Objetivos

- Expresar correctamente el resultado de una medición utilizando los

conceptos básicos de la teoría de errores.
- Calcular los intervalos absolutos de los diferentes tipos de errores en las
mediciones.
- Estudiar de forma analítica la propagación del error en operaciones
matemáticas básicas.

Descripción teórica

Parte A. Medición directa

Se entiende por error de una medición directa a la desviación existente entre el
resultado de la medición de una magnitud física y el valor verdadero de esta. El
error es algo implícito en todo proceso de medición y se puede clasificar para un
mejor entendimiento de los mismos en las siguientes categorías:
- Errores del sistema o sistemáticos.
- Errores aleatorios o accidentales.

Se considera un error sistemático aquel producido por defectos en el método o en

el instrumento de medición. También los cambios ambientales que puedan afectar
nuestras mediciones se consideran errores sistemáticos. Cuando un instrumento o
aparato no está calibrado, o se encuentra defectuoso, introduce este tipo de error
en las medidas. La forma en que se puede minimizar o reducir su efecto es
mediante la calibración cuidadosa de los instrumentos, revisando periódicamente
el equipo, aplicar factores de corrección, poniendo cuidadosa atención a los
detalles cuando efectuamos mediciones y cálculos o usar más de un método para
medir los parámetros. Este tipo de error se puede estimar mas no cuantificar. En
nuestras experiencias utilizaremos frecuentemente: el metro, el vernier y el tornillo
micrométrico; por lo tanto, la precisión inherente (error sistemático) a estos
instrumentos estará dado por la calibración del mismo, es decir, la menor división
de escala del aparato.

Tabla N°1
Aparato Precisión (P)
Regla en mm 1.0 mm
Vernier 0.05 mm
Tornillo micrométrico 0.005 mm

El error aleatorio o instrumental se produce por causas imposibles de controlar,

alterándose los resultados de la medición de forma aleatoria, por lo tanto, estos
errores siempre van a existir y solo pueden minimizarse realizando una misma
medición muchas veces utilizando el mismo instrumento. Se puede cuantificar
aplicando el análisis estadístico a las medidas registradas para obtener la mejor
estimación o aproximación al valor de la magnitud media y su desviación.
El resultado de una medición (valor más probable), debe expresarse de la
siguiente manera:
x=x ± δx

Donde x es la media aritmética de todas las medidas y δx representa la

incertidumbre, o margen de error absoluto.

El resultado de una medición es exacto si se acerca o aproxima al valor verdadero

de una magnitud. La exactitud está relacionada con los errores sistemáticos y la
precisión está ligada con los errores aleatorios. Puede ocurrir que se tenga una
medida muy precisa, pero inexacta o que una medida sea exacta, pero imprecisa.

Los métodos estadísticos pueden ser muy útiles para la determinación del valor
más probable de una cantidad partiendo de un grupo limitado de datos. También,
se puede calcular el error probable de una observación y la magnitud de la
incertidumbre en la mejor respuesta obtenida. Las leyes de probabilidad
empleadas en estadística solo trabajan con errores aleatorios y no con errores
sistemáticos. Así los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación
con los aleatorios si han de ser significativos los resultados de la evaluación
estadística.

Las magnitudes estadísticas que se emplean cuando se dispone de una muestra

de n datos, son definidas a continuación:

n
1
1. Valor promedio o valor medio: x= ∑x
n i =1 i

2. Dispersión o desviación del valor promedio: δ x i=x i−x

i=n
1
3. Dispersión media: δx= ∑|δ x i|
n i=1

n
1
4. Varianza o desviación cuadrática media: σ = ∑ ( δ xi )
2 2
n i=1

√
n
1
5. Desviación normal o estándar: σ x = ∑
n−1 i=1
( δ xi)
2
 σx
6. Desviación estándar de la media (incertidumbre) o error aleatorio: δ x =
√n
7. Valor más probable (VMP) de la medida: x=x ± δ x

δx
8. Error relativo: ε r=
x

9. Error porcentual: ε %= ( δx )100 %

x

Análisis indagatorio
 ¿Por qué cuando se mide varias veces una misma magnitud, el resultado
varía?
R/ Es porque las mediciones están sujetas a una serie de factores que
influyen en los resultados obtenidos y en sus incertezas. Estos factores son:
el objeto a medir, el aparato o instrumento que es utilizado para realizar la
medición, la unidad o patrón de comparación, el operador y el medio en
donde es medido. Todo esto debe ser realizado bajo un protocolo ya
establecido.
 ¿Existirá alguna medición absolutamente exacta?
R/ La medida exacta no existe, lo que sí existe es el grado de exactitud. La
medida exacta es inalcanzable por cuanto toda medida o medición siempre
estará afectada por un grado de incertidumbre o error que, aun siendo
inevitable, puede ser minimizable. Conforme los instrumentos de medición
se hacen más sofisticados, el grado de error disminuye, con lo que las
mediciones arrojan resultados cada vez más exactos
 ¿Qué diferencia existe entre exactitud y precisión?
R/ La exactitud indica cuán cerca está una medición del valor verdadero de
la cantidad medida. Los científicos distinguen entre exactitud y precisión. La
precisión se refiere a cuán estrechamente concuerdan entre sí dos o más
mediciones de la misma cantidad.
La diferencia es que en la exactitud una cierta cantidad de datos son muy
cercanos entre sí, pero están alejados de un determinado patrón, mientras
que en la precisión los datos son muy cercanos entre sí y están cerca del
valor real o el patrón.
Procedimiento:
1. Construya un péndulo de aproximadamente 1 m de
longitud.
2. Apártelo de la vertical de tal modo que forme unos 10°
con la misma,
3. Mida el tiempo que tarda en cumplir 10 oscilaciones
completas y anótelo en la primera columna de la
tabla. 10°
4. Repita el procedimiento del punto 3 unas 15 veces.
5. Realice los cálculos necesarios para determinar el
valor más probable del período de oscilación.
 Cálculos y análisis de resultados
T 10 ( s) Ti ( s)= T 10/10 (s) |T i−T | ( s) (Ti−T )²
17.97 1.797 0.009 0.000081
18.06 1.806 0.018 0.000324
17.57 1.757 0.031 0.000961
17.61 1.761 0.027 0.000729
17.83 1.783 0.005 0.000025
17.92 1.792 0.004 0.000016
18.03 1.803 0.015 0.000225
18.10 1.810 0.022 0.000484
17.84 1.784 0.004 0.000016
17.85 1.785 0.003 0.00009
18.19 1.819 0.031 0.000961
17.79 1.779 0.009 0.000081
17.70 1.770 0.018 0.000324
∑=232.46 23.246 0.196 ∑=¿ ¿
∑= =1.7881≈ 1.788 ∑= =0.0150 ≈ 0.015
13 13

Utilizando la Tabla, calcule:

a. Valor promedio o media aritmética:
n
1 23.246
x= ∑x
n i =1 i
¿Σ
13
=1.788 s

i=n
1
b. La Dispersión media: δx= ∑|δ x i|
n i=1
0.196
δχ = δχ =0.015
13

c. La desviación cuadrática media o varianza:

( x− x )2 1
n
σ 2=∑ σ 2= ∑ ( δ xi )2
n n i=1
2 0.004317
σ =
13
z −4
σ =3,32× 10
 σx=
√ 0.004317
12
σx= √ 3.5975 ×10−5
d. La desviación estándar:

√
−3
n σx=5.99 x 10
1
σ x= ∑ ( δ x i )2
n−1 i=1

e. Error aleatorio (incertidumbre)

σx 5.25× 10
−3
−3
δ x= = =1.45 ×10
√n √ 13

f. Error relativo:
δ x 1.45 × 10−3 −4
ε r= = =8.1 ×10
x 1.788

g. Error porcentual:

ε %= ( δx )100 %
x

ε %=8.1 ×10−2 %
¿ 0.0081 %

h. Valor más probable del periodo del péndulo:

x=x ± δ x

¿ 1.788 ±1.45 ×10−3

1.788+1.45 ×10−3=1.8025
−3
1.788−1.45× 10 =1.7735
Análisis de resultados
Aplique la propagación de error en las siguientes situaciones teniendo en cuenta
las cifras significativas:
1. Sea un cilindro recto de (26.8 ± 0.7) cm de radio y (96.82 ± 0.18) cm de altura.
Determinar el valor de la media de:
a. El área lateral del cilindro.
A L =2 πrh

√( )( )
2 2
0.7 0.18
A L =2 π (26.8)(96.82) ±(26.8)( 96.82) +
26.8 96.82
A L =(5189.6 ± 104)π cm2
b. El volumen del cilindro.
2
V =π r h
V =π ¿
V =π ( 718.24 ±37.92) ( 96.82± 0.18 )
5 3
V =(2.18 x 10 ± 197.1)π cm

c. La densidad del cilindro si la masa es (285.08 ± 0.16) g.

m
d=
v
5
285.08 (285.08) ( 197 ) +(2.18 x 10 )(0.16)
d= ±
2.18 x 105 (2.18 x 105 )
−3 −6 3
d=(1.31 x 10 ± 1.92 x 10 ) g/cm

2. Sabiendo que los valores de tres variables independientes son:

x=( 2.6 ± 0.7 )

y= ( 42.6 ± 0.3 )

z=( 16.49 ± 0.25 )

Calcular el valor de las medidas de los siguientes parámetros definidos a

continuación:
 √x
a) H ( x , y )=3 π 2
y

( ( ))
1 1
2 2 1 0.7
(2.6) ±(2.6)
2 2.0
H ( x , y )=3 π
2
(42.6) ±(42.6) 2
2
( ( ))0.3
42.6

H ( x , y )=( 2.66 x 10 ±3.57 x 10 ) π

−3 −3

√
2
20 x y
b) G ( x , y , z )=
π z3

G ( x , y , z )=
20
π
(2.6 ± 0.7)
2

√
(42.6 ±0.3)
(16.49 ±0.25)
3

20 ( 6.52± 0.02)
G ( x , y , z )= (6.76 ± 3.64)
π ( 66.96± 1.52)

20
G ( x , y , z )= (0.69 ± 0.39)
π

G ( x , y , z )=(4.39 ± 2.48)

3. Calcule la medida del área de una arandela de radios (26.8 ± 0.5) mm,
(55.08 ± 0.15) mm: interno y externo respectivamente.

A=π (r 2e −r 2i )

A1=9531mm2 εA 1=0.00385

A2=2256mm2 εA 2=0.0264

A=7275mm2 εA =0.0267

A=( 7275± 0.0267 ) mm2

4. Un objeto en caída libra recorre una altura de (280.25 ± 0.02) m en un tiempo

transcurrido de (7.56 ± 0.20) s. determine la medida de la aceleración de la
gravedad con estos datos.
1 2
Y −Y o=V o y t− g t
2
 −1 2
Y= gt
2
2y
g= 2
t

2
t=(7.56) ± ( 2 )( 7.56 )
2
( 0.20
7.56 )
=(57.2 ± 3)

−(560.5 ±0.04)
g=
(57.2 ±3)

g=−
[ 560.5 ( 560.5 ) ( 3 ) +(57.2)(0.04)
57.2
±
(57.2)2 ]
m
g=−(9.80 ± 0.5) 2
s

5. De acuerdo con la ley de Snell, el índice de refracción de la luz cuando un haz

luminoso refracta sobre el vidrio es dado por:
sin φ1
n=
sin φ2

Donde φ 1 y φ 2 son los ángulos de incidencia y refractado respectivamente. Si los

0 0
ángulos mencionados tienen valores de φ 1=( 20 ±1 ) y φ 2=( 13 ±1 ) , demuestre que
el valor del índice de refracción debe ser: n=( 1.5 ±0.1 ) .

sin(20 ±1)
n=
sin(13 ±1)

0.34 ±0.07
n=
0.22± 0.07

√( )(
0.017 2 0.017
)
2
n=1.54 ± 1.54 +
0.34 0.22

n=(1.54 ± 0.14)

6. Calcule el valor más probable de la aceleración gravitacional, mediante

datos obtenidos de la medición del periodo de oscilaciones del péndulo
 simple de la tabla n. °4 de la parte A, sobre mediciones directas, donde
obtuvo el valor más probable del periodo del péndulo simple.

∑ g i=120.417
m
∑ δgi =2.03 s2
∑ (δg i )2 =0.455874=4.558 x 10−1
Valor promedio de la gravedad
δg i m
g= =9.263 2
n s

Dispersión media
δgi m
δ T =∑ =0.156 2
n s
Desviación cuadrática media

σ 2=
∑ (δ g i¿ )2 =3.50 x 10−2 ¿
n
Desviación estándar

σ g=
√ ∑ ( δ gi ¿ )2 = √3.799 x 10−2=1.95 x 10−1 ¿
n−1
Error aleatorio (incertidumbre)
σg 1.95 x 10−1 −2
δg= = =5.406 x 10
√n √ 13
El valor más probable de la aceleración gravitacional
VMP=g ± δ g

−2 m
VMP=9.263 ±5.406 X 10 2
s
Glosario

 Calibración: es el proceso de comparar los valores obtenidos por un

instrumento de medición con la medida correspondiente de un patrón de
referencia (o estándar).
 Cifras significativas: aportan alguna información. Representa el uso de una
o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones.
 Desviación estándar: es una medida de dispersión para variables de razón
y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la
variable.
 Error absoluto: es la diferencia entre el valor exacto y el valor obtenido por
la medida.
 Error aleatorio: es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos
imposibles de controlar durante el proceso de medición.
 Error relativo: Este error resulta del cociente entre el error efectivo y el valor
medio.
 Magnitud: Propiedad de los cuerpos que puede ser medida, como el
tamaño, el peso o la extensión.
 Parámetros: elemento o dato importante desde el que se examina un tema,
cuestión o asunto.
 Péndulo: es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u
otra característica física y que está configurado por una masa suspendida
de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro
dispositivo que sirve para medir el tiempo.
 Valor medio: como su nombre indica es un promedio aritmético, o media
aritmética, de un conjunto de medidas realizadas a una determinada
magnitud física.
Conclusiones
En este laboratorio hemos aprendido a identificar correctamente una medición
utilizando los conceptos básicos aprendidos durante este laboratorio para ponerlo
en práctica en cualquier medición, ya que, se sabe que hay un número infinito de
factores que pueden causar que un valor obtenido experimentalmente se desvíe
del valor verdadero.
El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor
de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. A demás La
exactitud se refiere a cuán cercana está una medición del valor real de la cantidad
medida. Y La precisión se refiere en cuánto concuerdan dos o más mediciones de
una misma cantidad. Mediante la realización del experimento llegamos a las
conclusiones que los resultados arrojados por la evaluación del péndulo y los
tiempos adquiridos no siempre presentaran los mismos resultados, debido a que
existen variaciones en las mediciones, dicho esto podemos decir con certeza que
no podemos dar una medición exacta, pero si una aproximación de esta.
También pudimos observar la facilidad en la cual se pueden tener variaciones
incluso en las mediciones más minúsculas que, pueden afectar las mediciones a
gran escala y a las mediciones indirecta. Se comprende la importancia de la teoría
de errores gracias a esto.

Referencias bibliográficas

FISICA I, Guía de laboratorio. Manuel Fuentes, Jovito Guevara, Otón Poveda,

Salomón Polanco. Editorial Tecnológica.
Anexos