Razonamiento Matemático 119 Elías Cotos Nolasco

Además:

El estudio de las cuatro operaciones

fundamentales vamos a realizarlos en el
campo de los números enteros, pero antes
de comprender el estudio es necesario dar IV. Multiplicación:
una idea aunque breve, de lo que es el Es una operación directa que tiene por
sistema numérico de los números enteros. objeto, dadas dos cantidades:
Sistema de los números enteros: “multiplicando” y “multiplicador”.
Hallar una tercera llamada “producto”.

I. Adición: Es la operación binaria que se

representa mediante el operador “+”
V. División: Es la operación inversa a la
multiplicación.
D = Dividendo
d = divisor
II. Sustracción: Es la operación inversa a q = cociente
la adición y se representa mediante el r = residuo
operador “–“
De donde:
* División Inexacta:
a) Por defecto:
III. Complemento Aritmético (C.A.)
Dado un número entero positivo se define
como complemento aritmético del número b) Por exceso:
dado a la cantidad de unidades que le falta
para ser igual a una unidad de orden
inmediato superior de su cifra de mayor
orden. q=cociente por defecto
q+1=cociente por exceso
Ejemplo:
r=residuo por defecto
=residuo por exceso
PROPIEDADES:

En general: 

Razonamiento Matemático 120 Elías Cotos Nolasco
Del enunciado:
1 Hallar un número disminuido en 2,
sabiendo que el exceso de él sobre 45 es
lo mismo que 2 345 excede a 2 330
a) 50 b) 93 c) 60
d) 58 e) 54
Como:
Resolución:
Conocemos que el minuendo excede al ( S=28 ; dato: 2+8=10)
sustraendo:
Sea el número “x”
Rpta.

4 La suma de dos números es 341, su

Piden: Rpta. cociente es 16 y el residuo de la división
es el mayor posible. Determina el divisor.
2 La suma de tres números consecutivos
a) 16 b) 18 c) 20
es 30. Hallar el producto de ellos
d) 17 e) 19
a) 960 b) 860 c) 915
d) 990 e) 930 Resolución:
D d D d
Resolución: 
Sean los números consecutivos: rmax q d 1 q

La suma: Luego sean los números: a y b

…… ( I )

…… ( II )
Piden: Reemplazando: ( II ) en ( I )

Rpta.

3 Si al minuendo le sumamos 140 y le

Rpta.
restamos el cuádruplo de la suma del
sustraendo más la diferencia se obtendrá
5 En una división inexacta el cociente
como resultado el minuendo. Hallar la
es 74, el residuo por exceso excede al
diferencia original, si el sustraendo es
residuo por defecto en 107, si el divisor
mayor posible y la suma de sus cifras es
es 431. Hallar el dividendo y dar como
10.
respuesta la suma de sus cifras.
a) 6 b) 8 c) 10 a) 15 b) 16 c) 20
d) 7 e) 9 d) 14 e) 18

Resolución: Resolución:
Recordando: D 431
 D= 74(431)+ r
r 74
Razonamiento Matemático 121 Elías Cotos Nolasco
de sumar todos los valores.
C

A B

D
 En el vértice “A” se ubica el número
de elementos actuales en el problema.
De ( II )  En el vértice “B” su ubica la suma
total d los valores unitarios de los
elementos del primer, segundo grupo
respectivamente.
Piden: Rpta.  Se acostumbra ubicar en la parte
superior el mayor valor unitario
6 Si:
Hallar:
a) 10 b) 12 c) 14 Problema 1
d) 15 e) 17 En un corral donde existen conejos y
Resolución: gallinas se cuentan 60 cabezas y 150
Por propiedad: patas. Determinar el número de conejos.
a) 10 b) 20 c) 15
Por dato: d) 30 e) n.a.
Resolución:
Igualando las expresiones 4 patas (conejos)
 

60 cabezas  150 patas

2 patas (gallinas)

Piden:
Rpta. Rpta.
MÉTODO DEL ROMBO Problema 2
Se utiliza cuando en un problema se Un alumno después de ir a casar entre
presenta a un número de elementos conejos y palomas regresó a su casa con
dividido en dos grupos, cuyos valores 94 patas y 29 cabezas. ¿Cuántos conejos
unitarios de sus elementos se conocen caso?
además se proporciona un total resultante a) 16 b) 20 c) 31
Razonamiento Matemático 122 Elías Cotos Nolasco
d) 18 e) 21 trabajar con los 12 problemas recibirá 7
Resolución: 200 soles. ¿Cuantos problemas no
resolvió?
4 patas (conejos) a) 4 b) 9 c) 12
  d) 5 e) 10
29 cabezas  94 patas Resolución: recibe S/. 1 000
 

2 patas (palomas) 12 problemas  S / . 7 200

pierde S/. 600

* Problemas no resueltos
Rpta.

Problema 3 * Problemas resueltos

Una suma de 220 soles se compone en 56 Rpta.
monedas de 5 soles y 2 soles. Hállese el
número de monedas de 5 soles. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
a) 31 b) 37 c) 36 Se reconocen estos tipos de problemas
d) 38 e) 40 porque tienen siempre los enunciados (o
sus variantes) “había” “falta” “aumenta”
Resolución:
“disminuye”
mo nedas de S/. 5
Problema 1
  Si pago 7 000 soles a cada uno de mis
56 monedas  220 soles empleados me faltan 4 000 soles, pero si
les pago 5 500 soles me sobran 5 600
soles. ¿Cuántos empleados tengo?
monedas de S/. 2 a) 39 b) 40 c) 50
d) 60 e) 80
Resolución:
7 000 4 000
Rpta.  
5 500 5 600
Problema 4 Número de empleados
Elías pone 12 problemas a Gian Carlo Rpta.
con la condición de que por cada
problema que resuelva recibirá 1 000 Problema 2
soles y por cada problema que no Para comprar 16 televisores me faltan
resuelva perderá 600 soles después de “2n” soles, pero si compro 10 me sobran
Razonamiento Matemático 123 Elías Cotos Nolasco
“n” soles. ¿Cuántos soles tengo?
a) 4n b) 8n c) 5n
Rpta.
d) 6n e) 2n
Resolución: Problema 2
Un recipiente de agua está lleno, al
16 fal tan "2n"
abrirse el caño cada hora desagua la
  mitad de su contenido más 30 litros.
Hallar la capacidad del recipiente si al
10 sobra "n" cabo de 3 horas se desagua.
Precio unitario del televisor
a) 420 litros b) 280 litros
c) 385 litros d) 350 litros
e) 360 litros
Para conocer cuanto tengo
Resolución:
En cada hora, el recipiente pierde la mitad
( 2) de su contenido más 30 litros (-30).
Aplicaremos el método del cangrejo,
partiendo de la tercera hora donde quedó
Rpta. “O” litros y a partir de ahí hagamos las
operaciones inversas hasta llegar con la
MÉTODO DEL CANGREJO primera hora.
Este método de solución es bastante  En la tercera hora:
práctico y veloz consiste en hallar una (–30)  0 + 30 = 30
incógnita conociendo las operaciones
directas y el resultado final tenemos que ( 2)  30 x 2 = 60
hallar las operaciones inversas y en forma
regresiva hallaremos la respuesta.  En la segunda hora:
(–30)  60 + 30 = 90
Problema 1
A un número se le multiplica por 2, al ( 2)  90 x 2 = 180
resultado se le suma 10, enseguida
dividimos entre 5 la suma y finalmente se  En la primera hora:
le resta 6 para obtener como resultado (–30)  180 + 30 = 210
20. Hallar el número original.
( 2)  210 x 2 = 420
a) 50 b) 70 c) 90
d) 60 e) 80 Capacidad inicial
Resolución:
* Sea la incógnita “x” luego: REGLA DE LA CONJUNTA
También se denomina como el método de
* Operación inversa las equivalencias, se resuelve aplicando
las relaciones que existen entre diferentes
Razonamiento Matemático 124 Elías Cotos Nolasco
especies, entre éstos:
 Con los datos pongamos una serie de
equivalencia.
 Se debe procurar que el primer
elemento y el último deben ser
siempre de la misma especie.
 Las cantidades deben colocarse en
forma alternada.
 Se multiplica miembro a miembro las
igualdades.
Problema 1
Con tres desarmadores se obtiene un
alicate, con tres alicates un martillo.
¿Cuántos martillos se obtendrán con 117
desarmadores?
a) 13 b) 12 c) 7 1 Un número se tiene que multiplicar
por 60 pero se olvida de colocar el cero,
d) 8 e) 10 obteniendo un resultado que se
Resolución: diferencia del verdadero en 216. Hallar
Aplicando la conjunta, se tendrá: dicho número
“x” martillos < > 117 desarmadores a) 10 b) 5 c) 4
3 desarmadores < > 1 alicate d) 8 e) 6
3 alicates < > 1 martillo
2 La suma de dos números es 84 los
Multiplicando miembro a miembro: cocientes de estos números con un
(x) (3) (3) = 117(1) (1) tercero son 4 y 6; teniendo como residuo
9x = 117 1 y 3 respectivamente. Hallar la
Rpta. diferencia positiva de estos números.
Con 117 desarmadores se obtendrán 13 a) 16 b) 17 c) 18
martillos. d) 19 e) 20
3 La suma de los términos de una
división es 953, el cociente y el residuo
son 21 y 15 respectivamente. Hallar el
dividendo
a) 768 b) 876 c) 321
d) 829 e) 326

4 En una división inexacta, el cociente

es 342, el residuo por defecto es 124 y el
residuo por exceso es 201. Hallar la
suma de cifras del dividendo.
Razonamiento Matemático 125 Elías Cotos Nolasco
a) 15 b) 16 c) 17 le falta 15 unidades para ser igual al
d) 18 e) 19 cociente.¿Cuanto le falta al cociente para
ser igual al dividendo?
a) 3 690 b) 3 700 c) 3 710
5 Si: . d) 3 579 e) 3 789

Hallar: 11 Hallar el cociente que se obtiene al

dividir el C.A de un número de la forma
a) 49 b) 64 c) 81 entre , si se sabe que el residuo
d) 100 e) 121 obtenido es máxima.
a) 3 b) 6 c) 8
6 El residuo por exceso de una d) 5 e) 12
división es 793, si el residuo por defecto 12 ¿Cuál es el numeral de tres cifras
es la tercera parte del residuo máximo. que restando de su complemento
Hallar el residuo por defecto. aritmético se obtiene 486?
a) 693 b) 936 c) 396 a) 245 b) 239 c) 257
d) 639 e) 120 d) 124 e) 139

7 En una división se cumple que el 13 La suma de tres números

residuo por exceso es igual al cociente consecutivos es 30 más que el doble del
por defecto y el residuo por defecto es número que es mayor que el menor, pero
igual al cociente por exceso. Si el divisor menor que el mayor entonces el mayor
es 213. calcular el dividendo. de ellos es:
a) 22 385 b) 22 485 c) 22 585 a) 29 b) 30 c) 31
d) 22 285 e) 22 685 d) 32 e) 45

8 Al dividir dos números entre 15 se 14 Encontrar el mayor número de 3

obtiene 13 y 9 como residuos. ¿Cuál es cifras tal que la suma de las cifras de su
el residuo de la división entre 15 de la C.A. sea 12. Dar como respuesta la cifra
suma de los números? central.
a) 4 b) 22 c) 7 a) 3 b) 6 c) 7
d) 23 e) 31 d) 2 e) 9

9 En una división inexacta al residuo 15 Si: Hallar “b” si:

le falta 35 unidades para ser máximo y le
sobra 29 unidades para ser mínimo.
¿Cuál es el valor del dividendo si el a) 3 b) 4 c) 5
cociente es 23? d) 6 e) 7
a) 1 495 b) 1 501 c) 1 524
16 Hallar:
d) 1 548 e) 1 518
Si:
10 En una división al residuo por
exceso le falta 12 unidades para ser igual a) 396 b) 398 c) 391
al residuo por defecto, a este le falta 21 d) 296 e) 496
unidades para ser igual al divisor y a este
Razonamiento Matemático 126 Elías Cotos Nolasco
17 Si el numeral , cumple que
y además se sabe que
la cifra de las decenas es igual a la suma
de las otras dos cifras. Hallar:

a) 220 b) 150 c) 200

d) 146 e) 180

18 Cual es el numeral cuyas 3 cifras

suman 24 y que al invertir el orden de
sus cifras disminuyen en
a) 987 b) 789 c) 989
d) 798 e) 879
19 A un número entero al agregarle
un cero a la derecha aumenta en 8991
unidades. ¿Cuál es el número y dar
como respuesta la suma de sus cifras?
a) 18 b) 27 c) 24
d) 29 e) 36

20 Si
Hallar: m+n+p
a) 10 b) 17 c) 24
d) 20 e) n.a.

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
c c b b b c e c d
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
a d c c b d a d a
19. 20.
b d