Departamento de Máquinas y Motores Térmicos

Prof. José A. Vélez Godiño

BLOQUE II
TEMA 9 (2ª PARTE): PROPULSIÓN FLUIDODINÁMICA
1. INTRODUCCIÓN
La aceleración del propulsante se realiza en una tobera de salida:

 Químicos.
 Termoeléctricos.
 Termonucleares.

2. EMPUJE
“Resultante de las fuerzas de presión y de fricción que el propulsante ejerce sobre las
paredes internas del motor.”
Hipótesis:

 Flujo unidimensional.
 Distribución uniforme de variables fluidas.
A partir del teorema de conservación de la masa y del teorema de conservación de
conservación de la cantidad de movimiento:
𝐸 = 𝑚̇ · 𝑣2 + (𝑝2 − 𝑝3 )𝐴2

3. CONDICIONES A LA SALIDA DE LA TOBERA

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

Hipótesis:

 Conocidas las condiciones p1 y T1 de entrada a la tobera.

 Proceso isentrópico en la tobera.
 Conocida la geometría de la tobera A(x).

1
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (T, p, v, 𝜌):

 Conservación entalpía de remanso:

𝑣2
𝑇1 = 𝑇 +
2𝐶𝑃

 Proceso isentrópico:
𝛾
𝑝1 𝑇1 𝛾−1
=( )
𝑝 𝑇

 Ecuación de continuidad:
𝑚̇ = 𝜌 · 𝑣 · 𝐴

 Ecuación de estado:
𝑝 =𝜌·𝑅·𝑇

Introduciendo el número de Mach 𝑀 = 𝑣/√𝛾𝑅𝑇 en las ecuaciones anteriores:

𝑣2
𝑇1 = 𝑇 +
2𝐶𝑃
𝑀2 𝛾𝑅𝑇 2
𝛾−1 𝑇1 𝛾−1
𝑀 = 𝑣/√𝛾𝑅𝑇 ⇒ 𝑣 = 𝑀 𝛾𝑅𝑇 𝑇1 = 𝑇 + 2𝐶 = 𝑇 (1 + 𝑀
2 2 ) ⇒ = 1 + 𝑀2
𝑃 2 𝑇 2
𝛾𝑅 𝐶𝑃 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉
= · =𝛾−1
𝐶𝑃 𝐶𝑉 𝐶𝑃 }
𝛾
𝑝1 𝛾 − 1 𝛾−1
= (1 + 𝑀2 )
𝑝 2
𝛾
𝑝1 𝑝1 𝛾 − 1 𝛾−1 1
𝜌1 𝑅𝑇1 𝑝 (1 + 𝑀2 2 ) 𝛾 − 1 𝛾−1
2
= 𝑝 = = = (1 + 𝑀 )
𝜌 𝑇1 2 𝛾−1 2
𝑅𝑇 𝑇 1+𝑀 2
𝑀
𝑣 = √𝛾𝑅𝑇 · 𝑀 = √𝛾𝑅𝑇1 · 1
𝛾−1 2
(1 + 𝑀2 )
2
En la garganta de la tobera (𝑀∗ = 1):
𝑇1 𝛾−1 𝛾+1
∗
=1+ =
𝑇 2 2
𝛾 𝛾
𝑝1 𝛾 − 1 𝛾−1 𝛾 + 1 𝛾−1
∗
= (1 + ) =( )
𝑝 2 2
1 1
𝜌1 𝛾 − 1 𝛾−1 𝛾 + 1 𝛾−1
∗
= (1 + ) =( )
𝜌 2 2
1
∗
1 2 2
𝑣 = √𝛾𝑅𝑇1 · 1 = √𝛾𝑅𝑇1 · ( )
𝛾+1
𝛾−1 2
(1 + ) }
2

2
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

Asimismo, el gasto másico puede expresarse en función del valor de las distintas
variables en la garganta de la tobera:
1 𝛾+1
∗ ∗ ∗
𝑃1 1 2 2 ∗ √ 𝛾 2 𝛾−1 ∗
𝑚̇ = 𝜌 · 𝑣 · 𝐴 = · 1 · √𝛾𝑅𝑇1 · (𝛾 + 1) · 𝐴 = 𝑃1 𝑅𝑇 · (𝛾 + 1) ·𝐴 =
𝑅𝑇1 1
𝛾+1 𝛾−1
( 2 )
𝛾+1
𝑃1 𝐴∗ √ 2 𝛾−1 𝑃1 𝐴∗
= 𝛾·( ) = ·Γ
√𝑅𝑇1 𝛾+1 √𝑅𝑇1

A partir de la geometría de la tobera (“relación de expansión”) puede calcularse el

número de Mach a la salida de la tobera (M2):
𝑚̇ = 𝜌∗ · 𝑣 ∗ · 𝐴∗ = 𝜌2 · 𝑣2 · 𝐴2
𝜌1
1 1
𝛾 + 1 𝛾−1 2 2
𝐴2 𝜌∗ 𝑣 ∗ ( 2 ) √𝛾𝑅𝑇1 · (𝛾 + 1)
= · = 𝜌1 · =
𝐴∗ 𝜌2 𝑣2 𝑀2
1 √𝛾𝑅𝑇1 · 1
𝛾 − 1 𝛾−1 2𝛾−1 2
(1 + 𝑀22 2 ) (1 + 𝑀2 2 )
1 1 1
− 1 𝛾−1 ( 2 )2 · (1 + 𝑀2 𝛾 − 1)2
𝛾
(1 + 𝑀222 ) 𝛾+1 2 2
= 1 · =
𝑀2
𝛾 + 1 𝛾−1
( )
2
𝛾+1
1 2 𝛾 − 1 2(𝛾−1)
= ( (1 + 𝑀22 ))
𝑀2 𝛾 + 1 2

Una vez conocido M2 puede calcularse la presión y la velocidad a la salida de la tobera

(p2 y v2), necesarias para calcular el empuje.

4. PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS
Impulso específico:
𝐸
𝐼𝑠𝑝 =
𝑚̇ · 𝑔0

 Tiene unidades de tiempo.

 Da una idea de la “autonomía” del cohete.
 No confundir con empuje específico (“velocidad efectiva en el escape”).
Velocidad característica:
1
𝑝1 · 𝐴∗ 𝑝1 1 𝛾 + 1 𝛾−1 1
𝐶∗ = = ∗ ∗ = 𝑝1 · ( ) · 1 =
𝑚̇ 𝜌 𝑣 𝜌1 2
2 2
√𝛾𝑅𝑇1 · (𝛾 + 1)

3
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

1
𝑅𝑇1 𝛾 + 1 𝛾−1 1 1 √𝑅𝑇1
= 𝑝1 · ( ) · 1 = √𝑅𝑇1 · 𝛾+1 =
𝑝1 2 Γ
2 2 2 2(𝛾−1)
√𝛾𝑅𝑇1 · (𝛾 + 1) √𝛾 · (𝛾 + 1)

Coeficiente de empuje:
𝐸 𝐴2 𝑝3 ∗
𝐴2 𝑝3
𝐶𝐸 = = 𝐹 ( , , 𝛾) ⇒ 𝐸 = 𝑝1 · 𝐴 · 𝐹 ( , , 𝛾)
𝑝1 · 𝐴∗ 𝐴∗ 𝑝1 𝐴∗ 𝑝1

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

 Fijadas la relación de expansión y la altitud (p3), el coeficiente

de empuje crece con p1.
 Fijadas la relación de expansión y p1, el coeficiente de
empuje crece con la altitud (disminuye p3).
 Fijadas p1 y p3 (altitud), cuando la relación de expansión
crece se produce el desprendimiento de la corriente en la
parte divergente de la tobera.
 Fijadas p1 y p3 (altitud), existe una relación de expansión
óptima (tobera adaptada):
o A medida que la altitud aumenta, la relación de expansión óptima
aumenta.
o “Para maximizar el empuje sería necesario bloquear la tobera a cada
altitud”.
o En la práctica las toberas se adaptan a dos altitudes (modificación de la
relación de expansión).
 Conclusión: Para controlar el empuje:
o Actuación sobre p1.
o Actuación sobre la relación de expansión (geometría variable).

4
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

Velocidad efectiva en el escape:

𝐸 𝐴2
𝐶= = 𝑣2 + (𝑝2 − 𝑝3 ) = 𝐶𝐸 · 𝐶 ∗
𝑚̇ 𝑚̇

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

5
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

5. BALANCE ENERGÉTICO

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

Rendimiento propulsivo (sistema de aceleración): Relación entre la potencia útil y la

potencia cinética del chorro (útil + residual).
𝐸·𝑢 𝐸·𝑢 𝑢
𝜂𝑃 = = = =
1 1 𝐸 1 1
𝐸 · 𝑢 + 𝑚̇(𝑐 − 𝑢)2 𝐸 · 𝑢 + · (𝑐 − 𝑢)2 𝑢 + · (𝑐 − 𝑢)2
2 2 𝑐 2 𝑐
𝑢·2·𝑐 𝑢·2·𝑐
= = =
𝑢 · 2 · 𝑐 + (𝑐 − 𝑢)2 𝑢 · 2 · 𝑐 + 𝑐 2 + 𝑢2 − 2 · 𝑢 · 𝑐
𝑢
𝑢·2·𝑐 2·
= 2 = 𝑐
𝑐 + 𝑢2 𝑢 2
1+( )
𝑐
El rendimiento propulsivo se hace máximo cuando la velocidad efectiva es igual a la
velocidad de vuelo.
Rendimiento interno (sistema de generación): Relación entre la potencia cinética del
chorro y la potencia consumida por el motor (hipótesis: cohete químico).
1
𝐸 · 𝑢 + 2 𝑚̇(𝑐 − 𝑢)2
𝜂𝐼𝑁𝑇 =
𝑃𝐶𝐻𝐸𝑀
Rendimiento motor: Relación entre la potencia útil y la potencia consumida por el
motor.
𝐸·𝑢
𝜂𝑀 = = 𝜂𝑃 · 𝜂𝐼𝑁𝑇
𝑃𝐶𝐻𝐸𝑀

6
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

6. ANEXO: IMÁGENES COMPLEMENTARIAS

The RZ.2 by Rolls-Royce design for a liquid oxygen / kerosene-fuelled to power the Blue Streak missile. Mechanics and
thermodynamics of propulsion. Hill, P. G. & Peterson, C. R. Addison-Wesley Publishing Company.

Rocket and spacecraft propulsion: principles, practice and new developments. Turner, M. J. Springer Science &
Business Media.

7
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

Vostok launcher. Rocket and spacecraft propulsion: principles, practice and new developments. Turner, M. J. Springer
Science & Business Media.

8
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

J-2 engine (upper stages of Saturn V), first using liquid H and liquid O2. Re-startable. 1960s. Rocket and spacecraft
propulsion: principles, practice and new developments. Turner, M. J. Springer Science & Business Media.

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

9
 Departamento de Máquinas y Motores Térmicos
Prof. José A. Vélez Godiño

Mechanics and thermodynamics of propulsion. Hill, P. G. & Peterson, C. R. Addison-Wesley Publishing Company.

Rocket propulsion elements. Sutton, G. P. & Biblarz, O. John Wiley & Sons.

10