Matemáticas Financieras

UNIDAD Nº III
Elementos para las decisiones de inversión

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 SEMANA 5

Contenido
Consideraciones previas ................................................................................................... 3
Introducción ....................................................................................................................... 4
Ideas fuerza....................................................................................................................... 5
Desarrollo .......................................................................................................................... 6
1. Proyectos de Inversión ............................................................................................... 6
1.1. Introducción ............................................................................................... 6
1.2. Indicadores para evaluación de Proyectos Financieros ............................ 6
2. Indicadores................................................................................................................. 9
2.1 Valor Actual Neto (VAN)............................................................................. 9
2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR) ................................................................. 12
Conclusión....................................................................................................................... 16
Bibliografía ...................................................................................................................... 17

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Consideraciones previas

El contenido que se expone a continuación está ligado a los siguientes

objetivos:

- Aplica principios matemático-financieros para valorar diferentes activos

financieros, en contextos económicos variados.

Sobre las fuentes utilizadas en el material

El presente Material de Estudio constituye un ejercicio de recopilación de distintas

fuentes, cuyas referencias bibliográficas estarán debidamente señaladas al final
del documento. Este material, en ningún caso pretende asumir como propia la
autoría de las ideas planteadas. La información que se incorpora tiene como única
finalidad el apoyo para el desarrollo de los contenidos de la unidad
correspondiente, respetando los derechos de autor ligados a las ideas e
información seleccionada para los fines específicos de cada asignatura.

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 Introducción

Iniciamos la última parte de este curso de matemáticas financieras, en el que

hemos abordado y profundizado anteriormente en temas como el valor del dinero
y el cálculo de variables del crédito en relación a contextos económicos variados.
En este capítulo N 3 de nuestro programa, abordaremos uno de los contenidos
más importantes de las finanzas, la evaluación de proyectos de inversión,
incorporando a nuestro aprendizaje los dos indicadores diseñados para este
objetivo: el Valor Actual Neto (VAN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR).
Terminaremos este capítulo y curso con las valorizaciones de bonos, acciones y
activos derivados.

El contenido de esta semana se orientará al aprendizaje de los indicadores

diseñados para la evaluación de proyectos de inversión: el VAN y la TIR.

El VAN es el acrónimo del Valor Actual Neto, también conocido como Valor
Presente Neto (VPN). Es uno de los indicadores financieros para valorar y
determinar la viabilidad y la rentabilidad de un proyecto de inversión, más
conocidos y utilizados. Se determina mediante la actualización de los flujos de
gastos e ingresos futuros del proyecto, menos la inversión inicial. Si el resultado
de esta operación es positivo, es decir, si refleja ganancia se puede decir que el
proyecto es viable.

La TIR o Tasa Interna de Retorno es uno de los métodos de evaluación de

proyectos de inversión más recomendables. Se utiliza frecuentemente para
analizar la viabilidad de un proyecto y determinar la tasa de beneficio o
rentabilidad que se puede obtener de dicha inversión. Estrechamente ligado al
VAN, el TIR también es definido como el valor de la tasa de descuento que iguala
el VAN a cero, para un determinado proyecto de inversión. Su resultado viene
expresado en valor porcentual.

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 Ideas fuerza

1. Para evaluar proyectos de inversión las matemáticas financieras nos

entregan dos indicadores: el Valor Actual Neto (VAN) y la Tasa Interna de
Retorno (TIR).

2. El VAN y la TIR son dos conceptos que, aunque muy similares entre sí
mantienen diferencias que los identifican y a la vez los complementan para
cumplir su función. Esta función consiste en determinar el beneficio y la
rentabilidad que todo nuevo proyecto nos reportará, una vez hecha la
inversión. Con el análisis de parámetros como flujo de caja y términos de
tiempo, estos dos indicadores nos darán una importante visión de las
posibilidades de éxito del nuevo proyecto.

3. El VAN representa la oportunidad que tiene la empresa de evaluar sus

inversiones a mediano o largo plazo, conociendo de antemano las
posibilidades reales de maximizar el rendimiento de la inversión. De esta
forma determinar su viabilidad o no en función de si se logra superar el
mínimo rendimiento esperado, según el capital invertido. Para esto se
apoya en el análisis de los valores del flujo de caja, actualizándolos al valor
presente y restándoles los montos totales de la inversión inicial realizada.

4. La TIR representa la tasa de interés o de rentabilidad que nos ofrece una

inversión. Así, se puede decir que la Tasa Interna de Retorno es el
porcentaje de beneficio o pérdida que conllevará cualquier inversión.

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 Desarrollo

1. Proyectos de Inversión.

1.1. Introducción

Cuando nos enfrentamos al reto de realizar nuevas inversiones, necesitamos

conocer de antemano las posibilidades de éxito, la rentabilidad, los beneficios que
traerá y la viabilidad del proyecto que se pretende iniciar. Para ello contamos con
los indicadores financieros. El VAN (Valor Actual Neto) y TIR, (Tasa Interna de
Retorno) respectivamente, son dos indicadores financieros que nos permiten
analizar, de una forma segura, el posible proyecto de inversión y nos ayudará a
disipar con información precisa, esas dudas frecuentes.

Para ello se consideraran una serie de criterios basados en los resultados de

indicadores derivados de la aplicación de la matemática financiera.

1.2. Indicadores para evaluación de Proyectos Financieros

Los indicadores de evaluación de proyectos ayudan a:

➢ Determinar la rentabilidad de un proyecto.

➢ Decidir si un proyecto es o no conveniente para un inversionista.
➢ Priorizar o jerarquizar (ordenar) los proyectos de una cartera de inversión.
➢ Optimizar distintas decisiones relevantes del proyecto (ubicación,
tecnología, momento óptimo para invertir o abandonar, etc.)

Los indicadores más usados para evaluar decisiones económicas son los
siguientes:

➢ Valor Actual Neto

➢ Tasa Interna de Retorno

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Criterios para evaluación de Proyectos Financieros:

Los criterios de decisión van ligados a los posibles valores que tomen los
indicadores, permitiendo optar por realizar o un proyecto, o entre distintas
alternativas.

Definiciones básicas:

Las variables mínimas necesarias para la obtención de un indicador de

rentabilidad son:

Flujo de caja del proyecto (Ft). Éste es un horizonte de tiempo en el cual se

registran ingresos y egresos efectivos de dinero justo en el momento en que
ocurren. Se deben considerar todos los ingresos y egresos involucrados en el
proyecto en cada período.

Éste nos permite facilitar la comprensión de las equivalencias entre valores

presentes y valores futuros en cualquier instante de tiempo.

La tasa de descuento o costo de oportunidad del capital (r). Corresponde a la

rentabilidad que se le exigirá al proyecto, la que podrá variar dependiendo del
sector en que se invierte, nivel de riesgo (a mayor riesgo se exige mayor
rentabilidad), tipo de financiamiento utilizado, etc.

* Al tener distintos proyectos con el mismo nivel de riesgo, el costo de

oportunidad a considerar para una inversión será la rentabilidad que ofrece el
capital invertido en el mejor de los proyectos alternativos.

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El horizonte de evaluación (n). Es un plazo de tiempo para el cual resulta
factible proyectar, con una razonable confianza, los flujos que generará una
inversión. Puede ser igual o inferior a la vida útil de la inversión. Queda
determinado por las características del proyecto. Generalmente se determina
por la vida útil del activo de mayor vida útil que compone el proyecto.

Vida útil: Es la duración que se le asigna a un bien como elemento de provecho

para una entidad. Las bases utilizadas para la determinación de la vida útil son:
a) tiempo (años), o b) capacidad de producción. La elección de la base
dependerá de la característica del bien y del uso que se le dará

Pregunta de Reflexión:

¿Por qué es importante para la empresa evaluar las Alternativas de

Inversión?

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 2. Indicadores para evaluar proyectos de inversión.

2.1 Valor Actual Neto (VAN)

El VAN permite conocer la posible rentabilidad de un proyecto a través de una

fórmula matemática. En esta fórmula se utilizan los valores de los flujos de caja
(ingresos y egresos de efectivo) actualizados a la fecha presente, descontándolos
a una tasa de interés determinada. Y con sus resultados expresados en términos
de unidades de valor monetario.

Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado

número de flujos de caja futuros, originados por una inversión, restando esta
última.

La metodología consiste en descontar (mediante una tasa “r”) al momento actual

(to) todos los flujos de caja futuros, para así poderlos comparar con la inversión
inicial.

Es una medida del valor neto que aporta una inversión a lo largo de toda su vida.
Para un inversionista, representa el incremento en su riqueza que generaría
realizar una inversión.

Flujos de Ingresos / Gastos

El VAN es la suma en un período fijo de los flujos futuros expresados, mediante la

aplicación de la tasa de descuento, en valores actuales. En cada período se debe
obtener el flujo neto (Ingresos – Egresos), que será el monto a considerar.

La fórmula para calcular el VAN entonces está dada por los flujos netos en cada
período, la tasa de descuento y la inversión inicial.

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En donde:

Ft = (It – Et) = Flujo neto al final del periodo t

Io = Inversión inicial
r = costo de capital (tasa de descuento)
n = número de periodos

Una vez tenemos todos los flujos en el período inicial, podemos ver el aumento o
disminución de la riqueza al participar en un proyecto.

Ventajas:

El VAN tiene muchas ventajas como indicador para la toma de decisiones de

inversión:

- Reconoce que un peso hoy vale más que un peso mañana

- Su cálculo es muy simple. Depende únicamente del flujo de caja y del costo
de oportunidad.

No sólo permite reconocer un proyecto bueno, sino que también permite comparar
proyectos que tengan la misma vida útil (debe elegirse aquel con mayor VAN).

Ejemplo:

Una empresa Aceros Duros debe decidir sí amplía o no su planta de producción,

para lo cual la construcción de una nueva planta requiere una inversión inicial de
$1.000. La planta tendrá una durabilidad de 4 años y debe considerarse una tasa
de costo de oportunidad del 20%. Los beneficios netos para el primer año son de
350, el segundo 380, el tercero 400 y el cuarto 500. Calcular el Valor Actual Neto y
recomendar si la empresa debe hacer o no la inversión.

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 VAN = -1000 + 291.67 + 263.89 + 231.48 + 241.13 = 28.17

Esto significa que los beneficios del proyecto superan a sus costos en 28,16
(incluido el costo de oportunidad de los recursos usados), por lo que es
recomendable realizarlo.

En base al resultado del VAN decidiremos si invertir o no en el proyecto. Los

criterios son los siguientes:

Un VAN positivo de valor “X”, implícitamente implica:

- La recuperación de lo invertido en el proyecto.

- La recuperación del costo alternativo de lo invertido en el proyecto.
- Un valor de “X” por sobre lo recuperado, expresado en valor presente.

Un Van 0, implica sólo:

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La recuperación de lo invertido en el proyecto.
La recuperación del costo alternativo de lo invertido en el proyecto.
En esta situación la decisión debería basarse en otros criterios, como la
obtención de un mejor posicionamiento en el mercado u otros factores

Un VAN negativo no alcanza a recuperar el costo alternativo de lo invertido en el

proyecto, o tampoco los costos explícitos.

2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR)

La TIR utiliza el flujo de caja neto proyectado y el monto de la inversión del

proyecto. Aunque, esa confiabilidad se ve disminuida si se compara la rentabilidad
de dos proyectos diferentes, debido a que no toma en cuenta la variación entre las
dimensiones de ambos. En conclusión, la TIR es el porcentaje de beneficio o
pérdida que se puede obtener de una inversión.

La TIR es aquella tasa que hace el VAN igual a cero, es decir, la tasa de interés
por medio de la cual se recupera la inversión.

También:

En donde:

Ft/Fn= (It – Et) = Flujo neto al final del periodo n.

Io = Inversión inicial
n = número de periodos
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Criterio de decisión: un proyecto es conveniente si la TIR es mayor que el costo
de oportunidad del capital o tasa de descuento. A mayor TIR, mayor rentabilidad.

Su cálculo a mano es bastante complejo, sobre todo para proyectos en los que se
consideran muchos períodos, pudiéndose realizar analíticamente o bien a “prueba
y error”. Sin embargo, utilizando herramientas como Excel se puede calcular
rápidamente.

Ejemplo:

Consideremos una persona que va a montar un negocio que necesita una

inversión inicial de $60.000, y que luego va a tener unos gastos anuales de
mantenimiento de $3.000 y unos ingresos anuales de $30.000, durante 4 años. El
esquema de flujos sería el siguiente:

Para determinar la TIR de este proyecto de inversión, tenemos que ir probando

con distintos tipos de interés hasta que la suma financiera de todos los capitales
se acero, es decir, igualar el VAN a cero.

Para sumar estos capitales de manera correcta, tenemos que desplazarlos todos
hasta el mismo instante de tiempo, por ejemplo en 0. El siguiente cuadro nos
muestra los resultados:

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Como vemos en el cuadro, se prueba la suma financiera de ingresos y gastos con
diferentes tasas hasta conseguir, con un tipo de interés anual de 28,49%, que la
sumasea0. Por tanto la TIR sería del 28,49%. En otras palabras, con una tasa de
descuento menor a 28,49% obtendremos un VAN positivo.

El mismo cálculo se puede hacer en Excel de manera muy sencilla. Sólo debemos
registrarlos flujos netos de cada período de manera consecutiva y luego aplicar la
fórmula TIR (o IRR en inglés).

TIR = 28.49%

Hay que tener presente que la TIR tiene algunos defectos como criterio de
decisión:

Puede haber más de una TIR. Sucede para proyectos donde los flujos cambian
de signo más de una vez, ya que se obtiene más de una solución para el
indicador. En tales casos se desestima su uso.

Proyectos para los que no existe TIR. En estos casos se debe utilizar otros
indicadores para la toma de decisión.

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 Puede diferir del VAN. Pueden haber casos en los que el Proyecto A tiene
mayor TIR que el Proyecto B, pero menor VAN.

ANTES DE CONTINUAR CON LA

LECTURA…REFLEXIONEMOS

Pregunta de Reflexión:

¿Qué indicador resulta más conveniente para evaluar una inversión: el

VAN O LA TIR?¿Porqué?

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 Conclusión
Las matemáticas financieras entregan instrumentos para la evaluación de
proyectos de inversión en las empresas. Estos instrumentos se estructuran en
indicadores, cuyo propósito es ayudar a tomar decisiones racionales respecto a la
inversión, y son conocidos como el Valor Actual Neto (VAN) y la Tasa Interna de
Retorno (TIR).

El valor actual neto (VAN) es un criterio de inversión que consiste en actualizar los
cobros y pagos de un proyecto o inversión para conocer cuánto se va a ganar o
perder con esa inversión. Una vez calculado el VAN, dependiendo de si su valor
es mayor, menor o igual a cero se tomarán las siguientes decisiones:

VAN > 0: El valor actualizado de cobro y pagos futuros de la inversión, a la tasa de

descuento elegida generará beneficios, por lo que se debe aprobar el proyecto de
inversión.
VAN = 0: El proyecto de inversión no generará ni beneficios ni pérdidas, siendo su
realización, en principio, indiferente.
VAN < 0: El proyecto de inversión generará pérdidas, por lo que deberá ser
rechazado.

La Tasa Interna de Retorno (TIR) es un indicador de rentabilidades de proyectos o

inversiones, de manera que cuanto mayor sea la TIR mayor será la rentabilidad.
Realizando el cálculo de la tasa interna de rentabilidad de diferentes proyectos se
facilita la toma de decisiones sobre la inversión a realizar. Este concepto financiero
se puede comparar con la tasa mínima aceptable para realizar una inversión, que
sería la tasa de rentabilidad libre de riesgo, o con el tipo de interés que se aplicará
a la financiación de un proyecto.

Si la TIR supera la tasa de rentabilidad libre de riesgo o el costo de oportunidad,

se realizaría la inversión; en caso contrario, se rechazaría.

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 Bibliografía
• Padilla, M. C. (2014). Análisis financiero. Ecoe Ediciones.

• Flores Villalpando, R. (2014). Análisis de estados financieros. Editorial Digital

UNID.

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