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GUIA Taylor
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GUIA Taylor
Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento son los que resultan de utilizar una aproximación en lugar de un
procedimiento exacto y representan la diferencia entre la formulación matemática exacta y
su aproximación obtenida por el método numérico.
Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas. Son adecuados para trabajar en
cálculos numéricos porque sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de
operaciones algebraicas sencillas. Por lo tanto, cualquier otra función que pueda aproximarse
por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y
trigonométricas, las cuales no pueden evaluarse tan fácilmente.
Muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y estas aproximaciones, en lugar
de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el
valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña.
Existen varios métodos para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los
más ampliamente utilizados hace uso de la Fórmula de Taylor con la cual podemos estimar el
valor de una función en un punto, en términos del valor de la función y sus derivadas en otro.
Teorema de Taylor
Si una función 𝑓 y sus primeras 𝑛 + 1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene 𝑎
y 𝑥, entonces el valor de la función en 𝑥 viene dado por:
′ (𝑎)(𝑥
𝑓 ′′ (𝑎) 2
𝑓 (𝑛) (𝑎)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 − 𝑎) + (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛
2! 𝑛!
Hagamos algunas observaciones:
a) La Serie de Taylor de 𝑛-ésimo orden será exacta para un polinomio de 𝑛-ésimo orden.
b) 𝑓(𝑎), 𝑓 ′ (𝑎), … , 𝑓 (𝑛) (𝑎) son valores conocidos y son los coeficientes de la serie.
c) 𝑅𝑛 es el residuo o resto de la serie y representa el error cometido al tomar un polinomio
de 𝑛 términos como aproximación de 𝑓(𝑥). La expresión de Lagrange del residuo es:
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
𝑅𝑛 = (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 con 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑥)
(𝑛 + 1)!
d) No podemos conocer, exactamente, el valor de 𝜉 pero sabemos que es un punto en (𝑎, 𝑥).
e) 𝑥 − 𝑎 = ℎ es el paso.
f) 𝑅𝑛 = 𝒪(ℎ𝑛+1 ) ≡ (𝑅𝑛 ≤ 𝑘 ∙ ℎ𝑛+1 ) siendo 𝑘 un número real, es el orden del error de
truncamiento. Conocer 𝑅𝑛 = 𝒪(ℎ𝑛+1 ) permite comparar métodos.
g) La aproximación mejora si ℎ → 0 o 𝑛 → ∞, es decir, si se achica el paso o se agregan más
términos.
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
Ejemplo
Deseamos aproximar la función 𝑓(𝑥) = 0.8𝑥 3 − 1.2𝑥 2 + 0.5𝑥 + 0.4, mediante un desarrollo
de Taylor, desde 𝑎 = 1 con ℎ = 1. Esto es, deseamos predecir el valor de la función en 𝑥 = 2.
Ya que se trata de una función conocida, es posible calcular valores de 𝑓(𝑥) entre 1 y 2. El
valor verdadero en 𝑥 = 2 es 𝑓(2) = 3
𝑓(𝑥) ≅ 0.5
Como se muestra en la figura 3.1, la aproximación de orden cero es una constante. Usando
esta formulación, resulta un error de truncamiento (error verdadero) de:
𝑒𝑣 = |3 − 0.5| = 2.5
𝑓(𝑥) ≅ 1
Como se muestra en la figura 3.1, la aproximación de primer orden es una recta. Usando esta
formulación resulta un error de truncamiento (error verdadero) de:
𝑒𝑣 = |3 − 1| = 2
𝑓′′ (𝑎) 2
𝑓′′ (𝑎)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)
ℎ+ ℎ + 𝑅2 , es decir: 𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)
ℎ+ ℎ2
2! 2!
4.8 𝑎 − 2.4 2
𝑓(𝑥) ≅ 1 + ℎ
2
𝑓(𝑥) ≅ 2.2
Como se muestra en la figura 3.1, la aproximación de segundo orden es una parábola. Usando
esta formulación resulta un error de truncamiento (error verdadero) de:
𝑒𝑣 = |3 − 2.2| = 0.8
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
Ejemplo
Usando un desarrollo de Mc Laurin, obtener 𝑒 1 con 3 cifras significativas correctas.
𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + + +⋯+ + 𝑅𝑛
2! 3! 𝑛!
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
Si usamos una calculadora para calcular el valor de 𝑒 1 con seis cifras decimales tendremos:
𝑒 1 ≅ 2.718282
𝑒 1 ≅ 2.71
En este punto hay dos observaciones importantes: por un lado, la cuarta cifra significativa (que
es un 8) no puede ser asegurada como correcta por el criterio de Scarborough, por lo que
debe ser descartada; por otro lado, como no podemos saber si es correcta o no, no podemos
usar redondeo simétrico para redondear la cifra retenida.
Diferenciación Numérica
La serie de Taylor puede usarse para obtener un valor aproximado de la derivada de una
función. Sabemos que:
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
𝑓 ′′ (𝜉)
𝑓(𝑥𝑖+1 ) = 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) + 𝑅1 con 𝑅1 = (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )2
2!
Despejando:
𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑅1
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = −
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑓 ′′ (𝜉)
𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )2
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = − 2!
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 ′′ (𝜉)
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = − (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 2!
𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = ± 𝒪(ℎ) con ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
ℎ
Esta fórmula se conoce como diferencia finita dividida hacia adelante, pues, conocido el valor
de la función en un punto 𝑥𝑖 y el valor de la función en un punto 𝑥𝑖+1 , que se obtiene de sumar
un paso ℎ al valor 𝑥𝑖 , podemos estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a la
función en 𝑥𝑖 como la pendiente de la recta secante que une los puntos (𝑥𝑖 . 𝑓(𝑥𝑖 )) y
(𝑥𝑖+1 , 𝑓(𝑥𝑖+1 )).
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = ± 𝒪(ℎ) Diferencia finita dividida hacia atrás.
ℎ
𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = ± 𝒪(ℎ2 ) Diferencia finita dividida centrada.
2ℎ
Observe que el error de truncamiento en esta última es del orden de ℎ2 , en contraste con las
aproximaciones hacia adelante y hacia atrás, que fueron de orden ℎ. Esto significa que, el
análisis de la Serie de Taylor ofrece la información práctica de que la diferencia centrada es
una representación más exacta de la derivada. Para la derivada segunda:
Ejemplo
Calcular la derivada numérica de 𝑓(𝑥) = 0.8𝑥 3 − 1.2𝑥 2 + 0.5𝑥 + 0.4 en 𝑥 = 1, usando ℎ =
0.5 y ℎ = 0.25. Verificar el orden de error cometido.
𝑓(1) = 0.5
En conclusión:
Número de Condición
La condición de un problema matemático relaciona su sensibilidad con los cambios en los
datos de entrada. Se dice que un cálculo es numéricamente estable si la inexactitud de los
valores de entrada se aumenta considerablemente por el método numérico.
Ejemplo
Calcule e interprete el número de condición para:
𝜋 𝜋
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 con 𝑥̃ = + 0.1 ( )
2 2
𝜋 𝜋
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 con 𝑥̃ = + 0.01 ( )
2 2
Calcularemos el número de condición como:
𝑥̃ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥̃
𝑁𝐶 = ⇒ 𝑎) 𝑁𝐶 = −11.18 𝑏) 𝑁𝐶 = −101.04
𝑡𝑔 𝑥̃
En este caso, la causa principal del mal condicionamiento parece ser la derivada. Siendo peor
aún en el caso (𝑏). Esto tiene sentido, ya que en la vecindad de 𝜋/2, la tangente tiende tanto
a infinito positivo como infinito negativo.
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
Guía de Problemas
1. Determine el valor aproximado 𝑒 4 con al menos tres cifras significativas; para ello:
a) Calcule la tolerancia máxima del error relativo porcentual de aproximación.
b) Obtenga con una calculadora el valor de 𝑒 4 con siete cifras significativas.
c) Desarrolle 𝑒 𝑥 en Serie de Taylor centrada en cero (Serie de Mc Laurin).
d) Confeccione una tabla con los cálculos de 𝑒 4 utilizando polinomios de Taylor de grado 0, 1, 2,
3, …, 𝑛 calculando para cada uno el error relativo porcentual de aproximación hasta alcanzar
la tolerancia máxima.
e) Exprese correctamente el resultado. ¿Se obtuvieron al menos tres cifras significativas correctas
al llegar a la tolerancia? Comente.
2. Aproxime la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 mediante un desarrollo en Serie de Taylor centrado en 𝑎 = 1 y
estime 𝑙𝑛 1.2 con al menos 3 cifras significativas. Estime el error cometido con su aproximación.
3. Determine el valor aproximado de 𝑠𝑒𝑛(𝜋/3) con al menos tres cifras significativas. para ello:
a) Calcule la tolerancia máxima del error relativo porcentual de aproximación.
b) Obtenga con una calculadora el valor de 𝑠𝑒𝑛(𝜋/3) con seis cifras significativas.
c) Aproxime 𝑠𝑒𝑛(𝜋/3) con una Serie de Taylor centrada en cero (Serie de Mc Laurin).
d) Confeccione una tabla con los cálculos de 𝑠𝑒𝑛(𝜋/3) utilizando polinomios de Taylor de grado
0, 1, 2, 3, …, 𝑛 calculando para cada uno el error relativo porcentual de aproximación hasta
alcanzar la tolerancia máxima.
e) Exprese correctamente el resultado. ¿Se obtuvieron al menos tres cifras significativas correctas
al llegar a la tolerancia? Comente.
4. Aproxime 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en 𝑥 = 𝜋/6 con al menos 3 cifras significativas; para ello:
a) Calcule la tolerancia máxima del error relativo porcentual de aproximación.
b) Desarrolle 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en Serie de Taylor centrada en 𝜋/3.
c) Confeccione una tabla con los cálculos de 𝜋/6 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋/6) utilizando polinomios de Taylor de
grado 0, 1, 2, 3, …, 𝑛 calculando para cada uno el error relativo porcentual de aproximación
hasta alcanzar la tolerancia máxima.
5. Usando los pasos descriptos en el ejercicio 4 (adaptados para este caso), calcule el valor
aproximado de 𝑐𝑜𝑠(2,01) con al menos cuatro cifras significativas, con un desarrollo en Serie de
Taylor centrado en 𝜋/4.
6. Aproxime la función 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)/𝑥 mediante un desarrollo en Serie de Taylor centrado en
𝑎 = 0 y estime (𝑠𝑒𝑛 2.3)/2.3 con al menos 4 cifras significativas. Estime el error cometido con su
aproximación.
7. Calcule el valor de la raíz cuadrada de 2 con al menos dos cifras significativas, utilizando una Serie
de Taylor centrada en 1. Determine los errores relativos porcentuales de aproximación ¿Hasta
qué grado debió llegar? Estime el error cometido con su aproximación.
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
8. Utilice aproximaciones en diferencias de 𝒪(ℎ) hacia atrás y hacia adelante y una aproximación de
diferencias centrada de 𝒪(ℎ2 ) para estimar la primera derivada de la función: 𝑦 = −0.2𝑥 4 −
0.9𝑥 3 − 0.6𝑥 2 − 0.2𝑥 + 1.4. Evalúe la derivada en 𝑥 = 0.1, usando un paso ℎ = 0.2. Compare
los resultados con el valor exacto de las derivadas.
9. Estime la derivada segunda de la función del punto anterior con una aproximación de diferencias
centrada de 𝑂(ℎ2 ) en 𝑥 = 0.1, usando un paso ℎ = 0,1 y ℎ = 0,05. Compare los resultados.
10. Evalúe e interprete los números de condición para:
Respuestas
𝑥2 𝑥3
1. a) 0.05% b) 54.59815 c) 𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2!
+ 3!
+⋯
√3 1 𝜋 √3 𝜋 2 1 𝜋 3
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 − − (𝑥 − ) + (𝑥 − ) + (𝑥 − ) − ⋯
2 2 3 2 ∙ 2! 3 2 ∙ 3! 3
c) N° Término Término 𝜋/6 − 𝑠𝑒𝑛 (𝜋/6) 𝑒𝑎 [%] Nota: también se puede desarrollar
1 0.523599 0.523599 directamente como 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥, en
2 -0.866025 -0.342426 252.91 ese caso, habrá una variación en los
3 0.261799 -0.080627 324.70
datos de la tabla. No obstante, con
4 0.118713 0.038086 311.70
5 -0.011962 0.026124 45.79 más o menos iteraciones, se
6 -0.002712 0.023412 11.58 alcanzará un valor con 3 cifras
7 0.000164 0.023576 0.70 significativas correctas.
8 0.000025 0.023601 0.11
9 -0.000001 0.023600 0.00
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado
√2 √2 𝜋 √2 𝜋 2 √2 𝜋 3
5. a) 0.005% b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
− 2
(𝑥 − 4 ) − 2∙2! (𝑥 − 4 ) + 2∙3! (𝑥 − 4 ) + ⋯
Una estimación del error puede obtenerse con el resto: 𝑅16 ≅ 0.000000002
7. 𝑒𝑠 = 0.5%
N° Término Término √𝑥 𝑒𝑎 [%]
1 1.000000 1.000000
2 0.500000 1.500000 33.3
3 -0.125000 1.375000 9.1
4 0.062500 1.437500 4.3
5 -0.039063 1.398437 2.8
6 0.027344 1.425781 1.9
7 -0.020508 1.405273 1.5
8 0.016113 1.421386 1.1
9 -0.013092 1.408294 0.9
10 0.010910 1.419204 0.8
11 -0.009274 1.409930 0.7
12 0.008009 1.417939 0.6
13 -0.007008 1.410931 0.5
14 0.006199 1.417130 0.4
Se necesitó una aproximación de orden 13. Una estimación del error puede obtenerse con el
resto: 𝑅14 ≅ −0.005535
8. Derivada exacta: 𝑦 ′ (0.1) = −0.3478
Hacia adelante: 𝑦 ′ (0.1) ≅ −0.565, 𝑒𝑣 = 0.2172
Hacia atrás: 𝑦 ′ (0.1) ≅ −0.209, 𝑒𝑣 = 0.1388
Centrada: 𝑦 ′ (0.1) ≅ −0.387, 𝑒𝑣 = 0.0392
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado