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Sesión 7
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SESIÓN Nº 07
MODELOS MATEMÁTICOS
PROGRAMACIÓN LINEAL CON GEOGEBRA
MATHEMATICAL MODELS
LINEAR PROGRAMMING WITH GEOGEBRA
ANTES
Los estudiantes observan el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=ceHLG7IuQlM
INICIO
Se recogen saberes previos y contestan las preguntas que se dan a
continuación en clase:
Conflicto cognitivo
¿Por qué la programación lineal constituye un
campo importante de la optimización?
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MODELOS MATEMÁTICOS
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MODELO MATEMÁTICO:
FUNCIÓN LINEAL
MODELO MATEMÁTICO
FUNCIÓN
CUADRÁTICA
SITUACIÓN -
FUNCIÓN
PROBLEMA
FUNCIÓN CÚBICA
FUNCIÓN
EXPONENCIAL
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Modelización de Funciones
Las funciones son muy utilizadas para modelar
matemáticamente situaciones y problemas de la vida
real.
Un modelo matemático se define como una descripción
desde el punto de vista de las matemáticas de un
hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de
la población, hasta fenómenos físicos como la
velocidad, aceleración o densidad.
El objetivo del modelo matemático es entender
ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su
comportamiento en el futuro.
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PASOS PARA ELABORAR UN MODELO MATEMÁTICO:
•• Determinación de dominio
4
•• Respuesta
5
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Ejercicio 1
Una empresa importante del Perú de telefonía celular, proporciona una nueva
oferta.
•Un pago fijo de 30 Soles mensuales, que incluye 150 minutos para
llamadas.
•Se cobrará 0.20 Soles por cada minuto adicional a los 150 minutos incluidos
en el pago de 30 Soles.
Muestra una representación gráfica de la función que representa el pago (en
Soles) por x minutos de llamadas.
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DURANTE
Solución:
Planteamiento:
Vamos a establecer las condiciones que nos plantean Condición 2: Se cobrará 0.20 Soles por cada minuto
de forma que permita realizar el gráfico de la función. adicional a los 150 minutos incluidos en el pago de 30
Soles.
Condición 1: Un pago fijo de 30 Soles mensuales, que
incluye 150 minutos para llamadas. Sea x la cantidad de minutos disponibles para las
llamadas, se entiende que x es mayor a 150. Esta
Sea x la cantidad de minutos disponibles para las restricción es el dominio de la función que modela la
llamadas, se entiende que x se encuentra entre 0 y oferta 2. Por tanto, se plantea la expresión.
150, inclusive. Esta restricción es el dominio de la
función que modela la oferta 1. Por tanto, se plantea la
expresión.
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DURANTE
Solución:
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DURANTE
Ejercicio 2
Solución: DURANTE
Planteamiento:
Si llamamos uno de sus lados x y el otro lado y, el perímetro de la malla será:
DURANTE
Solución:
El dominio nos queda:
DURANTE
Ejercicio 3
DURANTE
Solución: x x
x
Planteamiento: x
a. Para determinar el volumen de la caja multiplicamos el área de la base por
h h
la altura de la caja: h
h
x
x
Despejando h:
DURANTE
Solución:
Planteamiento:
c. Graficando la función con GeoGebra, obtenemos el volumen máximo:
DURANTE
Ejercicio 4
DURANTE
Solución:
Planteamiento:
a. Para modelar el crecimiento de las bacterias en función del tiempo, analizamos el comportamiento
tomando en cuenta que cada hora el número de bacterias se duplica:
PROGRAMACIÓN LINEAL
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MAPA DE CONTENIDOS
Programación Lineal
Restricciones y restricciones de
no negatividad
Función Objetivo
DURANTE
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DURANTE
En conclusión:
“La programación lineal es el campo de la programación matemática dedicado a maximizar o
minimizar una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o
inecuaciones también lineales”
Restricciones
o Inecuaciones
Las restricciones son
desigualdades lineales o
inecuaciones de primer grado
con una o dos variables.
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Primer cuadrante
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DURANTE
La función lineal dada por la ecuación a optimizar recibe el nombre de función objetivo. Al
conjunto de puntos en el plano xy que satisface las inecuaciones del problema se llama conjunto
Todo punto que esté en el conjunto de restricción recibe el nombre de solución factible. Los
cuales la función objetivo tenga un máximo o un mínimo según lo que pidan. (p.3).
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Teorema:
DURANTE
Grossman (1992) señala que “los valores máximos y mínimo de la función objetivo de cualquier problema de programación
a. Determinense todos los puntos de esquina posible del conjunto restricción. Estos puntos se obtienen tomando exactamente n de las
incógnitas.
b. Determinense los puntos esquinas reales probando cada punto de esquina posible, viendo si satisface o no las m inecuaciones
Determinense los puntos de esquina donde la f(x) toma sus valores máximo y mínimo. Si f(x) toma su valor máximo en
dos puntos de esquina, entonces toma este valor en todo punto de la recta que une estos dos puntos de esquina. (p.29).
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DURANTE
DURANTE
Solución óptima Según Grossman (1992)
Se obtiene en los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza su valor óptimo, es decir, el máximo
o el mínimo. Si la solución óptima es única, está ubicada en uno de los vértices de la región factible. Si existen
varias soluciones, entonces son todos los puntos que están sobre uno de los lados de la región factible.
Solución
Óptima
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f. Calcular las coordenadas de los vértices de la región factible (si son pocos).
g. Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices. Esto será consignado en una tabla de evaluación de la
función objetivo.
Ahí observamos que se pueden presentar valores máximo o mínimo según nos pida el problema
Recordemos que en P.L.se puede tener : solución única, infinitas soluciones o bien no tener solución.
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PROBLEMA DE ELABORACIÓN DE TIPOS DE LÁMPARAS
Una fábrica produce y vende dos modelos de lámparas Arco y Ibiza. Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo Arco y de 30 minutos para el Ibiza; y un
trabajo de máquina para Arco de 20 minutos y de 10 minutos para Ibiza. Se dispone para el trabajo
manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que la ganancia por unidad
es de 15 y 10 dólares para Arco y Ibiza, respectivamente. Determinar la cantidad de lámparas que
debe fabricar para obtener la máxima ganancia.
DURANTE
Variables de decisión: x= Número de Lámparas de Arco
y= Número de Lámparas Ibiza
Función Objetivo:
Restricciones:
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DURANTE
Gráfica de la región factible y determinación de sus vértices usando GeoGebra
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Evaluando los vértices en la región factible
A=(0, 0) 15 ( 0 ) + 10 ( 0 ) 0
Interpretación de la respuesta :
¿Calcular la cantidad de lámparas que debe fabricar para obtener la máxima ganancia?
Para tener la ganancia máxima de : $ 3750
Se debe de fabricar:
210 modelos de lámparas Arco y
60 modelos de lámparas Ibiza
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MÉTODO GRÁFICO DESARROLLADO CON GEOGEBRA
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5) Se mueve la función objetivo hasta tocar el punto más alejado del polígono o región factible. DURANTE
Valor Máximo
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DURANTE
EJERCICIO PROPUESTO:
Un fabricante de tapices dispone de 500kg de hilo de seda, 400kg de hilo de plata y 225kg de hilo de oro. Desea fabricar
dos tipos de tapices que llamaremos A y B. Para los del tipo A se necesita 1kg de hilo de seda y 2kg de hilo de plata, y
para los del tipo B, 2kg de hilo de seda, 1kg de hilo de plata y 1kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000
euros y cada tapiz de tipo B a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica, ¿Cuántos tapices de cada tipo ha de
fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Trabajo Aplicativo
Los estudiantes trabajan en grupos y de manera
colaborativa realizando un cuadro de enunciados y
respuestas de acuerdo a la actividad programada por el
docente.
CIERRE
CONCLUSIONES
1. ¿Qué es lo que más te ha gustado de la sesión desarrollada?
CIERRE
Metacognición
https://quizizz.com/admin/quiz/5f067253eab6
a8001d1c3818/programaci%C3%B3n-lineal
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COMPLEMENTARIO
https://www.youtube.com/watch?v=VbPWQACl2lg&t=12s
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COMPLEMENTARIO
DESARROLLA EN GRUPO
LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
PARA LA CREACIÓN DEL
PORTAFOLIO
Resolver la EPP07
Referencias Bibliográficas
Bello, J. (2013) Mediación del software GeoGebra en el aprendizaje de programación Lineal en alumnos del
quinto grado de educación secundaria. Tesis para optar el grado de Magister en la enseñanza de la
matemática en la PUCP Lima. Recuperado de:
http://repositorio.pucp.edu.pe/index/browse?type=author&value=Bello+Durand %2C+Judith+Beatriz
Inv Operaciones. (2021). Historia de la programación lineal. Optimus,
(100025022), 1. Retrieved from
https://inveoperaciones.wordpress.com/2012/05/07/historia-de-la-program
acion-lineal/
Grossman, S. (1992b). Aplicaciones del álgebra lineal (4ª ed.).
México, D.F.: Graf América.