INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SEMANA 9 - PROYECTO FINAL

Francisco Ibáñez Baeza

21/03/2022
Continuidad
7/ en Ingeniería industrial
7
7
DESARROLLO

1. ¿Cuál es el rol que tiene la investigación de operaciones en las organizaciones? (2

puntos).

La investigación de operaciones desempeña un rol importante dentro de las

organizaciones, esta permite la solución de problemas complejos a través del uso de
múltiples disciplinas, por lo que es sumamente necesario conocer estos sistemas para
tomar mejores decisiones y aumentar la productividad organizacional.

En la investigación de operaciones se aplica el método científico a problemas

reales, que se relacionan con problemas organizacionales, para así generar soluciones
que ayuden a maximizar ganancias, utilidades y/o minimizar costos, tiempos etc. Por tanto,
permite encontrar los caminos o vías de mayor eficiencia o efectividad en cada caso
aplicado (maximizando o minimizando). Su contribución más importante es la aplicación
de su resultado para la toma de decisiones a niveles administrativos bajos, medianos y
superiores.

2. Una empresa produce dos artículos: Z y F. Tiene capacidad de producir hasta 30

cada día, usando como máximo un total de 70 horas de mano de obra. El tiempo para
producir el artículo Z es de 4 horas y 3 horas para producir el artículo F. Por otro
lado, la utilidad por cada artículo Z es $12.500 pesos y por cada artículo F es de $
9.300 pesos.

Se debe determinar el modelo final que permita maximizar el beneficio de la

empresa, resolviendo lo siguiente:

a. Definir el problema (1 punto)

Determinar la cantidad de articulo Z y F que la empresa deben producir para maximizar

el beneficio. Los daros se disponen en la siguiente tabla:
 Ítem Articulo Z Articulo F
Tiempo 4 3
Precio 12.500 9.300

Consideraciones para la construcción del modelo:

• X = cantidad de productos Z
• Y = cantidad de productos F

b. Determinar la función objetivo y las restricciones (3 puntos)

La función objetivo es:

Max U= X * 12.500 + Y * 9.500

Restricciones:

• En relación a la producción, la capacidad máxima diaria que tiene la empresa es

de 30 unidades, por tanto, tenemos: X + Y ≤ 30
• Bajo el concepto de mano de obra los usos máximos de horas son de 70 en total,
lo cual se dispone de la siguiente forma: X *4 + Y *3 ≤ 70
• La cantidad para producir es mayor a cero: X ≥ 0, Y ≥ 0

c. Expresar el modelo final (1 punto)

Max U= X * 12.500 + Y * 9.500

s. a X + Y ≤ 30

X *4 + Y *3 ≤ 70

X≥0

Y≥0
3. Una empresa debe satisfacer la demanda de sus clientes para los siguientes meses.
La demanda estimada para junio, julio y agosto es de 3.600, 11.000 y 9.000 unidades,
respectivamente. La empresa cuenta con un inventario de 25 unidades. La fábrica
cuenta con una capacidad de producción mensual de 11.000 unidades.

Los costos unitarios para el mes de junio son de $8, julio $4 y para agosto $5.
El costo de almacenamiento unitario es de $3.

La bodega puede almacenar hasta 800 unidades de inventario y, por contrato,

los despachos se realizan el último día hábil de cada mes. Se debe determinar el
modelo final que permita disminuir los costos en junio, julio y agosto. Para ello en
necesario responder lo siguiente:

a. Definir el problema (2 puntos)

Determinar la cantidad exacta de unidades a fabricarse para minimizar los costos.

Construcción del modelo: para resolver el problema, primero generaremos una tabla.

Meses demanda Capacidad Costo Capacidad La empresa Costo

para fabricar mensual almacenamiento cuenta con almacenamiento
unidades bodega inventario
de
Junio 3.600 11.000 8 800 25 3
Julio 11.000 11.000 4 800 25 3
Agosto 9.000 11.000 5 800 25 3

Para construir el modelo lo primero es definir las variables:

• Unidades producidas por meses viene dada por xj:

Donde j =1, 2, y 3
- 1= junio
- 2= julio
- 3= agosto
 • Unidades para almacenar en bodega en cada mes i:

Donde f= 1, 2, y 3

- 1= junio
- 2= julio
- 3= agosto

Se deben obtener los costos:

- Costos de producción: 8 *x1 + 4 * x2 + 5 * x3

- Costos de almacenamiento por unidad: 3 * i1 + 3 * i2 + 3 *i3

b. Construir el modelo final (1 punto).

La función Objetivo para minimizar los costos viene dada por:

Min C = (8 *x1 + 4 * x2 + 5 * x3) + (3 *i2 + 3 * i2 + 3 * i3)

Restricciones:

Proyección de demanda por mes:

o Junio x1 ≤ 3.600
o Julio x2 ≤ 11.000
o agosto x3 ≤ 9.000

Capacidad de almacenaje:
o junio = x1 ≤ 800
o julio = i1+ x2 ≤ 800
o agosto= i2 + x3 ≤ 800

La producción siempre será superior a cero.

X1, X2, X3 ≥ 0
 De esta forma queda representado el modelo final para minimizando los costos totales de
los cuatro trimestres.

Min C = (8 *x1 + 4 * x2 + 5 * x3) + (3 *i2 + 3 * i2 + 3 * i3)

S.a. x1 ≤ 3.600
x2 ≤ 11.000

x3 ≤ 9.000

x1 ≤ 800

i1+ x2 ≤ 800

i2 + x3 ≤ 800
X1, x2, x3 ≥ 0

c. Representar gráficamente el espacio factible y solución óptima (3 puntos).

Se grafican las restricciones para encontrar el punto de intersección:

o Restricción 1: x1 =3.600
o Restricción 2: x2 =11.000
o Restricción 3: x3 = 9.000
o Restricción 4: x1 = 800
o Restricción 5: i1+ x2 = 800
o Restricción 6: i2 + x3 = 800

Ahora graficaremos las restricciones:

 4. Para el siguiente modelo:

a. Reconocer la función objetivo y restricciones para resolver el problema de programación

lineal mediante método simplex (2 puntos)
b. Reconocer las soluciones de las variables en la tabla óptima del método simplex (4 puntos).
c. Determinar la solución del problema mediante método simplex. El resultado final se puede
comprobar de acuerdo con procedimiento desarrollado en los apuntes (2 puntos).

Desarrollo:

Paso 1:

- Función objetivo:
 utilidad máx. Z = x 1 + 0,5 x2

- Identificar las restricciones:

o 2 X1 + x2 ≤ 4
o x 1+ 2x2 ≤ 3
o x1, x2 ≥ 0

- Modelo

𝑀á𝑥. 𝑍 = 𝑥1 + 0,5𝑥2

S.a 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4

𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Variables:

• X1: cantidad (x)

• X2: cantidad (x)

Paso 2: igualar la función objetivo y restricciones:

Para igualar la función objetivo a cero, se debe realizar cambio de signo para pasar al lado
izquierdo de la ecuación.

Z – x1 – 0,5 x2 = 0

Igualar las restricciones, es necesario agregar la variable holgura (s)

2X 1+ x2 + s1 = 4
X1+ 2x2 + s2 = 3
Paso 3: realizar la tabla simplex para encontrar el elemento, columna y pivote.

B X1 X2 S1 S2 R
1 - 1 - 0,5 0 0 0
0 2 1 1 0 4
0 1 2 0 1 3

Ya escogimos el reglón pivote, el cual se elige dividiendo la columna de la constante R por los
números de la columna pivote. No se debe considerar la fila de la función objetivo.

B X1 X2 S1 S2 R
1 - 1 - 0,5 0 0 0
0 2 1 1 0 4/2=2
0 1 2 0 1 3/1=3

El resultado menor de esta división indicara que ese es el reglón pivote. Luego se debe identificar
el elemento pivote, el cual corresponde al valor que queda intersectado entre la columna y el
pivote, en este caso es 2. quedando la tabla de la siguiente manera

B X1 X2 S1 S2 R
1 - 1 - 0,5 0 0 0
0 2 1 1 0 4
0 1 2 0 1 3

Se debe identificar el elemento pivote, el cual corresponde al valor que queda intersectado entre
la columna pivote y el reglón pivote.
El elemento pivote se debe convertir a 1 y para realizar este proceso se multiplicará por 1/2 todos
los elementos de la ecuación, obteniéndose lo siguiente:
 B X1 X2 S1 S2 R
1 - 1 - 0,5 0 0 0
0 1 0,5 0,5 0 2
0 1 2 0 1 3

Posteriormente, en la misma tabla simplex, se debe convertir a cero todos los números que estén
por sobre y debajo del elemento pivote. Partiendo con -1, se multiplica por 1 (mismo valor con el
signo contrario) cada valor del reglón pivote y el resultado se suma al reglón donde se encuentra
-50, ósea, a cada valor de R1. Luego se realiza lo mismo con el valor por debajo del pivote en R3,
esto quiere decir que se multiplica por -1 cada valor del reglón pivote y el resultado se suma a
cada valor del reglón R3.
resultando: 1 * R2 + R1 Y -1 * R2 +R3

B X1 X2 S1 S2 R
R1 1 0 0 0 0 4
R2 0 1 0,5 0,5 0 2
R3 0 0 1,5 -0,5 0 1

𝑥1 y 𝑥2 son cero, en este caso se deja la operación finalizada.

El ejercicio se ha realizado completamente porque ambas constantes son positivas (𝑥1 𝑦 𝑥2), en
este caso son cero, por lo tanto, se cumple con los requerimientos. Para obtener el resultado del
ejercicio que se está solicitando, es necesario leer la matriz final obtenida. En este caso, la primera
columna corresponde a la función objetivo (al inicio del ejercicio se asignó de esta manera). En la
tabla R nos indica el resultado, de acuerdo con lo siguiente:

B X1 X2 S1 S2 R
R1 1 0 0 0 0 4
R2 0 1 0,5 0,5 0 2
R3 0 0 1,5 -0,5 0 1
Para obtener el valor de B, se debe ubicar en B, bajar hasta donde aparece el 1 e ir a la columna
de resultado, como se indica en la matriz.

B=4

Para obtener el valor de x1, se debe ubicar en x1, bajar hasta donde aparece el 1 e ir a la columna
de resultado, como se indica en la matriz anterior.

𝑥1 = 2

𝑥2 = 0

Respuesta: se deben producir 2 cantidades de (x) producto para maximizar las utilidades
obteniendo $4

5. Maximizar la utilidad de la siguiente función objetivo:

Se le pide:
a. Identificar restricciones y función objetivo para resolver problema de programación
lineal mediante método simplex (1 punto).
b. Calcular solución de variables y problema mediante método simplex (2 puntos)
c. Realizar análisis de sensibilidad mediante método simplex para la función objetivo y
lado derecho de las restricciones (1 punto).
Desarrollo:

Identificar la función objetivo:

Max. Z = 185 x1 + 200 x2 + 145 x3

Restricciones:

✓ 0,05 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 1100

✓ 0,05 𝑥1 + 0,10𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 800
✓ 0,10 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 2000
✓ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Se debe igualar la función objetivo y las restricciones planteadas anteriormente a cero.

Función objetivo:

Z – 185 x1 – 200 x2 – 145 x3 = 0

Lo siguiente es agregar a las restricciones las variables de holgura.

0,05 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 + s1 = 1100

0,05 𝑥1 + 0,10𝑥2 + 0,05𝑥3 + s2 = 800
0,10 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 + s3 = 2000

Calcular solución de variables y problema mediante método simplex

Identificar la columna pivote observando las columnas de las variables de decisión (x1, x2
y x3) La columna pivote será la que tenga el valor más negativo, en este caso es:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
1 -185 -200 -145 0 0 0 0
0 0,05 0,05 0,05 1 0 0 1.100
0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 800
0 0,1 0,05 0,05 0 0 1 2.000
 Identificar el reglón pivote dividiendo la constante R por los números que quedaron en la
columna pivote.

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
1 -185 -200 -145 0 0 0 0
0 0,05 0,05 0,05 1 0 0 1.100/0,05=22.000
0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 800/0,1=8.000
0 0,1 0,05 0,05 0 0 1 2.000/0,05=40.000

El resultado menor de esa división indicara que ese es el reglón pivote. Se debe identificar
el elemento pivote, que corresponde al valor que queda intersectado entre la columna y el reglón
pivote, por lo tanto, quedaría de la siguiente manera:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
1 -185 -200 -145 0 0 0 0
0 0,05 0,05 0,05 1 0 0 1.100
0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 800
0 0,1 0,05 0,05 0 0 1 2.000

El pivote se debe convertir a 1. Para ello se multiplicará 10 los elementos de la ecuación

quedando:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
1 -185 -200 -145 0 0 0 0
0 0,05 0,05 0,05 1 0 0 1.100
0 0,5 1 0,5 0 10 0 8.000
0 0,1 0,05 0,05 0 0 1 2.000

Se debe seguir calculando, ya que aún quedan variables de decisión con signo negativo.
De momento se seleccionará la variable X2 con -200. Luego, se debe dividir la constante R por
los números que quedaron en la columna pivote, para luego, identificar el elemento pivote, que
corresponde al valor que queda intersectado entre la columna y el reglón pivote. Quedando: 200
* R3 + R1, -0,05 *R3 + R2 Y -0,05 * R3 + R4
 Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 -85 0 -45 0 2000 0 1.600.000
R2 0 0,025 0 0,025 1 -0,5 0 700
R3 0 0,5 1 0,5 0 10 0 8.000
R4 0 0,075 0 0,025 0 -0,5 1 1.600

Ahora se debe repetir el proceso y se vuelve a escoger la columna pivote quedando X1 con el
valor más negativo (-85).

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 -85 0 -45 0 2000 0 1.600.000
R2 0 0,025 0 0,025 1 -0,5 0 700
R3 0 0,5 1 0,5 0 10 0 8.000
R4 0 0,075 0 0,025 0 -0,5 1 1.600

Se procede a escoger el reglón pivote:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 -85 0 -45 0 2000 0 1.600.000
R2 0 0,025 0 0,025 1 -0,5 0 700/0,025=28.000
R3 0 0,5 1 0,5 0 10 0 8.000/0,5=16.000
R4 0 0,075 0 0,025 0 -0,5 1 1.600/0,075=21.333,3

El reglón pivote es el resultado menor en este caso R3

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 -85 0 -45 0 2000 0 1.600.000
R2 0 0,025 0 0,025 1 -0,5 0 700
R3 0 0,5 1 0,5 0 10 0 8.000
R4 0 0,075 0 0,025 0 -0,5 1 1.600
 El elemento pivote se debe convertir a 1. Se deberá multiplicar por 1 / 0,5 los elementos de la
ecuación quedando.

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 -85 0 -45 0 2000 0 1.600.000
R2 0 0,025 0 0,025 1 -0,5 0 700
R3 0 1 2 1 0 20 0 16.000
R4 0 0,075 0 0,025 0 -0,5 1 1.600

Luego se deben convertir a cero todos los elementos que estén por sobre y debajo el
elemento. Realizado lo anterior quedaría: Quedando: 800 * R3 + R1, -0,025 *R3 + R2 Y -0,075 *
R3 + R4

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 0 170 40 0 3700 0 2.960.000
R2 0 0 -0,05 0 1 -1 0 300
R3 0 1 2 1 0 20 0 16.000
R4 0 0 -0,15 -0,05 0 -2 1 400

Ahora debemos interpretar la matriz obtenida. En este caso, la primera columna

corresponde a la función objetivo, ya que al inicio del ejercicio se asignó de esta manera.

En la tabla, R indica el resultado. obteniendo lo siguiente:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 0 170 40 0 3700 0 2.960.000
R2 0 0 -0,05 0 1 -1 0 300
R3 0 1 2 1 0 20 0 16.000
R4 0 0 -0,15 -0,05 0 -2 1 400

Para obtener el valor de Z se debe ubicar la Z, bajar hasta el numero 1 e ir a la columna

de resultado, como se indica en la matriz con el color gris.

✓ Z = 2.960.000
✓ X1=16.000
 ✓ X2= 0
✓ X3=0

Ahora para comprobar el resultado se sustituyen los valores obtenidos en la función objetivo,
es decir:

𝑀á𝑥. 𝑍 = 185𝑥1 + 200𝑥2 + 145𝑥3

Z = (185 * 16000) +(200*0) + (145 * 0)

Z = 2.960.000

El resultado obtenido es correcto ya que igual al valor obtenido en la matriz.

Luego se deben evaluar las restricciones:

✓ Restricción 1:

0,05 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 1100

800≤ 1100, esta restricción es inactiva.

✓ Restricción 2:

0,05 𝑥1 + 0,10𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 800

800+0+0

800≤ 800, esta restricción es parte de la solución óptima.

✓ Restricción 3:

0,10 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 2000

1600 < 2000, esta restricción es inactiva.

Análisis de sensibilidad de coeficiente óptimo de la función objetivo:

C1 = 185

S1 S2 C1 – s1 = 185
0 3700 C1 – s2 = 185 – (-3700)
1 -1 C1- s2= 3885
0 -3700

C2= 200

S1 S2 C2 – s1 = 200
0 3700 C2 – s2 = 200 – 185
0 20 C2 – s2 = 15
0 indeterminado 185

C3 = 145

S1 S2 C3 – s1 = 165
0 3700 C3 – s1 = 145
0 -2 C3 – s2= 145 – (-1850)
0 indeterminado - 1850 C3 – s2= 1995

Los rangos de utilidad que no afectan la tabla óptima.

✓ 185 < c1 < 3885

✓ 15 < c2 < 200
✓ 145< c3 < 1995
 Análisis de sensibilidad del lado derecho de las restricciones:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 R
R1 1 0 170 40 0 3700 0 2.960.000
R2 0 0 -0,05 0 1 -1 0 300
R3 0 1 2 1 0 20 0 16.000
R4 0 0 -0,15 -0,05 0 -2 1 400

Restricciones:

✓ 0,05 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 1100

✓ 0,05 𝑥1 + 0,10𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 800
✓ 0,10 𝑥1 + 0,05𝑥2 + 0,05𝑥3 ≤ 2000

Lo que se busca es identificar si las actuales variables básicas se mantienen luego de la

modificación de uno o más parámetros asociados al lado derecho del modelo.

✓ B1 = xb/ s1
✓ B2 = xb/s2
✓ B3 = xb/ s3

Lo que se busca es conocer dentro de que rango pueden variar los recursos disponibles, sin
que afecte la cantidad por unidad a producir de cada elemento. Para esto, con la tabla optima se
divide el valor de xb entre el valor de holgura de la tabla.

B1 = 1.100
Fila 1 Fila 2 Fila 3
xb 300 16.000 400
S1 1
300
C1= 1100 – 300 =800

B2 = 800
Fila 1 Fila 2 Fila 3
xb 300 16.000 400
S2 -1 20 -2
-300 800 -200

C2= 800 + 300 =1.100, c2= 800 – 800 =0

B3 = 2.000
Fila 1 Fila 2 Fila 3
xb 300 16.000 400
S3 1
400

C3= 2000-400 = 1600

El valor que se encuentre de cada división se resta al valor de bi:

Así se obtiene el rango en el cual se pueden aumentar o disminuir los recursos disponibles sin
que afecte los valores de la tabla optima:

✓ 800 <= c1 <= ∞

✓ 0 <= c2 <= 1100
✓ 1600<= c3<= ∞
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

IACC. (2021). Contenido de las 8 semanas de investigación de operaciones. Investigación de

operaciones. Semana 9.

- Revisión de los contenidos de las 9 semanas contenidas en el curso.