Fluido

INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA I FACULTAD REGIONAL
APUNTES DE LA CÁTEDRA VENADO TUERTO
MOVIMIENTO DE UN CUERPO EN UN FLUIDO VISCOSO
Fluido con régimen laminar

En este apunte, se describe el movimiento vertical de una esfera de masa m y de radio R,
en el seno de un fluido viscoso, en régimen laminar.
Descripción
La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se
supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido), y una
fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el
flujo se mantiene en régimen laminar).
El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el

producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.
De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la

densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la
gravedad.
La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su

expresión se denomina ley de Stokes
donde η es la viscosidad del fluido.
La ecuación del movimiento será, por tanto,
La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la

resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.
Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Despejamos la velocidad límite vl
La ecuación del movimiento es
donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πRη
Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en

función del tiempo.
Obtenemos
Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad

límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si
representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen
una asíntota horizontal en v=vl.
Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición

x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el
instante inicial t=0.
se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo,
vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional
al tiempo t.
Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno
de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro
Caída libre En el seno de un fluido viscoso

La velocidad es proporcional al La velocidad tiende hacia un
tiempo valor constante
El desplazamiento es proporcional al El desplazamiento es
cuadrado del tiempo. proporcional al tiempo.
Movimiento en el vacío.
La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente
acelerado.
Variación de la viscosidad en función de la temperatura.

Se utiliza la máquina de Atwood medir la viscosidad de un fluido a diferentes
temperaturas.
La máquina de Atwood

La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la

aplicación de la segunda ley de Newton. Como vemos en
la figura, consta de dos cuerpos de masas m1 y m2 unidos
por una cuerda que pasa por una polea. En la versión más
simplificada, se supone que la cuerda es inextensible y
sin peso, y que la polea tiene masa despreciable y gira sin
rozamiento en el eje.
En la página titulada “Dinámica de rotación y balance

energético”, se estudia la máquina de Atwood teniendo
en cuenta la masa de la polea.
En esta figura, se representan las fuerzas que actúan

sobre cada una de las masas, y la aceleración a,
suponiendo que m1>m2. Si T es la tensión de la cuerda, la
segunda ley de Newton para cada una de las dos cuerpos
se escribe
m1a=m1g-T
m2a=T-m2g
En este sistema dos ecuaciones, despejamos la

aceleración a
Medida de la viscosidad de un fluido

El cuerpo de masa m1 es una pequeña esfera de radio R que cae en el seno de un fluido
de densidad ρ, cuya viscosidad η deseamos determinar.

Las fuerzas que actúan sobre m1 son:
• El peso m1g
• La tensión de la cuerda T
• La fuerza de empuje E, que por el principio de
Arquímedes vale
• La fuerza de rozamiento Fr. Según la ley de

Stokes vale Fr=6πR·η·v, siempre que el número de
Reynolds sea menor que la unidad, Re<1
Cuando la masa m1 cae, alcanza rápidamente una velocidad límite constante Midiendo
con un cronómetro el tiempo t, que tarda la esfera en descender una altura x, obtenemos
la velocidad límite vl=x/t. Conocida la velocidad límite calculamos la viscosidad η del
fluido.
Cuando la velocidad es constante o la aceleración es cero, las ecuaciones del

movimiento de los dos cuerpos se escriben
m1g-T-E-Fr=0
T-m2g=0
Despejamos la velocidad límite vl de fuerza de rozamiento Fr.
Variación de la viscosidad con la temperatura

La viscosidad disminuye muy rápidamente a medida que se incrementa la temperatura.
La relación entre las dos magnitudes viene dada por la fórmula empírica

η=a·exp(b/T)
donde T es la temperatura en kelvin, y a y b son dos parámetros que dependen del tipo
de líquido. Para la glicerina se ha tomado a=4.289·10-12, b=7786.1. Para T=20ºC=293 K
la viscosidad es
La figura muestra la representación gráfica de esta función, en el eje horizontal la

temperatura se expresa en grados Celsius.
Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme

Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso
es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, y las ecuaciones del
movimiento son las estudiadas en la página caída de los cuerpos.
Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento
proporcional al cuadrado de la velocidad.
Caída libre antes de la apertura del paracaídas

El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se

considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo.
Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño.
Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el

lugar de lanzamiento y el eje X apuntando hacia arriba).
a=-g v=-gt x=x0-gt2/2
Cuando se ha abierto el paracaídas
El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una

fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.
ma=-mg+kv2
La constante de proporcionalidad k=ρAδ/2
• ρ es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este
cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m3.
• A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire,
• δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto
En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetos
Forma del objeto Valor aproximado de δ

Disco circular 1.2
Esfera 0.4
Avión 0.06

Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico
que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores
dados para estas dos formas en la tabla, es decir, δ=0.8.
Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su

velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constante vl, que se obtiene cuando el
peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la aceleración es cero.
-mg+kv2=0
El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista

en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en las figuras.
Ecuación del movimiento
La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de

la forma
Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en

cualquier instante t. Las condiciones iniciales son: v0 es la velocidad del paracaidista en
el instante t0 en el que abre el paracaídas.

Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la

velocidad, haciendo un cambio de variable
La ecuación del movimiento se transforma en
Que se puede integrar de forma inmediata
La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es
Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista.

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MOVIMIENTO DE UN CUERPO EN UN FLUIDO VISCOSO

Fluido con régimen laminar

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su

donde η es la viscosidad del fluido.

La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Despejamos la velocidad límite vl

La ecuación del movimiento es

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πRη

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Caída libre En el seno de un fluido viscoso

Variación de la viscosidad en función de la temperatura.

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la

En la página titulada “Dinámica de rotación y balance

En esta figura, se representan las fuerzas que actúan

En este sistema dos ecuaciones, despejamos la

Medida de la viscosidad de un fluido

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Las fuerzas que actúan sobre m1 son:

• La fuerza de rozamiento Fr. Según la ley de

Cuando la velocidad es constante o la aceleración es cero, las ecuaciones del

Despejamos la velocidad límite vl de fuerza de rozamiento Fr.

Variación de la viscosidad con la temperatura

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

La figura muestra la representación gráfica de esta función, en el eje horizontal la

Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme

Caída libre antes de la apertura del paracaídas

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se

Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el

a=-g v=-gt x=x0-gt2/2

Cuando se ha abierto el paracaídas

El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una

La constante de proporcionalidad k=ρAδ/2

En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetos

Forma del objeto Valor aproximado de δ

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su

El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la

La ecuación del movimiento se transforma en

Que se puede integrar de forma inmediata

La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es

Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista.

Movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso

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