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    Variables

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    Jajaira Toapanta
    Este documento describe variables aleatorias discretas y sus funciones de probabilidad. Explica que una variable aleatoria discreta puede asumir solo valores contables y define la función de probabilidad como la asignación de probabilidades a cada posible valor de la variable. También introduce la función de distribución acumulativa y ofrece ejemplos para ilustrar conceptos como la distribución binomial.

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    Variables

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    Este documento describe variables aleatorias discretas y sus funciones de probabilidad. Explica que una variable aleatoria discreta puede asumir solo valores contables y define la función de probabilidad como la asignación de probabilidades a cada posible valor de la variable. También introduce la función de distribución acumulativa y ofrece ejemplos para ilustrar conceptos como la distribución binomial.

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    Este documento describe variables aleatorias discretas y sus funciones de probabilidad. Explica que una variable aleatoria discreta puede asumir solo valores contables y define la función de probabilidad como la asignación de probabilidades a cada posible valor de la variable. También introduce la función de distribución acumulativa y ofrece ejemplos para ilustrar conceptos como la distribución binomial.

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    de 20

    escuela superior politecnica

    de chimborazo
    ESTADISTICA
    1. MAYRA TOAPANTA
    2. BANHY CLAVIJO
    3. KEVIN KUDCO
    4. BRAYAN CHILIQUINGA
    VARIABLES ALEATORIAS
    DISCRETAS Y SUS
    FUNCIONES DE PROBABILIDAD
    VARIABLE
    SABEMOS ALEATORIA
    Una variable aleatoria es una función que

    QUE: asigna un valor numérico, al resultado de


    un experimento aleatorio. Recordemos que
    el resultado de un experimento aleatorio
    depende del azar.
    VARIABLE
    ALEATORIA
    DISCRETA
    Una variable aleatoria
    discreta es aquella que
    puede asumir un número
    contable de valores.

    CARACTE_
    RÍSTICAS
    Tienen una cantidad finita de
    valores.
    Se miden con conteos y
    enumeraciones
    Son más exactas que las variables
    continuas.
    POR EJEMPLO:
    Si realizamos el experimento de salir a calle y seleccionar 10 personas
    al azar para un examen sorpresa de matemáticas, podemos definir la
    variable aleatoria A:
    A = número de personas que aprobaron el examen.
    Los valores que asume A (en su rango), van del 0 al 10.
    El rango lo expresaríamos de la siguiente manera:
    RA = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
    La variable aleatoria A asume un número contable de valores, por ello,
    es una variable aleatoria discreta.
    Sea una V.A. discreta X, que
    toma los valores x1, x2, ...,
    xn y se conocen las
    probabilidades de que la
    variable X tome dichos
    FUNCION DE valores.
    PROBABILIDAD Una función de probabilidad
    no es más que la asignación
    a cada valor de la variable
    de la probabilidad que le
    corresponde, se lo
    representa con f(x).
    Es decir: f(xi)= P(X=xi)
    A cada valor de la
    variable aleatoria xi le
    hacemos corresponder
    una probabilidad
    esperada teórica pi .
    Se representa
    CARACTERÍSTICAS gráficamente mediante
    un diagrama de barras.
    La suma de todas las
    probabilidades
    esperadas es uno.
    la función de probabilidad tiene que cumplir con 2 propiedades:
    1) La probabilidad de cada valor de la variable aleatoria debe estar entre 0 y 1.

    2) La suma de las probabilidades asignadas a todos los valores de la variable


    aleatoria debe ser 1.

    Es importante indicar que la función de probabilidad en una variable aleatoria


    discreta también es llamada función de masa de probabilidad o distribución de
    probabilidad.
    Función de
    La función de distribución
    distribución acumulativa especifica la
    acumulativa de probabilidad de que una
    variable aleatoria sea menor
    una variable o igual a un valor dado y se
    aleatoria representa por F (X) .
    discreta

    La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta, nos indica la probabilidad de que
    la variable aleatoria sea igual a un valor determinado. Pero la función de distribución
    acumulativa especifica la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual que un
    valor dado. A la función de distribución acumulativa la denominamos F(x) y su fórmula es la
    siguiente:

    Propiedades importantes:
    Los valores de F(x) se encuentran siempre en Además, para la función de distribución
    este intervalo: 0 ≤ F(x) ≤ 1. acumulativa de la variable aleatoria
    F(x) no es una función decreciente. discreta, se cumple que:

    DISTRIBUCIONES DISCRETAS
    IMPORTANTES
    De las distribuciones discretas importantes (distribución Binomial).

    Una variable aleatoria X tiene una distribución Binomial de parámetros n y p si


    cuenta el número de veces que ocurre un suceso denominado éxito cuando se
    repite n veces.
    El suceso contrario de éxito se suele llamar fracaso y su probabilidad es
    q = 1 − p.

    La variable aleatoria Binomial de parámetros n y p será denotada por: B(n, p).


    La afirmación “X tiene una distribución Binomial de parámetros n y p” será
    denotada por: X ≡ B(n, p).
    EJEMPLO Una moneda tiene en sus caras,
    un gato y un perro. Encuentra
    la función de probabilidad en

    #1 forma de tabla para la


    variable aleatoria x sabiendo
    que x = número de perros al
    lanzar la moneda 2 veces.
    SOLUCIÓN
    EJEMPLO Sea X el número de gatitos
    vendidos en un día en una
    veterinaria. Encontrar la

    #2 función de distribución
    acumulada de X a partir de su
    función de probabilidad.
    SOLUCIÓN:

    F(X)=P (X≤X)
    F(0)=P (X≤0) = P (X= 0) = F(0)=0.5
    F(1)=P (X ≤ 1) = P (X = 0 . 1) = P (X = 0) + P (X= 1) = F(0)+ F(1) = 0.5+0.3 = 0.8
    F(2)=P (X ≤ 2) = P (X = 0 , 1 . 2) = P (X = 0) + P (X= 1) + P (X= 2) = F(0)+ F(1) + F(2) = 0.5+0.3 +0.1= 1
    EJEMPLO
    De los usuarios de un centro de documentación,
    el 23 % pertenece al grupo 1 de edad (menos
    de 20 años). Supongamos, también, que la
    población es suficientemente grande como para
    #3
    que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no
    se altere dicho porcentaje. Realizamos el a) Hallar el conjunto de los posibles resultados
    experimento que consiste en elegir al azar tres de la variable aleatoria X, así como su función
    usuarios del centro de documentación y de probabilidad.
    observar la variable aleatoria X=número de b) Determinar la función de distribución de X y
    usuarios que pertenecen al grupo 1 de edad, hacer su representación gráfica.
    entre los tres elegidos al azar c) Hallar la probabilidad de que el número de
    usuarios que pertenecen al grupo 1 sea menor
    que dos.
    d) Calcular la media y la desviación típica de X.
    SOLUCIÓN
    X ≡ B(n = 3, p = 0,23)

    Siendo n=3, p=0,23 y q=1-p=0,77


    Explícitamente, la función de probabilidad viene dada en la siguiente tabla:

    b)
    La función de distribuci´on, para todo valor de t, es la siguiente:

    c)
    P(X < 2) = 0,865634

    d)Media= µ = n p = (3) (0,23) = 0,69 usuarios,


    Varianza= σ^2 = n p q = (3) (0,23) (0,77) = 005313 usuarios^2
    Desviación típica= σ = 007289 usuarios
    Johnson, R. y Kuby, P., (2012). Estadística elemental. 11a ed.
    Ciudad de México: Cengage Learning, p.231.
    Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y
    ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, p.95.

    BIBLIOGR_
    DeGroot, M.H. (1988). Probabilidad y Estadística. (2ª Ed.).
    Addison‐Wesley Iberoamericana. ISBN 0‐ 201‐64405‐3.
    Martín Pliego, F.J. (2004). Introducción a la Estadística
    Económica y Empresarial. (Ed.) Thomson. Madrid.

    AFÍA
    Mendenhall, W.; Reinmuth, J.E. (1978). Estadística para
    administración y economía. (Ed.) Grupo Editorial
    Iberoamericana. ISBN 968‐7270‐13‐6.
    Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México:
    McGraw-Hill, p.92.
    Johnson, R. (2012). Probabilidad y estadística para
    ingenieros, Miller y Freund. 8a ed. Estado de México:
    Pearson, p.84.
    Wisniewski, P. (2014). Estadística y probabilidad. 1ra ed.
    México: Editorial Trillas, p.114.

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