CAPÍTULO 4: NUMERACIÓN

TEORÍA  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.

DEFINICIÓN DE NUMERACIÓN  Letras diferentes no necesariamente indican cifras
Es la parte de la aritmética que estudia la representación de los diferentes.
números.  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.

CONCEPTOS PREVIOS NÚMERO CAPICÚA

 NÚMERO: Es un ente matemático que nos proporciona la Son aquellos números cuyas representaciones son simétricas,
idea de cantidad. por ejemplo:
123454321
 NUMERAL: Es la representación simbólica de un número.
xyzzyx w
Por ejemplo, el número cinco se puede representar por: 5, V,
IIIII, , etc. (2a)b(3c)b(2a)d

 CIFRAS: Son los símbolos que convencionalmente se utilizan CAMBIO DE BASE

para representar los numerales. A. DE CUALQUIER BASE A BASE 10
 Descomposición polinómica
IMPORTANTE Convertir 12348 al sistema de base 10
Toda cifra que forma parte de un numeral es número entero
no negativo. 12348  1  83  2  82  3  81  4  80  668
Cifras significativas: 1, 2, 3, …
Cifra no significativa: CERO
 Método de Ruffini
Convertir 12348 a base 10
 SISTEMA DE NUMERACIÓN: Es el conjunto de reglas que se
deben seguir para escribir de manera correcta un número.
1 2 3 4
8 8 80 664
 ORDEN Y LUGAR:
1 10 83 668
LUGAR     
B. DE BASE 10 A CUALQUIER BASE
1 3 7 2 6
 Divisiones sucesivas
     ORDEN
Convertir 668 al sistema de base 8
 VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO: En 13759, la cifra 3
668 8
tiene un VA = 3 y un VR = 3000.
4 83 8
 668  12348
 BASE: Es el número que se toma como referencia para 3 10 8
agrupar, de ser posible, una cantidad de unidades. 2 1

IMPORTANTE CAMBIO DE BASE ESPECIAL

La base no puede ser la unidad. A. DE BASE "N" A BASE "NK"
La base es número entero no negativo. Convertir 11101110110112 a base 8

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN 8  23  k  3

BASE SISTEMA CIFRAS QUE SE USAN
2 Binario 0, 1 12 1102 1112 0112 0112
3 Terciario 0, 1, 2 1 6 7 3 3
4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 167338
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 B. DE BASE "NK"A BASE "N"
7 Heptanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Convertir 283219 a base 3
8 Octanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9  32  k  2
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2 8 3 2 1
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 023 223 103 023 013
2221002013
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL
Cuando no se conoce las cifras de un numeral, esta se
representa mediante letras teniendo en cuenta que:

15
MÉTODO COMBINATORIO 2c  1  7; c  2k
EJEMPLO 1. ¿Cuántos números de 2 cifras existen en el c  3; c  2k
sistema decimal?
c2

a b
1 0 a28 9  5aa 7
2 1 a.9  2.9  8  5.72  a.7  a
2
 ac  5
3 2  QNÚMEROS  9  10  90
3 81a  26  245  8a
9 a3
9
CAMBIO DE BASE
EJEMPLO 2. ¿Cuántos números impares de 2 cifras existen en Si: 7a1 n  60b 9 , halle (a b)
el sistema decimal?

a b 7n9
1 1
2 3 n8
3 5  QNÚMEROS  9  5  45
4 7 7a1 8  60b 9
9
9 7.8  a.8  1  6.92  0  b
2
 (a b)  8
8a  b  37
CONTEO DE CIFRAS O TIPOS DE IMPRENTA a  5; b  3
Concepto clave: progresión aritmética

an  a1  (n 1)R Si: abc 9  ab 8  bc 7  693 . Hallar: a  b  c .

EJERCICIOS PROPUESTOS
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES abc 9  ab 8  bc 7  693
Si los siguientes numerales están bien representados: (81a  9b  c)  (8a b)  (7b c)  693
1a1 4 ; bb c; 2c a 89a 17b 2c  693
Calcular el valor de a  b  c
89a  693 17b  70
a7 b4
4 ac b
a  3; c  2; b  1 89(7)  17b 2c  693 17(4)  2c  70
17b  2c  70 c 1
 ab  c  312  6
 a  b  c  27
Sean:
4 3
2a(2a) 12; 2bc (a2); bbb c Si: N = 2(15) + 4(15) + 3(15) + 22. Entonces, el número
N escrito en base 15 es: ________.
Calcular el valor de a  b  c

12  2a  (a  2)  2 bc3 N  2.154  4.15  3.153  (15  7)

6a  a4 b  1; c  2 N  2.154  3.153  0.152  5.15  7.150
a5 N  2305715

 ab  c  512  8
5 4 2
Si: N = 15(13) + 18(13) + 27(13) + 5(13) + 80. Calcule
la suma de cifras del número N escrito en base 13.
Calcule: a  c , si se cumple lo siguiente:
e c
a( )n (9)  (2c 1)aa (7) ; 5e7 (n)  ( )4c3 (e) N  15.135  18.134  27.132  5.13  (6.13  2)
3 2
N  (13  2).135  (13  5).134  (2.13  1).132  5.13  (6.13  2)
N  1.136  3.135  5.134  2.133  1.132  11.13  2.130
7n9 4  e  n  8; e  3k
N  13521(11)213
n8 e6

16
 CAMBIO DE BASE ESPECIAL ¿Cuántos números se expresan mediante numerales de la
Si se sabe que: a
forma ( )(b  3)(a  1)(2b) en el sistema de base 12?
ab11cd 3  8w7 9 2
Calcule: a + b + c + d + w

a
( )(b  3)(a  1)(2b) 12
w  113  4 ab3  8 cd3  7 2
a  2; b  2 c  2; d  1 a  2;4;6;8;10;12  b  0;1;2;...;5
 QN's  6  6  36
 a  b  c  d  w  2  2  2  1  4  11
En qué sistema de numeración cuya base es par hay 72
Si: a(b 1)(c 2)c 9  (b 1)10xy12 3 , calcule: a b c x y a b
números de la forma ab( )( ) .
2 2

c  123  5 b  1  103  3 a  (b 1) 3  13

B 2 B
b2 a1   72
2 2
(B 2)B  18  16
xy3  c  2  7
 a  b  c  x  y  11 B  16
x  2; y  1
Sabiendo que hay 40 números más de la forma
PROPIEDADES
a(a  1)(b  1)bn que de la forma a(a  1)(b  1)bn . Hallar "n".
Hallar el máximo valor de "n" en:
1818  81
18

"n" veces
18 m (n 1)(n 1)  (n 2)(n 1)  40
n2  2n  1  (n2  3n  2)  40
n  41
1818  m  8(n)  81  nmáx  9; m  9
18 ¿Cuántos números se expresan con 3 cifras significativas
18 m
"n" veces distintas en el sistema decimal?

¿Cuántos números tienen 3 cifras en el sistema

QN's  9  9  8  648
heptanario, nonario y undecimal?

Calcule "K" si se sabe que en la base 12 existen 6480

En el sistema heptanario: 7  7  294
3 2 numerales de "K" cifras, tales que todas sus cifras son pares.
En el sistema nonario: 93  92  648
En el sistema undecimal: 113  112  1210 5  6  6  ...  6  6480
a b c d e ... k "k 1" veces
MÉTODO COMBINATORIO 2 0 0 0 0 ... 0 5  6k1  6480
¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema 4 2 2 2 2 ... 2
cuaternario? 6 4 4 4 4 ... 4 6k1  1296  64
10 10 10 10 10 ... 10 k 1  4
k5
vwxyz 4
 QN's  3  4  4  4  4  768 ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras en el sistema de
base 16 cumplen que la suma de sus cifras es 40?

¿Cuántos números de la forma a(a 2)b(6  b) existen en

el sistema decimal? N  abba; además : a  b  20

a  b  20
a(a 2)b(6  b) 10 5 15
a  2;3;...;9  b  0;1;...;6 6 14
 QN's  15  5  1  11
7 13
 QN's  8  7  56
15 5

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 ¿Cuántos números capicúas de 7 cifras, cuya suma de C1: 9  2(83  10  1)  157
cifras sea impar, existen en el sistema decimal? C2 : 9  180  3(101  100  1)  195
C3: 9  180  3(119  100  1)  249

abcdcba  DIFERENCIA  801  (157  195  249)  200

 QN's  9  10  10  5  4500
Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de
CONTEO DE CIFRAS/TIPOS DE IMPRENTA imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72
Para numerar la primera mitad de las páginas de un libro últimas. ¿Cuántas páginas tienen el libro?
se utilizó 147 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos de imprenta se
utilizará para numerar el total de páginas?
PRIMERAS 72
1 cifra: 1; 2; 3; ...; 9  N cifras  9  1  1  9
LA MITAD
1 cifra: 1; 2; 3; ...; 9  N cifras  9  1  1  9 2 cifras : 10; 11; 12; ...; 72  N cifras  2(72  10  1)  126
2 cifras : 10; 11; 12; ...; x  N cifras  2(x  10  1)  2(x  9) P72  9  126  135
2(x  9)  9  147
ÚLTIMAS 72
x  78 U72  135  69  204

TODO  x  y  72
 x  12; y  60
EL DOBLE: 2(78)  156 2x  3y  204
1 cifra: 1; 2; 3; ...; 9  N cifras  9  1  1  9
2 cifras : 10; 11; 12; ...; 99  N cifras  2(99  10  1)  180  N° PÁGINAS  9  90  60  159
3 cifras : 100; 101; ...; 156  N cifras  3(156  100  1)  171
 TOTAL  9  180  171  360 Se desea numerar las 70 hojas de un libro, utilizando el
sistema nonario. ¿Cuántas cifras se utilizarían?

En la numeración de un libro de (n 1)8 páginas, se han

empleado 534 tipos menos que en la numeración de un libro 1 cifra: 1; 2; 3; ...; 7  N cifras  1(7  1  1)  7
de 2n3 páginas. Hallar "n". 2 cifras : 108 ; ...; 778  N cifras  72  71  49  7  42
3 cifras : 1008 ; ...; 7778  N cifras  73  72  294

1(9)  2 (n  1)8  10  1  534  1(9)  2(90)  3 2n3  100  1

     TOTAL CIFRAS  7  42  294  343
9  210n  9  534  1(9)  2(90)  310n  104 
20n  561  30n  501
n6

Para numerar un libro inicialmente se necesita 801 tipos

de imprenta. Pero finalmente, se divide el libro en tres
capítulos; siendo la diferencia de páginas entre dos capítulos
sucesivos de 18 páginas, si la numeración de cada capítulo
empieza en 1, ¿cuántos tipos menos que en el primer caso se
emplearán en esta nueva numeración?

NUMERACIÓN INICIAL
1 cifra: 1; 2; 3; ...; 9  N cifras  9  1  1  9
2 cifras : 10; 11; 12; ...; 99  N cifras  2(99  10  1)  180
3 cifras : 100; 101; ...; x  N cifras  3(x  100  1)  3(x  99)
9  180  3(x  99)  801
x  303

TRES CAPÍTULOS
p  (p 18)  (p 36)  303
3p  54  303
p  83

18