UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE SANTIAGO, UTESA

SISTEMA CORPORATIVO.
Recinto Mao.
Facultad de arquitectura e ingeniería.
Ingeniería industrial.

Presentado por:

María del C. Almánzar F. / Matricula 1-20-7100

Tema:

Resumen capítulos 24, 25 y 26.

Asignatura:

Métodos numéricos y su laboratorio.

Profesor:

Ing. Modesto Beltran, M.A.

Mao, Valverde.
República Dominicana.
Abril 21, año 2023.
Introducción

En este resumen se estarán desarrollando los temas de integración y diferenciación

numérica, que no es más que una técnica que permite calcular una aproximación a la

derivada de lo que conocemos como una función. A su vez, el método de Runge-Kutta

que es un conjunto de métodos iterativos implícitos y explícitos para la aproximación de

soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor

inicial. Finalmente, el método rígido y de pasos múltiples que consiste en varios pasos o

continuos, utilizando valores de varios pasos calculados para obtener el valor de Y n+1,

para este método existen numerosas fórmulas que se estarán en el presente.

Capítulo 24: Integración y diferenciación numérica.

No es un secreto que en la ingeniería química se emplean cálculos de la cantidad de calor

en forma rutinaria, así como en muchos otros campos de la ingeniería. Permite que la

determinación de la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un material

es un problema con el que a menudo se enfrentan los seres humanos. La característica

necesaria para llevar a cabo estos cálculos es la capacidad calorífica c. Este parámetro

representa la cantidad de calor requerida para elevar una unidad de temperatura en una

unidad de masa. Si C es constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el

calor requerido delta H se calcula mediante:

H = mc deltaT.

A continuación, se presenta un ejemplo:

Estos cálculos se realizan utilizando una regla de Simpson 1/3 con seis segmentos

calculándose una estimación de la integral 42732, donde este resultado se sustituye con

la ecuación 24.4 para obtener el valor de delta H.

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras (ing. Civil

– ambiental).

En la figura 1a se muestra una sección transversal de un bote de carreras. Las fuerzas del

viento (f), ejercidas por pie de mástil de los botes varían como una función de la distancia

por arriba de la cubierta del bote (z), como se muestra en la figura 1b. Calcularemos la

fuerza de tensión T en el cable izquierdo que soporta el mástil; además, se supone que el

cable derecho que soporta el mástil está por completo flojo y que el mástil une la cubierta

de modo que transmite fuerzas horizontales y verticales, pero no momentos. Y

Suponiendo que el mástil permanece vertical.

Figura 1

a) Sección transversal de un bote de carreras.

b) Fuerzas del viento ejercidas por pie de mástil como una función de la distancia z por

arriba de la cubierta del bote.

Esta integral no lineal es difícil de evaluar en forma analítica. Por lo tanto, en este

problema es conveniente emplear procedimientos numéricos, como las reglas de Simpson

y la del trapecio. Esto se lleva a cabo al calcular f(z) para diferentes valores de z y después

utilizar la ecuación (21.10) o la (21.18).

Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración numérica

(ing. Eléctrica).

Se dice que el valor promedio de una corriente eléctrica oscilante en un periodo puede ser

cero. Por ejemplo, suponga que la corriente se describe por una senoide simple> i(t) = sen
(2pi/T), en donde T seria el periodo. El valor promedio de esta función se determina

mediante la siguiente ecuación:

Tomando en cuenta el hecho de que el resultado total es cero, dicha corriente es capaz de

realizar trabajo y generar calor. Por consiguiente, los ingenieros eléctricos a menudo

caracterizan esta corriente por:

En donde i(t) sería la corriente instantánea.

A continuación, un ejemplo aplicando este método:

Integración numérica para calcular el trabajo (ing. Aeronáutica).

Trabajo = fuerza * distancia.

Este es un principio básico de todas las ingenierías. Cuando esto se le presentó en cursos

de física en niveles superiores, se mostraros algunas aplicaciones simples para esto. Por

ejemplo: si 10lb se usaba para jalar un bloque a través de una distancia de 15ft, el trabajo

que se obtiene con esta fórmula es de 150lb * ft.

A continuación, se presenta un gráfico al respecto:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: las ecuaciones de orden superior pueden reducirse a

un sistema de ecuaciones de primer orden. Para la ecuación mostrada anteriormente se

logra al definir una nueva variable y, donde y=dx/dt.

Si esto se deriva con respecto a T se obtienen los siguientes pasos:

Es así como se demuestra que as ecuaciones diferenciales de primer orden, equivalentes

a la ecuación de segundo orden original. Como otras ecuaciones diferenciales a la

ecuación de segundo orden original. Como otras ecuaciones diferenciales de n-esimo

orden pueden reducirse en forma similar, esta parte de nuestro libro se concentra en la

solución de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Antecedentes matemáticos de esta práctica.

Estas ecuaciones también se describen con el comportamiento del polinomio, pero de una

manera diferente a la ecuación. Más que representar explícitamente los valores de y y

cada valor de c, la ecuación de la razón de cambio de y con respecto a x. para cada valor

de x.
Capítulo 25: método de Runge-Kutta.

En este capítulo se estarán desarrollando ecuaciones diferenciales del tipo dy/dx=f(x,y).

En el capítulo 1 se utilizó un método numérico para resolver una ecuación como la

anterior, para el cálculo de la velocidad del paracaidista en una caída.

De acuerdo con esto, la pendiente estimada se usaba para extrapolar desde un valor

anterior yi a un nuevo valor yi+1. Esta fórmula se aplicará paso a paso para calcular un

valor posterior y, por lo tanto, para trazar la trayectoria de la solución.

Método de Euler: establece que la primera derivada ofrece una estimación directa de la

pendiente xi. Esta fórmula se conoce como el método de Euler porque predice un nuevo

valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada del valor original de x) para

extrapolar sobre el tamaño de paso h.

Dy/dx= 2x^3+12x^2-20x+8.5

Desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso 0.5. la condición inicial en x=0 es y=1.

Recordar que la solución exacta está dada por la ecuación anterior.

A continuacion se anexa grafico correspondiente:

En este grafico podemos presenciar que el cálculo capta la tendencia general de la

solución verdadera, el error resulta considerable. Como se explica en la siguiente sección,

es posible reducir tal error usando un tamaño de paso menor.

Análisis de error para el método de Euler: se basa en varios pasos.

1. Errores de truncamiento, originados por la naturaleza de las técnicas empleadas

para aproximar los valores de y. estos se componen de dos partes. La primera es

un error de truncamiento y la segunda es un error de truncamiento propagado que

resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de

los dos es el error de truncamiento global o total.

2. Errores de redondeo, causados por el número limitado de cifras significativas que

una computadora puede retener.

Estimación de la serie de Taylor para el error del método de Euler.

Esta permite solo una estimación del error de truncamiento local, es decir, el error

generado durante un solo paso del método. No ofrece una medida del error propagado,

por lo tanto, ni el error de truncamiento global.

Como se mencionó anteriormente, en problemas reales por lo común se tienen

funciones más complicadas que simples polinomios. En consecuencia, las derivadas

que se necesitan para obtener la expansión de la serie de Taylor no siempre serán

fáciles de calcular.

Efecto de un tamaño de paso reducido en el método de Euler.

Los efectos de algunas reducciones del tamaño de paso sobre el error de truncamiento

global se ilustran a continuacion. Esta grafica muestra el error relativo porcentual

absoluto en x=5 en función del tamaño de paso para el problema que se estudió en los

ejemplos anteriores.

Algoritmo para el método de Euler.

El algoritmo para las técnicas de un paso como el método de Euler son muy simples

de programar. Como se especificó al inicio de este capítulo, todos los métodos de un

paso tienen la forma general.

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso.

En lo único que difieren los métodos es en el cálculo de la pendiente. Este programa

principal toma grandes pasos de salida y llama a una rutina denominada integrator
que hace los pasos de cálculo más pequeños. Observe que los ciclos que controlan

tanto los pasos grandes como los pequeños terminan basándose en condiciones

lógicas. Así, los intervalos no tienen que ser divisibles entre los tamaños de paso. La

rutina integratos llama después a la rutina Euler que realiza un solo paso con el método

Euler.

Métodos de Runge-Kutta.

Los métodos de runge-kutta logran la exactitud del procedimiento de la serie de

Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior. Existen muchas

variantes. Son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la

aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente,

del problema de valor inicial.

Capítulo 26: métodos rígidos y de pasos múltiples.

Rigidez: constituye un problema especial que puede surgir en la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias. Un sistema rígido es aquel que tiene componentes

que cambian rápidamente, junto con componentes de cambio lento. En muchos casos,

los componentes de variación rápida son efímeros, transitorios, que desaparecen,

después de lo cual la solución es dominada por componentes de variación lenta.

Aunque los fenómenos existen solo en una pequeña parte del intervalo de integración.

Métodos de pasos múltiples: los procedimientos alternativos, llamados de pasos

múltiples o multipasos. Se basan en que, una vez empezado el cálculo, se tiene a

disposición información de los puntos anteriores. La curvatura de las líneas que unen

esos valores previos ofrecen información respecto a la trayectoria de la solución. Los

métodos de pasos múltiples explorados en este capítulo aprovechan tal información

para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior,

presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las

características generales de los procedimientos multipaso.

El método de Heun sin auto inicio

Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local respectivamente.

Esto sugiere que el predictor es la parte débil en el método, a causa de que tiene el

error más grande. Esta debilidad es significativa puesto que la eficiencia del paso

corrector depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una forma

de mejorar el método de Heun consiste en desarrollar un predictor que tenga un error

local.

Método de Heun sin auto inicio

Ya empleamos conceptos gráficos para deducir el método de Heun sin auto inicio.

Ahora se mostrarán como las mismas ecuaciones se pueden deducir en forma

matemática. Tal y como es interesante y especial porque vincula los conceptos de

ajuste de curvas de integración numérica y las EDO.

Esta modificación no tiene efecto en el resultado final del siguiente paso del corrector.

Sin importar si se usan los predictores modificados o no modificados, el corrector, al

final, convergerá a la misma respuesta. No obstante, como la rapidez o eficiencia de

convergencia depende de la exactitud de la predicción inicial, la modificación puede

reducir el número de iteraciones requerido para la convergencia.

Fórmulas de integración: el método Heun sin auto inicio: es característico de la

mayoría de los métodos de pasos múltiples. Emplea una fórmula de integración

abierta (el método del punto medio) para realizar una estimación inicial. Este paso
predictor requiere un punto previo. Después de aplica de manera iterativa una fórmula

de integración cerrada (la regla del trapecio) para mejorar la solución.

Formulas abiertas: para n valores igualmente espaciados, las formular abiertas se

pueden expresar en la forma de una solución para una EDO, como se hizo antes para

la ecuación.

Fórmulas de Adams: las fórmulas de Adams se deducen de varias formas. Una

técnica consiste en escribir una expansión hacia delante de la serie de Taylor.

La inestabilidad del método de Milne se debe al corrector. En consecuencia, se han

realizado intentos para rectificar el defecto al desarrollar correctores estables. Una

alternativa usada comúnmente que emplea este procedimiento es el método de

Hamming, el cual utiliza el predictor de Milne y un corrector estable.

El lector en este método encontrara información adicional sobre este y otros métodos

de pasos múltiples en muchas fuentes.

Conclusión

Durante el desarrollo de estos tres capítulos pudimos ver los diferentes métodos de

integración, de runge-kutta que es un método poco conocido para las personas que lo

aplican en conclusión indica que el error por paso es del orden. En el caso de la

diferenciación e integración numérica sirve como herramienta en el cálculo

diferencial y en métodos numéricos en cálculo diferencial es una herramienta

poderosa a la hora de encontrar cambios de funciones de variable real mediante el

concepto de derivada de una función, mientras que el cálculo integral permite

encontrar la primitiva de una función cuando se conoce su representación extrapolada.