ÁLGEBRA

Tema: Sistemas de
ecuaciones

Docente:
 Objetivos:
✓ Definir y resolver sistemas de
ecuaciones lineales y no lineales.

✓ Interpretar geométricamente los

sistemas lineales de orden 2 y 3.

✓ Desarrollar destrezas en la
resolución de problemas tipo
referidos al tema.
 Gabriel Cramer (1704-1752)

Gabriel Cramer fue un matemático Suizo, nacido en Ginebra. Demostró tempranamente una gran
habilidad para las matemáticas, recibiendo su doctorado a los 18 años y a los 20 era profesor adjunto
de matemática.
Siendo profesor viajo y trabajo con Johann Bernoulli, Euler en Basilea, luego en Inglaterra con Halley,
De Moivre, Stirling y Gravesande. Y, por último, en París con Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut y
otros.
Trabajó en Análisis y determinantes, reconocido sobre todo por su tratado sobre curvas algebraicas
publicado en el año 1750 con el título de Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques . En
esta publicación desarrolla la Regla que lleva su nombre, es un teorema del álgebra lineal que nos
proporciona la solución de un sistema lineal de ecuaciones aplicando determinantes.
∆𝑺 ∙ 𝒙 = ∆𝒙

∆𝑺 ∙ 𝒚 = ∆𝒚
Sistemas de
ecuaciones
lineales
 SISTEMA DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
con dos o más incógnitas.
𝟏) Por sustitución de incógnitas
Ejemplos:
Resuelva el sistema de ecuaciones

𝑎) ቊ 𝑥 + 𝑦 = 5 Sistema de 2 ecuaciones
൝
2𝑥 + 𝑦 = 7 … (𝐼)
3𝑥 + 2𝑦 = 12 lineales con 2 incógnitas 3𝑥 − 4𝑦 = 5 … (𝐼𝐼)

su única solución es 2; 3 , por lo tanto su

De (𝐼) 2𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 7 − 2𝑥 … (𝐼𝐼𝐼)
conjunto solución es C. S. = 2; 3
En (𝐼𝐼) 3𝑥 − 4𝑦 = 5 → 3𝑥 −4(7 − 2𝑥) = 5
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 29 Sistema de 3 ecuaciones →
no lineales con 3 11𝑥 −28 = 5 → 𝑥=3
𝑏) ቐ 𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = 41
𝑥𝑧 + 𝑥 + 𝑧 = 34 incógnitas
En (𝐼𝐼𝐼) 𝑦 = 7 − 2𝑥 → 𝑦 =1
C. S. = 4; 5; 6 ; −6; −7; −8
∴ 𝐶. 𝑆 = 3; 1
𝟐) Por eliminación de incógnitas 𝟑) Por matriz inversa

Resuelva el sistema de ecuaciones Resuelva el sistema de ecuaciones

3𝑥 + 2𝑦 = 4 … (𝐼) 4𝑥 + 5𝑦 = 13 … (𝐼)
൝ ൝
2𝑥 − 3𝑦 = 7 … (𝐼𝐼) 2𝑥 + 3𝑦 = 7 … (𝐼𝐼)

Tenemos: Expresamos el sistema en forma matricial

𝐼 × 3: 9𝑥 + 6𝑦 = 12 4 5 𝑥 13
=
(+)
2 3 𝑦 7
𝐼𝐼 × 2: 4𝑥 − 6𝑦 = 14
−1 −1
4 5 4 5 𝑥 4 5 13
13𝑥 = 26 → 𝑥=2 =
2 3 2 3 𝑦 2 3 7
En 𝐼 : 3𝑥 + 2𝑦 = 4 → 𝑦 = −1 𝐼
ቄ

6 𝑥 3/2 −5/2 13 2
= =
𝑦 −1 2 7 1
∴ 𝐶. 𝑆 = 2; −1
∴ 𝐶. 𝑆 = 2; 1
 Además:
4) Por la regla de Cramer
(I) × 𝑚 𝑎𝑚𝑥 + 𝑏𝑚𝑦 = 𝑐𝑚
Resolvamos el sistema de 2 ecuaciones lineales (−)
con 2 incógnitas en forma general: (II) × 𝑎 𝑎𝑚𝑥 + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑎𝑝
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
(∗) ൝
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II) 𝑎𝑛 − 𝑏𝑚 𝑦 = 𝑎𝑝 − 𝑐𝑚

൝
Para resolver el sistema (*), se tiene: Definimos: 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
∆𝑆 = = ∆𝑦
(I) × 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑝
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 = 𝑐𝑛
(−)
(II) × 𝑏 → ∆𝑆 ∙ 𝑦 = ∆𝑦
𝑏𝑚𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 = 𝑏𝑝
∆𝑥 ∆𝑦
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑚)𝑥 = 𝑐𝑛 − 𝑏𝑝 Si ∆𝑆 ≠ 0 𝑥= 𝑦=
∆𝑆 ∆𝑆
൝

Definamos: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 ∆𝑆 : Determinante del sistema

∆𝑆 = = ∆𝑥 Donde:
𝑚 𝑛 𝑝 𝑛
∆𝑥 : Determinante con respecto a 𝑥
→ ∆𝑆 ∙ 𝑥 = ∆𝑥 ∆𝑦 : Determinante con respecto a 𝑦
 Sistema 3× 𝟑 Dado el sistema
Ejemplo:
Encuentre los valores de 𝑥 e 𝑦 del sistema 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
𝑎𝑥 + 𝑎 + 1 𝑦 = 𝑎 + 1 (∗∗) ൞ 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
ቊ
𝑎 − 1 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 1 ; 𝑎 > 1 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
Utilizamos la regla de Cramer
Resolución: Por la regla de Cramer, tenemos:
𝑎+1 𝑎+1 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧
∆𝑥 𝑎−1 𝑎 𝑎2 + 𝑎 − 𝑎2 − 1 Si ∆𝑆 ≠ 0: 𝑥 = ; 𝑦= ; 𝑧= ;
∆𝑆 ∆𝑆 ∆𝑆
𝑥= = =
∆𝑆 𝑎 𝑎+1 𝑎2 − 𝑎2 − 1 Donde
𝑎−1 𝑎
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 𝑏1 𝑐1
𝑥 = 𝑎+1
∆𝑆 = 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ∆𝑥 = 𝑑2 𝑏2 𝑐2
𝑎 𝑎+1 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑏3 𝑐3
∆𝑦 𝑎−1 𝑎−1 𝑎2 −𝑎 − 𝑎2 −1
𝑦= = =
∆𝑆 𝑎 𝑎+1 𝑎2 − 𝑎2 − 1 𝑎1 𝑑1 𝑐1 𝑎1 𝑏1 𝑑1
𝑎−1 𝑎 ∆𝑦 = 𝑎2 𝑑2 𝑐2 ∆ 𝑧= 𝑎2 𝑏2 𝑑2
𝑦 = 1−𝑎 𝑎3 𝑑3 𝑐3 𝑎3 𝑏3 𝑑3
Ejemplo: ANÁLISIS DEL SISTEMA DE ECUACIONES

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
Del sistema ൝
Halle el valor de las
൞ −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)
incógnitas del sistema
−𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2 se obtuvo: ∆𝑆 ∙ 𝑥 = ∆𝑥 ∧ ∆𝑆 ∙ 𝑦 = ∆𝑦
Resolución: Por la regla de Cramer, tenemos: entonces el sistema tendrá:

2 1 3 1 1 3 I) solución única (compatible determinado)

∆𝑆 = −1 2 1 = 15 ∆𝑥 = 0 2 1 = −5 𝑎 𝑏
∆𝑆 ≠ 0 → ≠
−1 1 3 2 1 3
𝑚 𝑛
II) infinitas soluciones (compatible indeterminado)
2 1 3 2 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
∆𝑦 = −1 0 1 = −8 ∆𝑧 = −1 2 0 = 11 ∆𝑆 = 0 ∧ ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0 → = =
𝑚 𝑛 𝑝
−1 2 3 −1 1 2
III) ninguna soluciones (incompatible)
Luego:
𝑎 𝑏 𝑐
∆𝑥 −5 ∆𝑦 −8 ∆𝑧 11 ∆𝑆 = 0 ∧ ∆𝑥 ≠ 0 ∨ ∆𝑦 ≠ 0 → = ≠
𝑥= = ; 𝑦= = ; 𝑧= = 𝑚 𝑛 𝑝
∆𝑆 15 ∆𝑆 15 ∆𝑆 15
 ANÁLISIS DEL SISTEMA 3 × 3
Ejemplo:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
3𝑥 + 4𝑦 = 5 3 4 Del sistema
a) ൝ como ≠ ൞ 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
2𝑥 + 5𝑦 = 7 2 5
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
El sistema tiene solución única. ∆𝑆 = 7 ≠ 0 se obtuvo:
∆𝑆 ∙ 𝑥 = ∆𝑥 ∧ ∆𝑆 ∙ 𝑦 = ∆𝑦 ∧ ∆𝑧 ∙ 𝑦 = ∆𝑧
3𝑥 + 6𝑦 = 9 3 6 9
b) ൝ como = =
2𝑥 + 4𝑦 = 6 2 4 6 entonces el sistema tendrá:

El sistema tiene infinitas soluciones. ( ∆𝑆 = 0 I) solución única ∆𝑆 ≠ 0

∧ ∆𝑥 = ∆𝑥 = 0 )
II) infinitas soluciones
4𝑥 + 6𝑦 = 8 4 6 8
c) ൝ como = ≠ ∆𝑆 = 0 ∧ ∆𝑥 = 0 ∧ ∆𝑦 = 0 ∧ ∆𝑧 = 0
6𝑥 + 9𝑦 = 10 6 9 10
III) ninguna solución
El sistema no tiene solución . ( ∆𝑆 = 0 ∧
∆𝑆 = 0 ∧ ∆𝑥 ≠ 0 ∨ ∆𝑦 ≠ 0 ∨ ∆𝑧 ≠ 0
∆𝑥 = 12 ≠ 0 ∨ ∆𝑥 = −8 ≠ 0 )
Aplicación: SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO
Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación
Para que valores de K, el sistema es compatible
tiene término independiente nulo.
determinado.
𝑥+𝑦+𝑧 = 1
Ejemplo: 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0
൞ 𝑥 + 𝐾𝑦 + 𝑧 = 𝐾
൞ 3𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝐾𝑧 = 𝐾 2
4𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧 = 0
Resolución: Una solución trivial o impropia es (0; 0; 0).
Si el sistema es compatible determinado, tiene
solución única ↔ ∆𝑆 ≠ 0 Observación:
1 1 1 En un sistema homogéneo hay dos posibilidades:

∆𝑆 = 1 𝐾 1 ≠ 0 → 𝐾 2 − 2𝐾 + 1 ≠ 0 1.- Tiene única solución ↔ ∆𝑆 ≠ 0

1 1 𝐾 La solución única es la solución trivial
2.- El sistema tiene infinitas soluciones ↔ ∆𝑆 = 0
→ 2 → 𝐾≠1
𝐾−1 ≠0
Nota:
∴ 𝐾 ∈ ℝ− 1 En un sistema homogéneo se cumple:
∆𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0
Interpretación
geométrica de
los sistemas
 2
El siguiente sistema lineal
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN ℝ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (1)
Recordar: ൝
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (2)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Se interpreta como dos rectas en el plano.
es la ecuación de una recta en el plano. Se tiene los siguientes casos
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: I) Rectas secantes
Graficar 3𝑥 − 2𝑦 = −12 𝑌
𝑳𝟐
Punto solución
3 𝑌
𝑦= 𝑥+6
2
Donde: 6 𝑋
3
3 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑳𝟏
Pendiente = 2
2
𝜽
T.I = 6 𝑎 𝑏
𝑋 • Diferentes pendientes → ≠
−4 𝑚 𝑛
• Única solución (sistema determinado)
II) Rectas coincidentes III) Rectas paralelas
𝑳𝟏
𝑌 𝑌
𝑳𝟐

𝜽 𝜽
𝑳𝟐 𝑋

𝑳𝟏

• Pendientes iguales 𝑎 𝑏 𝑐 • Pendientes iguales 𝑎 𝑏 𝑐

= = = ≠
• T.I iguales 𝑚 𝑛 𝑝 • T.I diferentes 𝑚 𝑛 𝑝

• Infinitas soluciones • No hay solucion

 El siguiente sistema lineal
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN ℝ3 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
Recordar: 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Se interpreta como dos plano en el espacio.
es la ecuación de un plano en el espacio. Se tiene los siguientes casos
Planos Paralelos
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
Graficar 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 10 = = ≠
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑍
Determinemos corte Planos Coincidentes
con los eje 10
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
= = =
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
Planos Secantes
𝑌
2 𝑎1 𝑏1 𝑏1 𝑐1 𝑎1 𝑐1
≠ ∨ ≠ ∨ ≠
𝑎2 𝑏2 𝑏2 𝑐2 𝑎2 𝑐2
𝑋 5
 SISTEMA DE ECUACIONES LINEAL 3×3
Ejemplo: Dado el sistema lineal:
Interprete geométricamente los siguientes sistemas:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 … (α)
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 10 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 … (β)
a) ൝ como 2 = 3 = 4 = 10
4𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 20 4 6 8 20 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 … (γ)
Los planos son coincidentes. Se interpretan como tres planos en el espacio.
Se tiene los siguientes casos
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 4 2 1 3 4
b) ൝ como 4
=
2
=
6
≠
5 Sistema compatible determinado
4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 5
Única Solución
Los planos son paralelos

3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 1
c) ൝ como 3 = 2 ≠ 5
6𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 2 6 4 2
Los planos son secantes
Sistema compatible indeterminado Sistema incompatible
Infinitas soluciones No tiene solución
Sistemas de
ecuaciones
no lineales
 Aplicación 1:
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
Resuelva el sistema de ecuaciones
Es un sistema de ecuaciones donde al menos una 2𝑥 + 𝑦 = 7
de las ecuaciones no es lineal. ൝
𝑥. 𝑦 = 6
Para resolver un sistema de ecuaciones no lineal Tenemos: 2𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 7 − 2𝑥
no existe un procedimiento general. Nos
podemos ayudar en algunos casos con el método Reemplazamos en la otra ecuación
de sustitución de incógnita, cambio de variable, 𝑥. 𝑦 = 6 → 𝑥. (7 − 2𝑥) = 6 → 7𝑥 − 2𝑥 2 = 6
productos notables, gráfica de funciones y
relaciones entre otras. Conocer la diversidad de 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 → (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
esos sistemas y su resolución ayudarán en la 2𝑥 −3 3
resolución de problemas de examen de admisión. → 𝑥 = ∨ 𝑥 =2
𝑥 −2 2

Veamos algunos modelos conocidos. Como: 𝑦 = 7 − 2𝑥

3
si: 𝑥 = → 𝑦=4
2
13
si: 𝑥 = 2 → 𝑦 = 3 ∴ 𝐶. 𝑆 = ; 4 ; 2; 3
22
 Aplicación 3:
Aplicación 2:
Resuelva el sistema de ecuaciones
Resuelva el sistema de ecuaciones
1 1
+ =3
𝑥𝑦 = 6 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
൞ 𝑦𝑧 = 15 1 1
− =1
𝑧𝑥 = 10 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦

Resolución: Resolución:
Multiplicando las tres ecuaciones Sumando las ecuaciones: Restando:

𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 = 900 2 1 2
=4 → =2 =2
𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
→ 𝑥𝑦𝑧 = 30 ∨ 𝑥𝑦𝑧 = −30
1
𝐈) Si 𝑥𝑦𝑧 = 30 → 𝑧 = 5 ; 𝑦 = 3 ; 𝑥 = 2 𝑥+𝑦 = 3 1
2 → 𝑥= ∧ 𝑦=−
ሼ

6 → ൞ 4 4
𝑥−𝑦=1
𝐈𝐈) Si 𝑥𝑦𝑧 = −30 → 𝑧 = −5 ; 𝑦 = −3 ; 𝑥 = −2
ሼ

6 13 1
𝐶. 𝑆 = ;−
𝐶. 𝑆 = (2; 3; 5) , (−2; −3; −5) 24 4
www.academiacesarvallejo.edu.pe