UNIVERSIDAD NACIONAL DE

FacultadINGENIERÍA
de Ingeniería Mecánica

“ARMADURAS PLANAS”

CURSO: CÁLCULO DE ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR : Ing ABREGU LEANDRO EDWIN
AUTOR: QUINTANILLA PEREZ ALEX PAUL
CODIGO: 20121379 E
SECCIÓN: G

2015 - I

1
 Índice

Enunciado del Problema....................................................................3

Solución.............................................................................................4

Cálculos previos................................................................................5

Matriz de Rigidez. …………………..................................................7

Ecuación de Rigidez……………………………................................9

Esfuerzos y Resultados...................................................................11

Diagrama de Flujo............................................................................12

Uso de Matlab..................................................................................13

Conclusiones................................................................................... 16

Bibliografía ……………………………………………………………….17

2
 TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA
(ARMADURAS PLANAS)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA: (Prob. 3.1 del libro Saed Moaveni.)

Considerar la armadura balcón en la figura 1, mostrado aquí con sus dimensiones.

Estamos interesados en la determinación de la desviación de cada nodo bajo las
cargas dadas en la figura 1. Todos los miembros están hechos de madera de Abeto de
Douglas.

Figura 1.
Considerar: (resolveremos en el sistema ingles)
(Carga 1) ¿ 500 lb.
(Carga 2) ¿ 500 lb.
6
Ε( Modulo de Young ) ¿ 1.90 ×10 psi.
( Area seccional)=8 ¿ 2

3
SOLUCION:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Determinamos las ubicaciones nodales:

Cuadro de ubicación de cada nodo:

NODO X( in ) Y( in )

1 0 0

2 36 0

3 0 36

4 36 36

5 72 36

4
2 GRADOS DE LIBERTAD NODALES

Notación de los grados de libertad nodales locales:

Cuadro de conectividad:
Elemento NODOS GDL L A E
(1) (2) ( in ) (in2) ( psi)

6
1 1 2 1 2 3 4 36 8 1.90 ×10
6
2 2 3 3 4 5 6 50.911 8 1.90 ×10

3 3 4 5 6 7 8 36 8 1.90 ×10
6

4 2 4 7 8 3 4 36 8 1.90 ×10
6

5 2 5 3 4 9 10 50.911 8 1.90 ×10

6

6 4 5 7 L8 9 10 l 36 m8 1.90 ×106
e (in)

1 36 1 0
2 50.911 -0.707 0.707
3 36 1 0
4 36 0 1
5 50.911 0.707 0.707
6 36 1 0

5
Calculando l y m utilizando los cosenos directores:

l=cos θ , m=sin θ

Las cargas nodales globales:

6
 []
Q1
Q2
Q3
Q4
Q
Qij = 5 [ ¿ ]
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10

Donde Q 1=0 ,Q2=0 ,Q5=0 ,Q6 =0; pues la placa esta empotrada y los demás
desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

3. MATRIZ DE RIGIDEZ

Escribimos las expresiones para las matrices de rigidez del elemento.

Gdl . Global

[ ]
2 2
l lm −l −lm
e Ε × A lm m2 −lm −m 2
K = 2 2
l −l −lm −l lm
2 2
−lm −m lm m

Hallando K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6

[ ]
1 0 −1 0
6
1.9 ×10 ×8 0 0 0 lb
K 1= =4.22 ×105 0
36 −1 0 1 0 ¿
0 0 0 0

7
 [ ]
0.5 −0.5 −0.5 0.5
6
2 1.9 ×10 ×8 5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 lb
K = =2.98× 10
50.9 −0.5 0.5 0.5 −0.5 ¿
0.5 −0.5 −0.5 0.5

[ ]
1 0 −1 0
6
3 1.9 ×10 ×8 5 0 0 0 0 lb
K = =4.22 ×10
36 −1 0 1 0 ¿
0 0 0 0

[ ]
0 0 0 0
4 1.9× 106 × 8 5 0 1 0 −1 lb
K = =4.22×10
36 0 0 0 0 ¿
0 −1 0 1

[ ]
0.5 0.5 −0.5 −0.5
6
1.9 ×10 ×8 0.5 −0.5 −0.5 lb
K 5= =2.98× 105 0.5
50.9 −0.5 −0.5 0.5 0.5 ¿
−0.5 −0.5 0.5 0.5

[ ]
1 0 −1 0
6
6 1.9 ×10 × 8 5 0 0 0 0 lb
K = =4.22 ×10
36 −1 0 1 0 ¿
0 0 0 0

Sumando las matrices de rigidez locales de cada elemento de la armadura :

∑ K e =K G
e=1

Ensamblando la matriz de rigidez:

8
 [ ]
4.22 0 −4.22 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−4.22 0 7.2 0 −1.49 1.49 0 0 −1.49 −1.49
0 0 0 7.2 1.49 −1.49 0 −4.22 −1.49 −1.49
G 5 0 0 −1.49 1.49 5.71 −1.49 −4.22 0 0 0 lb
K =10 × ¿
0 0 1.49 −1.49 −1.49 1.49 0 0 0 0
0 0 0 0 −4.22 0 8.44 0 −4.22 0
0 0 0 −4.22 0 0 0 4.22 0 0
0 0 −1.49 −1.49 0 0 −4.22 0 5.71 1.49
0 0 −1.49 −1.49 0 0 0 0 1.49 1.49

4. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

En el método de eliminación, la matriz de rigidez k se obtiene cancelando las filas y
las columnas correspondientes a grados de libertad fijos.

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

e G
F =K ×Qij

[][ ][ ]
Q1
0 4.22 0 −4.22 0 0 0 0 0 0 0
Q2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −4.22 0 7.2 0 −1.49 1.49 0 0 −1.49 −1.49 Q3
0 0 0 0 7.2 1.49 −1.49 0 −4.22 −1.49 −1.49 Q4
0 =10 5 0 0 −1.49 1.49 5.71 −1.49 −4.22 0 0 0 × Q5
0 0 0 1.49 −1.49 −1.49 1.49 0 0 0 0 Q6
0 0 0 0 0 −4.22 0 8.44 0 −4.22 0 Q7
−500 0 0 0 −4.22 0 0 0 4.22 0 0 Q8
0 0 0 −1.49 −1.49 0 0 −4.22 0 5.71 1.49
Q9
−500 0 0 −1.49 −1.49 0 0 0 0 1.49 1.49
Q10

Donde Q 1=0 ,Q2=0 ,Q5=0 ,Q6 =0; pues la placa esta empotrada y los demás
desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

9
 [][ ][ ]
0 7.2 0 0 0 −1.49 −1.49 Q3
0 0 7.2 0 −4.22 −1.49 −1.49 Q4
0 =105 0 0 8.44 0 −4.22 0 × Q7
−500 0 −4.22 0 4.22 0 0 Q8
0 −1.49 −1.49 −4.22 0 5.71 1.49 Q9
−500 −1.49 −1.49 0 0 1.49 1.49 Q10

La solución de la siguiente matriz nos resulta:

Q3=−0.00355∈.
Q4 =−0.01026∈.
Q7=0.00118∈.
Q8=−0.0114∈.
Q9=0.00240∈.
Q10=−0.0195∈¿

Los desplazamientos en los nodos serán:

[ ]{ }
Q1
0
Q2
0
Q3 −0.00355
Q4 −0.01026
Q5 0
= ∈¿
Q6 0
Q7 0.00118
Q8 −0.0114
Q9 0.00240
−0.0195
Q10

Calculando las reacciones:

G
R=K Q−F

10
 [] [ ][ ][
R1 Q1
4.22 0 −4.22 0 0 0 0 0 0 0 0
R2 Q2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R3 −4.22 0 7.2 0 −1.49 1.49 0 0 −1.49 −1.49 Q 3 0
R4 0 0 0 7.2 1.49 −1.49 0 −4.22 −1.49 −1.49 Q 4 0
R5 5 0 0 −1.49 1.49 5.71 −1.49 −4.22 0 0 0 Q5 0
=10 × −
R6 0 0 1.49 −1.49 −1.49 1.49 0 0 0 0 Q6 0
R7 0 0 0 0 −4.22 0 8.44 0 −4.22 0 Q7 0
R8 0 0 0 −4.22 0 0 0 4.22 0 0 Q8 −500
0 0 −1.49 −1.49 0 0 −4.22 0 5.71 1.49 0
R9 Q9
0 0 −1.49 −1.49 0 0 0 0 1.49 1.49 −500
R 10 Q10

Calculando las reacciones en cada nodo :

[ ][ ]
R1
1500
R2
0
R3 0
R4 0
R5 −1500
= lb
R6 1000
R7 0
R8 0
0
R9
0
R 10

5.- ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por cada elemento:

[]
q1
E q
σ e = e × [ −l−ml m ] × 2
le q3
q4

11
Donde se obtiene lo siguiente:

[ ]
0
6
1 1.9 x 10 0 lb
σ = [ −10 1 0 ] 1
→ σ =−187.50 2
36 −0.00355 ¿
−0.01026

[ ]
6
−0.00355
1.9 x 10 lb
σ =
2
[ 0.7−0.7−0.7 0.7 ] −0.01026 → σ 2=176.77 2
50.9 0 ¿
0

[ ]
0
6
31.9 x 10 0 lb
σ = [ −1 01 0 ] 3
→ σ =62.50 2
36 0.0018 ¿
−0.0114

[ ]
−0.00355
6
1.9 x 10 lb
4
σ = [ 0−1 01 ] −0.01026 → σ 4=−62.50 2
36 0.0018 ¿
−0.0114

[ ]
−0.00355
6
1.9 x 10
5
σ = [ −0.7−0.7 0.70 .7 ] −0.01026 → σ 5=−88.388 lb2
50.9 0.00240 ¿
−0.0195

[ ]
0.0018
61.9 x 106 −0.0114 6 lb
σ = [ −1 01 0 ] →σ =62.50 2
36 0.00240 ¿
−0.0195

INICIO

INGRESO DE DATOS
CONSTANTES : E,A
VECTORES: l,2.

12
 [ ]
CALCULO DE VECTORES

4.22 0 −4.22 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−4.22 0 7.2 0 −1.49 1.49 0 0 −1.49 −1.49
0 0 0 7.2 1.49 −1.49 0 −4.22 −1.49 −1.49
K =10 × 0
G 5 0 −1.49 1.49 5.71 −1.49 −4.22 0 0 0 lb
0 0 1.49 −1.49 −1.49 1.49 0 0 0 0 ¿
0 0 0 0 −4.22 0 8.44 0 −4.22 0
0 0 0 −4.22 0 0 0 4.22 0 0
0 0 −1.49 −1.49 0 0 −4.22 0 5.71 1.49
0 0 −1.49 −1.49 0 0 0 0 1.49 1.49

][ ]
ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

[][
Q1
0 4.22 0 −4.22 0 0 0 0 0 0 0
Q2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −4.22 0 7.2 0 −1.49 1.49 0 0 −1.49 −1.49 Q3
0 0 0 0 7.2 1.49 −1.49 0 −4.22 −1.49 −1.49 Q4
0 5 0 0 −1.49 1.49 5.71 −1.49 −4.22 0 0 0 Q
=10 × 5
0 0 0 1.49 −1.49 −1.49 1.49 0 0 0 0 Q6
0 0 0 0 0 −4.22 0 8.44 0 −4.22 0 Q7
−500 0 0 0 −4.22 0 0 0 4.22 0 0 Q8
0 0 0 −1.49 −1.49 0 0 −4.22 0 5.71 1.49
Q9
−500 0 0 −1.49 −1.49 0 0 0 0 1.49 1.49
Q10

IMPRESIÓN DE RESULTADOS
Rij ,Qij , σ j

13
 FIN

6.- USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

format long
nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');
ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');
A=input('INGRESE EL AREA DE LAS SECCIONES(plg^2)=');
E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(lb/plg^2=');
tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');
%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]
ni=[];
for i=1:nd
disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);
n(i,1)=input('N(X)= ');
n(i,2)=input('N(Y)= ');
end
F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');
CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=');
lm=[];
krs=zeros(2*nd);
Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];
le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];
[fc,cc]=size(CC1);
for i=1:2*nd
cont=0;
for j=1:fc
if i==CC1(j,1)
cont=1;
c1=CC1(j,1);
c2=CC1(j,2);
end
end
if cont==1
CC(i,1)=c1;
CC(i,2)=c2;
else
CC(i,1)=0;
CC(i,2)=0;
end
end
for i=1:ne
le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);
l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);
m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);
ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;
krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-
l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);
krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-
l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2;
krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-
l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);

14
 krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-
m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2;
Kij=Kij+E*A/le(i)*krs;
krs=zeros(2*nd);
end
for i=1:2*nd
if i==CC(i,1)
Q(i,1)=CC(i,2);
else
FC=[FC;F(i)];
for j=1:2*nd
if j~=CC(j,1)
acuh=[acuh,Kij(i,j)];
end
end
end
acuv=[acuv;acuh];
acuh=[];
end
Q1=acuv\FC;
for i=1:2*nd
if i~=CC(i,1)
Q(i,1)=Q1(1,1);
[f,c]=size(Q1);
if f>=2
Q1=Q1(2:f,1);
end
end
end
for i=1:2*nd
if i==CC(i,1)
r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i);
R=[R;r i];
end
end
ESF=[];
for i=1:ne
ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;
ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i)
m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];
end
format short
disp('=============');
disp('RESULTADOS');
disp('=============');
disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');
disp(Q);
disp('LAS REACIONES');
disp('REACCIÓN POSICIÓN');
disp(R);
disp('LOS ESFUERZOS');
disp(ESF');

15
INGRESE EL NUMERO DE NODOS=5
INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=6
INGRESE EL AREA DE LAS SECCIONES(in^2)=8
INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(lb/in^2=1.9e6
INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=[1 2;2 3;3 4;2 4;2 5;4 5]
INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
1

N(X)= 0
N(Y)= 0
INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
2

N(X)= 36
N(Y)= 0
INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
3

N(X)= 0
N(Y)= 36
INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
4

N(X)= 36
N(Y)= 36
INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
5

N(X)= 72
N(Y)= 36
INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=[0 0 0 0 0 0 0 -500 0 -500]
INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=[1 0;2 0;5 0;6 0]
=============
RESULTADOS
=============
LOS DESPLAZAMIENTOS
0
0
-0.0036
-0.0103
0
0
0.0012
-0.0114
0.0024
16
 -0.0195

LAS REACIONES
REACCIÓN POSICIÓN
1.0e+003 *

1.5000 0.0010
0 0.0020
-1.5000 0.0050
1.0000 0.0060

LOS ESFUERZOS
-187.5000
176.7767
62.5000
-62.5000
-88.3883
62.5000

CONCLUSIONES

 Los esfuerzos calculados son positivos y negativos, lo que significa que son de tracción
y comprecion respecto al sistema de referencia elegido.

 La precisión en el resultado con respecto al uso del Matlab es muy alta, lo que significa
que para el cuerpo estudiado el número de elementos finitos es suficiente gracias a su
geometría simple.

 Cuando los desplazamientos son negativos, se dan por lo que la referencia es contraria
a la tomada, y asi poder darnos cuenta de su dirección.

17
BIBLIOGRAFÍA

 CHANDRUPATLA, T. “Introducción al Estudio de los Elementos Finitos en

Ingeniería”, Prentice Hall, 1999

 ZIENKIEWCTZ, O. “The Finite Element Method”, New Cord, Mec Graw – Hill, 1977.

 LIVESLEY, R. “Finite Element: An Introduction for Engineers”, Cambridge, Great

Britain, Cambridge University Press, 1983.

 Ferreiras- MATLAB codes forFinite Element Analysis

 Elementos finitos SAED MOAVENI 2DA EDI.

18