SECC IÓ N 1.

3 | Expresiones algebraicas 31 32 C A P Í T U LO 1 | Fundamentos

E J E M P LO 1 3 Factorizar por completo una expresión SOLUC IÓN

Factorice por completo cada expresión. (a) x 3 x2 4x 4 1x 3 x22 14x 42 Agrupe términos
2
(a) 2x 4 8x 2 (b) x 5y 2 xy 6 x 1x 12 41x 12 Factorice factores comunes

SOLUC IÓN 1x 2 4 2 1x 12 Factorice x 1 de cada término

(a) Primero factorizamos la potencia de x que tenga el exponente más pequeño. (b) x 3 2x 2 3x 6 1x 3 2x 2 2 13x 62 Agrupe términos

2x 4 8x 2 2x 2 1x 2 42 El factor común es 2x 2 x 2 1x 22 31x 22 Factorice factores comunes

2x 2 1x 2 2 1x 22 Factorice x 2 4 como una diferencia de cuadrados 1x 2 3 2 1x 22 Factorice x 2 de cada término

(b) Primero factorizamos las potencias de x y de y que tengan los exponentes más pequeños. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83
x 5y 2 xy 6 xy 2 1x 4 y42 El factor común es xy 2
2 2 2 2 2
xy 1x y 2 1x y 2 Factorice x 4 y 4 como una diferencia de cuadrados
2 2 2
xy 1x y 2 1x y 2 1x y2 Factorice x 2
y 2 como una diferencia de cuadrados 1.3 EJERCICIOS
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 115 Y 117
CON CE P TOS Polinomio Tipo Términos Grado
En el siguiente ejemplo factorizamos variables con exponentes fraccionarios. Este tipo
1. Considere el polinomio 2x5 6x4 4x3.
de factorización se presenta en cálculo. 9. 8
¿Cuántos términos tiene este polinomio? _____
10. 12 x 7
E J E M P LO 1 4 Factorizar expresiones con exponentes Enliste los términos:______
fraccionarios ¿Cuál factor es común a cada término?_____ 11. x x2 x3 x4
Factorice lo siguiente. Factorice el polinomio: 2x5 6x4 4x3 _____. 12. 12 x 13
(a) 3x 3/2 9x 1/2 6x 1/2
(b) 12 x2 2/3
x 12 x2 1/3 2. Para factorizar el trinomio x2 7x 10, buscamos dos enteros
13-22 Encuentre la suma, diferencia o producto.
cuyo producto sea____ y cuya suma sea____.
SOLUC IÓN 13. 112x 72 15x 122 14. 15 3x 2 12x 82
Estos enteros son ___ y ___, de modo que el trinomio se
(a) Factorice la potencia de x que tenga el exponente más pequeño, es decir, x 1/2
.
factoriza como_____. 15. 13x 2 x 12 12x 2 3x 52
3x 3/2 9x 1/2 6x 1/2
3x 1/2
1x 2 3x 22 Factorice 3x 1/2
Para factorizar x 1/2
de x 3/2, restamos 3. La fórmula de productos notables para la “suma de un cuadrado” 16. 13x 2 x 12 12x 2 3x 52
1/2
exponentes: 3x 1x 1 2 1x 22 Factorice la ecuación de es (A B) 2
______. 17. 1x 3
6x 2
4x 72 13x 2 2x 42
1 1/22
segundo grado x 2 3x 2
x 3/2 x 1/2
1x 3/2 2 Por tanto, (2x 3)2 ______. 18. 31x 12 41x 22
1/2 (b) Factorice la potencia de 2 x que tenga el exponente más pequeño, es decir,
x 1x 3/2 1/2
2 4. La fórmula de productos notables para la “suma y diferencia de 19. 812x 52 71x 92
(2 x) 2/3
x 1/2
1x 2 2 los mismos términos” es (A B)(A B) _________. 20. 41x 2 3x 52 31x 2 2x 12
2/3 1/3 2/3
12 x2 x 12 x2 12 x2 3x 12 x2 4 Factorice 12 x2 2/3
Entonces (5 x)(5 x) __________. 21. 212 5t2 t 2 1t 12 1t 4 12
2/3
12 x2 12 2x 2 Simplifique 5. La fórmula de factorización especial para “la diferencia de
22. 513t 42 1t 2 22 2t1t 32
2/3
212 x2 11 x2 Factorice 2 cuadrados” es A2 B2 ______. Entonces, 4x2 25 se
23-28 Multiplique las expresiones algebraicas usando el método
V E R I F I Q U E S U S R E S P U E S TA S factoriza como _______. FOIL y simplifique.
Para ver que haya factorizado correctamente, multiplique usando las Leyes de Exponentes. 6. La fórmula de factorización especial para un “cuadrado perfecto”
23. 13t 2 2 17t 42 24. 14s 1 2 12s 52
(a) 3x 1/2
1x 2 3x 22 (b) 12 x2 2/3
3x 12 x2 4 es A2 2AB B2 ______. Entonces x2 10x 25 se
25. 13x 5 2 12x 12 26. 17y 32 12y 12
3x 3/2 9x 1/2 6x 1/2 12 x2 2/3
x 12 x 2 1/3 factoriza como _________.
27. 1x 3y 2 12x y2 28. 14x 5y 2 13x y2
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 91 Y 93 29-44 Multiplique las expresiones algebraicas usando una
H A BI L I DA DE S fórmula de producto notable y simplifique.
Factorización por agrupación de términos 7-12 Complete la tabla siguiente diciendo si el polinomio es un
monomio, binomio o trinomio; a continuación, haga una lista de sus 29. 13x 4 22 30. 11 2y2 2
Los polinomios con al menos cuatro términos pueden factorizarse a veces por agrupación términos y exprese su grado. 31. 12u √2 2
32. 1x 3y2 2
de términos. El siguiente ejemplo ilustra la idea.
33. 12x 3y2 2 34. 1r 2s 2 2
Polinomio Tipo Términos Grado
E J E M P LO 1 5 Factorización por agrupación 35. 1x 52 1x 52 36. 1y 32 1y 32
2
7. x 3x 7
Factorice lo siguiente. 37. 13x 4 2 13x 42 38. 12y 52 12y 52
(a) x 3 x 2 4x 4 (b) x 3 2x 2 3x 6 8. 2x 5 4x 2 39. 1 1x 2 2 1 1x 22 40. 1 1y 12 2 1 1y 122
 SECC I ÓN 1.3 | Expresiones algebraicas 33 34 C A P Í T U LO 1 | Fundamentos

41. 1y 2 23 42. 1x 32 3 99. 2x 2 5x 3 100. 2x 2 7x 4 132. Podar un campo Cada semana, un campo cuadrado de 135. Diferencias de potencias pares
cierto parque estatal es podado alrededor de los bordes. El
43. 11 2r2 3 44. 13 2y 2 3 101. 9x 2 36x 45 102. 8x 2 10x 3 (a) Factorice por completo las expresiones: A4 B4 y A6 B6.
resto del campo se mantiene sin podar para que sirva como
103. 49 4y 2 104. 4t 2 9s 2 (b) Verifique que 18,335 124 74 y que 2,868,335
45-60 Ejecute las operaciones indicadas y simplifique. hábitat para aves y animales pequeños (vea la figura). El
126 76.
105. t 2 6t 9 106. x 2 10x 25 campo mide b pies por b pies, y la franja podada es de x pies
45. 1x 2 2 1x 2 2x 32 46. 1x 12 12x 2 x 12 (c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para factorizar
de ancho.
2 2 107. 4x 2 4xy y2 108. r 2 6rs 9s 2 los enteros 18,335 y 2,868,335. A continuación demuestre
47. 12x 52 1x x 12 48. 11 2x 2 1x 3x 12
(a) Explique por qué el área de la parte podada es b2 (b que en estas dos factorizaciones todos los factores son nú-
1 2 1 2
49. 1x1x 1x2 50. x 3/2 1 1x 1/ 1x 2 109. 1a b2 2 1a b2 2 110. a 1 b a1 b 2x)2. meros primos.
x x
51. y 1/3 1y 2/3 y 5/3 2 52. x 1/4 12x 3/4 x 1/4 2 (b) Factorice la expresión de la parte (a) para demostrar que
136. Factorización de An 1 Verifique estas fórmulas al ex-
111. x 2 1x 2 12 91x 2 12 112. 1a 2 12 b 2 41a 2 12 el área de la parte podada también es 4x(b x).
pandir y simplificar el lado derecho.
53. 1x 2 a 2 2 1x 2 a2 2 54. 1x 1/2 y 1/2 2 1x 1/2 y 1/2 2 3 6
113. 8x 125 114. x 64
55. 1 1a b2 1 1a b2 b A2 1 1A 12 1A 12
115. x 3 2x 2 x 116. 3x 3 27x
56. 1 2h2 1 12 1 2h2 1 12 4 3 2 5 3 2 4 x A3 1 1A 12 1A2 A 12
117. x y x y 118. 18y x 2xy
57. 11x 12 x 2 2 1 1x 12 x22 119. 2x 3 4x 2 x 2 120. 3x 3 5x 2 6x 10 A4 1 1A 12 1A3 A2 A 12
58. 1x 12 x 2 2 2 1x 12 x22 2 121. 1x 1 2 1x 2 22 1x 12 2 1x 22 Con base en el patrón mostrado en esta lista, ¿cómo piensa us-
ted que sería posible factorizar A5 1? Verifique su conjetura.
59. 12x y 3 2 12x y 32 60. 1x y z2 1x y z2 122. y 4 1y 2 23 y 5 1y 2 24 b x x
Ahora generalice el patrón que haya observado para obtener
61-66 Factorice el factor común. 123. 1a 2 1 22 71a 2 12 10 una fórmula de factorización para An 1, donde n es un en-
124. 1a 2 2a2 2 21a 2 2a2 3 tero positivo.
61 . 2x 3 16x 62. 2x 4 4x 3 14x 2
2 125-128 Factorice por completo la expresión. (Este tipo de ex- x 137. Factorización de x4 ax2 b A veces se puede factori-
63. y1y 62 91y 62 64. 1z 22 51z 22
presión aparece en cálculo cuando se usa la “Regla del Producto”.) zar con facilidad un trinomio de la forma x4 ax2 b. Por
2 2 4 2 3 4
65. 2x y 6xy 3xy 66. 7x y 14xy 21xy ejemplo,
67-74 125. 51x 2 42 4 12x 2 1x 22 4 1x 2 4 2 5 142 1x 22 3
Factorice el trinomio. x4 3x 2 4 1x 2 4 2 1x 2 12
2 2 126. 312x 12 2 122 1x 32 1/2 12x 12 3 A 12 B1x 32 1/2
DESCUBRIMIENTO DISCUSIÓN REDACCIÓN
67 . x 2x 3 68. x 6x 5 Pero x4 3x2 4 no se puede factorizar así. En cambio, po-
2 2 2
127. 1x 2 32 1/3
3 x 1x 32 4/3
133. Grados de sumas y productos de polinomios demos usar el siguiente método.
69. 8x 2 14x 15 70. 6y 2 11y 21
128. 12 x 1/2
13x 42 1/2 3 1/2
2 x 13x 42 1/2 Forme varios pares de polinomios y, a continuación, calcule la Sume y
71. 3x 2 16x 5 72. 5x 2 7x 6 suma y producto de cada par. Con base en sus experimentos y x4 3x 2 4 1x 4 4x 2 42 x2
1 reste x2
2 129. (a) Demuestre que ab 2 3 1a b 22 1a 2 b 2 2 4 . observaciones, conteste las siguientes preguntas.
73. 13x 22 813x 22 12
(b) Demuestre que 1a 2 b 22 2
1a 2 b 2 2 2 4a 2b 2. Factorice el
74. 21a b2 2 51a b2 3 (a) ¿Cómo está relacionado el grado del producto con los gra- 1x 2 2 22 x2
(c) Demuestre que cuadrado perfecto
dos de los polinomios originales?
75-82 Use una fórmula de factorización especial para factorizar 1a 2 b 2 2 1c 2 d 22 1ac bd 2 2 1ad bc2 2 (b) ¿Cómo está relacionado el grado de la suma con los gra- Diferencia de
la expresión. 3 1x 2 22 x4 3 1x 2 22 x4
dos de los polinomios originales? cuadrados
(d) Factorice por completo: 4a 2c 2 1a 2 b2 c 2 2 2.
2 2
75. 9a 16 76. 1x 32 4 134. El poder de las fórmulas algebraicas Use la fórmula 1x 2 x 22 1x 2 x 22
130. Verifique las fórmulas especiales de factorización 4 y 5 al ex-
77. 27x 3 y3 78. a 3 b6 de una diferencia de cuadrados para factorizar 172 162. Nó-
pandir sus lados derechos. Factorice lo siguiente, usando cualquier método apropiado.
tese que es fácil calcular mentalmente la forma factorizada
79. 8s 3 125t 3 80. 1 1000y 3 pero no es tan fácil calcular la forma original en esta forma. (a) x4 x2 2
81. x 2
12x 36 82. 16z 2
24z 9 Evalúe mentalmente cada expresión: (b) x4 2x 2 9
AP L I C AC I ON E S (c) x4 4x 2 16
83-88 Factorice la expresión agrupando términos. (a) 5282 5272
131. Volumen de concreto Se construye una alcantarilla con (d) x4 2x 2 1
3 2 3 2
(b) 1222 1202
83. x 4x x 4 84. 3x x 6x 2 grandes capas cilíndricas vaciadas en concreto, como se mues-
tra en la figura. Usando la fórmula para el volumen de un ci- (c) 10202 10102
85. 2x 3 x2 6x 3 86. 9x 3 3x 2 3x 1
lindro dada al final de este libro, explique por qué el volumen A continuación, use la fórmula de productos notables PROYECTO DE
87. x 3 x2 x 1 88. x 5 x4 x 1 de la capa cilíndrica es DESCUBRIMIENTO Visualización de una fórmula
1A B 2 1A B2 A2 B2
2 2
89-94 Factorice por completo la expresión. Empiece por factori- V pR h pr h
para evaluar mentalmente estos productos: En este proyecto descubrimos interpretaciones geométricas de
zar la potencia más baja de cada factor común. Factorice para demostrar que algunas fórmulas de productos notables. El lector puede hallar el
5/2 1/2 1/2 1/2 3/2
(d) 79 51 proyecto en el sitio web del libro: www.stewartmath.com
89 . x x 90. 3x 4x x V 2π radio promedio altura grosor (e) 998 1002
3/2 1/2
91 . x 2x x 1/2 92. 1x 12 7/2 1x 12 3/2 Use el diagrama “desenrollado” para explicar por qué esto
tiene sentido geométricamente hablando.
93. 1x 2 12 1/2 21x 2 12 1/2

1/2
R
94. x 1x 1 2 1/2 x 1/2 1x 12 1/2
r
95-124 Factorice por completo la expresión.
h h
95. 12x 3 18x 96. 30x 3 15x 4
97 . x 2 2x 8 98. x 2 14x 48
 S E CC I Ó N 1 . 4 | Expresiones racionales 35 36 C A P Í T U LO 1 | Fundamentos

1.4 E XPRESIONES RACIONALES Simplificación de expresiones racionales

Para simplificar expresiones racionales, factorizamos el numerador y el denominador y
Dominio de una expresión algebraica Simplificación de expresiones usamos la siguiente propiedad de fracciones:
racionales Multiplicación y división de expresiones racionales Suma y
resta de expresiones racionales Fracciones compuestas Racionalización AC A
del denominador o el numerador Evitar errores comunes BC B

Esto nos permite cancelar factores comunes del numerador y el denominador.

El cociente de dos expresiones algebraicas se denomina expresión fraccionaria. A conti-
nuación veamos algunos ejemplos:
E J E M P LO 2 Simplificación de expresiones racionales por
2x 1x 3 y 2 cancelación
x 1 x 1 y2 4
x2 1
Simplifique:
Una expresión racional es una expresión fraccionaria donde el numerador y el denomina- x2 x 2
dor son polinomios. Por ejemplo, las siguientes son expresiones racionales:
S O LU C I Ó N
2x x x3 x x2 1 1x 1 2 1x 12
x 1 x2 1 x2 5x 6 No podemos cancelar las x2 en Factorice
x2 x 2 1x 1 2 1x 22
2
En esta sección aprendemos a ejecutar operaciones algebraicas de expresiones racionales. x 1 2
porque x no es un factor. x 1
x2 x 2 Cancele factores comunes
x 2
Dominio de una expresión algebraica AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 17
En general, una expresión algebraica puede no estar definida para todos los valores de la
Expresión Dominio
variable. El dominio de una expresión algebraica es el conjunto de números reales que se
1 permite tenga la variable. La tabla al margen de esta página da algunas expresiones básicas Multiplicación y división de expresiones racionales
5x 0 x 06 y sus dominios. Para multiplicar expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:
x
1x 5x 0 x 06
E J E M P LO 1 Hallar el dominio de una expresión
1
5x 0 x 06
#
A C AC
1x Encuentre los dominios de las siguientes expresiones. B D BD
x 1x
(a) 2x 2 3x 1 (b) (c) Esto dice que para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y multiplica-
x2 5x 6 x 5 mos sus denominadores.
SOLUC IÓN
(a) Este polinomio está definido para toda x. Entonces, el dominio es el conjunto de E J E M P LO 3 Multiplicación de expresiones racionales
números reales. x2 2x 3 # 3x 12
Ejecute la multiplicación indicada y simplifi que:
(b) Primero factorizamos el denominador. x2 8x 16 x 1
x x S O LU C I Ó N Primero factorizamos.
x2 3 # 3x 1x 1 2 1x 32 31x 42
x2 5x 6 1x 2 2 1x 32 2x 12 # Factorice
x2 8x 16 x 1 1x 422 x 1
El denominador sería 0 si
x 2ox 3 31x 12 1x 3 2 1x 42
Propiedad de fracciones
1x 1 2 1x 42 2
Como el denominador es cero cuando x 2 o 3, la expresión no está definida para es-
tos números. El dominio 5x 0 x 2 y x 36. 31x 32 Cancele factores
x 4 comunes
(c) Para que el numerador esté definido, debemos tener x ≥ 0. Tampoco podemos dividir
entre 0, de modo que x 5.
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 25
Asegúrese de tener x 0
1x El denominador
para tomar la raíz cuadrada Para dividir expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:
x 5 sería 0 si x 5

Entonces, el dominio es 5x 0 x ≥ 0 y x 56. A C A#D

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11 B D B C
 S E CC I Ó N 1 . 4 | Expresiones racionales 37 38 C A P Í T U LO 1 | Fundamentos

Esto dice que para dividir una fracción entre otra fracción, invertimos el divisor y multipli- (b) El MCD de x 2 1 1x 1 2 1x 12 y 1x 12 2 es 1x 1 2 1x 1 2 2.
camos.
1 2 1 2
Factorice
E J E M P LO 4 División de expresiones racionales x2 1 1x 122 1x 12 1x 1 2 1x 122
1x 12 21x 12 Combine fracciones
Ejecute la división indicada y simplifique:
1x 1 2 1x 12 2 usando el MCD
x 4 x2 3x 4 x 1 2x 2
Propiedad Distributiva
x2 4 x2 5x 6 1x 1 2 1x 12 2
3 x Combine los términos
S O LU C I Ó N
1x 1 2 1x 1 2 2 del numerador
2 2
x 4 x 3x 4 x
#
4 x 5x 6
Invierta y multiplique AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 43 Y 45
x2 4 x2 5x 6 x2 4 x2 3x 4
1x 4 2 1x 22 1x 3 2
1x 2 2 1x 22 1x 4 2 1x 1 2
Factorice Fracciones compuestas
Una fracción compuesta es una fracción en la que el numerador, el denominador, o ambos,
x 3 Cancele factores son expresiones fraccionarias.
1x 2 2 1x 12 comunes
E J E M P LO 6 Simplificación de una fracción compuesta
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 31 x
1
y
Simplifique:
y
1
x
Suma y resta de expresiones racionales S O LU C I Ó N 1 Combinamos los términos del numerador en una sola fracción. Hace-
Evite hacer el siguiente error: Para sumar o restar expresiones racionales, primero encontramos un denominador común mos lo mismo con el denominador. A continuación invertimos y multiplicamos.
y a continuación usamos la siguiente propiedad de fracciones: x x y
A A A 1
y y x y
B C B C # x
A B A B y x y y x y
Por ejemplo, si hacemos A 2, 1
C C C x x
B 1 y C 1, entonces vemos el
x1x y2
error:
Aun cuando funcionará cualquier denominador común, es mejor usar el mínimo común y1x y2
2 2 2
1 1 1 1 denominador (MCD) como se explica en la Sección 1.1. El MCD se encuentra al factorizar
2 cada denominador y tomar el producto de los distintos factores, usando la potencia superior L A S M AT E M Á T I C A S E N EL M U N D O M O D E R N O
2 2 que aparezca en cualquiera de los factores.
2
Códigos para corregir ceptor a reconocer errores, el mensaje se “codifica” al insertar bits
1 4 Error! adicionales. Por ejemplo, suponga que usted desea transmitir el mensaje
E J E M P LO 5 Sumar y restar expresiones racionales errores
Las imágenes enviadas por la “10100”. Un código muy sencillo es como sigue: envía cada dígito un mi-
Ejecute las operaciones indicadas y simplifique: nave Pathfinder (Explorador) llón de veces. La persona que recibe el mensaje lo lee en bloques de un
desde la superficie de Marte millón de dígitos. Si el primer bloque es principalmente de números 1,
3 x 1 2 el 4 de julio de 1997, eran concluye que es probable que usted esté tratando de transmitir un 1, y
(a) (b) Cortesía de NASA asombrosamente claras. Pero así sucesivamente. Decir que este código no es eficiente es un poco mo-
x 1 x 2 x2 1 1x 122 pocas personas que vieron desto; requiere enviar un millón de veces más datos que el mensaje ori-
estas imágenes estaban cons- ginal. Otro método inserta “dígitos de comprobación”. Por ejemplo, cada
cientes de las complejas ma- bloque de ocho dígitos inserta un noveno dígito; el dígito insertado es 0
S O LU C I Ó N temáticas utilizadas para lo- si hay un número par de números 1 en el bloque y 1 si hay un número
grar esta hazaña. La distancia impar. Por lo tanto, si un solo dígito está mal (un 0 cambiado a un 1, o vi-
(a) Aquí el MCD es simplemente el producto de (x 1)(x 2).
a Marte es enorme, y el ruido de fondo (o estática) es muchas veces más ceversa), los dígitos de prueba nos permiten reconocer que ha ocurrido
fuerte que la señal original emitida por la nave espacial. Entonces, un error. Este método no nos dice dónde está el error, de modo que no
3 x 31x 22 x1x 12 Escriba fracciones cuando los científicos reciben la señal, está llena de errores. Para obtener podemos corregirlo. Los modernos códigos que corrigen errores usan
x 1 x 2 1x 1 2 1x 2 2 1x 1 2 1x 22 usando el MCD una imagen clara, los errores deben hallarse y corregirse. Este mismo pro- interesantes algoritmos matemáticos que requieren insertar relativa-
blema de errores se encuentra en forma rutinaria en la transmisión de re- mente pocos dígitos pero permiten al receptor no sólo reconocer erro-
3x 6 x2 x gistros bancarios cuando una persona usa un cajero automático o de voz res, sino también corregirlos. El primer código corrector de errores fue
Sume fracciones cuando habla por teléfono. inventado en la década de 1940 por Richard Hamming en el MIT. Es inte-
1x 12 1x 2 2 resante observar que el idioma inglés tiene un mecanismo corrector de
Para entender la forma en que los errores se localizan y corrigen, pri-
mero debemos entender que para transmitir imágenes o texto los trans- errores ya integrado; para probarlo, trate de leer esta oración cargada
x 2 2x 6 Combine los términos formamos en bits (los dígitos 0 o 1; vea página 30). Para ayudar al re- de errores: Gve mo libty ox biv ne deth.
1x 12 1x 22 del numerador
 S E CC I Ó N 1 . 4 | Expresiones racionales 39 40 C A P Í T U LO 1 | Fundamentos

S O LU C I Ó N 2 Encontramos el MCD de todas las fracciones en la expresión y, a conti- S O LU C I Ó N 2 Como 11 x 2 2 1/2 1/11 x 2 2 1/2 es una fracción, podemos eliminar
nuación, lo multiplicamos por el numerador y denominador. En este ejemplo, el MCD de todas las fracciones al multiplicar numerador y denominador por (1 + x2)1/2.
todas las fracciones es xy. Por lo tanto
11 x 2 2 1/2 x 2 11 x 22 1/2
11 x 2 2 1/2 x 2 11 x22 1/2
x 2 2 1/2
x x # 11
1 1 1 x2 1 x2 11 x 2 2 1/2
y y xy
# Multiplique numerador y
denominador por xy 11 x22 x2
y y xy 1
1 1
x x 11 x 2 2 3/2 11 x 2 2 3/2
x2 xy AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 77
Simplifique
xy y2
x1x y2
y1x y2
Factorice Racionalización del denominador o el numerador
Si una fracción tiene un denominador de la forma A B 1C , podemos racionalizar el
AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 59 Y 61 denominador al multiplicar numerador y denominador por el radical conjugado A B 1C.
Esto funciona bien, por la fórmula 1 de productos notables de la Sección 1.3, el producto
del denominador y su radical conjugado no contienen radical:
Los siguientes dos ejemplos muestran situaciones en cálculo que requieren la capacidad
para trabajar con expresiones fraccionarias. 1A B 1C 2 1A B 1C 2 A2 B2C

E J E M P LO 7 Simplificación de una fracción compuesta E J E M P LO 9 Racionalización del denominador

1 1 1
Racionalización del denominador:
a h a 1 12
Simplifique:
h
S O LU C I Ó N Multiplicamos numerador y denominador por el radical conjugado de
S O LU C I Ó N Empezamos por combinar las fracciones del numerador usando un deno- 1 12, que es 1 12.
minador común. 12
1 1
#1 Multiplique numerador
y denominador por el
1 1 a 1a h2 1 12 1 12 1 12 radical conjugado
a h a a1a h2 Combine fracciones del numerador La Fórmula 1 de Productos Notables es
1 12
(A B)(A B) A2 B2 Fórmula 1 de productos
h h 12 1 12 2 2 notables
a 1a h 2 1
# Propiedad 2 de fracciones (invierta
divisor y multiplicar)
1 12 1 12
12 1
a1a h 2 h 1 2 1
a a h#1 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 81
Propiedad Distributiva
a1a h 2 h
h #1 Simplifique E J E M P LO 1 0 Racionalización del numerador
a1a h2 h
14 h 2
1 Propiedad 5 de fracciones Racionalice el numerador:
(cancele factores comunes) h
a1a h2
S O LU C I Ó N Multiplicamos numerador y denominador por el radical conjugado
AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69 14 h 2.
14 h 2 14 h 2 # 14 h 2 Multiplique numerador
y denominador por el
E J E M P LO 8 Simplificación de una fracción compuesta h h 14 h 2 radical conjugado

11 x 2 2 1/2 x 2 11 x22 1/2 1 14 h22 22

Simplifique: La Fórmula 1 de Productos Notables es Fórmula 1 de Productos
1 x2 h1 14 h 22 Notables
(A B)(A B) A2 B2
S O LU C I Ó N 1 Factorice (1 + x ) 2 –1/2
del numerador. 4 h 4
h1 14 h 2 2
11 x 2 2 1/2 x 2 11 x 22 1/2
11 x 22 1/2
3 11 x22 x 24
Factorice la potencia de 1 x2 con el 1 x2 1 x2 h 1 Propiedad 5 de fracciones
exponente más pequeño, en este caso h1 14 h 22 14 h 2 (cancele factores comunes)
2 1/2
(1 x2) 1/2. 11 x 2 1
1 x2 11 x 2 2 3/2 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 87