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Matemática IV TME 2020

Radicación: ejercicios resueltos

3) Complete con V o F. Justifique sus respuestas

a) √9 + 16 = √9 + √16 F b) √9 . 121 = √9 . √121 V

√𝑎 𝑎
c) = √𝑏 𝑏≠0 V d) √100 − 36 = √100 − √36 F
√𝑏

e) √81: 25 = √25 . √25 F f) √4𝑥 + 4𝑦 = 2√𝑥 + 𝑦 V

3
g) √125 = 5√5 V h) √8 − 2√2 = 0 V i) 3√𝑥 . 𝑦 = √𝑥 . 3√𝑦 V

4) Reduce las expresiones radicales a su forma más simple:

3 3 3
n) √27 𝑦 6 𝑥 8 = √27 𝑦 6 𝑥 6 𝑥 2 = 3𝑦 2 𝑥 2 √𝑥 2

3 3 3
q) √200 𝑎12 𝑏11 = √8. 25 𝑎12 𝑏9 𝑏2 = 2𝑎4 𝑏3 √25 𝑏2

r) √200 𝑥 4 𝑦 = √2.100 𝑥 4 𝑦 = 10 𝑥 2 √2 𝑦

Respuestas:

3 3 3 3
a) √18 = 3√2 b) √80 = 2 √10 c) 5 √243 = 15 √9

3 3 6 3
d) √648 = 6 √3 e) 𝑎√9𝑏4 𝑐 3 = 3𝑎𝑏2 𝑐√𝑐 f) √81𝑎2 = √9𝑎

5 5 3 2 3
g) √724 = 12 √108 h) (7 √4𝑎𝑏 ) = 98 √2𝑎2 𝑏2 i) 2𝑎√𝑎2 + 6𝑎 + 9 = 2𝑎(𝑎 + 3)

3 3 5 5 8 4
j) √√256 = 2 √2 k) √729√𝑎3 = 3 √3𝑎√𝑎 l) √𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = √𝑎 − 𝑏

3 3
m) √50𝑎 = 5√2𝑎 o) √24 𝑎5 𝑏2 = 2𝑎 √3 𝑎2 𝑏 2 p) √162𝑥 7 𝑦 = 9𝑥 3 √2𝑥𝑦

5) Exprese cada uno de los radicales siguientes como una potencia de exponente fraccionario:

d) 3√(𝑥𝑎)2 = (𝑥𝑎)2⁄3 = 𝑥 2⁄3 𝑎2⁄3

Respuestas:
⁄
8 1 𝑥 5 𝑥 5 2 4
a) √𝑎3 = 𝑎3⁄8 b) √𝑦 = 𝑦 −1⁄2 c) √𝑥 = 𝑥 1⁄3 e) √(𝑦) = (𝑦) f) √𝑥 3 = 𝑎3⁄4
3

1
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6) Efectúe las siguientes operaciones:

𝑎 4 𝑎 4
d) 𝑏 √75𝑎3 𝑏2 − 8𝑎2 √3𝑎 + 10𝑎2 √9𝑎2 = 𝑏 √25. 3 𝑎2 𝑎 𝑏2 − 8𝑎2 √3𝑎 + 10𝑎2 √(3𝑎)2

𝑎
= 𝑏 5𝑎𝑏 √3𝑎 − 8𝑎2 √3𝑎 + 10𝑎2 √3𝑎 = (5𝑎2 − 8𝑎2 + 10𝑎2 )√3𝑎 = 7𝑎2 √3𝑎

h) √2𝑎3 𝑏 5 + √8𝑏𝑎5 − 50√50 𝑎7 𝑏3 = √2𝑎2 𝑎𝑏4 𝑏 + √4.2 𝑏𝑎4 𝑎 − 50√25.2 𝑎6 𝑎𝑏2 𝑏

= 𝑎 𝑏2 √2𝑎𝑏 + 2𝑎2 √2𝑏𝑎 − 50.5𝑎3 𝑏√2 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏2 √2𝑎𝑏 + 2𝑎2 √2𝑏𝑎 − 250𝑎3

= 𝑎 √2𝑎𝑏(𝑏2 + 2𝑎 − 250𝑎2 𝑏)

Respuestas:

3 3 3
a) √18 + √50 − √72 = 2√2 b) √3 + √81 − √27 + 5 √3 = 8 √3 − 2√3

c) 4√50 − 3 √27 + 5 √125 = 20√2 − 9√3 + 25√5

3 3 3
e) 2𝑎 3√27𝑥 3 𝑦 + 3𝑏 3√8𝑥 3 𝑦 − 6𝑐 3√𝑥 3 𝑦 = 6 𝑥 (𝑎 + 𝑏 − 𝑐) 3√𝑦 f) 6 √16𝑎3 + 8√16𝑎3 = 28𝑎 √2

g) √300 + √20 − 3 √45 + 2√108 + 2√80 = 22√3 + √5

i) 2√𝑥 4 𝑦 − 𝑥√9𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 √16𝑦 = 3𝑥 2 √𝑦

7) Resuelve:

6 6 6
h) √3𝑥𝑦 3 . √3𝑥 5 𝑦 . 3√3𝑥 2 𝑦 = √(3𝑥𝑦 3 )3 3𝑥 5 𝑦(3𝑥 2 𝑦)2 = √33 𝑥 3 (𝑦 3 )3 3𝑥 5 𝑦32 (𝑥 2 )2 𝑦 2 =

6 6
√33 𝑥 3 𝑦 9 3𝑥 5 𝑦32 𝑥 4 𝑦 2 = √33+1+2 𝑥 3+5+4 𝑦 9+1+2 = 6√36 𝑥 12 𝑦 12 = 3𝑥 2 𝑦 2

2 2
i) (√6 + √3) . (√6 − 2 √3) = (√6) − 2 √3√6 + √3√6 − 2 (√3) = 6 − √3√6 − 2 .3 =
= 6 − √3.6 − 6 = − √32 . 2 = −3√2

2 2 2
j) (√5 + √2) = (√5) + 2 √5 √2 + (√2) = 5 + 2 √5 √2 + 2 = 7 + 2 √10

2
ll) (√𝑥 + 𝑦 − 𝑧) . (√𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (√𝑥 + 𝑦) − 𝑧 2 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 2

2
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2 2 2
m) (√𝑎 + 𝑏 − √𝑎 − 𝑏) = (√𝑎 + 𝑏) − 2 √𝑎 + 𝑏 √𝑎 − 𝑏 + (√𝑎 − 𝑏)

= 𝑎 + 𝑏 − 2 √(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 𝑎 − 𝑏 = 2 𝑎 − 2 √(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2 𝑎 − 2 √𝑎2 − 𝑏2

= 2 (𝑎 − √𝑎2 − 𝑏2 )

2 2
s) (√2 − 1) (3 + 2√2) = ((√2) − 2 √2 + 1) (3 + 2√2) = (2 − 2 √2 + 1)(3 + 2√2)
2
= (3 − 2√2)(3 + 2√2) = 32 − (2√2) = 9 − 4.2 = 9 − 8 = 1

Respuestas:

3 3 3
a) 2√7. (3 √5) = 6√35 b) √18𝑥 2 . √2𝑥 = 𝑥 √36

3 6 5 10
c) √3 √2 = √108 d) √2 √8 = 2 √2

3 4 12 3 6
e) √14 . √686 = 7 √128 f) √𝑥 √𝑥 √𝑥 = 𝑥

3 6
g) √5 √52 √55 = 25 k) (√3 + 1) . (√3 − 1) = 2

2 3 6 3
l) (7√5 − 4√3) = 293 − 56√15 n) √2𝑎 √2𝑎2 √32𝑎5 = 2𝑎2 √4

4 3 12
o) √20 √10 √200 = 20 √55 p) (𝑥 − √𝑦) . (𝑥 + √𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦

q) (√3 − 3) . (1 + √3) = −2 √3 r) (√𝑥 + √𝑦) . (√𝑥 + √𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 2 √𝑥𝑦

8) Racionalice:

1 1 √2𝑎 √2𝑎 √2𝑎

b) 2𝑎
= . = 2 =
√ √2𝑎 √2𝑎 (√2𝑎) 2𝑎

−5 −5 √5 −5√5 −5√5 √5
c) 2 =2 . = 2 = =−
√5 √5 √5 2 (√5) 2.5 2

1 1 (√2−√3) (√2−√3) (√2−√3) (√2−√3)

f) =( .( = 2 2 = = =− (√2 − √3) = − √2 + √3
√2+√ 3 √2+√3) √2−√ 3) (√2) −(√3) 2−3 −1

2 2
1+√2 (1+√2) (1+√2) (1+√2) 1+2√2+(√2) 1+2√2+2 3+2√2
i) 1− 2
= (1− . (1+ = 2 = 2 = = = −(3 + 2√2) = −3 − 2√2
√ √2) √ 2) 1−(√2) 1−(√2) 1−2 −1

3
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√2−𝑥 √2−𝑥 (2+√2+𝑥) √2−𝑥 (2+√2+𝑥) √2−𝑥 (2+√2+𝑥) √2−𝑥 (2+√2+𝑥)

n) 2− = (2− . (2+ = 2 = =
√2+𝑥 √2+𝑥) √ 2+𝑥) 22 −(√2+𝑥) 4−(2+𝑥) 2−𝑥

2 1 2 (1+√2)+1−√2 2+ 2√2+1−√2
o) 1− + 1+ = (1−√2)(1+√2)
= 2 = 3+√2 = −3 − √2
√ 2 √ 2 12 −(√2) 1−2

2 2
√𝑥 2 +1+𝑥 (√𝑥 2 +1+𝑥) (√𝑥 2 +1+𝑥) (√𝑥 2 +1+𝑥) (√𝑥 2 +1) +2𝑥 √𝑥 2 +1+𝑥 2
q) = = 2 = =
√𝑥 2 +1−𝑥 (√𝑥 2 +1−𝑥) (√𝑥 2 +1+𝑥) (√𝑥 2 +1) −𝑥 2 𝑥 2 +1−𝑥 2
𝑥 2 +1+2𝑥 √𝑥 2 +1+𝑥 2
= 2 𝑥 2 + 1 + 2𝑥 √𝑥 2 + 1
1

Respuestas:

2 2√3 2𝑦 2𝑦√𝑥 𝑥 9
a) = d) = e) = √𝑥 g) = √11 + √2
√3 3 √𝑥 𝑥 √𝑥 √11−√2

−1
√3 1+√5 √2
h) = √3(2 − √3) j) ( ) = √5 − 1 k) = √2(√3 − √2)
2+√3 4 √ √2
3+

2
√3 2 (1−√7) 2 √7−8 3+√5
l) ( ) = 3(3 − 2√2) m) = p) 2−√5 = −11 − 5√5
√2+1 1+√7 3

9) Verifique las igualdades siguientes:

1 1
c) 1− − 1+ = −√3
√3 √3

1 1 (1+√3)−(1−√3) 1+√3−1+√3 2 √3 2 √3
1−√ 3
− 1+ 3
= (1−√3)(1+√3)
= 2 = 1−3
= −2
= −√3
√ 1−(√3)

𝑥𝑦 𝑦√𝑥−𝑥√𝑦
d) 𝑦 =
√𝑥+𝑥√𝑦 𝑦−𝑥

𝑥𝑦 𝑥𝑦 (𝑦√𝑥−𝑥√𝑦) 𝑥 𝑦 (𝑦√𝑥−𝑥√𝑦) 𝑥 𝑦 (𝑦√𝑥−𝑥 √𝑦) 𝑥 𝑦 (𝑦√𝑥−𝑥√𝑦)

= (𝑦 = 2 = 2 = =
𝑦√𝑥+𝑥√ 𝑦 √𝑥+𝑥√𝑦) (𝑦√𝑥−𝑥√ 𝑦) (𝑦√𝑥) −(𝑥√𝑦)2 𝑦 2 (√𝑥) −𝑥 2 (√𝑦) 2 𝑦 2 𝑥−𝑥 2 𝑦

𝑥 𝑦 (𝑦 √𝑥−𝑥√𝑦) 𝑦 √𝑥−𝑥√𝑦
= =
𝑦𝑥(𝑦−𝑥) 𝑦−𝑥

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10) De un triángulo rectángulo se sabe que la medida de uno de sus catetos es √3. Si la razón entre éste y
el otro cateto es √3(2 − √3), calcule el otro cateto y la hipotenusa.
√3
x

√3 √3
Por hipótesis = √3(2 − √3) despejando 𝑥 obtenemos =𝑥
𝑥 √3(2−√3)
1
Simplificando √3 nos queda (2−√3)
= 𝑥, entonces
1 1 (2 + √3) (2 + √3) 2 + √3
𝑥= = = 2 = = 2 + √3
(2 − √3) (2 − √3) (2 + √3) 22 − (√3) 4−3
𝑥 = 2 + √3
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo obtenemos
2
𝑥 2 + (√3) = ℎ2
2 2
reemplazando 𝑥 (2 + √3) + (√3) = ℎ2
2 2
resolvemos el cuadrado del binomio 22 + 4√3 + (√3) + (√3) = ℎ2
4 + 4√3 + 3 + 3 = ℎ2
10 + 4√3 = ℎ2
Como h es la longitud de un cateto obtengo que ℎ = √10 + 4√3

11) Respuesta: 𝐴 = 15 𝑐𝑚2 y 𝑃 = (√85 + 3√5)cm

12) Respuesta: 𝐴 = 24 𝑐𝑚2

3 √2
13) Calcule el área de un triángulo equilátero cuya altura es cm
2

x/2

3 √2
Sabemos que ℎ = aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo
2
𝑥 2
(2 ) + ℎ 2 = 𝑥 2
𝑥2
+ ℎ2 = 𝑥 2
4
2
𝑥2 3 √2
+( ) = 𝑥2
4 2
𝑥2 9 9 𝑥2
+ 2 = 𝑥 2 de donde 2 = 𝑥 2 − 4
4
3 𝑥2 9
como x es la longitud del lado debe ser positiva luego 4 = 2 entonces 𝑥 2 = 6 donde 𝑥 = √6𝑐𝑚
es la longitud de cada lado del triángulo, racionalizando obtenemos que

5
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Ahora calculamos el área del triángulo equilátero:

3 √2
𝑏 ℎ √6 2 3√6√2 1 3√3
𝐴= = = = 𝑐𝑚2
2 2 2 2 2

14) Demuestre que la arista x del cubo cuya diagonal indicada es de 12 cm, mide 4√3 cm

x
x

En el cubo, la diagonal de la base cumple el teorema de Pitágoras es decir que 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑑𝑏 2 de

donde se obtiene 2𝑥 2 = 𝑑𝑏 2 , despejando la diagonal de la base se tiene que 𝑑𝑏 = √2𝑥 ya que es
una distancia y debe ser positiva

Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras 𝑑𝑏 2 + 𝑥 2 = 122 , reemplazando se tiene que

144
2𝑥 2 + 𝑥 2 = 122 obtengo 3𝑥 2 = 144 entonces 𝑥 2 = , como x es la longitud de la arista debe ser
3
144 12 √3 12 12
positiva, por lo que 𝑥 = √ = = 2 √3 = √3 = 4√3
3 √3 √3 (√3) 3

𝑥 = 4√3 cm que es lo que se quería probar.