SEGUNDA UNIDAD

2. LAS LEYES DE KIRCHHOFF Y SUS APLICACIONES

2.1. Introducción:

Antes de enunciar las leyes de Kirchhoff, es de suma importancia saber reconocer las
partes de un circuito eléctrico.

➢ Nodo: Es el punto de unión de 2 o más elementos ya sean estos activos o pasivos.

Ej. Los nodos A, B, C y D
➢ Rama: Es una parte del circuito que contiene un elemento activo o pasivo. Ej.
Ramas BC, CD, AC… etc.
➢ Malla: Es cualquier trayectoria cerrada conformada por las ramas del circuito. Ej.
Mallas ACBA, ADBA, DCBD… etc.
2.2. Las leyes de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff son dos:

- 1ra Ley (ley de corrientes) (ley de nodos)

- 2da Ley (ley de tensiones) (ley de mallas)

Las cuales están basadas en el principio de conservación de carga y energía

respectivamente.

2.2.1. Primera Ley (Ley de Corrientes)

Esta ley establece que “En todo nodo de un circuito, las intensidades de corriente que de
él parten”

∴ En todo nodo de un circuito

 ∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = ∑ 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑒𝑛

𝐼: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Ejemplo:

Definiendo en un gráfico:

A B

A, B, C y D ⟹ elementos activos o pasivos → aplicación 1ra Ley en nodo A.

∑ 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛 = ∑ 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑠𝑎𝑙𝑒𝑛

⟹ 𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖2 = 𝑖4

2.2.2. Segunda ley (Ley de tensiones o voltajes)

Esta ley establece que “En cualquier trayectoria cerrada de un circuito las subidas de
voltaje en él, es igual a las caídas de voltaje en el mismo”.

⟹ En toda malla de un circuito:

∑ 𝑉𝑠𝑢𝑏𝑒𝑛 = ∑ 𝑉𝑐𝑎𝑒𝑛

𝑉: 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠
Ejemplo:

1, 2, 3, 4,5 y 6 ⟹ Elementos activos o pasivos → Aplicando 2da Ley en mallas ACDA

∑ 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠𝑠𝑢𝑏𝑒𝑛 = ∑ 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠𝑐𝑎𝑒𝑛

→ 𝑉4 = 𝑉1 + 𝑉2

2.3. Conexiones de resistencias

2.3.1. Resistencias en serie

𝑉𝑇 = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3

𝑉𝑇 = 𝑖 ∗ 𝑅1 + 𝑖 ∗ 𝑅2 + 𝑖 ∗ 𝑅3
 𝑉𝑇
𝑉𝑇 = 𝑖 ∗ (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 ) … 𝑠𝑖: 𝑅𝑒𝑞 =
𝑖

𝑉𝑇
= 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
𝑖
𝑛

→ 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 ⟹ 𝑅𝑒𝑞 = ∑ 𝑅𝑖
𝑖=1

2.3.2. Resistencias en paralelo

𝐼𝑇 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3

𝑉1 𝑉2 𝑉3
𝐼𝑇 = + + ; 𝑆𝑖: 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑉𝑇
𝑅1 𝑅2 𝑅3
1 1 1
𝐼𝑇 = 𝑉𝑇 ∗ ( + + )
𝑅1 𝑅2 𝑅3
𝐼𝑇 1 1 1 𝐼𝑇 1
= + + … 𝑆𝑖: =
𝑉𝑇 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑉𝑇 𝑅𝑒𝑞
𝑛
1 1 1 1
→ = + + ⟹ 𝑅𝑒𝑞 −1 = ∑ 1⁄𝑅
𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑖
𝑖=1

⟹ 𝐸𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 → 𝐺𝑒 = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 ⟹ 𝐺𝑒 = ∑𝑛𝑖=1 𝐺𝑖

⟹ 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 2 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠

𝑅1 ∗ 𝑅2
⟹ 𝑅𝑒 =
𝑅1 + 𝑅2

⟹ 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 "n" 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 → 𝑅𝑖 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅𝑛 = 𝑅

𝑅𝑒 = 𝑅𝑒𝑞

𝑅
𝑅𝑒 = ; 𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑛
 2.3.3. Resistencias en 𝒀 → ∆ ó ∆ → 𝒀

∆→𝐘 𝐘→∆

𝑅𝑎 ∗ 𝑅𝑏 𝑅1 ∗ 𝑅2 + 𝑅2 ∗ 𝑅3 + 𝑅1 ∗ 𝑅3
𝑅1 = 𝑅𝑎 =
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅2

𝑅𝑏 ∗ 𝑅𝑐 𝑅1 ∗ 𝑅2 + 𝑅2 ∗ 𝑅3 + 𝑅1 ∗ 𝑅3
𝑅2 = 𝑅𝑏 =
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅3

𝑅𝑎 ∗ 𝑅𝑐 𝑅1 ∗ 𝑅2 + 𝑅2 ∗ 𝑅3 + 𝑅1 ∗ 𝑅3
𝑅3 = 𝑅𝑐 =
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 𝑅1

⟹ Conclusión

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡. 𝑎𝑑𝑦. 𝑒𝑛 ∆ 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑. 𝑒𝑛 𝑌

De: ∆→ 𝑌 = De: 𝑌 → ∆ =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 3 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡. 𝑒𝑛 ∆ 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑌

⟹ Casos Particulares

• Si 𝑅𝑎 = 𝑅𝑏 = 𝑅𝑐 = 𝑅 • Si 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅

⟹𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 =
𝑅 ⟹𝑅𝑎 = 𝑅𝑏 = 𝑅𝑐 = 3𝑅
3
 2.4. Dipolos pasivos y resistivos excitados
2.4.1. El divisor de tensión (Fuente de tensión en serie con resist.)

𝐸
𝐼= … … … … … . (1)
𝑅𝑒𝑞

Si se desea encontrar cualquier tensión parcial 𝑒1 , 𝑒2 𝑜 𝑒3

𝐸
→ 𝑒1 = 𝑅1 ∗ 𝐼 = 𝑅1 ( )
𝑅𝑒𝑞

𝑆𝑖: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 … … … … . (2)

⟹ (2) en (1)

𝐸
𝑒1 = 𝑅1 ∗
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3

Generalizando

𝐸 ∗ 𝑅𝑖
𝑒𝑖 =
𝑅𝑒𝑞

Esta expresión sirve para hallar una tensión parcial cualquiera a partir de la tensión total
 2.4.2. El divisor de corriente (Fuente de corriente en paralelo con resistencia)

𝐼 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3

1 1 1 1
= + +
𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3

𝐺𝑒𝑞 = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3

𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 = 𝑉

𝐼
⟹ 𝑉 = 𝐼 ∗ 𝑅𝑒𝑞 → 𝑉=
𝐺𝑒𝑞

Si deseamos hallar una corriente parcial cualquiera 𝑖1 , 𝑖2 𝑜 𝑖3

𝑉1 𝐼
𝑖1 = = 𝑉1 ∗ 𝐺1 ; 𝑆𝑖: 𝑉 =
𝑅1 𝐺𝑒𝑞

De (*) →

𝐼 𝐼 ∗ 1⁄𝑅1
𝑖1 = ∗ 𝐺1 → 𝑖1 =
𝐺𝑒𝑞 1⁄𝑅1 + 1⁄𝑅2 + 1⁄𝑅3

Generalizando:

𝐼∗𝐺1
• En función de (G) → 𝑖1 =
𝐺𝑒𝑞

𝐼∗1⁄𝑅1
• En función de (R) → 𝑖1 =
1⁄𝑅𝑒𝑞
Caso particular de dos resistencias

𝐼 ∗ 𝑅2
𝑖1 =
𝑅1 + 𝑅2

𝐼 ∗ 𝑅1
𝑖2 =
𝑅1 + 𝑅2

2.5. Fuentes reales de energía:

En realidad, las fuentes de energía tanto de tensión como de corriente no son

independientes uno del otro, sino que siempre están ligados. Esto significa que las fuentes
de tensión como la de corriente entregan energía solo cuando coexisten la tensión y la
corriente entre sus bornes.

Según este concepto se tiene 2 tipos de fuentes reales:

a. Fuente real de tensión

b. Fuente real de corriente
 2.5.1. Fuente real de tensión

Una fuente real de tensión, físicamente está constituido por una fuente ideal de tensión de
f.e.m. “E” conectado en serie con una resistencia “𝑅𝑖 ” al cual se le denomina resistencia
interna de la fuente de tensión:

𝑉𝑅 ≤ 𝐸

2.5.2. Fuente real de corriente

Una fuente real de corriente, físicamente está constituido por una fuente de corriente ideal
“I” conectado en paralelo con una resistencia “𝑅𝑖 ” al cual se le denomina resistencia
interna de la fuente de corriente.

𝐼𝑅𝐿 ≤ 𝐼
 2.5.3. Equivalencias entre fuentes reales de energía

Para que dos circuitos sean equivalentes, el principio básico es que ambos sean
equivalentes en sus ecuaciones Volt-Amper (V-A), en tal caso resulta evidente la
siguiente transformación.

𝐸 = 𝐼 ∗ 𝑅𝑖 𝐸
𝐼=
𝑅𝑖

Polaridad de fuentes

2.6. Circuitos resistivos con fuentes ideales y su equivalencia con fuentes reales

Un circuito resistivo conectado a una fuente de energía ideal, puede ser transformada a
varias fuentes reales. Presentándose en forma común, dos casos:

a. Circuito con fuente de tensión ideal

b. Circuito con fuente de corriente ideal
2.6.1. Circuito con fuente de tensión ideal
 2.6.2. Circuito con fuente de tensión ideal

2.7. Instrumentos de Medición

2.7.1. Voltímetro

Instrumento utilizado para medir la diferencia de potencial entre dos puntos de un

circuito.

Estos instrumentos se conectan en paralelo y para nuestro caso se consideran instrumentos

ideales es decir de resistencia interna

𝑅𝑖 = ∞ → [𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜]

2.7.2. Amperímetro

Instrumento utilizado para medir la intensidad de corriente que circula por una
determinada rama de un circuito.

Estos instrumentos se conectan en serie y para nuestro caso se consideran instrumentos

ideales, es decir que su resistencia interna sea

𝑅𝑖 = ∅ → [𝐶𝑜𝑟𝑡𝑜𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜]