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    Pauta I3

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    Paulette Jara
    Este documento contiene 4 problemas de cálculo matemático resueltos. El primer problema involucra encontrar las dimensiones óptimas de una caja dada su capacidad volumétrica. El segundo calcula el valor de una suma de senos. El tercero calcula un límite y demuestra una desigualdad de integrales. El cuarto caracteriza la monoticidad y concavidad de una función definida por una integral.

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    prueba 3 1 er semestre ing

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    de 4

    PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

    FACULTAD DE MATEMATICAS
    DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
    Primer semestre 2023

    Interrogación 3 - MAT1610
    1. Se desea fabricar una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior (sin tapa) y que
    debe tener un volumen de 32.000 cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimizan la
    cantidad de material requerido.
    Solución:

    Observe que si la caja tiene base de lado x y altura y, tenemos que el volumen de ésta esta
    dada por
    x2 y = 32.000,
    32.000
    obteniendo que y = . Además, el material utilizado en la fabricación es x2 + 4xy, por lo
    x2
    que la función a minimizar, en términos de x es
    128
    A(x) = x2 + donde x > 0
    x

    128000
    Al derivar obtenemos que A0 (x) = 2x− , obteniendo que el único punto crı́tico es x = 40.
    x2
    256000
    Al derivar nuevamente, obtenemos que A00 (x) = 2 + , obteniendo que A(40) es mı́nimo.
    x3
    Por lo tanto para minimizar el uso de material, el lado de la base de la caja debe medir 40cm
    y la altura 20cm.
    Distribución de puntajes:

    • (1punto ) Por determinar la relación entre las dimensiones de la caja.


    • (1punto ) Por determinar la función a minimizar.
    • (1 punto) Por derivara correctamente la función a minimizar.
    • (1 punto) Por encontrar punto crı́tico.
    • (1 punto) Por justificar que es mı́nimo.
    • (1 punto) Por determinar las dimensiones de la caja.
    2. Calcule el valor de
        nπ 
    1 π  2π
    lim sen + sen + · · · + sen .
    n→∞ n n n n

    Solución:
    Notemos que

        nπ  1     nπ 
    1 π  2π π π  2π
    lim sen + sen + · · · + sen = lim sen + sen + · · · + sen
    n→∞ n n n n π n→∞ n n n n

    Tomando ∆x = πn entonces consideramos b − a = π. Por lo anterior podemos definir a b = π


    y a = 0, entonces, x∗i = a + i∆x = iπ n
    . Por lo anterior podemos reescribir nuestro lı́mite como
    integral definida de la siguiente forma:

    1 π
     π   
    2π  nπ  1 Z π
    lim sen + sen + · · · + sen = sen(x)dx
    π n→∞ n n n n π 0

    Por lo tanto nuestro problema se reduce a calcular la integral definida:


    Z π
    1 1 2
    sen(x)dx = [−cos(π) + cos(0)] = .
    π 0 π π
    Distribución de puntajes:

    • (2 punto ) Por reconocer la partición


    • (1punto ) Por determinar el intervalo adecuado de integración.
    • (1 punto) Por reconocer la función a integrar.
    • (2 punto) Por determinar el valor de la integral.
    *NOTAR QUE ESTA NO ES LA UNICA INTEGRAL POSIBLE.
    3. a) Calcule Z x
    1
    lim sen(2t2 )dt
    x→0 x3 0

    Solución:

    Observe que Z x
    Z x sen(2t2 )dt
    1 2 0
    lim sen(2t )dt = lim
    x→0 x3 0 x→0 x3
    y éste último lı́mite es de la forma indeterminada 0/0, por lo que podemos aplicar la regla
    del L’Hopital obteniendo que
    Z x
    sen(2t2 )dt
    1 x sen(2x2 ) 4xcos(2x2 )
    Z
    2
    lim 3 sen(2t2 )dt = lim 0 3
    = lim 2
    = lim = .
    x→0 x 0 x→0 x x→0 3x x→0 6x 3

    Distribución de puntajes:

    – (1punto ) Por determinar que es una forma indeterminada.


    – (1punto ) Por derivar correctamente para calcular el lı́mite
    – (1 punto) Por determinar el valor del lı́mite
    b) Demuestre que Z 3
    2
    ≤ ecos(x) dx ≤ 2e.
    e 1

    Solución: Notemos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1 para todo x en los números reales. Si aplicamos
    la función f (x) = ex a la desigualdad anterior obtenemos lo siguientes:

    e−1 ≤ ecos(x) ≤ e1
    Esto es dado que f (x) es una función estrictamente creciente.
    Por último utilizando Propiedad de comparación de integrales en la última desigual-
    dad tenemos:
    Z 3 Z 3 Z 3
    −1 cos(x)
    e dx ≤ e dx ≤ e1 dx
    1 1 1

    Calculando las integrales:


    Z 3
    2
    ≤ ecos(x) dx ≤ 2e
    e 1
    Que es lo que buscábamos demostrar.
    Distribución de puntajes:
    – (1punto ) Por acotar superiormente la función a integrar
    – (1punto ) Por acotar inferiormente la función a integrar
    – (1 punto) Por concluir

    4. Considere la función Z x2 /2
    2
    f (x) = e−t dt.
    0
    Determine:

    a) los intervalos donde f (x) es creciente,


    b) los intervalos donde f (x) es decreciente,
    c) los intervalos donde f (x) es cóncava hacia arriba,
    d) los intervalos donde f (x) es cóncava hacia abajo.

    Solución:

    4
    Derivando obtenemos que f 0 (x) = xe−x /4 , por lo tanto f 0 (x) > 0 si y solo si x > 0 obteniendo
    que f es creciente en (0, ∞) y decreciente en (−∞, 0). Para estudiar la concavidad derivamos
    4
    nuevamente obteniendo que f 00 (x) = (1 − x4 )xe−x /4 , haciendo estudio de signo tenemos que f
    es cóncava hacia arriba en (−1, 1) y cóncava hacia abajo en (1, ∞) y en (−∞, −1).
    Distribución de puntajes:

    • (1 punto ) Por determinar f 0 .


    • (1punto ) Por determinar intervalo de crecimiento
    • (1punto ) Por determinar intervalo de decreciemiento
    • (1 punto ) Por determinar f 00 .
    • (1punto ) Por determinar intervalo de cóncavidad hacia arriba.
    • (1punto ) Por determinar intervalo de cóncavidad hacia abajo

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