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Señales Sistemas Cap1
Señales Sistemas Cap1
Señales Sistemas Cap1
2023
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 1 / 60
Contenido
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 2 / 60
Bibliografía
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 3 / 60
Evaluación
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 4 / 60
Horario de atención
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 5 / 60
Capítulo 1
Señales y Sistemas
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 6 / 60
Señales y sistemas
Señales
Las señales son funciones de una o mas variables; generalmente varían
con el tiempo. Ej: Señales eléctricas, señales acústicas, señales de
video, señales biológicas...
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 7 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales
1. De acuerdo a la certidumbre
I Aleatorias: Hay incertidumbre en el valor de la señal en todo el
tiempo.
I Determinísticas: Se pueden especificar mediante una fórmula cerrada,
un conjunto de valores o una fórmula recursiva.
2. De acuerdo a la naturaleza de la amplitud y a las características de la
variable independiente que generalmente es el tiempo.
I Continuas o analógicas: Definidas en todos los valores del continuo
del tiempo, aunque su dependencia de éste pueda soportar
discontinuidades de primer grado, esto es x(t0− ) 6= x(t0+ ). t y A son
valores continuos.
I Discretas o de tiempo discreto: Definidas en ciertos intervalos
finitos del tiempo. t discreto y A continuo. Se denota como x[n].
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 8 / 60
Señales y sistemas
-1
0 2 4 6 8 10 12
t
-1
0 2 4 6 8 10 12
-1
0 2 4 6 8 10 12
-2
0 2 4 6 8 10 12
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 9 / 60
Señales y sistemas
x(t ) x[n]
4 4
3 3
2 2
1 1
0 t 0 n
1 1
2 2
3 3
4 4
2.05
1.45
3.80
2.90
1.75
3.00
0.85
0.70
1.90
0.40
0.10
0.60
1.30
t
Intervalo de Muestreo Valor Mestreado
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 10 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales
I Cuantificadas: Es la representación de la señal muestreada mediante una serie finita de
niveles de amplitud, asignándose a cada muestra el valor más próximo a ella, dentro de
una escala de valores fijos y conocidos. t continuo y A discreto.
x(t ) x(t )
Nivel Nivel
Cuantización Cuantización 4
4
3.5 3.5
3 3
2.5 2.5
2 2
1.5 1.5
1 1
0.5 0.5
0 t 0 t
0.5 0.5
1 1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
4 4
3.00
3.80
2.05
0.10
0.70
1.90
0.60
2.90
0.85
1.30
1.45
0.40
1.75
3.00
3.80
0.85
1.45
1.75
2.05
0.10
0.70
1.90
0.60
2.90
1.30
0.40
0.5
0.5
0.5
0.5
1.5
3.5
2.5
2.5
0.5
0.5
1.5
2.5
1.5
0.5
0.5
0.5
1.5
3.5
2.5
2.5
0.5
0.5
1.5
2.5
1.5
0.5
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 11 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales
I Digitales: Son aquellas cuyos valores discretos pertenecen a un conjunto finito de valores
cuantificados. t discreto y A discreto.
Número Nivel
x(t )
Código Cuantización 4
7 3.5
3
6 2.5
2
5 1.5
1
4 0.5
0 t
3 − 0.5
−1
2 − 1.5
−2
1 − 2.5
−3
0 −3.5
−4
Valor Muestreado −0.24 2.0 − 0.25 − 2.26 − 1.25 3.25 0.77
Valor Cuantizado −0.5 1.5 − 0.5 − 2.5 − 1.5 3.5 0.5
Número de Código 3 5 3 1 2 7 4
Código Binario 011 101 011 001 010 111 100
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 12 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
1. De acuerdo a la periodicidad
I Periódicas: Una señal es periódica si hay un número positivo T tal
que x(t) = x(t + T ).
El número positivo más pequeño T es llamado el periodo, y el
recíproco del periodo es llamado frecuencia fundamental f . f = 1/T .
I Aperiódicas: Son aquellas que no poseen un valor de T que satisfagan
la ecuación x(t) = x(t + T ).
Ejemplo: Sea x(t) = sin(3t)
2
cos 3T = 1 → 3T = 2nπ. Para n = 1, T = π
3
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 13 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
Las formas de ondas senoidales son de naturaleza periódica y se expresan
como
x(t) = Acos(ωt + φ)
donde A es la amplitud de la señal, ω = 2π/T es la frecuencias angular y φ
el ángulo de fase.
x1 (t) = x1 (t + T1 ) = x1 (t + mT1 )
x2 (t) = x2 (t + T2 ) = x2 (t + nT2 )
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 14 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
Si T1 y T2 son tales que mT1 = nT2 = T . Entonces
x(t + T ) = x1 (t + T1 ) + x2 (t + T2 ) = x1 (t) + x2 (t)
Así, la condición para que x(t) sea periódica es
T1 n
=
T2 m
El periodo común más pequeño es el mínimo común múltiplo de T1 y T2 . Si la relación
n/m es un número racional, la señal x(t) es periódica, de lo contrario la señal se
denomina cuasiperiódica. Si n y m son enteros inmediatamente se confirma la
periodicidad de la señal x(t).
Ejemplo: Sea la señal x(t) = x1 (t) + x2 (t), con periodos T1 y T2 .
I
T1 2π 2
T1 = 2π, T2 = 3π → = = : Racional mcm (2π, 3π) = 6π = T
T2 3π 3
Entonces la señal x(t) es periódica con periodo T = 6π
I
T1 2π
T1 = 2π, T2 = 3 → = : Irracional
T2 3
Por lo tanto, la señal x(t) es cuasiperiódica.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 15 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
1. De acuerdo a la potencia y energía
El contenido de energía normalizada E de una señal x(t) está definida como
Z∞
E = |x(t)|2 dt
−∞
t
0
T /2
T /2
2 2 e −2at
Z
P = lim e −2at dt = lim
T →∞ T T →∞ T −2a 0
0
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 18 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
Z0 Z∞ Z∞
E= e 2at dt + e −2at dt = 2 e −2at dt
−∞ 0 0
∞
e −2at 1 1
E =2 = − [0 − 1] = < ∞
−2a 0 a a
x(t) tiene energía finita, por consiguiente, es una señal de energía.
1. De acuerdo simetría
I Pares: Una señal es par si
x(t) = x(−t)
Ejemplo: x(t) = cos t
I Impares: Una señal es impar si
x(t) = −x(−t)
Ejemplo: x(t) = sin t
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 19 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio continuo
x (t ) x (t )
t t
0 0
1
xp (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
xi (t) = (x(t) − x(−t))
2
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 20 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio discreto
1. De acuerdo la periodicidad
I Periódicas: Una secuencia (señal en tiempo discreto) x[n] es periódica
con periodo N si hay un entero N para el cual x[n] = x[n + N].
Para todo n y cualquier entero m, x[n] = x[n + mN]. El periodo
fundamental N0 de x[n] es el entero positivo más pequeño N.
I No periódicas: Una secuencia x[n] es llamada no periódica si no
cumple la condición x[n] = x[n + N].
Fórmula de Euler:
e ±jωt = cos ωt ± j sin ωt
e ±jΩn = cos Ωn ± j sin Ωn
Ejemplo: Sea la señal discreta x[n]. Se verifica su periodicidad
3π
x[n] = e j 2
n
3π 3π 3π
x[n] = x[n + N] = e j 2
(n+N)
= ej 2
n
ej 2
N
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 21 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio discreto
La igualdad se cumple siempre y cuando
3π
ej 2
N
=1
Usando la fórmula de Euler
j 3π N 3π 3π
e 2 = cos N + j sin N =1
2 2
Para que la igualdad se cumpla
3π
cos N =1
2
por consiguiente
3π 4
N = 2πm N = m
2 3
Para un valor de m = 3, N = 4.
Por lo tanto x[n] es una señal periódica con periodo N = 4.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 22 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio discreto
1. De acuerdo a la potencia y energía.
El contenido de energía normalizada E de x[n] está definida como
∞
X
E = |x[n]|2
n=−∞
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 23 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de señales en el dominio discreto
N
1 X
P = lim |x[n]|2
N→∞ 2N + 1
−N
j 3π n 3π 3π
|x[n]| = e 2 = cos n + j sin n
2 2
s
3π 2 3π
|x[n]| = cos 2 n + sin n = ±1 → |±1|2 = 1
2 2
N
1 X 1
P = lim (1) = lim (2N + 1) = 1
N→∞ 2N + 1 N→∞ 2N + 1
−N
n n
0 0
Los componentes par xp [n] e impar xi [n] de una señal discreta son:
1 1
xp [n] = (x[n] + x[−n]) xi [n] = (x[n] − x[−n])
2 2
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 25 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares
Son modelos matemáticos ideales que no aparecen en sistemas físicos. Sin
embargo, son buenas aproximaciones a ciertas condiciones restrictivas de
los sistemas físicos, permitiendo evaluar complicadas expresiones que, de
otra manera serían difíciles de resolver.
I Función signo: Se denota de la siguiente manera.
−1, t < t0
sgn(t − t0 ) = 0, t = t0
1, t > t0
sgn(t ) sgn(t − t0 )
1 1
t t
0 0 t0
−1 −1
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 26 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares
I Función impulso unitario (Delta de Dirac): Se define como una
función cuya duración tiende a cero y su amplitud tiende a infinito.
∞, t = t0
δ(t − t0 ) =
0, t 6= t0
Zb
δ(t − t0 )dt = 1, a < t0 < b
a
δ (t ) δ (t − t0 )
0
t t
0 t0
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 27 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares
δ (t )
1
a
a→0
t
a
Zb Zb
x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) δ(t − t0 )dt = x(t0 )
a a
1 1
t t
0 0 t0
Sea la función x(t) = 1. Haciendo a = −∞ y b → t, y empleando la
propiedad de selectividad en la integral
Zb Zt
1, t > t0
x(τ )δ(τ − t0 )dτ = δ(τ − t0 )dτ = = u(t − t0 )
0, t < t0
a −∞
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 30 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares
Función escalón unitario:
Zt
δ(τ − t0 )dτ = u(t − t0 )
−∞
diferenciando a ambos lados
d
δ(t − t0 ) =
u(t − t0 )
dt
Ejemplo: Hallar la derivada de la figura y graficar su resultado
p (t ) dp(t )
dt
1
t0
t0 t t
0 0
dp(t)
p(t) = u(t) − u(t − t0 ) → = δ(t) − δ(t − t0 )
dt
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 31 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares - Tiempo Discreto
I Función impulso unitario: Función impulso unitario:
1, n = 0
δ[n] =
0, n 6= 0
I Función escalón unitario:
1, n≥0
u[n] =
0, n<0
[ n] u[ n]
1 1
n n
0 0
Al igual que en el tiempo discreto, existe una relación entre la función impulso unitario y
escalón unitario. Así:
X∞
δ[n] = u[n] − u[n − 1] u[n] = δ[n − k]
k=0
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 32 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares - Tiempo Discreto
Representación de señales discretas en términos de impulsos:
Las señales discretas se pueden construir como una secuencia de impulsos
individuales
Ejemplo:
x[−1], n = −1
x[−1]δ[n + 1] =
0, n 6= −1
x[0], n = 0
x[0]δ[n] =
0, n 6= 0
La figura muestra una secuencia discreta.
x[n]
2
n n
− 4 − 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 33 / 60
Señales y sistemas
Funciones singulares - Tiempo Discreto
La representación matemática de la secuencia discreta mostrada en la
figura es:
x[n] = {1, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 2}
↑
En forma general, cualquier señal discreta puede ser representada como una
combinación lineal de impulsos desplazados.
∞
X
x[n] = x[k]δ[n − k]
k=−∞
donde x[k], son los pesos correspondientes para cada valor de la muestra n.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 34 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Continuo
1. Escalamiento de amplitud
x(t) → Ax(t)
|A| < 1 ⇒ Atenuacion
si
|A| > 1 ⇒ Amplificacion
2. Desplazamiento en el tiempo
+: Adelanto
x(t) → x(t ± t0 )
−: Retardo
3. Escalamiento en el tiempo
x(t) → x(at)
|a| < 1 ⇒ Expansion
si
|a| > 1 ⇒ Compresion
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 35 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Continuo
Ejemplo: Transformar la señal continua x(t) mostrada en la figura, a una señal dada por
la expresión
3
x(t) → x t −2
2
x(t )
2
t
2 1 0 1 2
t
0 1 2 3 4
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 36 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Continuo
(b). Escalamiento.
x t 2 x t 2
1 3
2 2
2 2
1 1
t t
0 2 4 6 8 0 23 43 2 83
x t x t
1 3
2 2
2 2
1 1
t t
4 2 0 2 4 4 3 2 3 0 23 43
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 37 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Continuo
(b). Desplazamiento.
3 4
x t
2 3
2
t
0 23 43 2 83
Ejemplo: Transformar la señal x(t) del ejemplo anterior, a la señal dada por la expresión
3
x(t) → x − t − 2
2
x t 2
3
2
2
t
8 3 2 4 3 2 3 0
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 38 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Discreto
1. Escalamiento de amplitud
x[n] → Ax[n]
|A| < 1 ⇒ Atenuacion
si
|A| > 1 ⇒ Amplificacion
2. Desplazamiento en el tiempo discreto
+: Adelanto
x[n] → x[n ± n0 ]
−: Retardo
3. Escalamiento en el tiempo
x[n] → x[Mn]
|M| < 1 ⇒ Interpolacion
si
|M| > 1 ⇒ Diezmacion
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 39 / 60
Señales y Sistemas
Transformación de señales - Tiempo Discreto
Ejemplo: Sea la secuencia x[n] dada por
x[n] = {1, 3, 4, 6, 8, 7, 9}
↑
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 40 / 60
x(t )
x(t )
Señales y sistemas
Sistemas
Un sistema es la relación funcional entre la entrada y la salida.
t Éste es
0
representado mediante una caja cerrada comunmente denominada caja
negra.
x1(t ) y1(t )
x(t ) y(t )
Γ{ ⋅} Γ{ ⋅}
xn (t ) yn (t )
x1[n] y1[n]
x[n] y[n]
Γ{ ⋅} Γ{ ⋅}
xn[n] yn[n]
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 42 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Ecuación que se puede expresar matemáticamente como
y (t) = y1 (t) + y2 (t) + . . . + yk (t)
– Ahora bien, para que el sistema discreto sea lineal, se debe cumplir que
y [n] = Γ{x[n]} = Γ{a1 x1 [n] + a2 x2 [n] + . . . + ak xk [n]}
= a1 Γ{x1 [n]} + a2 Γ{x2 [n]} + . . . + ak Γ{xk [n]}
De igual manera, se puede expresar matemáticamente como
y [n] = y1 [n] + y2 [n] + . . . + yk [n]
Así mismo, un sistema es lineal, sí, para una señal de entrada sinusoidal de la
forma
x(t) = A1 sin(ω0 t + ϕ1 )
con A1 : amplitud, ω0 : frecuencia angular y ϕ1 : ángulo de fase. La salida es
y (t) = A2 sin(ω0 t + ϕ2 )
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 43 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Un esquema general de la propiedad de linealidad se puede observar en la
figura. El esquema también aplica para el dominio del tiempo discreto.
a1 x1 (t )
x3 (t ) y3 (t ) x3 (t ) a1 x1 (t ) a2 x2 (t )
{ }
y3 (t ) a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
a2 x2 (t )
y1 (t ) a1 x1 (t ) a1 x1 (t )
y1 (t ) y2 (t ) a2 x2 (t ) a2 x2 (t )
a1 x1 (t ) { }
y3 (t ) y1 (t ) y2 (t ) a1 x1 (t ) a2 x2 (t )
y3 (t ) a1 x1 (t ) a2 x2 (t )
a2 x2 (t ) { }
y2 (t )
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 44 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
I Variantes e invariantes en el tiempo: Un sistema es invariante en el
tiempo, si un corrimiento en el tiempo de la entrada provoca el mismo
corrimiento en el tiempo en la salida.
y3 [n] = n3 x1 [n − 1] + n3 x2 [n − 1]
y3 (t) = n3 x1 [n − 1] + n3 x2 [n − 1]
se observa que son iguales, por lo tanto, el sistema es lineal.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 50 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Ejemplo: Sea el sistema continuo dado por la relación entrada - salida
y (t) = t 2 x(t − 1)
Para determinar la invariabilidad o no del sistema en el tiempo se plantean
2 pasos.
I En la primera parte se considera una variable auxiliar x1 (t) = x(t − t0 )
x1 (t) → y1 (t) = t 2 x1 (t − 1)
reemplazando x1 (t) en términos de x(t), se tiene
y1 (t) = t 2 x(t − t0 − 1)
I Para la segunda parte, no se considera una variable auxiliar
x(t − t0 ) → y (t − t0 ) = (t − t0 )2 x(t − t0 − 1)
Como se puede observar, las partes una y dos difieren en su respuesta,
hecho que confirma que el sistema es variante en el tiempo.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 51 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Ejemplo: Determinar si el sistema discreto dado por la relación entrada - salida es
invariante o no en el tiempo.
n+n
X0
y [n] = x[k]
k=n−n0
Los dos resultados son iguales, por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo.
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 52 / 60
u (t ) u (t t 0 )
1 1
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
t
Ejemplo: Determinar si es causal o 0no, el sistema continuo dado0por la
t0
relación entrada salida
y (t)u (t=
)
x(t + 1) u (t t ) 0
y6 y1 y2
0 t
2
2 1 0 1 2 3 2 2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
3 2 2
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 57 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Zt
dy (t)
= −e −t e τ x(τ )dτ + e −t e t x(t)
dt
−∞
Zt
=− e −(t−τ ) x(τ )dτ + x(t)
−∞
= −y (t) + x(t)
Como se puede observar, el resultado queda expresado en términos de la entrada x(t) y
la salida y (t). De esta manera, el sistema inverso se obtiene despejando x(t) de la
última ecuación, para obtener
dy (t)
x(t) =+ y (t)
dt
Por lo tanto el sistema es invertible y su sistema inverso es
dy (t)
z(t) = + y (t)
dt
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 58 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Ejemplo: Determinar si es invertible o no, el sistema discreto dado por la relación
entrada - salida
n n−k
X 1
y [n] = x[k]
2
k=−∞
Se debe expresar y [n], tal que la secuencia discreta de entrada x[n] pueda extraerse de la
sumatoria. En este sentido, se expande y se expresa la salida y [n] como
n n−k n−1 n−k n−n
X 1 X 1 1
y [n] = x[k] = x[k] + x[n]
2 2 2
k=−∞ k=−∞
n−1 n−k
X 1
= x[k] + x[n]
2
k=−∞
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 59 / 60
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas
Despejando la sumatoria se tiene
n−1 n−k
X 1 y [n − 1]
x[k] =
2 2
k=−∞
Juan Pablo Tello Portillo (Universidad del Norte) Señales y Sistemas 2023 60 / 60