Guia Derivadas PDF

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
FACULTAD DE CIENCIA EXACTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
FMM 180- CÁLCULO PARA LA GESTIÓN
GUÍA DE EJERCICIOS: DERIVADAS
1.- Obtenga f ' ( x ) para las siguientes funciones:

x+ x
a) f ( x ) =
x−2 x
16 − 13
d) f ( x ) = 1 − 3 x 2 + Resp: − 2
3
x − 16
x2
x
( 1 − x )2 2 x + x x − 2 x −1
e) f ( x ) = Resp.: x2
x
g) f ( x ) = 2e x + ln x Resp.: 2e x + 1
x
1
j) f ( x ) = x− Resp.: 1
2 x
+ 1
3
x 2x 2
x+1
k) f ( x ) = Resp.: − 2
x−1 ( x − 1 )2
l) f ( x ) = x ⋅ x2 + 1 Resp.: 3 x2 +1
2 x ⋅ x2 +1
2.- Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva:

2
− x2
a) y = xe xy' = ( 1 − x 2 ) y
b) y = xe − x xy' = ( 1 − x ) y
d) y = e x y' ' + xy' − y = xe x
x 2e x d2y dy
3.- Demuestre que y = satisface la ecuación diferencial 2
−2 + y = ex.
2 dx dx
4.- Existe un polinomio P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d tal que:

P ( 0 ) = P ( 1 ) = −2 ; P' ( 0 ) = −1 ; P' ' ( 0 ) = 10 . Calcular a, b, c y d.
5.- Si el costo de manufacturar x artículos es C(x) = x 3 + 20 x 2 + 90 x + 15 , halle la función de

costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artículo
número 50. Resp.: C' ( 50 ) = 9590 ; C ( 50 ) − C ( 49 ) = 9421
6.- Si el costo de producir “q” unidades de un artículo está dado por C ( q ) = q 2 − 50 q + 800 ,
determine el costo marginal para un nivel de producción de 100 unidades.
7.- La demanda semanal de televisores plasmas es:
p = 600 − 0.05 x 0 ≤ x ≤ 12.000
Donde p denota el precio en dólares y x la cantidad demandada. La función del costo total semanal
vinculada con la producción de estos televisores está dada por:
C ( x ) = 0.000002 x 3 − 0.03 x 2 + 400 x + 80000 donde C(x) denota el costo total de producción de x
televisores.
a) Encuentre la función Ingreso R y la función de Ganancia P
b) Encuentre la función de Costo Marginal C’, la función de Ingreso Marginal R’ y la función de
ganancia marginal P’.
( )
c) Encuentre la función de Costo Promedio C asociada a la función de costo C( x ) .
d) Encuentra la función de Costo Promedio Marginal
8.- la función de consumo para la economía de Estados Unidos de 1929 a 1941 es:
C ( x ) = 0.712 x + 95.05 donde C(x) es el gasto personal y x es el ingreso personal, ambos en
miles de millones de dólares. Encuentre la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. A
esta cantidad se le denomina Propensión marginal al consumo.
9.- Para las siguientes funciones, determine los puntos críticos, indicando si representan máximos,
mínimos o ninguno de ellos.
a) y = x2 + 5x − 1. Resp: x = − 52 min.
b) y = x 5 − 20 x 2 + 1 . Resp: x = 0 máx; x = 2 min
c) y = x3 + 3x + 1. Resp: no existe máximo ni mínimo.
d) y = −x + 4x + 2 .
2
Resp: x = 2 max.
e) y = x4 − 3x3 + 2 . Resp: x = 0 no es máximo ni mínimo; x = 3
2
min.
10.- Las utilidades de una empresa para los primeros once años de vida están dados por
U ( t ) = 2 t − 36 t + 162 t − 50 donde U: ingreso en $ y t: tiempo en años.
3 2
Determine:
a) El trazado de la gráfica U(t)
b) En que años se regístrale mínimo y el máximo de la utilidades Resp: t = 9 ; t = 3
11.- Si el costo de producción de q artículos es C ( q ) = 14 q + 35q + 25 , y el precio de venta de

2
cada artículo es p = 50 − 12 q , determine:

a) La producción que maximiza la Utilidad Resp: 10 artículos
b) La Utilidad máxima Resp: 50 U.M.
12.- Un vendedor de bicicletas ha determinado que el costo anual del inventario “C” depende del
número de bicicletas ordenadas “q”, mediante la función:
4860
C( q ) = + 15 q + 750000
q
Determinar:
a) El número de bicicletas que se deben ordenar para que el costo anual del inventario sea mínimo.
Resp: 18 bicicletas
b) El valor del costo mínimo. Resp: 750540
13.- Determine el nivel de producción que maximice la ganancia en una empresa en donde las
x2 x
funciones de costo y demanda son : C ( x ) = 3800 + 5 x − p( x ) = 50 −
1000 100
( No olvidar que Ingreso (x) = x P(x) ) Resp: 2250 unidades
14.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:

C ( q ) = 50.000 + 20 q + 0.0001q 2
I ( q ) = 60 q − 0.004 q 2
a) Calcule las funciones de costos e ingresos marginales, y calcule cuantas unidades se deben
producir para que se tenga que los ingresos marginales sean iguales a los costos marginales.
b) Encuentre cuántas unidades maximizan la utilidad. Recuerde que
Utilidad = Ingreso – Costo. Compare con la respuesta dada en a). Resp.: a) 4878 b) 4878

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1.- Obtenga f ' ( x ) para las siguientes funciones:

2.- Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva:

4.- Existe un polinomio P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d tal que:

5.- Si el costo de manufacturar x artículos es C(x) = x 3 + 20 x 2 + 90 x + 15 , halle la función de

11.- Si el costo de producción de q artículos es C ( q ) = 14 q + 35q + 25 , y el precio de venta de

cada artículo es p = 50 − 12 q , determine:

14.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:

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