Guia 7 Noveno Cmate
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Fecha: 14 de Septiembre—4
Área: Matemáticas de Octubre Intensidad. Horaria: 4 horas, 3
semanas
OBJETIVOS: Comprende y aplica procesos para resolver ecuaciones lineales 3x3 utilizando
diversos métodos de solución.
Resuelve problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 3 x3
1. Se hallan los interceptos con los ejes así: con el eje x, se hace y=0 y z= 0 y se despeja
12
x → 2𝑥 + 3.0 + 4.0 = 12 → 2𝑥 = 12 → 𝑥 = 2 → 𝑥 = 6
2. Con el eje y se hace x=0 y z=0 y se despeja y→ 2.0 + 3𝑦 + 4.0 = 12 → 3𝑦 = 12 → 𝑦 =
12
= 𝑦 = 4.
3 12
3. Con el eje z: se hace x=0 y y=0 y se despeja a z→ 2,0 + 3.0 + 4𝑧 = 12 → 𝑧 = 4 → 𝑧 = 3
4. Se localizan los interceptos hallados en los ejes.
5. Finalmente se realiza la gráfica que se observa en la figura.
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 17 (1)
{2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −1 (2)
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −9 (3)
De igual forma que en la solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, se
combinan las ecuaciones para cancelarlas variables así:
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 17 (1)
{ la ecuación (1) se multiplica por -2
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −1 (2)
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 17 (1)
{ la ecuación (1) se multiplica por -2
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −9 (3)
5𝑦 − 5𝑧 = 35
se suman
−5𝑦 + 9𝑧 = −43
__________________
−8
4z = -8 → 𝑧 = 4 → 𝑧 = −2
Se remplaza el valor de z=-2 en la ecuación (4) asi: −5𝑦 + 5(−2) = −35 → −5𝑦 − 10 = −35 →
−25
−5𝑦 = −35 + 10 → −5𝑦 = −25 → 𝑦 = −5 → 𝑦 = 5
Se remplaza los valores de z=-2 y y=5 en la ecuación(1) : 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 17 → 𝑥 + 2(5) −
4(−2) = 17 → 𝑥 + 10 + 8 = 17 → 𝑥 = 17 − 18 → 𝑥 = −1
La solución del sistema es x=-1; y=5 ; z=-2
𝑥− 2𝑦 + 3𝑧 = −7 5𝑎 + 3𝑏 − 𝑧 = −11
b. { 2𝑥 − 𝑦− 𝑧 = 7 d. {10𝑎 − 𝑏 + 𝑧 = 10
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −8 15𝑎 + 2𝑏 − 𝑧 = −7
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 24
c. { 2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = −3 f. {2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 14
−𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = −1 𝑥− 4𝑦 + 3𝑧 = 26
Escriba aquí la ecuación.
METODO DE DETERMINANTES
Un determinante formado por tres filas y tres columnas se llama determinante de
tercer orden o de orden 3.
Para hallar el valor del determinante de tercer orden se aplica un método conocido
como la regla de Sarrus.
En forma general, la regla de sarrus se aplica así:
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
𝑑 𝑒 𝑓 |𝑔 ℎ 𝑖 | (𝑎.
| |= = 𝑒. 𝑖 + 𝑑. ℎ. 𝑐 + 𝑔. 𝑏. 𝑓) − (𝑐. 𝑒. 𝑔 + 𝑓. ℎ. 𝑎 + 𝑖. 𝑏. 𝑑)
| |
𝑔 ℎ 𝑖 𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
Para calcular el determinante se repiten las dos primeras filas al arreglo inicial.
3 −1 1
EJEMPLO: Hallar el determinante de orden 3 |−2 1 −1|se realiza de la
4 7 5
siguiente manera:
3 −1 1
3 −1 1 −2 1 −1
|−2 1 −1| = || 4 7 5 ||
4 7 5 3 −1 1
−2 1 −1
= (3.1.5 + −2.7.1 + 4. −1 − 1) − (1.1.4 + −1.7.3 + 5. −1. −2)
= (15 + −14 + 4) − (4 + −21 + 10) = (5) − (−7) = 12
REGLA DE CRAMER
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de
determinantes se aplica la regla de cramer,que se presenta a continuación:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
Dado el sistema 3 x 3 { 𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑔𝑧 = ℎ
𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑙
|𝐷𝑥 | |𝐷𝑦 | |𝐷𝑧 |
Se cumple que : 𝑥 = , 𝑦 = , 𝑧 = D≠ 0
|𝐷| |𝐷| |𝐷|
Con D: determinante general, 𝐷𝑥 :Determinante de x ; 𝐷𝑦 :Determinante de y; 𝐷𝑧 : Determinante de z
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑐 𝑎 𝑏 𝑑
|𝐷 = | 𝑒 𝑓 𝑔|| ; 𝐷𝑥 | ℎ 𝑓 𝑔| ; 𝐷𝑦 |𝑒 ℎ 𝑔| ; 𝐷𝑧 |𝑒 𝑓 ℎ |
𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑗 𝑘 𝑖 𝑙 𝑘 𝑖 𝑗 𝑙
Si D=0, ; 𝐷𝑥 ≠ 0, ; 𝐷𝑦 ≠ 0; ; 𝐷𝑧 ≠
0 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
|𝐷𝑥 | |480|
𝑥= |𝐷|
= |−160| = 𝑥 = −3 ,
|𝐷𝑦 | |−160|=
𝑦= |𝐷|
= |−160|
=𝑦=1
|𝐷𝑧 | |320|
𝑧= |𝐷|
= |−160| = 𝑧 = −2
Por tanto la solución del sistema es 𝑥 = −3 , 𝑦 = 1 ; 𝑧 = −2
ACTIVIDAD EVALUATIVA N°2
1. Halla el valor de cada determinante.
2 −5 4 2 3 1 8 3 −1 4 1 1
a. | 0 3 1| b. | 1 −3 −6| c. | 4 0 51 | d. |0 0 3|
−3 7 2 −4 5 9 −2 3 2 2 2 7
4𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 8 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −6
b. a.| 3𝑥 4𝑦 + 2𝑧 = −1| d. a.| 2𝑥 3𝑦 − 2𝑧 = 1 |
2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 3 𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = −3
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 8𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = −2
d. .| 𝑥 − 𝑦+ 𝑧 = 1 | f. a.| 3𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 15|
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 −2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Para resolver problemas que conducen al planteamiento de sistemas 3 x 3 , se siguen los
mismos pasos explicados para sistemas 2 x 2. Por ejemplo, Camila vende productos
cosméticos de una marca reconocida. Entré lunes, martes y miércoles vendió en total 66
productos. El lunes vendió 3 productos más que el martes. El miércoles vendió 6 productos
más que el lunes. ¿Cuántos productos vendió cada día Camila?
Solución: Primero se determinan las variables, así : x: cantidad de productos vendidos el lunes
; y: cantidad de productos vendidos el martes. Z: cantidad de productos vendidos el miércoles.
Segundo se platea las ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 66 (1)
|𝑥 = 𝑦 + 3 (2)|
𝑧 = 𝑥 + 6 (3)
La ecuación (1) cantidad total de productos vendidos , la ecuación (2) relación entre los
productos vendidos entre el lunes y martes; la ecuación (3) relación de los productos vendidos
entre el lunes y el miércoles.
Se suman las ecuaciones (1) y (2)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 66
𝑥 − 𝑦 =3
_____________________
2x + z =69 (4)
𝑥 − 𝑧 = −6
De la ecuación (3) y(4) se obtiene:
2𝑥 + 𝑧 = 69
________________
3x = 63 → 𝑥 = 21
Al remplazar x=21 en la ecuación (2) se obtiene: 𝑥 − 3 = 𝑦 → 𝑦 = 21 − 3 → 𝑦 = 18.si remplazo
el valor de x en la ecuación(3) se obtiene: 𝑧 = 𝑥 + 6 → 𝑧 = 21 + 6 → 𝑧 = 27
LINKS o direcciones de sitios web para ver videos sobre los temas propuestos en la guía:
https://www.youtube.com/watch?v=BZ9t4cqA5uc
https://www.youtube.com/watch?v=cXRBVWNhlw0
https://www.youtube.com/watch?v=H9uf6K-iddQ
AUTOEVALUACION - ESTUDIANTE
Marque x en la respuesta que considere adecuada