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(GEO) BALOTA 7 (Cuadrilateros)
(GEO) BALOTA 7 (Cuadrilateros)
(GEO) BALOTA 7 (Cuadrilateros)
A B
m
x
n
D C
Objetivos Elementos:
Al finalizar el presente capítulo, el lector estará Vértices: A , B , C , D
en la capacidad de:
Lados: AB , BC , CD , DA
Definir el cuadrilátero y clasificar a los
cuadriláteros convexos. s Int: 1 , 2 , 3 , 4
Conocer y aplicar las diversas propiedades s Ext: 1 , 2 , 3 , 4
de cada cuadrilátero.
CLASIFICACIÓN:
Introducción:
Desde la antigüedad el hombre hizo Se clasifican en cuadriláteros convexos,
demarcaciones de terrenos, dándoles ciertas cuadriláteros no convexos (concavos) y en
formas geométricas entre la que destaca la cuadriláteros cruzados.
forma rectangular por la facilidad en la que 1. Cuadrilátero Convexo
consistía realizarlas y facilidad de distribución y Sus ángulos interiores son ángulos convexos
medida. Además esta forma geométrica se usó (menores a 180º)
en las construcciones con el objetivo de
C
aprovechar la estabilidad que ofrecen. Por
B
ejemplo “la fortaleza antisísmica de
Ollantaytambo” cuyas paredes están hechas de 0º , , , 180º
piedra cuya forma es de trapecio isósceles.
Con este análisis histórico podemos percibir A D
que el estudio de los cuadriláteros nos ayudarán 2. Cuadrilátero Cóncavo
a entender por qué muchos objetos que vemos Posee un ángulo interior cóncavo (entre 180º y
en nuestro entorno (paredes, pizarra, cuadernos,
360º)
etc) son de forma cuadrangular.
B
Definición: Es el polígono que posee cuatro
lados. Puede ser convexo o no convexo 180º 360º
(concavo).
D
2 A
C
2 C
D 3. Cuadrilátero Cruzado
3
3 A
B
4 1 1
A
4 B C D
La Nueva M 99
El Panda Mágico
CUADRILÁTEROS CONVEXOS ➢ El punto de intersección de sus diagonales
equidista de sus cuatro vértices.
I) PARALELOGRAMOS
➢ Las diagonales se intersecan determinando
Son cuadriláteros que poseen lados paralelos un ángulo diferente del ángulo recto.
dos a dos y además congruentes entre sí, entre
ellos encontramos: I.3 Rombo
B
Cuadrado
b b
Rectángulo
Rombo a c
Romboide A a c C
P
Propiedades de los Paralelogramos d d
En todo paralelogramo los ángulos opuestos
D
son iguales.
En todo paralelogramo los lados opuestos AB = BC = CD = AD
son congruentes.
Los ángulos adyacentes a un lado de todo ➢ El punto de intersección de sus diagonales
paralelogramo son suplementarios. equidista de vértices opuestos.
Las diagonales de los paralelogramos se ➢ Las diagonales se intersecan determinando
bisecan mutuamente. un ángulo recto.
P P
AB = BC = CD = DA
A D
A D AB = CD y BC=AD
➢ El punto de intersección de sus diagonales
equidista de sus cuatro vértices. mA = mC y mB=mD
➢ Las diagonales se intersecan determinando ➢ El punto de intersección de sus diagonales
un ángulo recto. equidista de vértices opuestos.
I.2 Rectángulo ➢ Las diagonales se intersecan determinando
un ángulo diferente del ángulo recto.
B C
II) TRAPECIOS
P
Es el cuadrilátero que posee un par de lados
opuestos paralelos a los cuales se les denomina
A D bases y dos lados no paralelos.
Entre ellos tenemos al trapecio escaleno,
AB = CD y BC = AD trapecio isósceles y el trapecio rectángulo.
2 La Nueva M
La Nueva M (El Panda)
II.1 Trapecio Escaleno: Es el trapecio en el La longitud de la mediana (MN) es igual a la
cual sus lados no paralelos son de diferente semisuma de las longitudes de sus bases:
longitud.
B C B+b
MN =
2
La longitud del segmento que une los puntos
medios de las diagonales, en este caso PQ,
es igual a la semidiferencia de longitudes de
A D
sus bases.
AB CD
B−b
PQ =
II.2 Trapecio Isósceles: Sus lados no 2
paralelos son congruentes
La longitud del segmento paralelo a las bases
B C que pasa por el punto de intersección de las
diagonales(CD)
2Bb
CD =
B+b
A D
III) TRAPEZOIDES
AB = CD
Son los cuadriláteros que no poseen ninguna
II.3 Trapecio Rectángulo: par de lados paralelos.
B C Se tiene dos clases de trapezoides
Trapezoide Asimétrico
C
m A = mB = 90º B
A D
A D
PROPIEDADES EN LOS TRAPECIOS
AB BC CD AD
G b H
➢ Trapezoide Simétrico: Una de sus
C D diagonales es mediatriz de la otra diagonal
M N C
P Q
F I
B B D
La Nueva M 3
El Panda Mágico
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS b
a
a B+b
x=
x
+ x 2
x=
2
b
b
B
a b
a
x
+ B−b
x= x=
2 x 2
b
b
B
b
b
Si BC//AD
−
x=
x 2 B C
a
a
x x = 90º
aa
b A D
y b
x + y = 180º Si BC//AD
x
d c B C
d c
x x = 90º
a A D
m n m=n y a=b
b Si GH//FI
G b H
Si “G” es baricentro del triangulo m n
R S
x
F B I
b
G
(B + b) − ( m + n)
a x=
x = a+b 2
4 La Nueva M
La Nueva M (El Panda)
Propiedades en los Cuadrados: En el rombo ABCD:
B
B C
= 37º A C
A D b
x D
a a C a
B
a
x a+b
= 90º x=
x=2a 2
a
Propiedades en todo paralelogramo:
A D
B C
B C a
b a=b=c
x
c
x=2a
A D
a
A D B C
B C x
x = 90º
Q AD=2AB
PQRS : cuadrado
P R
AB 5 A D
PQ =
S 5
B C
A D
Propiedades en los rombos:
h x x = 2h
En el rombo ABCD:
B
Q R A D
A B
A C b
a
x
P x = a+b
S
D
PQRS : rectángulo D C
La Nueva M 5
El Panda Mágico
C Pandita 01
B
En un romboide ABCD se traza la bisectriz AE
(E en BC). Si CD=6m. Calcular la longitud del
segmento que une los puntos medios de AC y
b c
D ED
A a) 2m b) 3m c) 10m
a d a+c = b+d
d) 5m e) 4m
Pandita 02
C
B En un cuadrado ABCD, sobre el lado CD se
ubica un punto E de modo que AE corte a BD
en F, si m DAE = 20º , determinar el valor del
b c a+b+c+d ángulo FCD
D x=
A 4 a) 10º b) 30º c) 20º
x
a d d) 40º e) 50º
Pandita 03
x x = 2a b) 45º
c) 37º
D C d) 26,5º x
e) 18,5º A D
A B
m Pandita 04
x
Dado un romboide ABCD, se traza la bisectriz
n del ABC que intercepta a la diagonal AC en
x = m+ n
D C “P”, si AB − AD = 8 y m CAD = 2m BAC .
Hallar: CP
Propiedad en el rectángulo:
a) 7 b) 6 c) 5
B C d) 8 e) 4
Pandita 05
8 La Nueva M