CENTRO UNIVERSITARIO UAEM ZUMPANGO

INGENIERO EN COMPUTACION

TEMA: “POLINOMIOS”

M. EN C. LUIS ENRIQUE KU MOO

FECHA: AGOSTO DE 2019

 UNIDAD DE APRENDIZAJE
“ALGEBRA SUPERIOR”

UNIDAD DE COMPETENCIA V:
“FUNCIONES POLINOMIALES Y FRACCIONES
PARCIALES”
5.1 Función polinomial
5.2 Grafica de un polinomio
5.3 Teoremas de polinomios.
5.4 División sintética
5.5 Naturaleza de las raíces
5.6 Raíces racionales
5.7 Raíces irracionales
 OBJETIVOS
Objetivos de la Unidad de Aprendizaje. Analizar
elementos de la teoría de números y del análisis
matemático utilizando principios del cálculo
combinatorio, funciones, relaciones y estructuras
algebraicas para resolver problemas en ciencias de la
ingeniería.
Objetivo de la Unidad de Competencia. Calcular las
raíces de un polinomio, mediante diversos métodos, para
establecer una relación entre la solución algebraica y la
representación geométrica.
 JUSTIFICACIÓN
El presente material sirve de apoyo a la Quinta Unidad de
competencia “Polinomios” de la Unidad de Aprendizaje
Álgebra Superior que se imparte en el Primer período de
la Licenciatura en Ingeniero en Computación.
Se expone el contenido temático y se plantean algunos
ejemplos lo que ayuda a abordar de forma más sencilla
los ejercicios que se desarrollan posteriormente para
reafirmar los conocimientos.
DEFINICIÓN DE POLINOMIOS
Polinomios. La expresión 2x3 + 6x2 + 3 es un polinomio, y si
escribimos P(x) = 2x3 + 6x2 + 3, tenemos una función
polinomial. La función polinomial es la expresión utilizada
para describir la función de un polinomio. Por lo general, los
polinomios se escriben en orden descendente respecto de
alguna variable.

5x + 4x2 - 6 = 4x2 + 5x – 6
xy - 6x2 + 8y2 = -6x2 + xy + 8y2
4x3 + 6x2 + 2x + 7
DEFINICIÓN DE POLINOMIOS: Ejemplo
Número de términos, el grado y el término principal de
polinomios.
GRÁFICA DE POLINOMIOS
En general, para graficar una función polinomial f de
grado n ≤ 3 se necesita el cálculo, o bien usar una
herramienta graficadora.
OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA Y RESTA
Sumar y restar polinomios. Para sumar o restar polinomios,
primero quitamos los paréntesis (si los hay), agrupamos
términos y después reducimos los términos semejantes.
Ejemplo.
Sumar (4x2 - 6x + 3) + (2x2 + 5x – 1).
(4x2 - 6x + 3) + (2x2 + 5x – 1)
4x2 - 6x + 3 + 2x2 + 5x – 1 Eliminar paréntesis
4x2 + 2x2 - 6x + 5x + 3 – 1 Agrupar términos
6x2 -x +2 Reducir términos semejantes

ANIMACIÓN
OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN
Multiplicación de polinomios. Cada término de un polinomio
debe multiplicarse por cada término del otro. Esto es, se
multiplican cada término del multiplicando por cada término
del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y
exponentes. Después se reducen términos semejantes.

Ejemplo: multiplicar x2 – x + 1 y x2 + x + 1

(x2 – x + 1) (x2 + x + 1)
x4 – x3 + x2)
x3 – x2 + x
x2 – x + 1
x4 + x2 +1
OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN
Ejemplo: multiplicar x2 - 4x + 1 y 2x2 - 3

x2 - 4x + 1
2x2 – 3
2x4 - 8x3 + 2x2
- 3x2 + 12x - 3
2x4 - 8x3 - x2 + 12x - 3

Ejercicios.
1. 3x2 + 6xy - 5y2 por x + 4y.
2. X3 + 2x2 - x por x2 -2x + 5
ANIMACIÓN
3. 2 - 3x2 + x4 por x2 – 2x - 1
OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN
Procedimiento:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias
descendentes de una misma literal.
2. Se busca un número que multiplicado por el divisor sea
igual al primer término del dividendo, el resultado es el primer
término del cociente, multiplicar, restar.
3. El residuo obtenido en 2 se toma como nuevo dividendo y
se repite 2. Y continuar hasta que en el dividendo no haya
términos igual al del divisor. Ejemplo:

Ejemplo: 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝟎 ÷ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐

x  2x  11x  30 x  20
4 3 2
x  3x  2
2
OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN
Continuación…

x 4  2x 3  11x 2  30 x  20 x 2  3x  2
 x  3x  2 x
4 3 2
x  5x  6
2

 5 x  9 x  30 x  20
3 2

5 x  15 x  10 x
3 2

6x  20 x  20
2

 6x  18 x  12
2

2x  8
TEOREMA DEL FACTOR
Teorema del factor. Si el residuo de la división de un
polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a) es 0.
Esto es, un polinomio entero en x que se anula para x = a,
o sea, sustituyendo el valor de a en el polinomio.
Entonces se dice que x = a es una raíz o cero del
polinomio.

Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x)

Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división y (x

– a) será un factor de P(x).
TEOREMA DEL FACTOR: Ejercicios
Ejemplo. Demostrar que x – 2 es un factor del polinomio
x3 – 4x2 + 3x + 2

f(2) = (2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 2 = 0

𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 ÷ 𝒙 − 𝟐

Ejemplo. Demostrar que para la función polinomial f(x) = x3

- 5x2 + 8x - 6, el número complejo 1 + i es una de sus raíces.
TEOREMA DEL RESIDUO O RESTO
TEOREMA DEL RESIDUO. Si un polinomio f (x) se divide
entre un polinomio lineal x = a, el residuo r es el valor de f(x)
en x = a esto es, f(a) = r. Es el valor del polinomio al sustituir
la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x
+ a) , sustituiremos la x por - a.

Calcular r cuando f(x) = 4x3 - x2 + 4 se divide entre x - 2.

r = f(2) = 4(2)3 - (2)2 + 4 = 32.
TEOREMA DEL RESIDUO O RESTO
Ejemplo. Dividir 3x3 – 2x2 - 18x – 1 entre x + 2

Según el teorema:
3(-2)3 – 2(-2)2 – 18(-2) – 1
- 24 - 8 + 36 – 1 = 3

3 es el residuo de la división

Ejemplo. Hallar el residuo de la siguiente división

x3 – 7x2 + 17x – 6 entre x – 3
DIVISION SINTETICA O REGLA DE RUFFINI
División Sintética. Se utiliza cuando se trate de dividir un
polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x – a).
Procedimiento:
1. Se ordena el dividendo forma decreciente. Si es incompleto,
poner ceros.
2. Se colocan en fila los coeficientes del dividendo y se coloca
a la izquierda el valor del número a.
3. Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.
4. Los números obtenidos son los coeficientes del cociente,
salvo el último que es el residuo de la división.
ALGORITMO DE LA REGLA DE RUFFINI
1. Se colocan en la primera fila los coeficientes del dividendo.
2. Se escribe el coeficiente a0 como primer término de la tercera fila
y se multiplica por a, escribiendo el producto en la segunda fila
debajo de a1.
3. Se suma a1 + a0a en la tercera fila. Se continua de esta manera
hasta que se usa an como sumando.

n 1 n2
 a1  a2  ...  an
n
a0 x x x
a0 a1 a2 ... an 1 an 1ª fila
+ + + +
a ab0 ab1... abn 2 abn 1 2ª fila

a0  bo b1 b2 ... bn 1 r 3ª fila
DIVISIÓN SINTÉTICA
Dividir un polinomio 2x3 – 6x2 – 4x + 12 entre x – 2
aplicando la Regla de Ruffini

2 –6 –4 12
se suma
2 4 –4 – 16
2 –2 –8 –4 r
se multiplica por 2

Por lo que:
2x3 – 6x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
DIVISIÓN SINTÉTICA
Comprobar si x + 3 es un factor del polinomio
P(x) = x3 + 2x2 - 6x - 9, aplicando Ruffini:

1 2 –6 -9
se suma
-3 -3 3 9
1 –1 –3 0 r
se multiplica por -3

Por lo que:
x3 + x2 – 6x – 9 = (x2 – x – 3) (x + 3)
ANIMACIÓN
DIVISIÓN SINTÉTICA Y DIVISION LARGA
Dividir x3 - 2x2 - 4x + 5 entre x - 3
𝒙𝟐 + 𝒙 −𝟏
1
-2 –4 5
3 3 -3
−(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 ) 3
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 1 1 –1 2
−(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙)
− 𝒙𝟐 + 𝟓
−(−𝒙𝟐 + 𝟑)
𝟐

Dividir 2x3 - x2 - 19x + 18 entre x - 3

RAICES O CEROS DE POLINOMIOS
Raíces de un polinomio. Son los valores que lo hacen cero, es
decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0.

TEOREMA. r es raíz de P(x) si y solo si P(r) = 0.

TEOREMA: “Un polinomio de grado n, tiene como máximo,

n raíces reales”.

Multiplicidad o raíz múltiple. r es raíz de multiplicidad m de P(X)

si existe un polinomio Q(x) con P(X) = (x-r)mQ(x) y Q(r)  0.
ejemplo:

(x-3)2 (x-1)3 (x+5) = 0; 3 tiene multiplicidad 2

RAICES O CEROS DE POLINOMIOS: Clasificación
TEOREMA. “Un número c es una raíz de una función
polinomial f si, y sólo si, x - c es un factor de f(x)”.
RAICES ENTERAS DE POLINOMIOS
TEOREMA. “Si un polinomio tiene raíces enteras, éstas son
divisores del término independiente”.

EJEMPLO: Para x4 - x3 - 7x2 + x + 6 = 0

Las raíces del polinomio son: -2, -1, 1 y 3
ya que:
(-2)4 – (-2)3 – 7(-2)2 + (-2) + 6 = 0
16 + 8 – 28 - 2 + 6 = 0
(-1)4 – (-1)3 – 7(-1)2 + (-1) + 6 = 0
1+1–7–1+6=0
(1)4 – (1)3 – 7(1)2 + (1) + 6 = 0
1–1–7+1+6=0
(3)4 – (3)3 – 7(3)2 + (3) + 6 = 0
81 – 27 – 63 + 3 + 6 = 0
RAICES ENTERAS O CEROS DE POLINOMIOS
Ejemplo. Sea P(x) = x3 + 2x2 - 5x – 6.

Las posibles soluciones o raíces enteras son: {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -
6} , o sea los divisores de 6
Aplicando el Teorema del Residuo en x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0

P(1) = 13 + 2.12 – 5.1 – 6 = – 8  No es raíz x =1

P(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 - 5(-1) – 6 = 0  x = -1 si es raíz.
P(2) = 23 + 2.22 - 5.2 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz.
P(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 - 5(-2) – 6 = 4  No es raíz x=-2
P(3) = 33 + 2.32 - 5.3 – 6 = 24  No es raíz
P(-3) = (-3)3 + 2(-3)2 - 5(-3) – 6 = 0  x = -3 es otra raíz

Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3

RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS
TEOREMA DE GAUSS: Sea b/c una fracción racional
irreductible que sea raíz de la ecuación de coeficientes enteros,
entonces b es divisor de an (los numeradores deben de ser
factores de an) y c lo es de a0. (los denominadores factores de
a0).

Ejemplo: Para 2x4 + x3 - 9x2 - 4x + 4 = 0

Numerador → factores de 4 = 1, 2, 4
Denominador → factores de 2 = 1, 2
Posibles raíces: ±1/2, ±1, ±2, ±4.
RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS
Ejemplo: Para 2x4 - x3 - 4x2 + 10x - 4 = 0
Numerador → factores de 4 = 1, 2, 4
Denominador → factores de 2 = 1, 2 ൠ
±1/2, ±1, ±2, ±4.

f(-4) = 2(-4)4 - (-4)3 - 4(-4)2 + 10(-4) – 4 = 468

f(-2) = 2(-2)4 - (-2)3 - 4(-2)2 + 10(-2) – 4 = 0
f(1/2) = 2(1/2)4 - (1/2)3 - 4(1/2)2 + 10(1/2) – 4 = 0

2 -1 -4 10 -4
1/2 2x2 - 4x + 4 = 0
1 0 -2 4
2 0 8 0 x2 - 2x + 2 = 0
-4
-2 -4 8 -8
2 -4 4 0
NATURALEZA DE RAICES
Teorema 1. Si un número complejo 𝑎+𝑏𝑖 es una raíz de una
ecuación racional entera f(x) = 0, de coeficientes reales, el
complejo conjugado, 𝑎−𝑏𝑖 es también raíz de dicha ecuación.
Teorema 2. Si la ecuación racional entera f(x) = 0 de
coeficientes racionales tiene raíz de la forma 𝑎 + 𝑏, siendo a
y b racionales y 𝑏 irracional, 𝑎 − 𝑏 es otra raíz de la
ecuación.

Ejemplo.
f(x) = x5 - 4x3 + x2 - 4
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
Regla de los signos de Descartes. Si P(X) es un polinomio
ordenado, con coeficientes reales y término independiente
distinto de cero, entonces:
1. El número de ceros reales positivos de P(x), es igual al
número de variaciones de signo en P(x) o es menor que ese
número por un entero par.
2. El número de ceros reales negativos, es igual al número de
variaciones de signo en P(-x) o es menor que ese número por
un entero par.
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
P(x) = x4 - x3 - 7x2 + x + 6 = 0
+ - - + + = Dos variaciones
“Tiene dos o cero raíces positivas”

P(-x) = (-x)4 – (-x)3 – 7(-x)2 + x + 6 = 0

+ + - + + = Dos variaciones
“Tiene dos o cero raíces negativas”
RAICES O CEROS DE POLINOMIOS
Teorema del valor medio. Si f (x) es un polinomio con
coeficientes reales y si f (a) y f (b) difieren en signo,
entonces existe al menos un valor c tal que f (c) = 0 entre
x = a y x = b.
Ejemplo: 2x3 - x2 - 6x + 3 = 0
f (-2) = -5; f (-1) = 6;
existe una raíz entre -2 y -1.
f (0) = 3; f (1) = -2;
existe una raíz entre 0 y 1.
f (1) = -2; f (2) = 3;
existe una raíz entre 1 y 2.
ANIMACIÓN
RAICES IRRACIONALES: MÉTODO DEL VALOR MEDIO
1) Buscamos un intervalo (a, b) tal que f(a) y f(b) tengan distinto
signo.
2) Tomamos c1 = (a + b)/2. Redefinimos b = c1 o a = c1. Según para
el que se tenga distinto signo.
3) Tomamos c2 = (a + b)/2. Redefinimos b = c2 o a = c2. Según para
el que se tenga distinto signo.
4) Tomamos c3 = (a + b)/2. Redefinimos… y así sucesivamente.
MÉTODO DEL VALOR MEDIO: Ejemplo
Aproximar las raíces del polinomio, en el intervalo (-2, 0).
𝑥5−6𝑥4+9𝑥3+10𝑥2−36𝑥+24=0

f (-2) = -64; f (0) = 24, existe una raíz entre -2 y 0.

Se toma el valor medio del intervalo (-2, 0)
f (-1) = 54; El cambio de signo se da en (-2, -1)
Se toma el valor medio del intervalo (-2, -1)
f (-1.5) = 32.156 El cambio de signo se da en (-2, -1.5)
Se toma el valor medio del intervalo (-2, -1.5)
f (-1.75) = -3.2959 El cambio de signo se da en (-1.75, -1.5)
Se toma el valor medio del intervalo (-1.75, -1.5)
f (-1.625) = 17.119 El cambio de signo se da en (-1.75, -1.625)
Se toma el valor medio del intervalo (-1.75, -1.625)
f (-1.6875) = 7.6387 El cambio de signo se da en (-1.75, -1.6875)
f (-1.71875) =
……, ……, …… f (-1.7322) = -0.0016869
MÉTODO DEL VALOR MEDIO: Ejercicio
Ejemplo: 2x3 - x2 - 6x + 3 = 0
f(-2) = -5; f(-1) = 6;
existe una raíz entre -2 y -1.
f(0) = 3; f(1) = -2;
existe una raíz entre 0 y 1.
f(1) = -2; f(2) = 3;
existe una raíz entre 1 y 2.

Considere la función polinomial

f(x) = x3 - 3x - 1.
RAICES DE POLINOMIOS: MÉTODO DE NEWTON
Método de Newton.
1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como
aproximación de la raíz.
2. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta
tangente a la función por ese punto.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr,
0), constituye una segunda aproximación de la raíz.
4. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn
coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

La raíz es el valor de xn+1 cuando f(xn+1) = 0,

𝒇 𝒙𝒏
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 − , esto es la fórmula de Newton-Raphson.
𝒇´ 𝒙𝒏
RAICES DE POLINOMIOS: MÉTODO DE NEWTON
Para calcular la recta tangente se utiliza el desarrollo de Taylor de
𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥𝑛
una función: 𝑥1 = 𝑥0 − , … , 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓´ 𝑥0 𝑓´ 𝑥𝑛
𝒇 𝒙𝒏
La raíz es el valor de 𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 − , es la fórmula de Newton-
𝒇´ 𝒙𝒏
Raphson.
MÉTODO DE NEWTON: Ejemplo
Aproximar la raíz del polinomio 6x8–31x6+ 40x4–x2–6 que
está en el intervalo [0,1].
42𝑥 8 −155𝑥 6 +120𝑥 4 −𝑥 2 +6
La función de iteración f es: 48𝑥 7 −186𝑥 5+160𝑥 3 −2𝑥

Para a = 0.5, se tiene:

x0 = 0.81048
x1 = 0.71118
x2 = 0.70712
x3 = 0.70711.

Como f(0.69)  -0.44644 < 0 y f(0.71)  0.076916 > 0, el

polinomio f debe tener una raíz entre 0.69 y 0.71.
RAICES DE POLINOMIOS: REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (a, b) en el que se garantice
que la función tiene raíz.
2. Se traza una recta que une los puntos (a, f(a)), (b, f(b))
3. Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas: (c, 0); se toma c como aproximación de la raíz buscada.
4. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.
5. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección c
coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
La regla falsa modificada, que reduce a la mitad el valor de la
función en el punto extremo que se repita dos veces, con lo que la
convergencia se acelera significativamente.
 BIBLIOGRAFIA
• Ayres Jr., Frank (1991) Álgebra Superior. Mc. Graw Hill.
México.
• Becerril Vilchis Francisco y Ojeda Toche Lilia (2003)
Álgebra Superior, Conceptos y Formulas. UAEM.
• Lehman (2003) Álgebra, Limusa Noriega Editores..
México.
• Lovaglia (1987) Álgebra, Harla. México.
• Rees y Spark (1994) Álgebra. México
• Hasser, Lasalle Sullivan. Análisis matemático.. vol. I
Trillas. México.
FIN DE LA PRESENTACION