2 3.

Calculo de laenergía potencial de las fuerzas externas

P

P.k)E
⑧

y
d
=

=
-

42 42
/ / / 4. Cálculo de la
energía potencial total

Al haber una carga puntual en el centro, se tendran

dos funciones de fuerza interna y por tanto dos M=Ut=

LEALG?-PLAs
2
funciones de aproximación. Como lafunción de fuerzaes

0, por
lo
que el desplazamiento debe ser de orden 1. 5. Aplicación del principio de lamínima energía potencial.

* =
0 i 1,2,...
=

Uy(x) do + A, 42(X) bo+beX

=

=
x

=
On =
EALd1
-

Condiciones contorno
091
de

U, (0) 0 U2(L) 0 as
2E
=

= =

U2(0) Go = +
A,10) 0. :
=
do 0
=

Desplazamientos
42() b0 by)
=
+
0...bo
= =
-

bj.)

U2(x) 41.x P
=
=

x
2AE
Ademas se debe tener en cuenta una ecuacion de

compatibilidad en el punto donde coinciden las dos ecuaciones.

U,(x) 91(( x) (t x)
-
=
-
=

t Uc
Us =

Fuereas internas

ar) =-bih be +

N,(x) AE.u!(x)
=

AE
=

2RE =
a
=
-

b() Ne(X) AE. U,(X)=AE

(=) 2) -
=
-
=

a =
-

b1

Por lo que las ecuaciones de aproximación serian

42(x) 41.xjUc(X)
=
=
- by(L) b,(x)
+

=-
br(L x) -

=ar(L x) -

2. Determinar la
energía de deformación

->
Notese todas las ecuaciones dependen de
Ay, lo
que que

facilitaráel proceso de solución

U
2) EAlu'ldx 42(x) 41. x U,(x) 01
=

=
=
>

v =

)(adx )EA)-9.1dx +

↓EAa,(E) Ex 9,2(r) +

IEALa
=
3 Se resuelve el sistema.
q(0) 90
=
q(4) 0=

7 >
q(x) q01
- as
0.4166728;42 0.25
-
=
= =

L
/ /
Desplazamiento

Funcion
0.416672x 4x2
1. condiciones de contorno u(x)
de aproximación y
=
-

U(x) 40 =
+ Aj.x Az.x2
+

Fuerza interna
U(0) 0...G 0
= =

N(x1 EAn=
EA0.116672 2 900.416672 4x
-
=

x
- =

U(x) 9, x =

Ac.x2
+

2. Determinar la
energía de deformación

U
2) EAlu'ldxu(x) 91. x + a2x - u(x) a, 2a2X
= +
= =

a
=
=

Enf(a 2a,xdx en)-a,

+

(
=
+

ra,dex paixdx
+

EA a 2a,a Ia
+

u =
+

3. Calculo de laenergía potencial de las fuerzas externas

y
-faix.ux) )
=

-
=

901 -

.aix aix-dx
+

=-1" 904,x x2 -
+
q0d2x -

dx
--

q,- - 9042-
=-
GoU, I - 9042
-

-
=-

Iqa, Gaz -

--
20 dc +

4. Calculo de la energía potencial total

=U+ EA al + 29,9 Ed- Zas ac

+

+
=

Aplicación
5. del principio de la mínima energía potencial

a (EA(29,2 29222 12) EA(a, a) 7

= + -
=
+
-
0
=

-a =(2a, jaz (1) EA(9,2 a_3) -

= +
0
= + -

=
X
P Aplicación
5. del principio de la mínima energía potencial
V

+129,22- P2 Pach+69,4 P2 D
=== 189eL
EI
= - 0
=

L
/ S

PL 02
8= 1292( + 299, PL3 =2 69, 129,
=

= -

E1
- +

1. Definir función de aproximacion y verificar condiciones

de contorno

Despejando de Q
Recordando la teoría de la doble integración al tener una

función de cortante de orden 0, el momento sera de orden 1. *E1LAe = -

6ElL29, PL2
+

Larotación serade orden 2 y la deflexión de orden 3. Por tanto, se PL- 6293

Ge
=

↑El X
usaráun polinomio de orden 3 como función de aproximación

V(x) 0 Ajx = +

a,x dz.X3
+
+

Remplazando en e

Se las condiciones de contorno: PL 0

aplican
PL-6493 ( 129,
=

=16 +
-

↑El

(0) v (0) 0
=

V 0
=

VI0) 40 9, 10)
=
+

9cC01+9,10) =0...
+
o0 =

spb-sheeeeeeeeeee
* El

34X 349,
y (x) 0, 202x
I
= +

+
= -

v (0) a, 2a(0) 3a, 10)2 0

= +
+
=

.: ,0 =

As
E
=
-

Laecuación definitiva seria:

y remplazando en Q
ax3
2
y(x) ax =
+

2. Determinar la deformación
ac= E- Es s=de
energía de

r
1fEI"dx
=
yIx) qx2 9,x3- 292x+393x2
=
+
Ecuación de defexion
202 60gX
-> +

(x)
Ex Ex
=
-

t)Ez(2a 6a,xdx Ez)(

+

v =

+ =

24a293 x
+ 3693xox
+

Ecuaciones de fuerza interna

IEPAL +12929,22 129,)

+

Mix) EIr"
viX=-x+Ex v"IX=
Ex E
=

-
-

3. Calculo de laenergía potencial de las fuerzas externas

y =

-
P.x(4) -
=

P(9,22 +
a,(3) Mix 1
=
-

Ex E +

=
-

4x PLd y
+

4. Calculo de la energía potencial total

10+ = =

1
= 4a,L +12929,2 129,(3)
+
-

P(9,4 a,23)
+
PRELIMINARES MATEMATICOS

FACTORIZACIONLU CHOLESKY

a Gas (i) ie
T

u =

9912 dis L100 hn Las La

A2,922423 Le1 222 L32

=

0 0 L22
·

931932933 231232433 00
h33
·
Descomposición

9 12 013 I 00
U, Viz Wi3 PRIMERA COLUMNA Segunda columna
·
·
=

descomposiciones
A2 122 423 o var was

95 Ace Ass 00 U33

G, 2...
=
2 ay =

922 = 12, + 122 :.haz 922-li

=

sustitución A12=412:.La 012

= 923: Laitzithazlzz:13 423-1aih =

LIl ↳22

(34 4B4
x =

A1= Liz,:231 013 =

·
Tercera columna
ux4xy 4yy =

Lil

233 13, 152 153:hzz Ays-b 22

-

= + + =

·
Sustitución

-(44 {BY =
-Txy 4yy =

no (i)(e :Sie
↳121

bi 2,4,..y,
=
43 La3x3.xy
433
=

=
=

1222:42 b2 (x4, yz 122 x2 232X3:.X2 yz (32 x 3

b2 (2,4,
-

+
= + =
-

= =

122 ↳22

23,y, 232c
by (3,y, (324 (334,..yy by
-
-
+
+
=

↳33 Y =4x, L2x2 23,x5

2x3:.X,
(x2
+ +

y
=
- -
 =(2) (i)
I * 2 3

2
=

·
Cálculo de los valores L

(11 0,1 4 2 (22 022 22 6-12 5 2 0 0

=

=
=
=
= =
-

L =
1 2.2361 0
(21 012 2=
=

1
=

2 0.2236 1.6432
↳1 (32 d23 -Leit31 1
=
-

(1)(1.5) - 0.2236
1.5 -

= =

122 5
131 013
=
=3 =1.5
LII 2
133 033 15
=
-
-

22 5
=
-

(1.5)2 -

1 - 0.223612 1.6432
=

·
Cálculo de los valores de Y

y,
53
=

=
15.5
=

(iy, 115.5) 3.3541

y=b2 23 -
=
-

122 2.2361

y=b3
-

3,y, -

23242 36
=
-

1.5(15.5) -

1-0.2236)(3.3541) 8.2157
=

↳33 1.6432

·
Cálculo de los valores de X

X3 x 3 = 8.2157
=
5.0
=

↳33 1.6432

3.3511 1 0.2236)(5.6)
X2 Yz (32x3
- -

2.0
-

=
=

L22 2.2361

1(2) 1.515)
Xz Y,
-

22,x2 -
23,x3 15.5
- -

3.0
=
=
=

LIl 2

INTERPOLACION -

POLINOMIOS DE LAGRANGE

P(x) n=(xx).f(x)
=
·

Para 3 puntos se ajustaráun polinomio de orden z

nx -
xj)
h,(x) i fa(x) (X xe) xc.f(X0) (X xo) (X
-xc).f(x)) (X xo).(X xe).f(xa)
=

-
x -

-
-
-

0(Xx xj)
=

+ +

(X, -x2
=
-

(Fk (Xo-xs) Xo-Xa (x Xo) (X2 -x1)

-

-
x2-X0

b)
Ejercicio fa(x) (x 4).(X (X 1).(X 6).(1.386294) (X e).(X 1). (1.797460)
-
- -
·

:(0)
- -
-

= + +

(1 b) (6 1)(6 4)
(1 b) (1 1)(k 6)
-

-
-
-
- -

X f(x)
Evaluandola en x 2.
=

1 0

4 1.386294
f((2) (2 1).(2
= -
-

6). (1.386294) (2 1). (2 4). (1.491460)

+
- -

0.5658
=

6 1.491760 (1 1)(k
-
-

6) (6 -

1)(6 4) -
INTEGRACION NUMERICA-CUADRATURA DE GAUSS

Puntos de
GOUSS
Punto de integración (X;) Pesos (wi)

2
1f(x)dx wif(xi)
=
=

2 0.5773502692
1 1.0

0.0 0.8888889
3
10.7745966 0.5555556

0.3399810K
I 0.6521k51549
R
10.861136311 0.3478548451

0.0 0.56888888

b 0.53846931
1 0.4786286705

I0.90617984 0.2369268850

I Iox
=
+9x6dx

-
1

Para 2
Paran 3
=

n
=

f( -
0.577) 0.0882;f(0.577) 0.1363f( 0.7746)
=
=
-

0.1735;f(0) 0;f(0.7746) 2.8505

=
=

I 1(0.0882) 1(0.4383)
=
+ 0.51851
=
0.5556(0.1735) 0.8889(0) 0.5556/28505) 1.68
= + +
=

Para n =

f(- 0.34) 0.00661

=
0.6521(0.0066) 0.3479(0.0452)
=
+

f(-0.8611) =
0.0452 + 0.6521(0.0150) 0.3479(5.6638
+

f(0.34) 0.0150
=

I 2.0
=

f(0.8611) 5.6638
=
 ERCICIOS
#

Cholesky

i)
511

17 1.53
...
26

13, LP
al 92 A3a
↳ dai

=
0

0 122 132 442

X

951932933934 13, 1321330 0 0 133 LP3

941902 903940 241 Lyz/psLD 0 0 0
Lak

Primera columna matriz( ·

Segunda columna matriz L

Al h:: Ly 4x
=
=
5
=

922 bi =

22 .:12 Gaz-k?
+
=
7
=
- 0.44722 2.6077
=

die=2%2:has Az= Leili +haztz:(zz 42 -(2131 1.5 -0.1172(0.1172)

E 0.112 0.1985
=

= =
= =

122 2.6077

421 (2141 1212 ...(pz 42p (xi(n 6

0.447210.8944)
9 Ly.(31:251
25 2.1475
0.142
-
+ -

=
=
=
=
= = =
=

2a2 2.6077

91 4.2:.(x
1 0.894
=

=
=

·
Tercera columna matriz L

933 23,
=

(2 13:233 Azz 23
+
+
=
-
-

252 6
=

(0.1872)2 -
10.1985)2 2.3562
=

931 (ix, =

1322 2333.:(y 031 2312

+
+
=
-
-

(32(42 3 -

0.1472(0.8941) -
0.1985(2.1975) 0.6491
=
=

↳33 2.3562

·
Cuartacolumna matriz L.

App=4 22+1+ hp...(yp App-(pi-22 23

+ = -
8-0.89PP2-2.60772-0.619121=1.9720
=

Cálculo de valores de y.

nos.()-Gete
by (2,4, (22y2:.Y bc (2,y, 6
=
+ = -

=
-
0.1972(1.7889) =1.994)
122 2.6077

by (,y, 25242 7 0.1472(1.889) 0.1985(1.9941)

by (34, (327a 43343
-
-
-

-y 2.2095
-

= +
+
=
=
=

[p, 2p2 45 LA ↳33 2.3562

by (x,y, (42 (343 2xy:.yz ba (ky, (xzy (x3Ys

-
-
-
+ + +
=
=

L
b, 44, ..y
2E 1.4889
=

=
=
=

5-0.894(1.7889)
=
-
2.1475(1.9941) -

0.6491(2.2095) =
-
1.5171

1.472
·
Calculo de los valores de X

Si) ()
L dei La L
0 2 132 112 .
- yz
0 0
133 (13 X3 Y3
0 0 0
LA X4 y4

y +154*
y =LAPXp... Xp =

- 1.8
= =

y=133xz (yzxq...Xz
+
ys
=
-

213Xp 2.2095
=
-
0.6491) 1.069) -

1.2323
=

133 2.3562

ya (Xz (32xs (y2x1 ...Xz yz

(xx-12X 1.9981 0.4985(1.2323) 2.1875(- 1.0691)
1.4095
+ -
=
=
- -
+

= =

2.6077

Yp=LXthziXz ix+4X:. Xe 3, 121x2 2xD

-43x3-
+
1.7889-0.72(1.4095) 0.9172(1.2323) 0.894(- 1.06911 0.6993
-

- -
=
=

2.2361

POLINOMIOS DE LAGRANGE

Temperatura (0C) Oxígeno (ma/L)

0 14.50

8 11.80

16 9.70

24 8.75

32 7. 10

fox)
******** faxo+
**. fit isi fixen
=

****f(xs) ...Yo*.fixa +

foll-tTwex
f(xo) +
... f(x
8 -
0
+
↳8. Efixel
+

sit." f(xa)
ff(27) 0.0319(11.50)
-
= 0.1813
+

(1.80) -0.4697(9.70) 1.188)

+

(8.75) 0.1722
+

(7.1)

fy(27) 8.389
=