ECUACIONES

CAPITULO I

SISTEMA DE ECUACIONES
1.1.Sistema de ecuaciones
Es un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una incógnita que conforman
un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas por lo tanto
un valor o una función se sustituye con las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan
automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que
reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o
más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son
válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se
intersectan.
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias
ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas
puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas
las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus
soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas
soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución,
compatibles.
1.1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales:
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la
forma ax + by = c, ax + by + cz = d,?, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes
(elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado),
o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de
sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en
la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones
y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita

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que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato,
el valor de la otra.
1.1.2. Investigación formativa
A. Inicial
el sistema de ecuaciones nos habla acerca de un conjunto formado por dos o mas incógnitas
por lo que cada uno de ellas puede tener infinitas soluciones llamaremos solución del sistema
a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución,
compatibles
B.- Intermedio
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado),
o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).Y tiene tres métodos
1.-Metodo de sustitución
2.-Método de igualación
3.-Método de reducción
C .- Avanzado
Aquí demostramos la resolución de problemas y ejercicios

Ecuación Algebraica: Es la que se representa en forma polinómica, su grado viene

determinado por el exponente que afecta a la incógnita en el polinomio. Aquella que expresa
la relación entre una o varias variables sus funciones o sus derivados.
Ecuación Química; Es la representación de una relación química
Ecuación Astronómica diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero
o aparente de un astro.

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CAPITULO II

CLASIFICACIÓN

2. Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

2.1. Por el número de incógnitas. Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas.
Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y =
5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una
incógnita se pueden imaginar cómo puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas
como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres
dimensiones.

2.2. Por el grado de la incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar
por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las
fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se
puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que
sea, se puede resolver de esta forma:

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos

permitiría obtener las soluciones.

2.3. Por el número de términos:

2.3.1. Ecuaciones binómicos:

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Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicos.

Llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar poli
nómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con
coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este
enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D' Alembert fue el primer
matemático que diò una demostración, pero no era completa. Se considera a
Gauss como el primer matemático que diò una demostración rigurosa.
2.3.2. Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta
con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo
igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual
tenemos que seguir estas reglas:
 Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En
nuestro caso quedaría ax = -b
 Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa
multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
2.4. Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver.
Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a,
y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.
2.5. Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena
aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma
más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer
grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de

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esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos

los términos por a, m = b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se
atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.
El método es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los
exámenes. Quedareis muy bien si además citáis el libro en que apareció por primera
vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).

2.6. Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita

El método más frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es
descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles
divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras
ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado ‘disfrazada’. Lo veréis con un
ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t,
nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio de variable, resolvéis la
ecuación de segundo grado y después despejáis la x (calculando la raíz cuadrada del
valor que hemos obtenido para t).
Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprenderéis a vuestro
profesor resolviendo la ecuación por este método:

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Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría

obtener las soluciones.
2.7. Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la
necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por
ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una
ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de
variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de
un polinomio, se trata siempre de hallar números concretos.
Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una
clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una
función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto
de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que
determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el
movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe
determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las
funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de
ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho
podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una
ecuación funcional: las funciones implícitas.
2.8. Las Ecuaciones Lineales
Historia De Las Ecuaciones Lineales.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se
caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones.
Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de

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C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver

ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el
inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma
importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte
en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler
(1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas
clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces
cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado
más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y
el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La
mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la
vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como
algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto.
En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con
los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax =b
x + ax + bx = 0
donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha
o montón.

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CAPITULO III

APLICACIÓN
El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del
cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante
fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que
consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la
física aplicada, dícese, la Ingeniería.
El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente
en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral
Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa
relación.
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se
vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de
la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada dydx = f ´(x) , en forma de diferencial de una función de una

sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la
derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a ≤ c ≤ b

tenemos que F (x) = ∫x f (t)dt si a ≤ x ≤ b , existe entonces F´(x) en cada punto x del intervalo
abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos F´(x) = f (x) quedando demostrado
la relación entre Integral y Derivada.

3.1. Las leyes del movimiento de Newton.

Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:
Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento
tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que
fuerzas externas actúen sobre él.

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La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a la

fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza,
(entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su
velocidad v).
A cada acción existe una reacción igual y opuesta.
La segunda ley nos proporciona una relación importante, conociéndose como la ley de
Newton.
La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así d (mv) /dt.
Si por F entendemos a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos:
dtd (mv) α F siendo α el símbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constante de
proporcionalidad k, obtenemos:

Para el sistema CGS (o sistema Centímetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma.
En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al
notar que la aceleración a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto
es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2s/dt2 ).

Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las
formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los
conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas.
Ejemplo aclaratorio:
Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad,
partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la

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ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a

solventarla.
Diagrama de fuerzas:

Tierra
Formulación matemática:
Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en
cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades
vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales
necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un
sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este
ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x.
La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o a
= d2x/dt2. La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton
tenemos:

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En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos
condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede
obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de
coordenadas en A).
La formulación matemática es:

Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley,

siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de
las constantes arbitrarias en la solución general.

Solución:

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CAPITULO IV

RESOLUCIÓN

3.1.Resolución de Ecuaciones
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la
igualdad. Por ejemplo la ecuación:
500 = 450 + v (el caso del vuelto)
se satisface para
v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con $500 es $50.

Una Ecuación Funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen
no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial
se llaman ecuaciones diferenciales.

3.2.Cómo Resolver Una Ecuación De Primer Grado

Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los
pasos necesarios. Para empezar realizaremos una ecuación de primer grado sencilla:
9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396

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 ECUACIONES

Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el

derecho.

3.3.Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en

un lado, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números
que tendremos que pasar al otro término. Esto lo podemos hacer teniendo en
cuenta que:
Si el número esté restando (Ej: -6): Pasa al otro lado sumando (+6)
Si el número esté sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (-9)
Si el número está multiplicando (Ej: ·2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma
fraccionaria) (n/2)
Si el número está dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado
multiplicando (·5)
Una vez hemos pasado todos los términos en nuestra ecuación, ésta quedaría así:
9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como podrás comprobar, todos los monomios con X han quedado a la izquierda del
signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.

3.4.Simplificación:
Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple
y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.
Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por
otro lado: 28+396+9+92
De forma que nuestra ecuación pasaría a ser ésta:
95x = 525

3.5.Despejar:
Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola;
para ello volveremos a recurrir a la transposición.Es decir: en nuestra ecuación
deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin
cambiar de signo):
x = 525 / 95

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 ECUACIONES

Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad
en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar
esto.
Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el
resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el
resultado.
En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal
(525:95=5.5263157894737) por lo tanto x=525/95

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CONCLUSIÓN

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente

en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos
problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.

Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos

radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de
aeronaves en vuelo, navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de
la solución de ecuaciones diferenciales.

Así vemos como las ecuaciones, su aplicación e importancia en la vida diaria son utilizadas
de manera general en lo que es la investigación de diferentes problemas de ciencia y
tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.
Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos
radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de
aeronaves en vuelo la navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de
la solución de ecuaciones diferenciales.

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ANEXO
Resolución De Ecuaciones De Primer Grado (Problema)
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de
las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este
problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
x + 3 = 2x − 2
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello
se sigue este procedimiento:
x + 3 = 2x − 2
Primero se pasan todas las x al primer término y los términos independientes al segundo.
Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresión pasa al otro término haciendo la
operación opuesta. Así obtenemos:
x − 2x = − 2 − 3
Que, simplificado, resulta:
−x=−5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos
igualmente ambos términos de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que
podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación
por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos
términos por -1 obtendremos:
x=5
El problema está resuelto
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para
la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos
de ecuaciones:

-Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las
de primer grado. Tengamos por ejemplo:
x2 − 16 = 0
Pasamos -16 al segundo término
x2 = 16

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 ECUACIONES

Ahora pasamos el exponente al segundo término, haciendo la operación opuesta; en este

caso, raíz cuadrada

La ecuación ya está resuelta

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0
Tengamos:
3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de
ambas expresiones:
x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores
tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera
solución), o:
3x + 9 = 0
3x = − 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0
Tengamos por ejemplo la ecuación:
x2 + 5x + 6
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos directamente la siguiente fórmula:

Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:

A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -
3
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado

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• Ecuaciones con radicales

• Ecuación química
• Sistema de ecuaciones
Ejemplos ilustrativos

1)

Como la cantidad que se obtuvo en el primer miembro es igual a la cantidad que se obtuvo
en el segundo miembro, queda comprobado que la solución de la ecuación es correcta.

2)

Solución:

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 ECUACIONES

Comprobación:

3)

4)

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 ECUACIONES

Nota: La comprobación queda como tarea para el estudiante

5)

6)

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Libros:
 Algebra de Aurelio Baldor
 Diccionario Enciclopédico Náutico Mayor
 Matemàtica IV, Educación Media, Segundo Grado, Segundo Ciclo.

Folletos:
 Matemática Propedéutica. (UTE)

Paginas Web:
 https://www.monografias.com/trabajos106/ecuaciones-primer-y-segundo-
grado/ecuaciones-primer-y-segundo-grado.shtml

 http://bdigital.unal.edu.co/11768/1/43277729.2013.pdf

DOC. CESAR ARTURO TACURI 25

 ECUACIONES

 http://tesis.pucp.edu.pe:8080/repositorio/bitstream/handle/20.500.12404/9106/Pasa
pera_Chuquiruna_Conociminto_did%C3%A1ctico_matem%C3%A1tico.pdf?seque
nce=6&isAllowed=y

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