tasas de variación de las variables.
7) Sustituya los valores de las cantidades conocidas en la ecuación en el paso 5) y
despeje la cantidad deseada.
Ejercicios de aplicación de razón de cambio
1. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 𝑚3 /𝑚𝑖𝑛 hacia el interior de un
depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 𝑚 de altura y 4 𝑚 de
radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta alcanza 5 𝑚 de
profundidad?
Paso 1) elaborar un esquema:
13
Figura 3. Esquema del problema

Fuente: (Herrera, 2016)
http://bit.ly/2M4VNwq
Paso 2) Identificar variables y datos del problema:
𝑡 ⇒ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
ℎ ⇒ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑟 ⇒ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉 ⇒ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Paso 3) Hechos numéricos:

𝐻 = 16 𝑚 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜)
𝑅 = 4 𝑚 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜)
𝑑𝑉
= 2 𝑚3 /𝑚𝑖𝑛
𝑑𝑡
Paso 4) lo que se desea determinar:
14
𝑑ℎ
|
𝑑𝑡 ℎ=5
Paso 5) Ecuación:
𝜋𝑟 2 ℎ
𝑉=
3
𝑑𝑉 𝑑ℎ
Se desea conocer y se desea conocer , por lo tanto debemos considerar la
𝑑𝑡 𝑑𝑡
ecuación del volumen en función de la altura.
Por Thales:
16 4 ℎ
= ⟷𝑟=
ℎ 𝑟 4
Sustituyendo en la ecuación:
ℎ 2 ℎ2 ℎ3
𝜋𝑟 ℎ2 𝜋 (4 ) ℎ 𝜋 16 ℎ 𝜋 16 𝜋ℎ3
𝑉= = = = =
3 3 3 3 48
Paso 6) Derivamos:
𝑑𝑉 3𝜋 2 𝑑ℎ
= ℎ
𝑑𝑡 48 𝑑𝑡
Paso 7) Evaluando:
𝑑𝑉 3𝜋 2 𝑑ℎ
= ℎ
𝑑𝑡 48 𝑑𝑡
2𝑚3 3𝜋 𝑑ℎ
= (5) 2
𝑚𝑖𝑛 48 𝑑𝑡
= 25
= 25
𝑑ℎ 2(48) 96 32 𝑚
= = = = 0,41
𝑑𝑡 3𝜋25 3𝜋25 𝜋25 𝑚𝑖𝑛
15
2. Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo

radio cambia a razón de 1,8 𝑚⁄𝑚𝑖𝑛. ¿A qué razón está creciendo el área de la
región incendiada cuando el radio alcanza 60 metros?

Sabiendo que el área de un circulo es 𝐴 = 𝜋𝑟 2 , y que el radio 𝑟 cambia con el tiempo,
por tanto 𝑟 es función del tiempo 𝑟 = 𝑟(𝑡), entonces el área también es función del
tiempo 𝐴 = 𝐴(𝑡):
𝐴 = 𝜋𝑟 2 ⇒ 𝐴(𝑡) = 𝜋𝑟 2 (𝑡)
Derivando con respecto al tiempo 𝑡:
𝑑 𝑑 𝑑𝐴 𝑑𝑟
𝐴(𝑡) = [𝜋𝑟 2 (𝑡)] ⇒ = 2𝜋𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝑟
Se debe tener en cuenta que es la razón de cambio del área y es la razón de
𝑑𝑡 𝑑𝑡
cambio del radio, ambas derivadas con respecto a 𝑡.
𝑑𝑟 𝑚
Entonces 𝑟 = 60 𝑚 y = 1,8 , tenemos:
𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛
𝑑𝐴 𝑚 𝑚2
= 2𝜋(60 𝑚 ) (1,8 ) = 216𝜋
𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛
Por lo tanto, la razón de cambio del área es:
𝑑𝐴 𝑚2
= 679
𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛
3. Sea 𝑙 la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes
1
𝑥 y 𝑦 respectivamente. Si 𝑥 aumenta con una rapidez de 𝑚/𝑠 y si 𝑦
2
1
disminuye con una rapidez de 4 𝑚/𝑠. ¿A qué razón está cambiando la longitud
de la diagonal cuando 𝑥 = 3 𝑚 y 𝑦 = 4 𝑚?, ¿La diagonal está aumentando o

disminuyendo en ese instante?
realizamos un bosquejo sobre el problema:
𝑙(𝑡)
𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡)
16
De la figura tenemos:
𝑙 2 (𝑡) = 𝑥 2 (𝑡) + 𝑦 2 (𝑡)
Derivando con respecto a 𝑡:
𝑑 2 𝑑
[𝑙 (𝑡)] = [𝑥 2 (𝑡) + 𝑦 2 (𝑡)]
𝑑𝑦 𝑑𝑡
2𝑙(𝑡)𝑙 ′ (𝑡) = 2𝑥(𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 2𝑦(𝑡)𝑦 ′ (𝑡)
2𝑥(𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 2𝑦(𝑡)𝑦 ′ (𝑡) 𝑥(𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡)𝑦 ′ (𝑡)
𝑙 ′ (𝑡 ) = =
2𝑙(𝑡) 𝑙(𝑡)
Entonces, teniendo los datos proporcionados por el problema:
1 1
𝑥(𝑡) = 3; 𝑦(𝑡) = 4; 𝑥 ′ (𝑡) = ; 𝑦 ′ (𝑡) = −
2 4
𝑙(𝑡) = √32 + 42 = √25 = 5
Sustituyendo:
1 1 3 1
′(
𝑥(𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡)𝑦 ′ (𝑡) 3 (2) + 4 (− 4) 2 −1 2 1
𝑙 𝑡) = = = = =
𝑙(𝑡) 5 5 5 10
La longitud de la diagonal crece en ese momento , puesto que 𝑙 ′ (𝑡) > 0.
Ejercicio:
1. Dos automóviles, uno va hacia el este a una velocidad de 90 Km/h y el otro
hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué
velocidad se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer
auto está a 0,2 km de la intersección y el segundo a 0,15 km de la misma?
17
3. Bibliografía
» Espinosa Herrera, E., Canals Navarrete, I., Meda Vidal, M., Pérez Flores, R., & Ulín
Jiménez, C. (2008). Cálculo diferencial e integral I: Problemas resueltos. México:
Reverté.
» Herrera, O. (25 de mayo de 2016). Optimización y Tasas Relacionadas. Obtenido de

http://optimizacionytazasrelacionadas.blogspot.com/
» Thomas, J., & George, B. (2006). Cálculo. Una variable. Undécima edición. México:
Pearson Educación.
» Thomas & George. (2006). Gráfica de razón de cambio promedio. [Figura]. Imagen
tomada del libro "Cálculo. Una variable"
» Thomas & George. (2006). Gráfica de razón de cambio instantánea. [Figura]. Imagen
tomada del libro "Cálculo. Una variable"
» Herrera, O. (2016). Esquema del problema. [Figura]. Recuperado de

http://optimizacionytazasrelacionadas.blogspot.com/
18

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ÍNDICE

1. Información de la unidad / Tema de la semana

2. Información de los subtemas 34

2.1 Descripción algebraica. 4

2.2 Notación de Leibniz. 7

2.3 Ejemplo conceptual. 9

2.4 Ejemplo algebraico. 11

Desarrollar métodos para calcular la derivada de una función de variable real,

La derivada en la función real

» Total de horas de la asignatura:

2. Informacion de los subtemas

2.1 Descripción algebraica

Se sugiere observar el siguiente video:

Fuente: (Matemáticas sencillas, 2016)

Regla de la cadena: si 𝒈 es derivable en 𝒙 y 𝒇 es derivable en 𝒈(𝒙), entonces la

Ahora, para hacerlo más simple vamos a realizar la siguiente asignación:

Podemos observar que 𝐻 ⟶ 0, ya que esto se cumple podemos despejar 𝑔(𝑥 + ℎ) y

2.2 Notación de Leibniz

Se sugiere ver el siguiente video:

Fuente: (Luis Corona, 2015)

La notación de Leibniz es una de las distintas maneras de representar la derivada de

Teniendo en cuanta la notación de Leibniz, la regla de la cadena se representaría

2.3 Ejemplo conceptual

Realizamos un cambio de variable:

Realizamos un cambio de variable:

Realizando el cambio de variable:

2.4 Ejemplo algebraico

Ejemplo: sea 𝑦 = (4 + 2𝑥 2)7, encuentre 𝑦′

Ejemplo: sea 𝑦 = cos(3𝑥2 − 2𝑥), encuentre 𝑦′

Ejemplo: sea 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛2(2𝑥), encuentre 𝑦′

Ya teniendo la derivada del 𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥), entonces aplicamos la derivada de un producto :

Resolver los siguientes ejercicios de límites al infinito:

» Stewart, J. (2012). Cáculo de una variable. Trascendentes tempranas. México: Cengage

» [Matemáticas sencillas]. (2016). Regla de la cadena para derivar funciones. Cálculo

» [Luis Corona]. (2015). Derivadas 17: Notación de Leibniz [Archivo de video].

1. Información de la unidad / Tema de la semana

2. Información de los subtemas 34

2.1 Derivadas implícitas. 4

2.3 Derivadas en funciones trigonométricas inversas. 12

2.4 Derivadas en función exponencial y logarítmica. 17

2.5 Derivadas en funciones paramétricas. 20

2.6 Derivadas de orden superior. 22

Desarrollar métodos para calcular la derivada de una función de variable real,

Derivadas en funciones no lineales

La derivada en la función real

» Total de horas de la asignatura:

2. Informacion de los subtemas

2.1 Derivadas implícitas

Teniendo en cuenta los teoremas estudiados anteriormente, podemos determinar la

en el resultado por derivación implícita:

Análisis de la derivada implícita mediante un ejercicio:

Fuente: (lasmatematicas.es, 2011)

Encontrar la derivada de las siguientes funciones implícitas:

2.2 Derivadas en funciones trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas son las siguientes:

Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4):

Se exponen unos ejemplos:

Utilizando la regla de la cadena:

Ejemplo: determinar la derivada de ℎ(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛2 (2𝑥):

Utilizando la regla de la cadena: