Capítulo 10

Geometría Analítica
La gráfica de la elipse sería:

Y
4x2 9y2 32x 54y 109 = 0
6

4
V1 F1 O F2 V2
3

1
x2 y2 8x 6y 21 = 0
X
1 0 1 2 3 4 5 6 7

10.2.4 Hipérbola

Definición 10.6 (Hipérbola)

Conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, tales que el

valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
denominados focos F1 y F2, es una constante.
Hipérbola = {P(x, y) 2
/ d (P, F1) d(P, F2) ฀= constante}

Y
P(x, y)
V1 V2
F1 O F2

El valor constante al cual se hace referencia en la definición es 2a y corresponde

a la longitud del eje transverso de la hipérbola. La mediatriz de este eje se
denomina eje conjugado de la hipérbola.


  

  pág. 851
 El punto donde se intersecan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto
medio de los focos) se denomina centro de la hipérbola O.

Los puntos donde la hipérbola interseca al eje transverso se denominan

vértices de la hipérbola V1 y V2.

Al igual que en la elipse, se conoce como distancia focal a la distancia

entre los dos focos 2c. La distancia entre los vértices es 2a. A diferencia de
la elipse, aquí se tiene 2c 2a por tanto c a y se puede considerar
b = c2฀ ฀a2. Este valor se denomina longitud del semieje conjugado de la
hipérbola.

El segmento de recta perpendicular al eje transverso, que une dos puntos de

la hipérbola y que incluye a uno de los focos, se denomina lado recto y su
2
longitud es 2b .
a
El cociente e = c , que es un número mayor que 1, se denomina excentricidad
a
de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas

centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

Forma canónica de la ecuación de una hipérbola

La ecuación de una hipérbola centrada en el origen, y con focos en F1( c, 0)

y F2(c, 0), se puede obtener aplicando la definición:

d (P, F1) d(P, F2) = 2a (se supondrá que d(P, F1) ฀d(P, F2))
(x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 ฀ ฀ (x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 ฀= 2a (I)
(x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 ฀ ฀ (x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 = f (II)

Multiplicando las expresiones (I) y (II):

2 2
( ) (
(x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 ฀ ฀ (x฀ ฀c)2฀ ฀( y)2 ) = 2af

(x2 ฀2xc฀ ฀c2฀ ฀y2) ฀(x2 ฀2xc฀ ฀c2฀ ฀y2) = 2af

x2 ฀2xc฀ ฀c2฀ ฀y2 ฀x2 ฀2xc฀ ฀c2฀ ฀y2 = 2af
4xc฀= 2af
f = 2xc
a


  

 
pág. 852
 Capítulo 10
Geometría Analítica
Reemplazando f en (II) y sumando las expresiones (I) y (II):

2 (x฀ ฀c)2฀ ฀y2 = 2a ฀ 2xc

a
Simplificando y elevando al cuadrado:
2 2
(x฀ ฀c)2฀ ฀y2 = a2฀ ฀2xc ฀ x c2
a
2 2
x ฀ ฀2xc฀ ฀c ฀ ฀y = a ฀ ฀2xc ฀ x c2
2 2 2 2
a
x 2c2
c ฀ ฀a = 2 ฀x ฀y
2 2 2 2
a
2
[
c2฀ ฀a2 = x2 c2 ฀ ฀1 ฀y2
a ]
x2 c ฀ 2฀a
[ ]
2 2
฀y2 = c2฀ ฀a2
a
Resolviendo y dividiendo la expresión por c2฀ ฀a2:
x2 y2
฀ ฀ =1
a2 c2 ฀a2

Reemplazando c2฀ ฀a2 por b2, tenemos:

x2 y2
฀ ฀ =1
a2 b2

Ecuación de una hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Si una hipérbola tiene sus ejes transverso y conjugado paralelos a los ejes de
coordenadas, y su centro en el punto O(h, k), se pueden dar los siguientes casos:

▪ Eje transverso horizontal:

Y V (h฀ ฀a, k) V2(h฀ ฀a, k)
1

(x฀ ฀h)2 ( y฀ ฀k)2

฀ 2 =1
a2 b
F1 (h฀ ฀c, k) O(h, k) F2 (h฀ ฀c, k)


  

  pág. 853
 Los vértices son los puntos de la forma (h฀ ฀a, k), y los focos son de la
forma (h฀ ฀c, k).

▪ Eje transverso vertical:

Y
F1 (h, k฀ ฀c)
( y฀ ฀k)2 (x฀ ฀h)2
฀ 2 =1 V1 (h, k฀ ฀a)
a2 b

O(h, k)

V2 (h, k฀ ฀a)
F2 (h, k฀ ฀c)
X

Los vértices son los puntos de la forma (h, k฀ ฀a), y los focos son de la
forma (h, k฀ ฀c).

En ambos casos, los focos están en la intersección del círculo centrado en

O(h, k), y de longitud de radio c, con el eje transverso.

Asíntotas oblicuas de una hipérbola

Para el caso de una hipérbola con eje transverso horizontal, cuyo centro es
el origen de coordenadas, la ecuación sería:
x2 y2
฀ =1
a2 b2

Despejando y en la ecuación:
y2 x2
= ฀1
b2 a2
2
(
y2 = b2 x 2 ฀1
a )
2 2 2
y2 = b x2 1 ฀ a2
( )
a x
bx 2
y = ฀ 1 ฀ a2
a x


  

 
pág. 854
 Capítulo 10
Geometría Analítica
2
Cuando x ฀ ฀∞ o cuando x ฀ ฀∞, el término a2 se aproxima a cero, de
x
modo que la expresión radical se aproxima a uno. La gráfica de la hipérbola
se aproxima a las asíntotas oblicuas, cuyas ecuaciones son:

y = b x y y = ฀b x
a a
Para el caso de una hipérbola con eje transverso vertical, cuyo centro es el
origen de coordenadas, la ecuación sería:
y2 x2
฀ =1
a2 b2
Realizando un procedimiento algebraico similar, esta hipérbola tiene dos
asíntotas oblicuas, cuyas ecuaciones son:

y = a x y y = ฀a x
b b

Si el centro de la hipérbola es O(h, k), considere:

Eje transverso horizontal

Las asíntotas oblicuas tienen las ecuaciones:

( y฀ ฀k) = b (x฀ ฀h) y ( y฀ ฀k) = ฀ b (x฀ ฀h)

a a
Eje transverso vertical
Las asíntotas oblicuas tienen las ecuaciones:

( y฀ ฀k) = a (x฀ ฀h) y ( y฀ ฀k) = ฀ a (x฀ ฀h)

b b
Dos hipérbolas que tienen el mismo conjunto de asíntotas son denominadas
conjugadas, como es el caso de las hipérbolas x2฀ ฀y2 = 1 y y2฀ ฀x2 = 1.

Rectángulo auxiliar

Las dimensiones de este rectángulo son 2a y 2b; geométricamente, las

diagonales de esta figura plana forman parte de las asíntotas oblicuas a las
cuales se ha hecho referencia. El área de la superficie de este rectángulo es
4ab unidades cuadradas.

Si el rectángulo auxiliar es un cuadrado, esto es a = b, a este tipo de hipérbolas

que tienen iguales las longitudes de sus semiejes se denominan hipérbolas
equiláteras.


  

  pág. 855
 Forma general de la ecuación de una hipérbola

Dada una ecuación del tipo Ax2฀ ฀By2฀ ฀Dx฀ ฀Ey฀ ฀F = 0, A, B, D, E, F ;

(x฀ ฀h)2 ( y฀ ฀k)2
A ≠ 0, B ≠ 0, ésta puede transformarse en otra del tipo ฀ 2 =1
a2 b
( y฀ ฀k)2 (x฀฀h)2
ó ฀ = 1, la cual representa la ecuación de una hipérbola con
a2 b2
eje transverso horizontal o vertical, respectivamente.

Así, la condición necesaria para que la ecuación cuadrática represente a una

hipérbola, es que los coeficientes A y B tengan signos diferentes.

Ejemplo 10.38 Ecuación de una hipérbola.

Encuentre la forma canónica de la ecuación de la hipérbola

x2฀ ฀y2฀ ฀2x฀ ฀4y฀ ฀12 = 0.
Determine su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.

Solución:
(x2฀ ฀2x)฀ ฀( y2฀ ฀4y)฀ ฀12 = 0
(x฀ ฀1)2฀ ฀1 ฀( y฀ ฀2)2฀ ฀4฀ ฀12 = 0
(x฀ ฀1)2฀ ฀( y฀ ฀2)2 = 1฀ 4฀ ฀12 = 9
(x฀ ฀1)2 ( y฀ ฀2)2
฀ =1
9 9

Se trata de una hipérbola con el eje transverso horizontal, con centro

en O( 1, 2) y sus semiejes a = 3, b = 3.

Los vértices son los puntos V1( ฀4, 2) y V2(2, 2).

La semidistancia focal es c = a2฀ ฀b2 = 18 = 3 2 .

Los focos son F1( 1 ฀3 2, 2) y F2( 1 ฀3 2, 2).

Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la
ecuación reducida:

x฀ ฀1 = y฀ ฀2 ฀ y = x฀ ฀3
x฀ ฀1 = ฀y฀ ฀2 ฀ y = 1฀ ฀x


  

 
pág. 856
 Capítulo 10
Geometría Analítica
Su gráfica sería:

Y
y = 1฀ ฀x y = x฀ ฀3

F1( 1 ฀3 2, 2) F2( 1 ฀3 2, 2)
X

V1( ฀4, 2) V2(2, 2)

Ejemplo 10.39 Ecuación de una hipérbola.

Encuentre la forma canónica de la ecuación de la hipérbola

4x2฀ ฀9y2฀ ฀8x฀ ฀36y฀ ฀4 = 0.
Determine su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.
Solución:
Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se sacan
como factores comúnes, el coeficiente del término cuadrático:

(4x2฀ ฀8x)฀ ฀(9y2฀ ฀36y)฀ ฀4 = 0

4(x2฀ ฀2x)฀ ฀9( y2฀ ฀4y)฀ ฀4 = 0

Se completa trinomio cuadrado perfecto en x y y:

4(x฀ ฀1)2฀ ฀4 ฀9( y฀ ฀2)2฀ ฀36 ฀4 = 0

Se divide entre ฀36:

4(x฀ ฀1) 2
9( y฀ ฀2)2
฀฀ =1
฀36 ฀36
(x฀ ฀1)2 ( y฀ ฀2)2 (x฀ ฀1)2 ( y฀ ฀2)2 ( y฀ ฀2)2 (x฀ ฀1)2
฀฀฀ = 1 ฀฀฀ ฀฀฀ = 1 ฀฀฀ ฀฀฀ =1
฀36/4 ฀36/9 ฀9 ฀4 4 9

▪ Se trata de una hipérbola con el eje transverso vertical, con centro en

O(1, 2) y sus semiejes son a = 4 = 2 y b = 9 = 3.


  

  pág. 857
 ▪ Los vértices son los puntos (1, 2 ฀2), es decir, V1(1, 4) y V2(1, 0).
▪ La semidistancia focal es c = a2฀ ฀b2 = 13 .
▪ Los focos son los puntos F1(1, 2 ฀ 13) y F2(1, 2฀ ฀ 13).
▪ Asíntotas:

฀y฀ ฀2 = ฀ 2 (x฀ ฀1):

Su gráfica sería:
3 {
y฀ ฀2 = 2 (x฀ ฀1)
3

y฀ ฀2 = ฀ 2 (x฀ ฀1)
3

F1(1, 2 ฀ 13) y฀ ฀2 = 2 (x฀ ฀1)

3

V1(1, 4)
O(1, 2)
X
V2(1, 0)

F2(1, 2฀ ฀ 13) y฀ ฀2 = ฀ 2 (x฀ ฀1)

3

Ejemplo 10.40 Circunferencia e hipérbola.

Si los vértices de la hipérbola 9x2฀ ฀6y2฀ ฀72x฀ ฀24y฀ ฀66 = 0 son los
extremos de uno de los diámetros de una circunferencia, determine la
ecuación de la circunferencia.

Solución:
Analizamos la ecuación de la hipérbola, a fin de obtener la información
necesaria:
9x2 6y2 72x 24y 66 = 0
9(x2 8x 16) ฀6( y2 4y 4) = 66 144 24
9(x 4)2 ฀6( y 2)2 = 54
(x฀ ฀4)2 ( y฀ ฀2)2
฀฀฀ =1
6 9

De donde se obtiene que:

a2฀= 6 ฀ a= 6
b2฀= 9 ฀ b=3


  

 
pág. 858