RESUMEN RMA-07

ÁLGEBRA, FUNCIONES Y
GEOMETRÍA

Nombre
Curso

Profesor
 RAÍCES

Definiciones:

n es par n es impar

n
a = b  bn = a n
a = b  bn = a

Observaciones:
par
 Una expresión de la forma número negativo NO representa un número real.
k
n k
 a = a n , con a > 0

 a2 = a

Propiedades:
n n
Si a y b están definidas en los números reales, entonces se cumple lo siguiente:

Multiplicación n
a · n
b= n
ab 3
7 · 3
2 = 3
72 = 3
14

Igual Índice
n n n
a : b= a:b
División 20 : 5 = 20 : 5 = 4 = 2
Obs. : b  0

Potencia de una raíz n

am = ( n a )m
5
32 = ( 5 3 )2

Raíz de una raíz n m n m 4 3 4 3 12

a= a 2 = 2 = 2

nm
n
a = am
Cambio de índice 3
2 =
3 4
24 = 12
16
con a > 0

n
bna = bn  a
Factor de una raíz 235 =
3
23  5 = 3
40
con b > 0

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 RACIONALIZACIÓN

Amplificar
Forma Ejemplo Racionalizando
por

a 2 2 5 2 5
c · =
b c 3 5 3 5 5 3 5

a 5 7 7
5 24 5 24
n n-m
b · =
n
bm
7
23 7 7 2
23 24

a 2 2 ( 3  5) 2( 3  5)
p b –q c · =
p b +q c 3 + 5 3 + 5 ( 3  5) ( 3)  ( 5)2
2

a 2 2 2 3 + 5 2(2 3 + 5)
p b +q c · =
p b  q c 2 3  5 2 3  5 2 3 + 5 (2 3)  ( 5)2
2

a 3 3 5 2  4 3(5 2  4)
p b –q · =
p b +q 5 2 +4 5 2 +4 5 2  4 (5 2)2  42

Observación: La expresión de la columna “Amplificar por” debe ser un número real.

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 FUNCIÓN RAIZ
Definición:
 
Sea f: l R  l R , se define la función raíz cuadrada como f(x) = x.
0 0

Observaciones:

 Dom f = Rec f = l R
0

 Función biyectiva.
 Función creciente.
 Función de crecimiento lento.

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 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ax2 + bx + c = 0, con a  0
a, b, c  lR

Resolución de ecuaciones de segundo grado:

b=0
2
3x2 = 0
ax = 0 x1 = x2 = 0
c=0 x1 = x2 = 0

Ecuaciones Solo x1 y x2 5x2 – 20 = 0

b=0 ax2 + c = 0
son opuestas x1 = -2 y x2 = 2
incompletas

x1 = 0 3x2 + 5x = 0
Solo
c=0 ax2 + bx = 0
b 5
x2 = - x1 = 0 y x2 = -
a 3

x2 + 5x + 6 = 0
Factorizar (x + 3)(x + 2) = 0
x1 = -3 y x2 = -2
a0
Aplicar fórmula x2 + 5x + 6 = 0
Ecuaciones a = 1; b = 5; c = 6
b0 ax2 + bx + c = 0
-5  52  4  1  6
completas -b  b2  4ac x=
x= 2 1
c0 2a
-5  1
x=
2
-6 -4
x1 = = -3 ; x2 = = -2
2 2

Observaciones:
Sean  y  las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces:

 (x - )(x - ) = 0  x2 – ( + )x +  = 0
b
 +=-
a
c
  =
a

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 FUNCIÓN CUADRÁTICA

f(x) = ax2 + bx + c = 0, con a, b, c  lR y a  0

f(x) = ax2 + bx + c = 0 f(x) = x2 – 8x + 12

y y
x=4

c 12

x1 x2 x 6 x
2
-4
V(4,-4)

Cóncava hacia a = 1  cóncava hacia arriba

arriba

a = Número positivo

Concavidad

Cóncava hacia
abajo
a = Número negativo

y = f(0) = c
Intersección con
el eje Y  c = 12  (0, 12)
x=0 El punto es (0, c)

Ceros de la
función
 Intersección con f(x) = 0 x2 – 8x + 12 = 0
el eje X.
 y=0 ax2 + bx + c = 0 (x – 6)(x – 2) = 0
 Se debe resolver
la ecuación de
x1 y x2 x1 = 6 y x2 = 2
segundo grado.

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 x1 + x2 6+2
x= x= =4
2 2

Eje de simetría

-b a=1 -(-8)
x= x=  4
2a 2 1
b = -8

x=4
2
f(4) = 4 – 8 · 4 + 12 = -4
V(x, f(x))
 V(4, -4)

Vértice a=1
Mínimo o Máximo b = -8 
de la función.
 -b 4ac  b2  c = 12
V , 
 2a 4a 
 
 8 4  1  12  (-8)2 
V ,
2  1 4 1 
 

Observación:
 Si a > 0, tiene un valor mínimo, que corresponde a la ordenada del vértice.
 Si a < 0, tiene un valor máximo, que corresponde a la ordenada del vértice.

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Observación:

El discriminante b2 – 4ac, determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación de

segundo grado y la intersección con el eje x.

Discriminante Naturaleza de las

Intersección con el eje
b2 – 4ac soluciones

y
y

x1  x2
Positivo
Reales y distintas x1 x2 x x1 x2 x

Dos puntos distintos de intersección.

y
y
x1 = x2
x
x1 = x2
Cero x
Reales e iguales x1 = x2

Un punto de intersección (grafica tangente

al eje x).

x1 =  + i y y
x2 =  - i
Negativo x
,   lR
x
Complejas conjugadas

No existen puntos de intersección.

Observación:
 La función de segundo grado se puede expresar como: f(x) = a(x – x1)(x – x2)

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 CONTRACCIÓN Y EXPANSIÓN DE f(x) = ax2

a > 1 Se contrae Se acerca al eje Y (es más angosta)

0 < a < 1 Se expande Se aleja del eje Y (es más ancha)

Ejemplo:
y
1 2
y= x
y = x2 2

y = -3x2

TRASLACIÓN VERTICAL f(x) = x2

y = x2 + c Desplazamiento Función Gráfico

y
c = número
Hacia arriba f(x) = x2 + 1
positivo
1
x

c = número
Hacia abajo f(x) = x2 – 2
negativo x

-2

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 TRASLACIÓN HORIZONTAL DE f(x) = x2

y = (x – h)2 Desplazamiento Función Gráfico

h = número
Hacia la derecha f(x) = (x – 3)2
positivo

3 x

h = número
Hacia la izquierda f(x) = (x + 2)2
negativo
-2 x

Forma canónica: y = a(x – h)2 + k

y
 El vértice es V(h, k)

 El eje de simetría es x = h
k

h x

Ejemplo:
Concavidad Intersección con
Eje de
Función Vértice el eje Y
simetría a Signo Hacia
(x = 0)

f(x) = 6(x – 2)2 + 3 x=2 v(2, 3) 6 positivo arriba c=6(-2)2 + 3 = 27

f(x) = -2(x + 1)2 + 4 x = -1 v(-1, 4) -2 negativo abajo c=-2 · 12 + 4 = 2

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VECTORES
B L

Extremo
A
Origen

Un vector es un segmento de recta dirigido AB caracterizado por tener:

 Módulo: Es la longitud del segmento AB y se anota como AB .

 Dirección: Está dada por la posición de la recta que contiene al vector (recta L).
 Sentido: Existen dos sentidos posibles, de A hacia B o de B hacia A, indicados por la
flecha AB o BA, respectivamente.

OBSERVACIONES

 Dos vectores son iguales o equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido.
 Los vectores también se expresan con una letra minúscula y una flecha sobre dicha letra:
u
 Si A coincide con B, tendremos el vector cero o nulo AB = AA = 0

Adición Sustracción

Para sumar, se copia v a El vector diferencia entre u y v, en

continuación de u, haciendo ese orden, es u + (-v), donde –v
Sean los vectores coincidir el origen de v con el (inverso aditivo de v) tiene igual
uyv extremo de u. Luego, u + v es el módulo y dirección, pero sentido
vector que resulta de unir el contrario a v.
origen de u con el extremo de v.

u
v u+v
v
u -v
u u–v
Ponderación por un escalar

Dado a  lR y un I. La magnitud de a · v es a · v

vector v y se II. Si a > 0, la dirección y sentido de a · v corresponden a las del
define el vector vector v.
a · v como:
III. Si a < 0, la dirección es la misma de v y su sentido contrario a v.

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Vectores en lR2

Se puede establecer una relación entre las coordenadas del extremo de un vector, asociándolo a
un vector anclado en el origen:
Por ejemplo OA = (a, b)

Dado el vector AB no anclado en el origen, con A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces:

AB = (x2 – x1, y2 – y1)

Dados los vectores a = (a1, a2), b = (b1, b2), se definen:

Modulo o Magnitud de un Vector

a  (a1 )2 + (a2 )2
Adición y Sustracción

a  b = (a1  b1, a2  b2)

Ponderación por un escalar K (Real)

k · a = k · (a1, a2) = (k · a1, k · a2)

Vectores Unitarios
Se definen los vectores unitarios (módulo igual a 1): i = (1, 0) y j = (0, 1), de modo que
cualquier vector en el plano se puede expresar en términos de ellos en forma canónica.

a = a1 · i + a2 · j = (a1 , a2)

Para dos vectores u y v en el plano o en el espacio, se cumple la desigualdad u+v  u+v,

llamada desigualdad triangular.
u+v
v

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CUERPOS GEOMÉTRICOS
Poliedro Prisma
Es un cuerpo limitado por cuatro o más Es un poliedro limitado por paralelogramos
polígonos donde cada polígono se denomina (caras paralelas del prisma) y dos polígonos
cara, sus lados son las aristas y la congruentes cuyos planos son paralelos
intersección de las aristas se llaman vértices (bases del prisma)

Caras
Arista
Vértices

 Los prismas se pueden nombrar por los

polígonos que forman sus bases.
 Un prisma es recto si sus aristas laterales son
 Las diagonales son los segmentos que unen
perpendiculares a las bases. En caso contrario,
dos vértices no situados en una misma cara.
es oblicuo.
 Si las bases de un prisma recto son polígonos
regulares, el prisma es regular.
Paralelepípedo, es un prisma cuyas bases son paralelogramos.
Ortoedro, es un paralelepípedo recto Cubo o hexaedro regular, es un
rectangular con bases rectangulares paralelepípedo recto cuyas caras son todos
cuadrados.

Pirámide Vértice  Una pirámide se puede

Arista
Es un poliedro cuyas caras nombrar por el polígono de
laterales son triángulos que su base.
concurren en un punto Cara lateral  Una pirámide es recta si el
llamado vértice de la h pie de su altura equidista de
Altura de la los vértices basales. En caso
pirámide, y su base es un Apotema pirámide contrario es oblicua.
polígono. La altura de cada
 Una pirámide regular es una
una de las caras laterales se pirámide recta cuya base es
denomina apotema. un polígono regular. Sus
Base caras laterales son triángulos
isósceles
Cuerpos Redondos
Son cuerpos limitados por superficies curvas o superficies planas y curvas.

Esfera Cilindro Generatriz

r
Altura
h

r Cono
Radio

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Cuerpos de Revolución
Se obtienen haciendo girar una superficie plan alrededor de un eje.

Cuerpos generados por traslación

Se genera por traslación de una superficie plana

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ÁREAS Y VOLÚMENES DE PRISMAS
El volumen de todos los prismas y cilindros es igual al área de la base por la altura.

Volumen
Área
V =Área de la
Nombre Figura A = Suma del área de
base por la
cada una de las caras
altura

Paralelepípedo d h
A = 2(ab + bh + ah) V=a·b·h
rectangular
a b

d= a + b2 + h2
2

a
Hexaedro a A = 6a2 V = a3
regular a
Diagonal de una cara: a 2
Diagonal del cubo: a 3

a b  A = ALaterales + 2Abasal
c
Prisma recto  A = h(a + b + c) + 2B
V =B · h
triángular h
B B: área basal

 A = AManto + 2Abasal
 A = 2rh + 2r2

r El manto del cilindro

corresponde a un
Cilindro recto rectángulo cuyo largo es el
de base h perímetro de la V = r2h
circular circunferencia basal y
ancho, la altura h del
cilindro.

2r

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ÁREAS Y VOLÚMENES DE PIRÁMIDE, CONO Y TRONCO DE CONO
El volumen de todas las pirámides y conos es igual al área de la base por la altura divido por
tres.

Volumen
Área
V= Un tercio
Nombre Figura A = Suma del área de
del área basal
cada una de las caras
por la altura

 A = 4ALateral + Abasal
Pirámide
g  A = 2ag + a2 a2  h
recta de base h V=
cuadrada 3
a a
g: apotema lateral

 A = AManto + Abasal
 A = rg + r2

g: generatriz

El manto del cono

g
h corresponde a un sector
Cono recto de circular cuyo radio es la r2h
V=
base circular r generatriz g y longitud de 3
arco 2r.

g g

2r

Áreas y Volumen de una Esfera

Nombre Forma Área Volumen

4
Esfera 4    r2    r3
3

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