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Cálculo II TP1 2020
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CÁLCULO II – Ing. en Sistemas – Ing. en Alimentos
2020
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
(O FUNCIONES VECTORIALES)
En este espacio introducimos un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de
función asigna vectores a números reales.
Es una función vectorial, donde las funciones componentes 𝑓, 𝑔 y ℎ son funciones del parámetro t. Algunas
⃗⃗.
veces, las funciones vectoriales se denotan como r⃗(t) = f(t)i⃗ + g(t)j⃗ o r⃗(t) = f(t)i⃗ + g(t)j⃗ + h(t)k
Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r⃗ y las funciones reales
𝑓, 𝑔 y ℎ. Todas son funciones de la variable real t, pero r⃗(t) es un vector, mientras que f(t), g(t) y h(t)
son números reales (para cada valor específico de t).
c) r⃗(t) = ⃗f(t) × g
⃗⃗(t), donde
1
⃗f(t) = t3⃗i − tj⃗ + tk
⃗⃗ , ⃗⃗
⃗g⃗(t) = 3√t⃗i + t+1 ⃗j + (t + 2)k
2) Operaciones entre funciones vectoriales: Sean las funciones vectoriales dadas por las
ecuaciones ⃗f(t) = (cos t , −sen t , t) y g⃗⃗(t) = (sen t , cos t , −t), y la función escalar dada por
j(t) = sec t. Determine D⃗f , Dg⃗⃗ , Dj y D⃗f ∩ Dg⃗⃗ ∩ Dj . Luego calcule:
a) j(t). g
⃗⃗(t)
b) ‖f⃗(t 0 )‖g
⃗⃗(0)
⃗⃗(π) • ⃗f(−π)
c) 2g
3
d) ⃗f(0) × g
⃗⃗ ( π)
2
e) En el ítem c), ¿es el resultado una función vectorial? Explique.
et −1 √1+t−1 3
b) lim ( , t , 1+t)
t→0 t
t−1
c) lim (e−t , )
t→∞ t+1
Recta: La imagen de la función vectorial ⃗f(t) = (x0 + (x1 − x0 )t, y0 + (y1 − y0 )t) , t ∈ ℝ es una
recta que pasa por los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ) recorrida en el sentido que va desde el punto (x0 , y0 )
al punto (x1 , y1 ). Si se desea cambiar el sentido, basta con cambiar t por –t. En tal caso se obtiene la
función vectorial g⃗⃗(t) = (x0 + (x0 − x1 )t, y0 + (y0 − y1 )t) , t ∈ ℝ, que resulta ser una recta que pasa
por los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ) recorrida en el sentido que va desde el punto (x1 , y1 ) al punto (x0 , y0 ).
La imagen de la función vectorial g⃗⃗(t) = (h + r cos t , k − r sen t) , t ∈ [0, 2π] es una circunferencia
de centro (h, k) y radio r recorrida en sentido horario.
Elipse: La imagen de la función vectorial ⃗f(t) = (h + a cos t , k + b sen t) , t ∈ [0, 2π] es una elipse
(x−h)2 (y−k)2
de ecuación + = 1, recorrida en sentido antihorario.
a2 b2
La imagen de la función vectorial g⃗⃗(t) = (h + a cos t , k − b sen t) , t ∈ [0, 2π], es una elipse de
(x−h)2 (y−k)2
ecuación + = 1, recorrida en sentido horario.
a2 b2
c) ⃗f(t) = (t , −t 2 )
d) ⃗f(t) = (t 3 − 4t , t 2 − 4)
⃗⃗
e) r⃗(t) = (−t + 1)i⃗ + (4t + 2)j⃗ + (2t + 3)k
11) Derivada de funciones vectoriales: Calcule la derivada de las siguientes funciones en los
puntos indicados.
a) r⃗(t) = (t cos t , −2 sen t)
c) r⃗(t) = 4√t ⃗i + t 2 √t ⃗j + ln t 2 ⃗⃗
k
⃗⃗
d) r⃗(t) = e−t ⃗i + 4j⃗ + 5tet k
e) r⃗(t) = (t 3 , cos 3t , sen 3t)
12) Operaciones con derivadas de funciones vectoriales: Si ⃗f , g⃗⃗ , y h son funciones dadas por:
⃗f(t) = (cos t , 1 − t , −sen t) ; g⃗⃗(t) = (t , t 2 , −t) y h(t) = et . Determine:
d2 ⃗
a) f(t)
dt2
c) ⃗f ′(t) × ⃗f ′′(t)
′
⃗⃗ − hf⃗)
d) (3g
e) (f⃗ × ⃗f ′)′
1
13) Hallar ∫0 ⃗f(t) dt para ⃗f(t) = ti⃗ + √t + 1j⃗ − et ⃗⃗
k
4 1 1
c) ∫1 ( t , t et , ) dt
√t
3π/2 1
d) ∫0 (2 sen t , cos t , e2t ) dt
3
APLICACIONES
En el inciso c) del punto 16), note que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales en todo
punto y en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante.
17) Velocidad y aceleración de una partícula: Halle la posición x⃗⃗(t) de una partícula móvil
sabiendo que:
a) La velocidad es v ⃗⃗(t) = et ⃗i + t 2 ⃗j y la posición en t = 0 está dada por x⃗⃗(0) = ⃗i − ⃗j.
b) La aceleración está dada por a⃗⃗(t) = sen t ⃗i − cos t ⃗j y la partícula empieza en el
momento t = 0 en el punto (0,1) con velocidad inicial v ⃗⃗0 = ⃗i. Grafique la trayectoria.
⃗⃗0 = ⃗i − ⃗j ; a⃗⃗(t) = 2 ⃗i + 6 ⃗j
c) x⃗⃗0 = 2 ⃗i ; v
La longitud de un arco de curva es una medida no negativa. Mide la distancia sobre la curva desde
un punto inicial a hasta un punto final b. Su fórmula es:
s = ∫‖r⃗ ′(t)‖ dt
a
En otras palabras, mide la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.
18) Longitud de un arco de curva: Determine la longitud del arco de curva de las siguientes
funciones.
a) ⃗f(t) = (cos t , sen t , t) ; 0 ≤ t ≤ π
b) ⃗f(t) = (t 2 , 2t) ; 0 ≤ t ≤ 1
1
⃗⃗(t) =
Versor Tangente: T r⃗ ′(t)
‖r⃗⃗ ′(t)‖
1
Versor Normal: ⃗N
⃗⃗(t) =
⃗⃗′(t)‖
⃗T⃗ ′(t)
‖T
⃗⃗(t) = T
Versor Binormal: B ⃗⃗(t) × N
⃗⃗⃗(t)
⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Plano Normal: T ⃗⃗⃗ y B
P0 P = 0. Determinado por N ⃗⃗. Perpendicular a T
⃗⃗.
⃗⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Plano Rectificante: N ⃗⃗ y B
P0 P = 0. Determinado por T ⃗⃗. Perpendicular a N
⃗⃗⃗.
19) Versores fundamentales y triedro de Frénet: Halle los versores fundamentales y las
ecuaciones de los planos normal, osculador y rectificante para las siguientes funciones.
Grafique.
π
a) ⃗f(t) = (3 cos t , 3 sen t , 3t) en t =
2
b) ⃗f(t) = (t , t 2 , 1); en t = 1
π
c) ⃗f(t) = 4 cos t ⃗i + 4 sen t ⃗j + 2t ⃗⃗
k en t =
2
La curvatura es la medida de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la siguiente
figura, la curva se dobla más agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P
que en Q.
Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del versor tangente
⃗⃗ con respecto a la longitud de arco de curva s (es decir, la curvatura describe como cambia la
𝑇
dirección de la curva midiendo el cambio de dirección del versor tangente).
Nota: La curvatura de una recta será 0. La curvatura de una circunferencia resultará constante (es
decir que tiene la misma curvatura en todos sus puntos).
b) ⃗f(t) = (2t , t 2 + 2) en t = 1
3 4
c) r⃗(t) = (3 − t) ⃗i + tj⃗
5 5
Es decir, cuánto más rápido cambia la curva, más rápido gira el versor binormal alrededor del versor
tangente, y más retorcida es la curva.
En otras palabras, la torsión describe la razón de cambio del versor binormal respecto a la distancia a
lo largo de la curva.
Mientras que la curvatura mide cómo se dobla una curva, la torsión mide cómo esta se retuerce.
En general, parte de la aceleración (la componente tangencial aT ) actúa en la línea del movimiento
y otra parte (la componente normal aN ) actúa perpendicular a la línea del movimiento. Se puede
escribir
⃗⃗(t) + aN N
⃗a⃗(t) = aT T ⃗⃗⃗(t)
⃗v⃗ • a⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗‖] = a⃗⃗ • T
aT = Dt [‖v
‖v⃗⃗‖
⃗⃗ × a⃗⃗‖
‖v
aN = ‖v ⃗⃗ ′‖ = a⃗⃗ • N
⃗⃗‖‖T ⃗⃗⃗ = = √‖a⃗⃗‖2 − aT 2
‖v⃗⃗‖
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
23) Operaciones con derivadas de funciones vectoriales: Dadas las funciones vectoriales:
1
r⃗(t) = 𝑡 ⃗i − ⃗j + ln t ⃗⃗ ⃗⃗(t) = t 2⃗i − 2tj⃗ + ⃗⃗
k y u k, halle las siguientes derivadas siguiendo dos
caminos: aplicando propiedades de derivadas, y formando primero los productos y derivando
después.
a) Dt [r⃗(t) • u
⃗⃗(t)]
b) Dt [u
⃗⃗(t) × u
⃗⃗′(t)]
d
c) [r⃗(t) × r⃗(t)]
dt
4) Vector tangente: En los siguientes ejercicios dibuje la curva representada por la función
vectorial y dibuje los vectores r⃗(t 0 ) y r⃗ ′(t 0 ), para el valor dado de t 0 . ¿Cómo es r⃗ ′(t 0 ) con
respecto a la curva?
a) r⃗(t) = ti⃗ + (t 2 − 1)j⃗ , t 0 = 1
3
⃗⃗ , t 0 = π
b) r⃗(t) = 2 cos t ⃗i + 2 sen tj⃗ + 2tk
2
5) Versor tangente y recta tangente: Para las siguientes funciones, halle el versor tangente (o
vector unitario tangente) a la curva en el valor especificado del parámetro. Halle además la
ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto. Grafique y marque ambos elementos.
π
a) r⃗(t) = 4 cos t ⃗i + 4 sen t ⃗j , t =
4
⃗⃗ , en P(3,0,0)
b) r⃗(t) = 3 cos t ⃗i + 3 sen tj⃗ + tk
6) Versores tangente y normal: En los siguientes ejercicios, dibuje la gráfica de la curva dada
por la función vectorial, y, en el punto sobre la curva determinada por r⃗(t 0 ), dibuje los
⃗⃗ y ⃗N
versores T ⃗⃗ (si existe). Observe que ⃗N
⃗⃗ apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
1
a) r⃗(t) = ti⃗ + ⃗j en t 0 = 2
t
3
⃗⃗ en t 0 = π
b) r⃗(t) = 6 cos t ⃗i + 6 sen tj⃗ + tk
4
7) Versores tangente, normal y binormal: Para las siguientes trayectorias, halle los versores T ⃗⃗
⃗⃗⃗, y el versor binormal B
y N ⃗⃗ = T
⃗⃗ × N
⃗⃗⃗, en el valor dado de t 0 . Grafique y marque estos tres
versores mutuamente ortogonales.
t π
a) r⃗(t) = 2 cos t ⃗i + 2 sen tj⃗ + ⃗⃗
k en t 0 =
2 2
π
⃗⃗ en t 0 =
b) r⃗(t) = 4 cos t ⃗i + 4 sen tj⃗ + 3tk
2
Una curva representada por r⃗(t) = f(t)i⃗ + g(t)j⃗ + h(t)k⃗⃗ es suave en un intervalo abierto I si f ‘, g‘ y h’
⃗⃗, para todo valor de t en el intervalo I.
son continuas en I y 𝐫⃗(𝐭) ≠ 𝟎
8) Puntos angulosos: Para las siguientes funciones, halle los intervalos en los que la curva es
suave. Determine si tiene puntos angulosos o cuspidales.
a) r⃗(t) = t 2 ⃗i + t 3⃗j
1 ⃗⃗
b) r⃗(t) = (t − 1)i⃗ + ⃗j − t 2 k
t
c) ⃗f(t) = (t 4 − 2t, t 3 )
10) Diferencia entre velocidad y rapidez: Con sus propias palabras, explique la diferencia entre
la velocidad de un objeto y su rapidez.
11) Relación geométrica entre velocidad y aceleración: Un objeto sigue una trayectoria
elíptica dada por la función vectorial r⃗(t) = 6 cos t ⃗i + 3sen tj⃗.
⃗⃗(t), ‖v
a) Halle v ⃗⃗(t)‖ y a⃗⃗(t).
b) Complete la tabla:
π π π
t 0 2 π
4 2 3
Velocidad
Rapidez
Aceleración
12) Velocidad, aceleración y trayectoria de una partícula: Halle r⃗(t) para las condiciones
dadas.
a) r⃗ ′(t) = 4e2t⃗i + 3et⃗j , r⃗(0) = 2i⃗
⃗⃗ ,
b) r⃗ ′′(t) = −4 cos t ⃗j − 3sen tk ⃗⃗ , r⃗(0) = 4j⃗
r⃗ ′(0) = 3k
14) Velocidad constante o variable: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria dada por
r⃗(t) = 3ti⃗ + 4tj⃗. Encuentre v ⃗⃗(t) y ⃗N
⃗⃗(t), a⃗⃗(t), T ⃗⃗(t) (si existe). ¿Cuál es la forma de la trayectoria?
¿Es constante o variable la velocidad del objeto?
15) Longitud de un arco de curva: Dibuje las siguientes trayectorias y halle su longitud en el
intervalo dado.
a) r⃗(t) = (t + 1)i⃗ + t 2⃗j [0, 6]
⃗⃗
b) r⃗(t) = −ti⃗ + 4tj⃗ + 3tk [0, 1]
17) Funciones vectoriales: Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
Justifique o explique con un ejemplo.
a) Si f, g y h son funciones polinomiales de primer grado, entonces la curva dada por
(f(t), g(t), h(t)) es una recta.
b) Si una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia centrada en el origen,
entonces su vector derivada es siempre tangente a la circunferencia.
c) La integral definida de una función vectorial es un número real.
d
d) [‖r⃗(t)‖] = ‖r⃗ ′(t)‖
dt
⃗⃗ son funciones vectoriales derivables de t, entonces Dt [r⃗(t) • u
e) Si r⃗ y u ⃗⃗(t)] = r⃗ ′(t) •
u
⃗⃗ ′(t)
f) Si un objeto se mueve con rapidez constante, sus vectores velocidad y aceleración
son ortogonales.
g) Si un objeto se mueve en línea recta a velocidad constante, tiene aceleración nula.