Derivada - Conceptos, Razón de Cambio y Definición

IV Derivadas
4.1 Interpretación geométrica de la derivada
La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de una recta tangente a una

función.
En esta figura se observa que la función es 𝑓(𝒙) = √𝒙 y en el punto (1,1) pasa una recta
tangente 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐 (tangente significa tocar, en matemáticas tangente significa que toca un
sólo punto) o sea que el punto (1,1) lo comparten la función y la recta, y la pendiente de
𝟏
la recta 𝟐
es justamente la derivada de la función 𝑓(𝒙) = √𝒙 en el punto (1,1), claro en
1 1
otro punto de la función la pendiente es otra, en el punto (4 , 2), la recta tangente es 𝑦 =
𝑥 + 14 cuya pendiente es 1, por lo que la derivada de la función en ese punto es 1.
4.2 Incremento y razón de cambio
Como se comentó al inicio de la segunda unidad, todo el universo está cambiando, en todos
los fenómenos que estudiamos existe una variación, y regularmente los fenómenos están
determinados por el paso del tiempo, donde la variable independiente es justamente el
tiempo, y este avanza en incrementos positivos y de manera continua.
Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 en el punto (1,1), si nos desplazamos de 𝑥1 = 1 a

digamos 𝑥2 = 1.3 vemos que la diferencia ℎ = 𝑥2 − 𝑥1 = 1.3 − 1 = 0.3 tenemos un
incremento en x de 0.3, ahora bien, al movernos en x también hay variación, incremento en
f(x), de manera que la diferencia es 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = (1.3)2 − 12 = 1.69 − 1 = 0.69.
Razón de cambio es justamente la división de estos incrementos, la variación vertical sobre

la
Δ𝑦 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 0.69
variación horizontal, = = = 2.3.
Δ𝑥 ℎ 0.3
Δ𝑦 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 0.21
Si ahora consideramos h= 0.1, tendremos, Δ𝑥 = = = 2.1.
ℎ 0.1
Ejercicios:
Determine la razón de cambio de las siguientes funciones considerando la x y h que se
indica:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑥 = 1, ℎ = 0.2 5. 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑓(𝑥) = , 𝑥 = 𝜋⁄2 ℎ = 0.1
𝑥
2. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 = 3, ℎ = 0.1 6. 1

𝑓(𝑥) = , 𝑥 = 1, ℎ = 0.1
𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑥 = 𝜋⁄4, ℎ = 0.1 7. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑥 = 0, ℎ = 0.1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2, 𝑥 = 2, ℎ = 0.3 8. 1
𝑓(𝑥) = , 𝑥 = 1, ℎ = 0.1
√𝑥
4.3 Definición de la derivada de una función
Hasta ahora hemos hecho aproximaciones al concepto de derivada, que es la razón de la

variación vertical sobre la variación horizontal, cuando ésta es muy pequeña, es la
pendiente de la recta tangente a la función en un punto específico.
Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 y encontremos la derivada en el punto
(1, −2), ya que cuando 𝑥 = 1, 𝑓(1) = 12 − 1 − 2 = −2 .
Trazamos una recta secante que corte a la función en los puntos (1,-2) y el punto (3,4), la
𝑓(1)−𝑓(3) −2−4 −6
pendiente de esta recta es 𝑚 = = = −2 = 3 lo cual es una aproximación
1−3 1−3
muy burda a la derivada de la función en x=1, ahora acerquemos el valor de x a 2.
La secante que trazaremos será en los puntos (1,-2) y (2,0),
𝑓(1)−𝑓(2) −2−0 −2
la pendiente será 𝑚 = = = −1 = 2,
1−2 1−2
sigue siendo una aproximación burda, ahora acerquemos el valor de x a 1.5. La secante que
𝑓(1)−𝑓(1.5) −2−(−1.25)
trazaremos tendrá una pendiente 𝑚 = = = 1.5, sigue siendo una
1−1.5 −0.5
aproximación a la derivada, finalmente acerquemos x tanto a 1, pero sin tocarlos, entonces
𝑓(1) − 𝑓(𝑥) −2 − (𝑥 2 − 𝑥 − 2)
𝑚 = lim = lim =
𝑥→1 1−𝑥 𝑥→1 1−𝑥
𝑥2 − 𝑥 𝑥(𝑥 − 1)
lim − = lim = lim 𝑥 = 1
𝑥→1 1 − 𝑥 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥→1
Lo cual nos da la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 en (1,-2), como se aprecia en la gráfica

donde f(x) y la recta coinciden, teniendo una pendiente de 1 tanto la recta como la función
en ese punto.
Esta forma de determinar la derivada de una función en un punto específico se llama Razón
de diferenciales y se expresa genéricamente como:
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑥→𝑎 𝑎−𝑥
Ejercicios:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥=4 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 , 𝑥=2
2. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥=1 6. 1

𝑓(𝑥) = , 𝑥=2
𝑥+2
3. 1 7. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) , 𝑥=0
𝑓(𝑥) = , 𝑥=1
𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2, 𝑥 = 0 8. 1
𝑓(𝑥) = , 𝑥=1
√𝑥
La definición anterior de derivada es muy ilustrativa y para un punto específico, pero cuando
queremos determinar la derivada de una función para otro punto se vuelve laborioso.
Podemos determinar la función derivada de una función y evaluar en cualquier punto esta
función derivada.
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0 ℎ
Ampliando más la gráfica observamos que se visualiza un triángulo, donde la hipotenusa es

casi una recta, y al ampliar más hasta que ℎ → 0, obtenemos la derivada de una función.
Ejemplo: Calcular mediante la definición la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .
Se conoce como la regla de los cuatro pasos.
1 Evaluar 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2

2 Realizar la resta 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 2 = 2𝑥ℎ + ℎ2
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 2𝑥ℎ+ℎ2
3 Simplificar el cociente = = 2𝑥 + ℎ
ℎ ℎ
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
4 Determinar el límite cuando ℎ → 0, lim = lim 2𝑥 + ℎ = 2𝑥
ℎ→0 ℎ ℎ→0
Entonces la Derivada f’(x), de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 es otra función 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥.
En la gráfica se puede observar f(x), una parábola y su derivada f’(x) una recta, ahora si
necesitamos determinar la derivada en x = 1, sólo sustituimos en la función derivada
2(1) = 2, si requerimos calcular la derivada en x = -3, sustituimos 2(-3) = -6.
Ejemplo: Calcular mediante la definición la derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥.
1 Evaluar 𝑓(𝑥 + ℎ) = √𝑥 + ℎ
2 Realizar la resta 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = √𝑥 + ℎ − √𝑥
3 Simplificar el cociente
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) √𝑥+ℎ−√𝑥 √𝑥+ℎ−√𝑥 √𝑥+ℎ+√𝑥 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ 1

= = ∙ = ℎ(√𝑥+ℎ+ = ℎ(√𝑥+ℎ+ =
ℎ ℎ ℎ √𝑥+ℎ+√𝑥 √𝑥) √𝑥) √𝑥+ℎ+√𝑥
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 1 1
4 Determinar el límite cuando ℎ → 0, lim = lim =2
ℎ→0 ℎ ℎ→0 √𝑥+ℎ+√𝑥 √𝑥
1
Entonces la Derivada f’(x), de 𝑓(𝑥) = √𝑥 es otra función 𝑓 ′ (𝑥) = 2 .
√𝑥
Ejercicios.
Mediante la regla de los cuatro pasos determinar la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 6. 1
𝑓(𝑥) =
𝑥+2
3. 1 7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 8𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 8. 1
𝑓(𝑥) =
√𝑥
4.4 Diferenciales
𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)
De la definición de derivada 𝑓 ′ (𝑥) = lim se puede observar que es el límite de
𝑥→𝑎 𝑎−𝑥
un cociente de diferencias, 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑥), en el numerador y 𝑎 − 𝑥, en el denominador, y en
ambos casos pero sobre todo en el denominador la diferencia llega a ser infinitamente
pequeña, pero no es cero, a estas diferencia se les denomina “diferenciales”, de ahí el
nombre de Cálculo Diferencial, y también se designa de la siguiente manera:
𝑑𝑓(𝑥)
= 𝑓′(𝑥)
𝑑𝑥
O comúnmente
𝑑𝑦
= 𝑦′
𝑑𝑥
𝑑𝑦
En el cual el símbolo se considera la operación derivada, posteriormente veremos
𝑑𝑥
aplicaciones de los diferenciales en la linealización de funciones.

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4.1 Interpretación geométrica de la derivada

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de una recta tangente a una

Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 en el punto (1,1), si nos desplazamos de 𝑥1 = 1 a

Razón de cambio es justamente la división de estos incrementos, la variación vertical sobre

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑥 = 1, ℎ = 0.2 5. 𝑠𝑒𝑛𝑥

2. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 = 3, ℎ = 0.1 6. 1

4.3 Definición de la derivada de una función

Hasta ahora hemos hecho aproximaciones al concepto de derivada, que es la razón de la

Lo cual nos da la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 en (1,-2), como se aprecia en la gráfica

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥=4 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 , 𝑥=2

2. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥=1 6. 1

Ampliando más la gráfica observamos que se visualiza un triángulo, donde la hipotenusa es

Ejemplo: Calcular mediante la definición la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .

Se conoce como la regla de los cuatro pasos.

1 Evaluar 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2

Entonces la Derivada f’(x), de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 es otra función 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥.

Ejemplo: Calcular mediante la definición la derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥.

2 Realizar la resta 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = √𝑥 + ℎ − √𝑥

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) √𝑥+ℎ−√𝑥 √𝑥+ℎ−√𝑥 √𝑥+ℎ+√𝑥 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ 1

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