Programación Lineal, Un Enfoque Gerencial

universidadCentrocciden tnt
Osandro Alvarado.
Oecnnato d' Administrnei6n Contaduria.
JinnLl
Catogeeo Guzxettn.
Francisco Guzzetta
INDICE
INTRODUCCION
OBJETIVOS 3
JUSTIFICACION 4
METODOLOGIX 5
CAPITULO l.
l. EL MODELO DE
PROGRAMACIONLINEAL. 6
1.1. Introduccióna la programació nlineal.. 7
12. Definiciones básicas de programaciónlineal. 8
1.3. Suposiciones de la programaciónlineal.
1.4. Formulación del modelode programaciónlineal. 11
Problemas propuestos- Capítulo I 24
CAPITULO ll
ll. METODOGRAFICO DE SOLUCION DEL MODELODE PROGRAMACION
LINEAL . 36
2.1. Problemade maximización. 37
2.2. Problema de minimización. 42
2.3. Soluciones múltiples.. 46
2.4. Problemas nosolubles. 47
Problemas propuestos- Capítulo ll 48
CAPITULO III
III. EL METODOSIMPLEX.. .52
3.1. Introducción 53
3.2. Pasos del métodosimplex. 54
58
3.3. Caso de maximización
68
3.4. Caso de minimización.
3-5. Casos especiales que puedenencontrarseal aplicar el métodosimplex, 73
73
3.5. t. Modelo no soluble.
3.5.2 Modelo lilmltado. 74
3.5.3. Modelo . 75
Problemas 77
- Capitulo III
CAPITULO IV
tv. EL PROBLEMA DUAL Y EL ANALISIS DE SENSIBILIDAD. 82
4.1. El problem adual.. .83
4.2. Aplicación del método simplex al dual y la relación de la

86
solución con el primal
89
4.3. Interpretación económica de las variables duales
4.4. Análisis de sensibilidad. . 90
91
4.4.1. Cambios en los límites de las restricciones
.96
4.42. Cambios en los coeficientes de la función objetivo.
4.4.3. Cambios en los coeficientes de las variables en las restricciones .

98
4.4.4. Incorporaciónde nuevas redricciones.

. 103
106
4.4.5. La incorporació nde nuevas variables al problema ...........................
Problemas - CapituloIV . 109
CAPITULOV
V. USO DE PAQUETES COMPUTARIZADO SPARA LA RESOLUCION
DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIO NLINEAL . . 113
114
5.1. Introducción.......................................................................................................
5.2. Pasos a seguir para utilizar el QSB para resolver problemas
de programaciónlineal... . 115
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.. ..... .. .. .. ...123
La programación lineal es una técnica matemática de gran utilidad en el campo gerencial,
que consiste en la optimización de una

función lineal la cual está sujeta a una serie de
restricciones lineales; es decir, un modelo de programación lineal es una representación lineal de
algunos procesos gerenciales donde el tomador de decisiones desea determinar dentro de todas
las altemativas posibles

aquella que optimice una función, ya sea maximizar las utilidades o
minimizar los costos, logrando una asignación eficiente de los recursos disponibles (especialmente
cuando estos recursos son
limitados).
Debido a la complejidad de problemas que confrontanlas organizaciones, la programación

lineal brinda a la gerencia una herramientaimportante,la cual le ayuda en el proceso de toma de
decisiones de una manera científica. De allí, la importancia que representa la programación lineal
en la formación de los alumnos que cursan estudios en Administración , es decir, prepararlos con
una base científica para el proceso de toma de decisiones.
Este trabajo tiene como finalidad proporcionarmaterial de apoyo teórico - práctico a los
alumnos cursantes del programa de estudio de la asignatura Instrumentos Cuantitativos; en los
siguientes capítulos .
Capítulo I.
Referido a • el modelo de programación lineal •, haciendo énfasis en definiciones
básicas de la programación lineal, supuestos de la programación lineal y
formulación de problemas gerenciales aplicando la programación lineal.
CapítuloII.
Se desarrollan aspectos relativos al método gráfico de solución del modelo de
programación lineal.
Capítulo 111.
Trata sobre la aplicación del método simplex para resolver problemas de

Capítulo IV.
Referido al problema dual y al análisis de sensibilidad aplicado a los
problemas de programaciónlineal.
Capitulo V.
de programación
uso de paquetes computarizadospara resolver los problemas
lineal.
desarrollo teórico -
El trabajo se caracteriza por presentaren cada uno de los capítulos un
de problemas
prácticode los tratados. Al final de cada capítulose presentanuna serie
propuestos.
capítulos, son el
Tanto la teoría como los problemaspresentado sen cada uno de los
Cuantitativos, de
productode la experiencia lograda en la enseñanzade la asignatura Instrumento
bibliográficasde
experiencia de problemasreales que confronta nciertas empresas, de consultas
investigación de
revistas especializadas en el área y de textos de programaciónlineal e
operaciones en general.
que el
Para la mejor comprensiónde los aspectos aquí desarrollados,se hace necesario
tales
alumno o lector en general maneje y domine los conocimientosprevios de matemáticaI,
aspectos
como: función, ecuación, inecuación,sistemas de ecuaciones y su gráficación, y otros
y
gerenciales tales como: ingreso, costos, utilidad,producción,costos fijos, costos variables
ciertos términos financieros.
2
CAPITULO I
El Modelode Programación Lineal

l. EL MODELO DE PROGRAMACIÓNLINEAL
LL - a la
Las organizaciones, sean estas pequeñas o grandes, confrontansituaciones donde
el procesode toma de decisiónesta basadoen un análisis cuantitativopara alcanzar la
meta deseada. Generalmente, el problemaconside en lograr una asignación eficiente de
los recursos con la finalidad de maximizar los beneficios, o minimizar los costos; o utilizar
la capacidad de produccióna los máximos niveles. Un ejemplo típico ocume en la
industria cuando se desea optimizar la medida de eficiencia ( maximizar beneficios o
minimizar costos ) asignando en forma óptima los recursos disponibles para la elaboración
de ciertos productos,sujeto el procesoa restriccionesde la cantidad disponiblede cada
recurso,de la cantidadmínimao máximade cada productode

, la calidad del produdo
etc...
La programaciónlineal, es una técnica que se utiliza para resolver este tipo de

problemas de asignación; la cual consiste en la optimización ( maximización o
minimización ) de una función lineal sujeta a un conjunto de ecuaciones y/o inecuaciones
lineales, llamadas restricciones (el término • lineal • indica que todas las funciones o
ecuaciones utilizadas en el modelo son de primer grado con respecto a todas las
variables). El problemade la programaciónlineal fue concebido por George B Dantzig
en 1.947 mientrastrabajabacomo asesor matemáticopara las Fuerzas Aéreas de los
Estados Unidos. Luego, en 1.949, George Dantzig publica el método simplex para
resolver los problemasde programaciónlineal. Desde entonces un gran número de

3
personas han contribuidoen el campo de la programaciónlineal en varios aspectos,
incluyendonuevas aplicaciones, desarrollosteóricos y aspectos de computación.como el
7
uso de paquetes de programaciónlineal tales como: QSB., STORM„ LPI LINDO., etc...
que ayudan a agilizar los cálculos de los problemasde programación lineal.
En este capítulo se tratan los siguientestópicos: definicionesbásicas en la

programaciónlineal, supuestos do la programaciónlineal. áreas de aplicación de la
programación lineal, formulación de problemas gerenciales.
búlcz do
Considere el siguienteproblemade programaciónlineal :
Obtener el mínimo de la siguiente funciónlineal,
Minimizar coq+C2X2+C3X3+
cuando esta función está sujeta a las siguientes restricciones lineales:
ali XI + a12X 2+ + + bi
+ aznXn b2
amiXI + am2X2 +am3X3+
La formulación del modelo matemático de programación lineal en forma condensada

sería:
n
Minimizar f = Pnq»q
n
Sujetoa (s.a. ) :
(Para 3 ...„.m y j = i n)•
8
La funciónque se desea optimizarse le conoce como función pbietlvo, siendo en este
caso: Minimizar f = Cl XI + + '(3 +

Los coeficientes Cf, Ca, cs cn son los coeficientesde cpqp y
son las variables de decisién a ser determinadas.
Los coeficiente sa, ( para i 1, 2, 3 n ), son llamados los
coeficientes tecnológicos.
Los inecuaciones E a. b, representanlas restriccionesfuncionalesdel problema,
pudiendoser estas restricciones en forma de ecuaciones ( = ), o inecuaciones (2 0
El término (i = 1. 2, 3 m ) es referidocomo el vector del lado derecho de las
restricciones o término independientey representa el requerimientomínimo a satisfacer y
las restricciones XI , 0, se les conocencomo las restriccionesde
ng neqatividady significa que las variables de decisión no pueden tomar valores
negativos.
La programaciónlineal tratade encontrarel máximo o el mínimo de una función
lineal ( función objetivo ) de n variables no negativas, la cual esta sujeta a restricciones
( ecuaciones y/o inecuaciones ) lineales, es decir que se utiliza un modelo matemático
para describir el problema y la formulación de este modelo incluye los siguientes
elementos:
- Variables de decisión
- Función objetivo
- Restriccione funcionalesy
s
- Restricciones de no negatividad.
9
ú la
Para representarun problemade programaciónlineal diversas suposiciones están
implícitas en la formulacióndel modelode programaciónlineal presentado en la sección
1.2. Entre los supuestos se tienen:
a) Proporcionalidad.
Esta suposición Indica que la función objetivoy las restricciones deben ser
proporcionale sal nivel de actividad, es decir en el caso de un ejemplo de
producció nseria al nivel de fabricaciónde cada produdo. Desde el puntode
vista matemáticose tiene que si x, es una variable de decisión, su medida de
optimización ( max. ó min.f) es igual a q Xi y su contribucióna las restricciones
es . Esto significa que si es doblada, tambiénlo será su contribucióna la
funciónobjetivoy a cada una de las restricciones. Por ejemplo, si Xi= 5 entonces,
la medidade optimizacióes
n 5g y si x, = 10 entonces, contribucióna la
funciónobjetivoserá 10q y así sucesivamente. Esta redricción de linealidad
implica que el ingreso,beneficioó costo totalde cada actividad, es directamente
proporcionalal nivel de adividad.
b)
suposición indica que la medida total de optimización ( ingreso,

beneficioó costototal) es la suma de las contribucioneindividuale
s sde cada
y la contribuciótotal
n a las restricciones es la suma de las
contribuciones individuales de cada actividad,es decir las actividadesdeben ser
aditivas respedo al uso de los recursos.
El supuestode aditividadsignifica que el total es igual a la suma de las

partes y que no hay efedos de interacciónentrelos niveles de las
IO
La suposición de divlsibllldad significa que es posible obtener en
programación lineal una solución óptimano entera, es decir que los valores de las
, cuando la solución
vadables de decisión no sean enteros. Frecuentementeaún
obtenida no es entera el resultadose puede redondearal entero más cercano, sin
embargo hay problemas donde no es conveniente redondear por lo tanto hay que
recurTi ra la programación entera.
La suposición de certidumbreindica que todos los coeficientes del modelo

de programaciónlineal ( q , A , y bi) son conãantes conocidas;es decir que los
costos, utilidades, las relaciones entre los niveles de producción,la disponibilidad
de recursos, no están sujetas a ningunaincertidumbre.
1.4.
El modelo y análisis de un problemade programaciónlineal involucra una serie de

etapas : la etapa de formulacióndel problema,en la cual se estudiadetalladamenteel
la recopilaciónde información y la identificación del problemaa ser analizado,
presentando las restricciones o limitaciones y la función objetivo, en esta etapa se
construye el modelo matemático.
Una segunda etapa consiste en la resolucióndel modelomatemáticoplanteado,
para ello se puede utilizar el métodográfico, el métodosimplex o el uso de paquetes
La tercera etapa consiste en probar,analizar, interpretayr reestructurael

r modelo,
examinando la solución del modelo a través de análisis de sensibilidad.
Por uttimose tiene la etapa de la implantación del modelo,
11
Este puntose concentraen la primeraetapa, es decir en la formulació ndel
problema.
Para formularun problemade programaciónlineal, no hay pasos o procedimientos

a aplicar, sin embargo representauna gran ayuda el procederde la siguienteforma
a) Identificarlas variables de decisión a estas se les conocen tambiéncomo
actividades y representancosas bajo nuestrocontrol; por lo tanto es muy
importantedefinir las unidadesde cada variable cuidadosamente.
b) Identificarlas cosas quevan a ser restricciones.
c) Escribir la función objetivoen términosde las variables de decisión.
d) Escribir las restricciones ( restricciónlineal ) las cuales están limitadasen
términos de las variables de decisión.
e) Agregar cualquier restricción adicional( es decir aquellas que involucran
relacionesde las actividades).
f) Escribir la condiciónde no negatividad.
Para e la etapa de formulació ndel

los pasos descritos anteriormentde
problema, se utilizan los siguientes ejemplos:
Ejemplo I. 1. : Un problemade producción.

La Compañía Artilara producedos tipos de productos, identificados como A y B,
para ello utilizatres máquinas- Ml, M2, y Ms. El product Ao es procesadoen la M, y M2

mientrasque el produdo B es procesadoen las tres máquinas.
12
El tlempo de producción esta dado en la siguiente tabla:
mempod"0ducción
• om.gunid•d do producto)
Máquinas
A 2,5 2
B 5
Las disponibilidademensualesde
s cada una de las máquinasson : 400 horas
mensualesen la máquinaMt, 200 horas mensualesen la máquinaM2 y 80 horas
mensuales en la máquina Ms .
El benefici unitari
o de
o los producto A sy B es de Bs. 300 y 450 respectivamente,
La compañía Artilara desea determinarcuántas unidades mensuales deben producirsede
A y B para maximizar los beneficios.
Este problema de producción puede ser formulado de la siguiente manera
Si se designa : XI al númerode unidadesdel product Ao producidasmensualmentey
al número de unidades del producto B producidas mensualmente.
Entonces , como se desea maximizar el beneficiototalmensual ( F) .
Maximizar F = 300x 1+ 450x2

lo cual esta sujeto a las restriccionesbasadas en la disponibilida dmensualde cada
máquina:
2,5x, + 5x2 400 ( máquina- Ml )
2x1+ xa '200 ( máquina - M2)
1,6x2 eo ( máquina - Ms)
y tambiénsujeta a la condiciónde que .
13
Este tipode formulaciónes un ejemplode programació nlineal, donde la primera
ecuacióndel modelorepresent ala funciónobjetivo( es decir F = 300x1+ 450x2) que se
debe maximizar; la cual esté sujeta a una serie de restriccionesbasadas en la
disponibilida dde recursosde cada máquina. En este ejemplolas restriccionesindican
o
que el númerototal de horas - máquinas para deterrnina rlas unidades a producirde los
productosA y B no debe exceder el númerode horas máquinasmensualesdisponibles,es
decir 400, 200 y 80 para las máquinas Ml , M2, y Ms respectivamente.
La condiciónXI
, O y 0 , indicanque el númerode unidade sde los
A y B a producirno puedenser negativas.
Ejemplo 1.2 : Problema de producción.
La Compañía Decolara C.A., con oficinaprincipalen Barquisimetoy fabricantesde
sillas para oficinas, tiene dos plantas, una ubicadaen Cabudare y la otra en la zona
Industrial III de Barquisimeto, recientemente instalada, con equipos modemos.
La planta ubicada en Cabudare, opera con 10 operariosdivididos en 2 tumos

diarios (cada tumode 8 horas diarias), mientrasque la plantaubicada en la zona Industrial
III de Barquisimet opera

o con 12 operariosen dos tumos y a un 70 por cientode su
capacidad total. la Compañía Decolara producedos modelos de sillas
sillas ejecutivasy sillas secretarialessiendoel
, preciode ventade cada silla : Bs. 4500
para el modeloejecutivo y Bs. 3536 para el modelosecretarial. El tiempoestimado ( en
horas operarios ) para producción y los costos estándar se muestran en la siguiente tabla .
14
Tlempo de producción Costos estándar
( horasI unidad) ( Bs. I unidad)
Planta Planta Planta Planta
Cabudare BarquisirMo Cabudare Barquisimeto
Sillas Secretariales e 5 2570 2310
Sillas ejecutivas 4 4 3210
Con la finalidadde evitar excesos en los costos, la compañía ha asignado un

presupuestosegún su plan de producciónsemanal, de Bs. 280.000 para la
producciónde
sillas ejecutivas y Bs. 350.000 para la producció nde sillas secretariales.
La gerencia de Decolara desea determinarel número de sillas que deben

fabricarse en cada plantacon la finalidadde maximizar las utilidades.
Formule problema como uno de programación lineal.
Solución.
La compañía Decolara desea determinarel númerode sillas que se debenfabricar
en la plantade Cabudarey en la plantade Barquisimetocon

, el objetode maximizarlas
utilidades. Los pasos a seguir para formulareste problemacomo uno de programación
lineal son :
a) Identificaciónde variables .
Como las sillas a fabricar son dos modelos diferentes y se dispone de dos plantas,
las variables de este problemason :
= número de sillas secretariales a fabricar en la planta de Cabudare.
15
= númerode sillas ejecutivas a fabricaren la plantade Cabudare.
= númerode sillas secretarialesa fabricaren la plantade Barquisimeto.

= númerode sillas ejecutivasa fabricaren la plantade Barquisimeto.
b) Planteamiento de la función objetivo :

las utilidades:
La funcióna optimizaren este problemaconsiste en maximizar
Utilidad= Ingreso- Costo.
Los coeficientes de la función objetivo son .

de Cabudare
c.c = 3536 - 2570 = 966 Bs./silla secretarial fabricada en la planta
Cabudare
cec= 4500 - 3210 = 1290 Bs./silla ejecutivafabricada en la planta de
Barquisimeto
cu = 3536 - 2310 = 1226 Bs./silla secretaiial fabricadaen plantade
Barquisimeto.
c. = 4500 - 3340 = 1160 Bs./silla ejecutiva fabricada en planta de
Así, la función objetivo es .
Maximiza rF(u =) 966xs c+ 1290xe+c 1226xs b+ 1160X..
c) Restricciones del problema:
Las restriccionesde este problema están basadas en la disponibilidaddel tiempo

de producción y en la disponibilidad presupuestari apara determinar el plan
de producciónsemanal.
- Restricciones basadas en la disponibilidadde tiempo en las diferentes plantas .
6x,c+ 4)CE 400 ( Disponibilidaddel tiempo de producciónen la planta

de Cabudare - 10x40=400 horas - ).
5x.b + 4xeb 336 ( Disponibilidaddel tiempode producciónen la planta

de Barquisimeto- 12x40x0,7 = 336 horas -
- Restricciones basadas en la disponibilidadpresupuestaria.
16
+ 3.340x. 280.000 ( disponibilidad presupuestaria para la
producción semanal de sillas ejecutivas en
ambas plantas ).
2.570x.c + 2.310xu 350.000 ( disponibilidad presupuestaria para la
producción semanal de sillas secretariales
en ambas plantas
d) Condiciónde no - negatividad.
entonces, la formulación del problemaserá .
Max. F(u)= 966x.c+ 1.290xe+c 1.226xu+ 1.160)'.
s.a.
5x,b+4xe'336
b
3.210xec+ 3.340xeb 280.000
2.570x,c + 2.310x,b 350.000
xeb>0
Xsb20
Ejemplo I. 3 :ApIIcado al Agro - Distribuciónde tierras.
En el Valle de Quibor la Compahla agricola Agroqui C.A., dispone de 10

hectáreas,las cuales van a ser destinada sal cultivode hortalizas. Las hortalizas
escogidas según el tipo de suelo son : tomate, pimentóny cebolla. La Compañfa
Agroqui,
maneja la siguiente información .
- El tomaterequier edurantesu ciclo de 88 horas - hombrepor para la

siembra y 230 horas - hombre por hectárea durante la época de cosecha.
- El pimentónrequieredurantesu ciclo de 71 horas - hombrepor

hectárea para la
siembra y 172 horas - hombrepor hectárea para la cosecha.
- La cebolla requierede 75 horas- hombrepor para la siembra y 210 horas

- hombre por hectárea para la cosecha.
El ingreso neto esperado por cada cultivo de hortalizas es el siguiente .
Tomate : 80.000 BsJha.
Pimentón • 92.000 Bs./ha.
Cebolla . 82.000BsJha.
Se dispone de un máximo de 2.200 horas - hombre durante la época de
siembra y
3.350 horas - hombre durante la época de la cosecha.
La compañía Agroqui desea determinar,cuántas hectáreas de cada hortaliza

deben ser sembradas con la finalidadde maximizar los ingresos. Formule este
problema.
Solución.
- Definició nde variables.

número de destinadas al cultivo de tomate.
x, : númerode hectáreasdestinadasal cultivo de pimentón.
: número de hectáreas destinadas al cultivo da cebolla.
- La funciónobjetivoa maximizarlos ingresos
Max FO) 80.000x, + 92.000x, + 82.000&
18
- Sujeto a las siguientes restricciones .
88xt + 71x0 + 75xc 2.200 ( basada en la disponibilidad de horas- hombre

para la siembra ).
230x1 + 172xp + 210)Q 3.350 ( basada en la disponibilidad de horas - hombres
para la cosecha ).
xt + xp + xc ( disponibilidadde tierras ).
Ejemplo 1.4. Problemade mezcla.
La compañía petrolera Laraven produce tres tipos de gasolina : alta, media y bajo
octanaje,esto Io realiza mezclando3 componentes: C-I, C -II y C -III. Se disponede

estos componentes en cantidades limitadas y al siguiente costo :
Componente Cantnad máxima disponibte (Bs.)

(barriies/diarios)
12.000 2.000
c-ll 18.000 1.500
c - 111. 6.000 1.000
Los precios de venta son :
Bs. 40 porgalón de gasolina de media.
Bs. 60 por galón de gasolina de alta.
Bs. 30 por galón de gasolina de baja.
El mercado para la gasolina de bajo octanaje esta limitadoa 7.500 galones por
día.
Los tres tipos de gasolina se producensegún las siguientes especificaciones:
19
Gasolina tipo alta - con no menos del 45% del componente C-I,
- no más del 20% del componente C-II
y no menos del 20% del componente C-III.
Gasolina tipo media . - con no menos del 25% del componente C-I
y no más del 30% del componente C-III.
Gasolina tipo baja . - con no menos del 35% del componenteC-II.
A partirde la informaciónque presentala compañia petroleraLaraven, se desea
determinar el volumen de venta de cada tipo de gasolina con la finalidad de maximizar las
utilidades. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
Sglugjén
- Definiciónde variables:
xrm: cantidad de barril C-I para producir gasolina media.
: cantidad de barril C-II para producirgasolina media.
xtnm: cantidad de barril C-III para producir gasolina media.
. cantidad de barril C-I para producir gasolina alta.
xaa : cantidad de barril C-II para producir gasolina alta.

e
xma: cantidad de barril C-III para producir gasolina alta.
: cantidad de barril C-I para producir gasolina baja.
Xub: cantidad de barril C-II para producir gasolina baja.
: cantidad de barril C-III para producir gasolina baja.
Según esta definiciónde variables se tiene que .
gasolina media = + 'Cu m

+ Xurm
gasolina alta xta+ Xua+
gasolina baja = + Xub+Xulb
20
Ya que el problema consiste en maximizar las utilidades .
Utilidad = Ingreso - costo,
Los precios de venta estén expresados en Bs./galónpara llevados a Bs./barril,se

asume que en I barril hay 50 galones. Asi, la funciónobjetivo a maximizar será .
Max. = 40 (50) +xum+ xmm+60

) (50) xma)+
+ 30 (50) + - 2.000(X. )-
- 1.500 xub) -1.000 (xmm+xma+ xmb)
Max. F (u)= 500xu,n+1 .oooxmm+l.oooxta +2.oooxma -500XIb + 500

Sujeto a las siguientes restricciones:
xtm+ S 12.000
xum+xua+ 18.000
xmm+xma+ 6.000
+ 150
0.45 xma) - 0,45xua- 0,45xma O

- - 0,2xmaS O
+ 0,8xma 0
+ 0,7Xm mSO
y la condición de no - negatividad .
21
Ejemplo 1.5. Problemade Dietas.
La compañíaSuper Pollo C.A., criadoresde pollosdesea determinarla mezcla
dietética que proporcionela mejor alimentación balanceada y cubran los requerimientos
nutricionalesexigidos por el Ministeriode Sanidad. La compañía Super Pollo

considerando mezclar diferentes ingredientes tales como : maíz, carbonato de cal, alfalfa y
avena, de manera que el alimento o productofinal tenga los niveles de nutrientes exigidos.
La siguiente tabla muestrala informacióndietéticay el costo por kilogramo de los

diferentes ingredientes .
Ingredientes Requerimientos
Maíz Carbonato de Alfalfa Avena diarios ( rngs.?
cal
Nutrientes
Carbohidratos 15 25 30 23 mínimode 40
Proteínas 29 10 15 30 mínimo de 65
Calcio 35 50 17 7 máximo de 950
mínimo de 180
Vitaminas 55 20 30 40 mínimo 120
Costo porkg 170 95 190 185
(Bs]kg)
(Es decir, un (1) kilogramo de alfalfa proporciona 30mg de carbohidratos).
Formule ei moaelo de programaciónlineal con la finalidad de determinarla mezcla
dietética que minimice los costos.
22
Este problemade dieta es prácticamenteun problemade mezcla, el cual consiste
en obtener la mezcla dietéticaque proporcionela mejor alimentaciónbalanceada que

cumpla con las condiciones mínimas exigidas por el Ministeriode Sanidad.
Definiciónde variables:
xm: kilogramos de maíz que debe contener la mezcla dietética.
xc : kilogramosde carbonatode cal que debe contenerla mezcla dietética.
x. ; kilogramos de alfalfa que debe contener la mezcla dietética.
)Ç.• kilogramos de avena que debe contener la mezcla dietética.
La función objetivo consiste en minimizar los costos de la mezcla dietética .
Min = 170x m+ 95xc+ 190)'.+ 185)'.

sujeto a las siguientes restricciones:
15xm+ 25xc + 30xa+ 23xw 240 ( requerimiento de

s carbohidratos)
29xm+ IO)Q+ 15x, + 30)'. 65 ( requerimientosde proteínas)
35xm+ 50xc + 17xa+ 7xw 950 (requerimientos de
35xm+ + 174+ 180 calcio )

55xm+ 20xc + 30xa + 40xw 120 ( requerimientos de vitaminas )
23
e Problemas propuestos.
1.6. Problema de compras.
La compañía Aero - Lar C.A. esta considerandola compra de nuevos aviones de

largo,medioy cortoalcance. El preciode comprade cada modelode avión es: Bs. 600
millones, Bs. 400 millonesy Bs. 250 millones para los aviones largo, medio y corto
alcance La compañía dispone de Bs. 14.500 millones para la compra
de aviones y estimaque las ganancias netas anualesserán de Bs. 40 millones, Bs. 30
millones y Bs. 20 millones por cada modelode avión largo, medio y corto alcance
Los pilotos de la compañía Aero-Lar, tienen un entrenamiento continuo,

considerados como excelentes pilotos y actualmentela compañía cuenta con suficientes
pilotos como para tripular 35 nuevos aviones.
Sin embargo, hay que tener en cuentaque si solamenteaviones de corto alcance

fueran compradossólo podrían ser atendidos45 aviones nuevos, debido a las facilidades
de mantenimient oy espacio con que cuenta la compañía y según experiencia del
mantenimient ode aeronaves se puede decir que cada avión de medio alcance es
equivalentea 1,4 avión de cortoalcance, y cada avión de largoalcance es equivalentea
I ,7 aviones de cortoalcance.
La compañía Aero-Lar desea determinarcuántos aviones de cada modelo, corto,
medio y largo alcanee. deben comprar con la finalidad de maximizar las ganancias.
1.7. Mezcla de metales.
La compañíaAlea-Bar S.A. desea produci runa toneladade una aleacióndonde

los porcentajesde cobrey plomosean iguales, el porcentajede estañooscile entre 37 y 46
porcient oy el porcentaj ede zinc oscile entreel 15 y 45 porciento. En el mercad de

o la
24
regió nCentrc-Occidense
tal encuentralas
n aleacione(s A, B. C y D ), las cuales
presentan las siguientes composiciones y precios .
Aleación D
%cobre 35 40 10 12
%plomo 8 12 35 40
%estaño 60 30 10 50
%zinc 30 45 15 15
Precio(Bsnon) 20.500 21.500 29.000 20 000
La compañía Alea-Bar desea determinarque cantidad de cada tipo de aleación

debe comprar con la finalidad de minimizar los Formule un modelo de
programación lineal para este problema.
1.8. Análisis del puntode equilibrio.
La compañíaTV - Lara C.A., ensamblatres modelos de televisoresde 19

pulgadas, 21 pulgadas y de 25 pulgadas. La compañía dispone de la siguiente
informaciónpara el próximo trimestre,acerca del precio de venta por unidad. costo
variable por unidad, de cada modelo de televisión así como también el costo fijo
asignado a los diferentes modelos de televisores .
Costo fijo Costo variable Precio de venta por

televisión por unidad(Bs.) unidad (Bs.)
TV- 19 pulg. 20000 38000
TV- 21 pulg 2.500.000 25.000 43.000
TV - 25 pulg 1.500.000 38.000 55.000
25
Basado en la Informaciónanteriorla compahfa ha firmado un contratocon un
clientepara surtirt etelevisoresde 19, 21 y 25 pulgadas, en las siguientes cantidades ; por
lo menos 80 televisores de 19 pulgadas, 140 televisores de 21 pulgadas y 40 televisores
de 25 pulgadas.
La compañíaTV - Lara C.A., desea determinarel número de unidadesde cada

modelode televisoresa ensamblarpara el próximotrimestre,basándose en el contrato
e problema como uno de

firmado, para alcanzar el puntode equilibrio.Formul este
programación lineal donde se minimice los costos.
1.9. Problemade producción.
El gerentede MongiS.A., una compañíaque fabrica muebles, en especial juegos

de comedor,está pensandodescontinuarla producciónde vitrinas,debido a la baja venta
de este productoen los últimosaños. Así, que él gerenteha decididoconcentrarseen la
n sillas y mesas; sin embargo,esta decisión dejaría un exceso de
manufacturació de
capacidad( horas- hombre) en los dos departament principale
os des la compañía
(departamentode armadura o ensamblaje y el departamentode acabado).
Hasta la fecha la compañíatiene como política tratar de vender el juego de

comedorcompleto( una mesa, vitrina y seis sillas ), lo cual no ocurre siempre, ya que los
clientesse inclinanmás hacia las sillas y mesa. En particulardebe

. haberpor lo menos
seis ( 6 ) sillas por cada mesa, pero según informacióndel encargadode mercadeo, este
indicaque sillas en exceso de seis ( 6 ) por mesa son solicitadas frecuentemente y que el
númerode sillas y de mesas que se venderían semanal esta en el orden máximo de 480 y
60 respectivamente.
La del costo actual esta dada en la tabla A„ El costo total de

sobretjemp opermanecer áfijo a Bs. 50 000 por semana. También, en la tabla A. se
puedeobservar informaciónde los costosde manode obra en proporcióna la producción.
26
Otrosdatos que se disponenson : en el departamentode armadurahay quince
(15) trabajadoresy en el de acabado hay diez ( 10 ). Todas estas personastrabajan
cuarenta (40) horas semanales a razón de Bs. 100 por hora.
Tabla A. : Estructura de costos.
Slias Mesas
por semana unidad porsemana unidad por semana uMad
Producción 180 unidades 50 unidades 50 unidades

Dpto. 40.500 225 37.500 750 30.000
armado
Dpto. 27.000 150 15.000 300 30.000

acabado
Materiales 108.000 600 60.000 1200 120.000 2.400
Sobretiempo
33.750 187,5 26.250 525 30.000
Costos total 209250 1.162,5 138.750 2.775 210.000 4200
Ingresos 360.000 2.000 210.000 4200 300.000 6.000
Utilidades 150,750 837,5 71.250 1.425 90.000 1.800
Formule este problema como uno de programación

lineal.
27
1.10. Un problema de procesamiento de madera.
Un aserradero debe procesar exactamente 5.000 unidades de madera por
semana. siendo esta madera de tres clases posibles : C-I, C-2, y C-3.La compañía debe
procesar por Io menos 800 unidadesde C-l y 500 unidades de C-2 a la semana, pero
según las regulacioneslocales, estas, indican que la compañía no puede procesar más de
1.700 unidadesde C-3 porsemana. La gerencia ha decidido que el númerode unidades

de C-3 procesadoa la semana debe ser por Io menos dos veces la cantidad de unidades
de C-2. Las utilidade por

s unida dde c-l, C-2 y C-3 son Bs. 480, Bs.675 y Bs.725
respectivamente. Se desea determina rla cantidadde maderade cada clase a procesar
semanal.
Formule este problema como uno de programación lineal.
1.11. Producciónde muebles.
La muebleríaVenemueble sCA. fabricantesde sillas, mesas y escritoriosutiliza

tres departamentospara la producciónde sus unidades, denominados departamentode
corte, donde las diversas piezas son cortadas a las medidas minimizando el desperdicio de
madera; el departamentde
o estructur dondese
a realiza el armadode las piezas y el
departament ode acabados dondelas sillas, mesas y escritoriosson bamizados, pintadasy
pulidas. Según informació de

n ventas pasadas, la mueblería Venemuebles ha decidido
fabricar por lo menos 6 sillas por cade mesa, esto es debido a que algunos clientes
compran sillas adicionales 'p ofrecidas en el juego de comedor. La cantidad de
madera disponibleen la compañía es suficiente para realizar corte para fabricar 480 sillas
0 86 mesas 0 100 escritorioso cualquiercombinación. La capacidad del departament
de
o
estructurada para armar 450 sillas 0 80 mesas 0 110 escritorioso cualquier combinación:
mientras que en el departamentode acabado hay espacio para trabajar con un máximo de
28
425 sillas 0 80 mesas 0 90 escritorioso cualquiercombinación. Las utilidades
son las siguientes: Bs. 1.500 porsilla, Bs. 10.500 por mesa y Bs.12.700 porescritorio.
¿Qué cantidadde sillas, mesas y escritorios debenfabricarsede maneraque las

utilidadesque se obtengansean las máximas posibles? Formule este problemacomo
uno de programación lineal.
1.12. Recortede papel.
La compañíaPapel - Ven, fabrica papel para periódico ys esto lo hace con una
máquina de la cual se obtienenrollos de papel de un ancho de 2 metros.
Por lo general la compañía recibe pedidos de rollos de diferentes medidas de

ancho, y para satisfacer a sus clientesla compañíaPapel - Ven, realiza los cortessegún
las especificaciones del ancho deseado por sus clientes, es decir del rollo estándar de 2
metrosde ancho se realizan los diversos cortes.
Los pedidospara el próximotrimestre según

, el ancho del rollode papel son los
siguientes .
Númeroderollosde papet rollo (mts)
2.100 1,2
800 0,75
1.500
1.700 0,30
La compaild desea determinarla manera de realizar los cortes para surtir el

pedido, con la finalidad de minimizar el posible desperdiciode papel.
29
1.13. Problema de mezcla.
El gerent ede producció nde la compañ[aPlasti- Dac C.A., esta diseñandosu plan
de producción para un nuevo produdo compuesto de cuatro componentes
quimicos
Cl , C2,C3 yC4 . Estos componenteestánformado
s básicament
s de
e tres elementos
. El , Ez y Ea. La composicióny el costounitari ode esos químicosson los siguientes
ComponentesC,
quimicos
Étementos
(poltentajes)
40 15 25 30
E2 55 25 35
25 43 35
Costo (Bs./kgs.) 3.000 6.000 2.500 1.750
Las especificacionesde este nuevo son debe contener por lo menos un

20 porcientodel elementoEl, porlo menos un 26 porcientodel elemento Ez y cuando más
un 25 porcientodel elementoE3. Así como también, el nuevo productono debe exceder
del 30 porcientodel componente C2 y de un 35 porciento del componente C4.
Formuleeste problem ade programació nlineal con la finalidadde minimizarel

costo de produccióndel nuevo producto.
1.14. Problema agrícola.
La escuela granja Su: ubicada en el estado Lara opera cuatro granjas. La

escuela granja cultiva 4 tipos de productos,aunque no necesariamentecada una de las
granjas cultiva todos ellos, y la producciónde estos productos esta limitada a la

disponibilidad de agua existente en cada granja, así como también al número de hectáreas
disponiblesen cada granja.
30
La disponibilidad de terrenode cada granja es la siguiente .
- en la granja G -1 . 100 hedáreas.

- en la granja G-2 14 5tEáreas.
— en la granja G-3 80 heeáreas.
- en la granja GA 125 hedáreas.
mientras que la disponibilidad de agua es :
- 14.000 metros cúbicos de agua para la granja G-I.
- 42.000 metroscúbicos de agua para la granja G-2.
- 10.500 metros cúbicos de agua para la granja G-3.
- 28.000 metroscúbicos de agua para la granja G-4.
Sin embargo,según estudiosrealizados , el agua requeridapara cada tipo de

cultivo es la siguiente .
- El cultivo C-I requiere400 metroscúbicos de agua porhedárea.
- El cultivo C-2 requiere300 metroscúbicos de agua porhedárea.
- El cultivo C-3 requiere350 metroscúbicos de agua por hectárea.
- El cultivo C-4 requiere 260 metros cúbicos de agua por hectárea.
Otra limitanteque presenta la escuela granja San Carios es la disponibilidadde

equipo para cosechar, así como tambiénmano de obra ; ya que con los equipos y mano
de obra existente adualmente sólo se podrían cultivar un máximo de hectáreas por

cultivo
según las diferentesgranjas, es decir :
Hectáreas por cultivos según granjas.
camao C -1 c.
30 25 25
30 40 50 40
20 30 35 25
45 30 30 35
31
Las utilidades estimadas por hectáreas para cada uno de los cultivos son .
- Bs. 300.000 ;
- Bs. 210.000 ;
- Bs. 150.000;
- Bs. 170.000:
paralos cultivos C-l. C-2, C-3, C-4
Formule un modelode programaciónlineal, que le permitaa la escuela granja
San Cados determinala
r cantidadde a dedicara cada cultivo en las diversas
granjas, de maneratal de maximizar las utilidades.
1.15. Problema de transporte.
La compañía Inglara tiene tres fabricas que elaboran el mismo

ubicadas
en Barquisimeto, Maracaiboy Maracay. Los principales centros de consumos
ubicados en Valencia, Caracas, Ciudad Bolívar y San Cristóbal.
La producciónde cada fabrica es .
Producción(unidades )
Barquisimeto 15.000
Maracaibo 20.000
Maracay 10.000
La demanda de los centros de consumo es .
Centro de consumo Demanda

Valencia 14
Caracas 6.000
Ciudad Bolívar 7.000
San Cristóbal 18000
32
Los ( en Bs. ) de transportauna
r unidadde desde cada fabrica
hasta los diferentes centros de consumo, son los siguientes :
Centro de Ciudad san

consumo Vatencia Caracas Bolivat Cristóbal
abricas
Barquisimeto
Maracaibo
Maracay
El problemaconsisteen determinarlas cantidadesque deben enviarse desde cada

fabrica a los diferentescentrosde consumos, con la finalidadde minimizar el total
de transporte. Formule este problema como una de programación lineal.
1.16. Un problema de producción.
La compañía ProductOsLara C.A., fabrica cuatroproductosdiferentes ( P-l, P-2, P-
3 y P-4). El proceso se base en cuatromáquinas,( M-l, M-2, M-3 y M-4), es decir

cada requier ede ciertotiempoen cada máquinapara su elaboración,
como se observa en la siguiente tabla .
Tiempo de máquina ( minutos por unidad de producto ).
Producto
Máquine
20 12 10
11 16 11 10
12 10
Los costos variables por el uso de las diferentes máquinas son :
- Bs. 500 porhora para la máquina M - 1;
- Bs. 550 por hora para la máquina M - 2;
- Bs. 300 porhora para la máquina M-3 y

- Bs. 370 por hora para la máquina M - 4.
Mientras que el costo de materia prima por unidad de producto es :
- Bs. 600 para el productoP - 1;
- Bs. 250 para el product oP - 2;
- Bs. 400 porunidadde los P -3 y P- 4
En la compañía Productos Lara se trabajan 3 tumos de 8 horas cada uno y un total

de 6 días a la semana,ya que el día Domingose dedica al mantenimientde
o las
máquinas.
El preciounitari ode los productosP-l, P-2, P-3 y P-4 es de Bs. 1.650; Bs. 1.150,
Bs. 1.000y Bs. 850 respectivamente.
La compañíadesea determinael
r plan de producció n
que maximice las utilidades.
Formule un modelode programación lineal para este problema.
1.17. Un problemade producción.
Una compañía,Dac-Ven., fabricatres productos,los cuales son procesados en los

diferentes departamentos de la compañía. La disponibilidad semanal en los
departamentoses:
- DepartamentoD - 1 . 240 horas.
- DepartamentoD - 3 : 120 horas.
34
El númerode horas que una unidadde cada produdo requiereen los diferentes
departamentos se muestran en la siguiente tabla
Pmdud06
Departamento Pl
7 8 4
0-2 2 2
0-3 6 1,5
3,6 7,2
Se dispone de 500 kilogramosde materiaprimasemanal y se sabe que una

unidadde Pl requierede II kilogramosde materiaprima , una unidadde P2 requierede 8
kilogramosde materia prima y una unidad de P3 requierede 7 kilogramosde materia

prima.
Los costos de manode obra porunidadde son : Bs. 4.500, Bs. 4.800 y
Bs. 5.400 ; mientras que los costos de materia prima por unidad de productoson : Bs.
1.650, Bs. 1.200 y Bs. 1.050 para los productosPl , P2 y P3 respectivamente. El precio
de venta de cada unode los producto ses de : Bs. 8.500, Bs. 10.200y Bs. 11.050 para los
producto sPl , P2 y P3
Formule el modelode programació nlineal de este problema,si el objetivo de la
compañía Dac - Ven es el de maximizar la utilidadsemanal.
35
CAPITULO ll
Metodo Gráfico de solución del modelo de programación lineal.
ll. MÉTODOGRAFICO DE SOLUCIÓN DEL MODELODE PROGRAMACIÓNLINEAL.
El uso del métodográfico para resolver un problemade programaciónlíneal es muy
limitado,ya que este se puede aplicar cuando el modelopresenta 2 variables de decisión y la

mayor parte de tos problemas de programación lineal involucran más de 2 variables.
El métodográfico es una herramienta más que practica, ya que ayuda a
comprender de una manera gráfica la técnica de la programación lineal.

gráfico se
Es de hacer notarque en problemasde 3 variablesde decisión, el método
por lo que
puede usar, pero resulta demasiado complicado resolver gráficamente estos problemas,
sólo se recomienda utilizar el métodográfico en problemas con 2 variables de decisión.

formulación es .
Para explicar el métodográfico, se hará medianteel ejemplo 1.1. cuya
Caso 2.1. Problemade maximización:
Max. F = 300x1+ 450x2

s.a. 2,5x1+ 5x2 400
2x1 + 200
1,6x2
XI 20
Representand olas variablesde decisión,XI y en un eje de coordenada scartesianas,x, en el

eje de abscisa y en el eje de ordenadasy dado que según las restriccionesde no - negatividad
XI y son 0, entonces la solución estará restringidaal primercuadrante, es decir,
X2
37
El siguiente paso es el de representargráficamente las restricciones
- Representando la primera restricción, 2,5x, + 5x2 s 400, trazando la
2,5x, + 5x2 400 , la cual esta delimitada por el conjunto de puntos debajo
o en dicha recta, ( ya que la restricción es s) .

e
Producto B
leo
leo
Para trazar la reda

100 2,5x1 + 5x2 —400 , bastará con
80 tomardos puntoso sea,
eo si XI = O = 80
400 y si '(2= O XI = 160
20 Entonces la recta pasa por los
puntos( 0,80 ) y ( 160,0 ).
20. 80 100....,..160 180
ProductoA
- Representand ola segunda restricción, 2.XI+ 200 y trazando la recta

2x1+ = 200 , la cual esta delimitada por el conjunto de puntos debajo o en
dicha recta, según lo expresa su restricción (S ).
Se tiene :
Producto B
180
160
140
120
100
2x1+ = 200
60
"7ZZ„'4z:;
400 si x, = O = 200
40 XI = 100
La recta pasa por los
puntos (0,200) y (100,0)
BO 100 ...160 IBO
ProductoA
38
Finalmente, representando gráficamente la tercera restricción, 1,6x2 s 80, trazando
la recta 1,6x2= 80, y tomando en consideración que la restricción es s, por lo que
representada por el conjuntode puntos debajo o en la recta.
Se tiene el gráfico final :
B
1eo
160
100
60 25x,
1,6x2 = 80
50
(x2 = 50 para todo valor
80 100......160 180 de XI)
o
ProductA
Como se observaen la gráficaanterio la

r regiónA B C D E es la partedel planoque
satisface a todas las restricciones, es decir la regiónA B C D E incluyetodas las combinaciones
de las variables de decisión que satisfacen las restriccionestanto las estructurales como las de no-
negatjvidad. A esta regiónse le llama área factibleo área de solucionesfactibles. Cada punto
dentro del área de las soluciones factibles representa una combinación de las dos variables o
produeos que pueden elaborarse.
Como el objetivodel problemaes el de maximizar las utilidades,la solución óptimaes el
puntoenremo o vérticeen la regiónA B C D E, en el cual se obtieneel máximovalor de la

función
Para obtener el máximo valor de F . existen dos vias ,
a). Evaluando la función (F) en los diferentesvértices del conjuntoconvexo ( O
39
área factible Y
b). Trazando la de la función objetiva.
a). Evaluando la función objetivo en los puntos extremos o vértices:

Una vez identificadográficamenteel área factible, se determinan las coordenadas de cada
punto o vértice del área factible, luego se sustituyenlas coordenadas de los puntos o
vértices en la función objetivo, entonces la solución óptima en un problema de
maximización viene dado por el puntoextremo que produce el valor más alto de F y si el
problema consiste en minimizar la función objetivo, entonces se selecciona el punto
e)dremo que proporcioneel valor más bajo de F.
En el ejemploanterior: la funciónobjetivoa maximizar es F = 300x1 + 450x2,los

puntos extremos o vértices del área son : ( 0,0 ), ( 0,50 ), ( 60,50 ), ( 80,40
( 100,0 ); al sustituidos en la función objetivo, se tiene :
Punto extremo f = 300x1 + 450x2
(0,0) 300(0) + 450(0) = o

( 0,50 ) 300( o ) + 450( 50 ) = 22.500
( 60,50 ) 300( 60 ) + 450( 50 ) -40.500
c ( 80,40 ) 300( 80 ) + 450( 40 ) = 42.ooo•
( 100,0 ) 300( 100 ) + 450( 0) = 30.000
Nóteseque la soluciónóptim aocum een XI = 80 y en = 40, dondela función

objetivo presenta un valor máximo de 42.000.
Es decir, con la finalidadde maximizar las utilidadesa Bs. 42.000 hay que producir
80 unidadesdel product oA y 40 unidadesdel productoB.

b) Trazando la reda de la funciónobjetivo(F):
Otra via para obtenerel máximo valor de F es trazando la recta de la función objetivo;
una vez identificadael área factiblese procedea grancar F.
La funciónobjetivoen este problemaes F = 300x1+ 450x2,ya que no se conoce el

máximo valor de F, es posible suponer algunos valores para F y graficar las rectas
resultantes. Por ejemplo,si se quisiera obteneruna utilidadde Bs. 18.000, es decir :
300x, + 450x2 = Bs18.000

si se grafica esta ecuación, el resultadoserá la linea de utilidadesde Bs.18.OOO( cualquier
puntosobre esta línea de utilidadde la misma utilidad); la gráfica de esta linea se

muestra en la siguiente figura .
ProductoB
180
160
1
100
80 1.6xas 80
60 A- 5x2 400
40
20
60 80 100 . 160
ProductoA
F 24.000
Ahora, si se desea obteneruna utilidadde Bs. 24.000 habrá que determina elr
conjunto de solución de la ecuación .
300x, + 450x2= 24.000

la gráfica de esta línea se muestraen la figuraanterior.
LLIL_L_
Analizand ola gráficaanterio rse observaque al incrementarF, la reda de la
función objetivo se desplaza paralelamentealejándose del origen, como el problema
consiste en maximizarF, el puntoóptimoestarásobre la linea de utilidadesmás lejana al
origen peroque todavía toqueel área o región factible. Así, se tiene que el mayor valor
de F sucede cuandola rectatoca el puntoc , y las coordenadasde ese puntorepresentan
la solución óptima, es decir, la máxima utilidadse obtiene al producir 80 unidades del
product oA (XI ) y 40 unidade sdel produdoB (xa) generandouna utilida dde Bs. 42.000,
como se muestra en la siguiente gráfica
Producto B
180
160
Ainto (C)
100
60 A
40
20
6080 100...140 160 180

ProductA
o
F= 18.000
F= = 24.000
Caso 2.2. Problemade minimización.
La compañía Laracola C.A. tienedos plantasde embotelladorasde bebidas no alcohólicas
ubicadas en Barquisimetoy Maracay.
Cada planta producetres tipos diferentesde bebidas : cola, tamarindoy naranja. La capacidad
actual de las plantas,en botellaspordías es la siguiente.

Planta Barquisimeto Planta
Cola 6.000 zoco

Tamarindo 3 000 3.000
Naranja 3.000 9 000
Según estudiode mercadorealizado por la compañía la demanda para el mes de Odubre
seria de por lo menos 48.000 botellas de cola, 48.000 botellas de tamarindo y 72.000 botellas de
n las plantasson los siguientes: en la plantaBarquisimeto

naranja. Los costosde producció en
Bs. 120.000 pordía y en la plantade Maracay Bs. 80.000 por día de producción.
mes
La compañíaLaracola desea determina rcuántosdías debe operarcada planta en el
de Octubre de manera de minimizar los costos de producción,
Definición de las variables de decisión .
XI : númerode días a operar la planta Barquisimeto.
x2 : númerode días a operarla plantaMaracay.
La función objetivo : minimizar f = 120.000x1 + 80.000x2
La restricciones, basadas en la demanda de los diferentes tipos de bebidas .
6.000x1 + 2.000x2 48.000 ( producción de cola )
3.000x1 + 3.000x2 48.000 ( producción de tamarindo )
3.000x1+ 9.000x2 72.000 ( producciónde naranja )
y la condiciónde no negativiaad
Aplicando, el métodográfico para resolver este problema se tlene
lora restriççlén.
+ = 48.000
si x, = O 24
(8,24).
restriccién.
3.000x, + = 48.000
SI x, 16
= 16
( 16,16
3era restricción.
+ = 72.000
Si XI = O =8
X2 O XI = 24
(24,8)
Representando gráficamente Ias restricciones .
28
24
16
12
4 72.000
4 1 1 x,
44
El área de solución para x, y que satisface a todas las restriccioneses la región sombreada.
Con el pmpósit ode obtene rla soluciónóptima,se realiza el trazadode la funciónobjetivo.
Supóngase un valor arbitrariode f, f 240.000 , la ecuación .
120.000x, + 80.000x2 = 240.000

se granca. obteniendo:
16
12
f 120.000c, 80.000'2• 20000
Para determinarla direccióndel movimientode la función objetivose trazan una serie de

rectas paralelas a la recta 120.000x1+ 80.000x2= 240.000, teniendopresenteque se desea
minimizar f, por lo tanto, se debe acercar la funciónobjetivo, paralela a sí misma, lo más posible al
origen, lograndoal mismo tiempoque toqueun vértice del área de solucionesfactibles. En el

ejemplo anteriorel puntoextremoo vértice que indica la solución óptima es el punto B, es decir
(4, 12). Así, el mínimovalor de f se encuentr ena (4, 12) .

f = 120.000x1+ 80.000x2
120.000(4) + 80.000 ( 12) = 1.420.000

f 1.420.000
45
Este resultado,indica que la compaflia Laracola debe operar4 días en la plantade Barquisimetoy
12 días en la plantade Maracaypara minimizarlos costos de produccióna Bs. 1.420.000; asi
como también para satisfacer la demanda.
Casq 2.3. Solucionesmúltiples.

Un problema de programación lineal puede tener más de una solución óptima. En la
siguiente gráfica ( un ejemplo de maximización ) .
(2)
(3)
(1)
se observa que la función objetivotiene la misma pendienteque la restricción( 1 ) y conforme
estas líneas de utilidadse alejan del origen ( líneas paralelas ) de manerade incrementarel valor
de F, los últimospuntostocadosantes que la funciónabandoneel área factibleson los puntosBC;
ya que cualquier solución entre B y C es factible y maximiza la función objetivo, todas son
soluciones óptimas, con el mismo valor máximo de F. En estos casos se dice que el problema
tiene soluciones múltiples,
46
CR" 2.4. no
Se dice que un problemade programaciónlineal no es solubles si las restricciónesse contradicen
entreellas mismas, no existe una regióno área fadible, es decir no existe una combinaciónde
valores para las variables de decisión que satisfaga a todas las restricciones.
La siguiente figura muestra un problema que no tiene una solución fadible .
(2)
Como se observa en la figura anteriorla restricción1 es de tipo -mayor o igual a • y la 2

es de tipo•menoro igual a'. En este caso el conjuntode puntosque satisfacen a la restricciónI
no comprende nal conjuntode puntosque satisfacen a la restricción2, entoncesse dice que el
problema es no soluble.
47
Problemas propuestos
Resolver gráficamente las siguientes modelos de programación lineal.
2.1. Max F = 80x1+
8x1+4x2<112
s.a. 3x,+9zs105
3x1+12x2<126
2.2. Max F = 1.250x1+ 1.500x2
s.a. 25x1s 250
2.3. Max F=I + I .250x2
15x1+20x2>180
s.a. 25x1s 250
xt,x220
48
24 MinimiceF 20x, + 26»
2x1+2x2>24
s.a
'0<16
3xt+4»us48
25, MinimiceF = 6x1+ 8x2
s.a.
20
2.6. La compañía Alfalara C.A.. fabrica dos los cuales deben ser procesados en dos
departamentos. El P-I requiere4 horas por unidad en el departamento1 y 6 horas
por unidad en el departamento2. El productoP-ll requiere6 horas por unidad en el

departamento 1 y 3 horas por unidad en el departamento 2. La disponibilidad semanal en los
departamentos1 y 2 es de 120 horas para cada departament

o y la utilidadesperadade
los dos produdos es de Bs. 510 y Bs. 680 por unidad, respectivamente. El
problemaconsiste en determinar el plan óptimo de producción que maximice las utilidades.
Resuelva este problema utilizando el método gráfico.
2.7. Un inversionist adesea compraracciones en la bolsa de valores de Caracas, de dos

compañías. la compañía Alfa CA, la cual se dedica al montajede aparatoselectrónicosy la
compañíaCidad S.A.. se dedica a consultoría sy asesoríasen el área de la construcciórv
49
Cada acción de la
compaMaAlfa genera una utilidadal cierre de cada periodode Bs. 42,
mientrasque cada acción
de la compañía Cidad genera una utilidadal cierre de cada período
de Bs. 70
El costo de cada acción es

de Bs. 160 y Bs. 320, para las compañíasAlfa y Cidad
El inversionistadesea invertirun máximo de Bs. 3.200.000. La compañía
Alfa tiene por política
no vender más de 5.000 acciones, mientras que la compañía Cidad
puede vender hasta
3.500 acciones por clientes.
Basado en esta informació nel inversionist desea determina el plan de inversión que
a r
maximice sus utilidades.
2.8. La compañíaElectrolimC.A., desea comenzarla producció de dos nuevos modelosde

n
secadorasde ropas, el E-I y el E-II. La producció de las secadoras se hace en tres
n
departamentos ,D-l, 0-2 y 0-3. El modeloE-I requier de 6, 8 y 3 horas para ser procesado
e
en los departamentos0-1, 0-2 y D-3,
respectivamente; mientrasque el modelo E,II requiere
de 6, IO y 6 horas para ser procesadoen los departamento 0-1, D-2 y D-3, respectivamente.
s
El tiempomensual disponibleen cada departament es de 180, 240 y 180 horas en los
o
departamentos0-1, 0-2 y D-3, respectivamente. Las utilidadesesperadas son de Bs. 5.000
para el modelo E-I y Bs. 8.500 para el modelo E-II. La compañía Electrolim desea determinar
el plan de producción que maximice sus utilidades.
(a) Use el método gráfico para resolver este problema.
(b) Determineel númerode horas sobranteen cada departamentosegún

, el plan óptimo
de producción.
2.9. La compañía Caucho Lara C.A., producedos tipos de cauchos, cauchos para camiones y
cauchos para automóviles, los cuales son elaborados en línea de producción diferente ( línea
50
de producción A y B La linea A dedinadaal procesoprodudivode auchos para
automóvilestiene una upacidad diaria para producir80 unidades y la linea B destinada al
proceso productivode cauchos para camiones tiene una capacidad diaria para producir 50
unidades.
La materiaprimautilizada para elaborarestos tipos de cauchos es la misma y la empresa
tiene una disponibilidaddiaria de 1.200 kilogramos; se conoce que cada unidad de los
cauchos de automóviles requiere 8 kas. de materia prima mientras que la unidad de
de camiones requiere de 12 kas. de materia prima.
Los n de Bs. 2.000 y Bs.3.500 por unidad de cauchos de

de producció son
automóvileys camionesrespectivamente. El preciode ventade cada caucho es de Bs.
6.000 y Bs. 9.000 para los cauchos de automóviles y camiones respedivamente.
La Compañía Caucho Lara desea determinarel plan de producciónque maximice sus

utilidades.
Resuelve este problema utilizando el métodográfico.

Capitulo III
El métodoSímplex
III. El MÉTODOSIMPLEX..
En el capitulo ll se trató el método gráfico para resolver problemas de

programaciónlineal con dos variables, sin embargo en el campo gerencial la mayoría de
los problemas
presentanmás de dos variables de decisión los cuales puedenser resueltos
utilizando un
procedimiento matemático conocido como el método simplex.
El método simplex fue desarrolladopor George Dantzig en 1.947, Dantzig
demostró que basándose en la función objetivo podía seleccionar de una manera
sistemática una solución optima de entre varias soluciones posibles, y que el método
simplex se podía
aplicar a problemascon más de dos variables, siendo la única limitación
el tiempo requerido
para resolver los problemas, especialmente cuando el número de
variables y restriccionessean numerosas. Sin embargo,hoy en día el tiempo para
resolver los problemasde programaciónlineal ya no es limitante,ya que estos se pueden
resolver medianteel
uso de computadoras. Existe una amplia variedad de paquetes de
software para resolver
los problemasde programaciónlineal, lo cual será tratado en el
capítuloV.
En este capítulose describe paso a paso el métodosímplex, lo cual ayuda a

obteneruna mayor comprensión
de la programaciónlineal y de su aplicación el campo
gerencial; analizando los casos de maximización y minimización de problemas
de
53
8.2 P— "aptar.
El métodosimplex es un algoritmo, es decir un procedimiento iterativo de solución
que se repite hasta obtener el resultado esperado, el siguiente diagrama de flujo muestra
el procedimientoa seguir al utilizar el método simpl" .
Inicio
Expresar restricciones
en igualdad, agregando
las variables de
holguras, excedentes y artificiale
Construcción de la
tabla inicial
Solución
es si fin
óptima
no
Proceso de
iteraciones.
54
Igualdad:
Como so observa en el diagrama de nulo anterior,el primerpaso consiste en
expresar las restriccionesfuncionalesen Igualdad, esto se realiza agregando o restando
variables adicionales al problema,según sea el caso o tipo de restricdón o
Si la restricción es del upo s , para expresada en una Igualdadse le agrega una
variable extra. llamada la vadable de holgura, es decir sl la restrEón es .
+3X2,112
entonces, al agregar la variable de holgura (x,) se convierte en
10x, + 3x2+ x, = 112.

se ha agregado una variable x, para que absorba la holgura, o la diferencia entre
y 112.
Si la restricció nes del tipoz, es decir 4x, + 3x2 220 entonces.para

expresada en una igualdad se le resta una variable de excedente ( x, ):
4X, 220
ya que en la solucióninicial( XI = O , = O). Se violarfala restricció nde no
negatividad para la variable ( = -220 por lo tanto para contrarrestaresta
situación debe agregarse otra variable, llamada variable artificial ( ):
4x1+ = 220.
ia variable en esta restricció sen llama de excedente,ya que resta lo que le
sobra al lado izquierdode la restricciónpara convertirla desigualdad( 2 ) en una

ecuación.
Si la restricciónes del tipo = , es decir 5x, + 6x2 = 300 , porartificiomatemático
debe agregarse una variable artificial ( x3 ):
5x1+ 6x2 300
55
Todas las variables adicionales es dec'r holguras, excedentes y artificiales también
deben aparecer en la fundón objetivo. sln embargo el coenclente para las
variables de holguras y excedentes es uro, mientrasque al edar en presencia de
variables artificiales se crea una segunda función llamada la función artificial
compuesta por las variables artificiales, variables artificiales no forman parte
de la solución final, lo cual será tratado en el caso de minimización.
SEGUNPQ pA$0: construcción de la tabla inicial simplex.
Una vez que las restriccione sfuncionalesse conviertanen igualdad, el siguiente
paso en la aplicación del métodosimplex es condruir la tabla inicial simplex. es decir si el
problema en :
Max. F = Cl +
+ bi
a21X+1 an)Q+..H2n xnsb2
s.a.
amIXI + bm
donde bi , b2 , b)
Y , xs ........... a20.
Al expresar las restricciones en igualdad ( agregando las variables de holgura ) se tiene
Max + q..„Xn
ali*+ 'Z bi
azo+o + 2a ba
s.a.
am1X+I
y XI , X2 ...e..
56
lo cual puede ser escritoen una tabla, que se le conoce como tabla Inicial sfmplex o
solución Inicial, de la siguiente forma
de decisión de holgura valores

de las
básicas
básicas Xml Xn.2
1 all _ aln 1 o bi
xn.2 azt a2n
aml o o 1
cz o o o o
coeficientes de la
función objetivo
Como se observa en la tabla simplex anteriorlas variables que están dentrode la

solución
inicial son las variables básicas, seleccionandocomo variables básicas las variables
de
holgura o artificial asociadas a cada restricción. Esto es debido a que en la solución inicial
las variables de decisión tienen un valor de cero ( 0 ) , ya que el método simplex

comienza
en el origen, por Io tantoquedaría las variables de holgura y artificial con un valor positivo
y las variables básicas siempre toman valores positivos ya que representanla solución del
problema planteado.
Paso
Que consiste en determina la
r variable entrantesegún los coeficientesde la
función *Ivo y según sea el caso de maximizar o minimizar, luego para determinarcual
es la variaNeque sale de la base se oMien eel element opivote,el Alal es la relación

menor entre los valores que se encuentran en la columna de la variable entrante
( columna pivote ) y los valores de las variables básicas.
Se comienza ede proceso iterativo.determinand una

o nueva solución básica
factible una nueva tabla simplex, este procesoiterativose repitehasta que
todoslos de la funciónobjetiv osean ceros ( O) o negativossi el problema
consiste en maximizar una función y ceros ( O ) o positivossi el problema en
minimizar.
Para una mayor comprensióndel métodosimplex se presentarána continuación

los dos casos :
caso de maximización
caso de minimización.
8.3C•
Para la explicacióndel métodosimplex en el caso de maximización,se utilizaráel
ejemplo 1.1, resuelto en el capítulo ll por el métodográfico, cuya formulaciónes .
Max. F: + 450x2
+ 5x2 s 400
s.a. 2x,+zs200
80
58
• en la aplicacióndel métodosimplex consisteen expresarlas restricciones
en Igualdad,edo se obtieneagregandolas variablesde holgura( ya que todas las
restricciones son del tipo S) .
Max F: 300x 1+ 450x2
s.a.
Las variables de holgura son x, , y xs.
- El sequndq pesq consiste en construir la tabla inicial simplex :
Tabla inicial simplex

Variables Valores de las
básicas x x variables básicas
5 1 o o 400
2 1 200
o o 1 80
300 450 o o o
En está tabla inicial simplex tas variables básicas son las variables de holguras(xa . ,
xs) , ya que en la solución inicial las variables de decisióntienenun valor de cero, por lo
tantolas valoresquetomanlas variables básicas son : = 400, = 200 , & = 80 y
F = O. ( En la solucióninicialF = O, ya que en la solucióninicialel métod simplex

o
comienza siempre en el origen
- El tercer paso. el paso iterativo, que consiste en determinarla variable entrantesegún los
coeficientesde la función objetivo,comoen el problem ase desea maximizarla función
59
entonces se Introducex2 dentro de la base, ya que xa presenta el mayor
coeficientepositivoen la funciónobjetivo. (ca 450 Para determina rla variable que
sale esto se realiza a través del elemento pivote, el cual es la relación menor positiva ( R )
entrelos Valoresde las variablesbásicas y los coeficientes( ) de la columnade la
variable entrante( columnapivote)es decin
Rs = n = 50
como la relación menor positiva es R3 = 50, esto significa que el elementopivote se
encuentra en el coeficiente que tiene como valor 1,6 .

básicas variables básicas
2,5 400
200
80
300 450
elemento pivote
ntraa la base,
( columna pivote)
y la variable que sale es xs , ya que el element opivote es la intersecciónde los

coeficientes de la columna de la variable entrante( columna pivote y la fila de la
variable
que sale de la base ( fila pivote) .
una Vez que se determineel elementopivote, la variable que entraa la base y la
que sale de la base, se construye una nueva tabla simplex. reemplazandola variable xa
por x, . ( SI se analiza el métodosimplex, es equivalentea movemosde un vértice del
área faeible a otroen el orinco, siempremejorand la

o solución).
Ya que la variable que entra es para oMenerlos nuevos elementos de la fila de
xa , se dividen los elementos de la fila de x, entre el valor del elemento pivote ( ) .
- nuevos valores parala Olade =
IA=I L = 0,625 U: 50
1.6 1,6 1.6
es decir, que los nuevos elementos de la variable que entra a la base se determinan la
relación .
elementoanteriorcorrespondientea la fila
Nuevo elemento de la variable entrante= (a variable saliente
valor elemento pivote
reemplazando estos valores en la tabla simplex, se obtiene.
V.B. x x V.V.B.
x o 1 o o 0,625 50
para completar la primera iteración, los elementosrestantesde la tabla se obtienen
utilizando la siguiente expresión •
Relación entre el
Elemento anterior elemento anterior
correspondiente a la de la columna
-
Nuevo elemento = ( Elemento anterior) fila de la variable pivotey el valor
del elemento
saliente pivote seqt:n la
rila a analizar
61
Por ejemplo, para determinarlos nuevos valores para la fila de , se tiene .
o- = -3,125
400 • = 150
para la fila de x,
o- = - 0,625
200 - = 150
y para la fila de F :
300- = 300
450- =o
o- 22500
completandola primeraiteración,la nueva tabla simplex será la

siguiente ,
62
Primera iteración

básicas X2 xs variables
básicas
2,5 o 1
o -3,125 150
2 o o 1 -0,625 150
o o 0 625 50
300 o o o -28125 -22.500
la nueva solución básica, después de la primeraiteraciónes
150
xs=O
50 F = 22.500
Una vez completadacada iteración se procedea verificarsi se ha llegadoa la

solución esto se realiza analizando los coeficientes de la función objetivo, cuando
todos los coeficientesde la funciónobjetivosean ceros ( 0 ) o negativosentoncesse ha
llegado a la solución óptima.
Como se observaen la tabla simplex anteriordespuésde

, la primeraiteración,la
función objetivo todavía tiene coeficientes positivos ( el coeficientede XI que es 300 ) por
lo tantola soluciónno es óptimay se debe continua rcon el procesoiterativo,ya que un
incremento en esa variable ( XI ) haría incrementarel valor de la función objetivo.
Para construirla tabla simplex de la segunda iteraciónse repite el tercer paso
descritoanteriormentees
, decir : la nueva variableque entraa la base es , ya que es la
que tiene el coeficiente más positivo ( Cl = 300 ) y para determinarla variable que sale se
localiza al elemento pivote, siendo en este caso ,
R, = 150/2,5 60
R2 = 150/2 75
R, = no se determina,ya el elementopivotees la relaciónmenorpositivo. (la

columna pivote presenta cero ( 0 ) como elemento).
63
como la relación menorpositiva es Rt = 60, esto significa que el elementopivote es el
elemento2.5 'i que correspondea la variablex, , es decir es la variable que sale de la
base como se muestraen la siguientetabla.
Elemento pivote Fila pivote
V.B. x x V.V.B.
2,5 0 o -3,125 150
2 o o 1 -0,625 150
x o o -0 625 50
-F 300 0 o o -281 25 -22.500
x. entra
R2 150/2 75
R3 = 50/0 Indefinido
Como x, entraa la base y x, sale de la base, paraobtene rla fila de x, se dividela fila
pivote entre el elemento pivote, obteniendolos siguientes valores en la tabla simplex.
( Nuevos elemento sde la variableentrante)
V.B x x x V.V.B
0 1/2,5 0 150/2,5
para completar la segunda iteración, los elementosrestantesde la tabla

simplex se
obtienen utilizando la expresión
64
Relación entre
Elemento anterior el elemento
ala • anterior de la
Nuevo elemento (Elemento anterior) • correspondiente columna pivote
fila de la variable
saliente y el valordel
elenunto pivote
Así, para determinar los nuevos elementos para la fila de , se tiene
0-1
1-0
-0,625 • (-3,125 ) ( ) = 1,875
para la fila de •
0-2,5
0,625 • ( 4,125 ) ( 0/2,5 ) : 0,625
50-150
y para la fila de F.
300-2,5
0-0
0-1
0-0
• 281,25 • (-3,125) ( 300/2,5 ) 93,75
Q500-150
65
La siguiente tabla simplex resume toda la información después de la segunda Iteración
Segunda Iteración
V.V.B
0,4 60
1,875 30
0 62 50
-120 0 93 75 40.500
Elemento pivote
La nueva solución básica, después de la segunda iteraciónes :
XI = 60
30 xs:o
xa=50
F 40.500
Ahora, para verificar si se ha llegado a la solución óptima, se analizan los
coeficientes de la funciónobjetivoen la segunda iteración,en vista de

que el coeficiente
de es 93,75 ; positivo, implica
que se debe continuarcon el proceso iterativo, ya que al
incrementar se incrementael valor de la función

objetivo.
Repitiendo el proceso iterativo,con elemento
pivote 1,875 ( entra y sale xa ) se obtiene
la tercera iteración .
Tercera iteración
V.V.B
o -0,1333 0,666 o 80
o .0,4266 0,5333 16
02666 .0,333 o 40
-50 .42 000
Como se obseva en la tablasimplex de la terceraIteración,todoslos coeficientes
de la funciónobjetivo( fila de F) son negativoso ceros ( 0 por lo tanto la solución que
se ha obtenidoes la óMlma,es decir:
-80 xs=o
16
40
F = 42.000
del
Estos resultadosindicanque la CompaflfaArtilara debe producir80 unidades
product oA (x, = 80 ) y 40 unidadedel o mensualmente = 40 ), con la

s productB
finalidadde obtenerla máximas utilidadesBs. 42.000. La variable g, variable de holgura
asociada a la disponibilida dde horas máquinaMs ( máquina3 ) tiene un valor de 16 y
representael númerode horas sobranteen la máquina3 ( W), es decir de un totalde 80
horas disponibles en M, sobran 16 horas en M3al producir80 unidades de A y 40 unidades
de B. Las variables '(3y , que son las variables de holgurasasociadas a Ml y M2son
igualesa cero( 0 ); = 0y = 0 , lo queindicaquese utilizaro todaslas

n horas
disponiblesen las máquinas2 y 3 ( 400 y 200 horas respectivamente
Como se observa en la tabla final simplex o tercera iteraciónes importanteseñalar
que las variables no básicas en la tabla final ( y x, ) presentancoeficientesdistintosde

cero en la funciónobjetivo 80 para& y • 50 para xa ), ya que si una variable no básica
presenta un coeficiente igual a cero ( 0 ) el problemaplanteadotendria múltiples
soluciones óptimas, generando estas las mismas utilidades.

8.4
En un pmblemade programaciónlineal en el cual se desea minimizar la fundón
objetivo, al igual del caso de maximización se siguen los pasos descritos en la sección 32,
con la diferencia que cuando se este minimizandoel proceso iterativose repite que
todos tos coeficientesde la funciónobjetivosean ceros ( O) o positivos ( si algunos de los
coeficientes de la función objetivo en la tabla simplex son negativos significa que la
función objetivopuede reducirseaún más, entonces,se selecciona la variable con el
coeficientemás negativocomola variable que entraa la base y se continuael proceso
iterativo
Por lo general, en los problemasde minimización las restriccionesson del tipo ,

lo alal significa que al aplicar el métodosimplex se trabaja con las variables de excedente
y artificiales, asi como también hay que minimizar la función artificial formada por las
variables artificiales.
Para ilustrarel métodosimplex cuandose desea minimizarse utilizará el siguiente
ejemplo .
Min. 5x1 + 10x2
sujetoa : 6x, + 3x2 s 20
4x1+ = 16
2x,+6x2216
XI , xa 20.
Ya que el primer paso en la aplicacióndel métodosimplex consiste en expresar las
restricciones en igualdad, utilizandolas variables de holguras, excedentes y artificiales
según sea el tipo de la restricción; se tiene ,
68
Min.F a + 10X2
sujetoa. •20
4xt+4X2 10
-xo & = 16
Xl.X2
La variable x, es una Variablede holgura.
La variable es una variable de excedente

y las variables x, y son variablesaniüciales.
Al e<ar en presencia de variablesartificiales,se crea una funci6n adicional llamada
fund6n artificial( F.) , la anl hay que minimizary es la sumatorf ade todas las variables
artifidales presentes en el problema,es decir
como = 16 -
& = 16-
- El segundo paso consiste en la tabla inicial simplex :
Tabla inicial simplex
Valores de las
Variables båsicas x variables båsicas
10
10
.32
69
En la tabla Inicialsimplex las variablesbásicas son ( variablede holgura) , y
( variables atllnciales) ya que en
la solucióninldal las variablesde decisióntienenun
valor de cero, por lo tantolos
valores que tomanlas variables básicas son : x, 20, x. =
18 16 ; en la solucióninicialF = Oy F. = 32.
- El tercer paso, el paso iterativo,como en este problema en presenciade una

función artificial,pdmerose minimizala funciónartificial( F. ) y una vez que Fa = O ; se
eliminan las variables artificiales y la función artificial, para luego continuar resolviendo el
problema,minimizandoF en este caso.
Entonces, para minimizar una función utilizando el método simplex, primeramente

Fa , se h dentrode la base, ya que xa presenta el coeficiente más negativo en la
función artificial( 10 ) : para determinarla variableque sale, se realiza a través del
elementopivote, el cual es la relaciónmenorpositiva ( R ) entrelos valores de las
variables básicas y los coeficientes ( > O) de la columna de la variable entrante ( columna
pivote es decir:
RI = 20/3= 6,66
R2 = 16/4 4
= 2,66
como la relación menor positiva es R$ = 2,66; esto significa que el elementopivotese
encuentra en el coeficiente que tiene como valor 6 .
columna pivote
V.B V.V.B.
16
10
• 32
entraa la base elementopivote
y la variableque sale es , ya que el elementopivotees la intersecció nde los
coeficientesde la columnade la variable entrante( columna pivote) y la fila d' la variable
que sale de la base ( fila pivote),
Aplicando (os pasos iterativosdescritosen la sección 3.3 ( tomandoen cuenta que
la variable que entra a la base en el caso de minimizaciónes aquella cuyo coeficiente sea
el más negativoy que la funciónobjetivoes minimizadacuandotodos sus coeficientes
sean ceros 0 ) o positivos) , se obtienenlas siguientes iteraciones:
Primera Iteración
o o o 5/3
entra
Segunda Iteración.
V.V.B.
1 -15/8 3/4
1/4 3/8 -1/4
1/4
0 5/4 • 30
71
Como se observa en la segundaiteración ,las variables artificiales , x. y la fundón
artificial, F. , son iguales a cero ( O es decir.
Una vez minimizadaFa ( F. O) se eliminade la tabla simplex la función artificialy las

variables artificiales, quedando la tabla simplex siguiente .
Tabla inicial simplex para el problemaoriginal
Ya que el problemaoriginal consiste en minimizaruna función. entonces. es

requisito indispensable que todos los coeficientes de la función objetivo sean ceros
(O)o
positivos para obtenerla solución óptima. Como se puede observar en la tabla simplex
anterio rtodos los de la funciónobjetivosson ceros ( O ) o positivos,por lo

tanto la solución óptima al problema planteado es .
XI = 2
y el valor mínimo que toma la objetivo es

F 30.
En el caso de que algunosde los coeficientesde la función objetivoen la tabla
simplex fuesen negativos, edo que la funciónobjetivo puedo reducirse aún más,
y se continuadacon el procesoIterativoseleccionandola
, variable con el coeficientemás
negativo como la variable que entra.
Al métodoexpuestoanteriormentcuandose
e en presenciade una función
artificialse le conocetambiéncomoel métodode las dos fases, ya que en la pdmera fase
siempre se minimizala funciónartificialy en la segunda fase se oMimiza el problema
según sea el caso, maximizar o minimizaruna función.
3.5.- *Ice
Al aplicar el métodosimplex puedenocurrirvarios casos especiales .
- Que el modelosea no soluble.
- Que el modelosea degenerado.

- Que el modelosea ilimitado.
3.5.1. Modelo no soluble.
Un modelo de programaciónlineal es no soluble si las restriccionesse

entreellas mismas. Por ejemplo , si las restriccionesdel modeloson
las siguientes : XI+ 5
XI 10
si se utiliza el método gráfico se obtiene .
10
5 10 x,
73
como se observa en el gráfico anteriorno existe área o región factible, por lo tanto
se dice que el modeloes no soluble o no Estos modelosse pueden

detectar analizando las restriccionesdel problema; sin embargo, en problemas
muy grandes con muchas variables y restricciones resulta dificil detedarlo, en
caso el modelose reconoceque es no soluble si al aplicar el métodosimplex

resultaimposiblereducirlas variablesartificialesa cero ( O) en el primerpaso, es
decir si la solución final contieneuna variable artificial,entonces, no existe una
solución al problema planteado.
Generalmente, en la práctica un modelo no soluble significa que el problema se ha
formulado erróneamente.
3.52. Modeloilimtado.
Un problemade programació nlineal es ilimitadosi su función objetivopuede ser

optimizadasin limites. Estos casos ocurrensi existe alguna variable que entre a
la base pero no se puede determinaral elementopivote ya que los elementosde
la columna pivote son negativos o ceros. Para ilustrareste caso se tiene el

siguiente ejemplo :
Maximizar F = 16x +1 10x2

sujetoa: 3x1-3x2 S 5
-4x1 + 8
x, , h 20
Resolviendo este problema aplicando el métodosimplex se tiene .
Max. F - 16x, +
s.a.:
-4x, + 2x2 + 8
xt . xs,xa 20
74
Donde x, y x4 son variables de holgura.
V.B x x V V.B.
1 5
-4 2 8
-F 16 10 o O
Ent
Primera iteración.
V.B. x x V.V.B.
1
-1
o -2 1
-F o 26 -16/3 -80/3
ntra Columna pivote.
como se puede observar en la tabla de la primera iteración el coeficiente de (26)
es positivo, lo cual indica que F puede incrementarsemás, entra a la base, sin
embargo los elementosde la columna pivote son negativos, Io cual indica que no
hay variable saliente de la base, por lo tanto el modelo es ilimitado. En la

un es modelo ilimitadodebido a que el problemase ha formulado
erróneamente.
3.5.3. Modelo degenerado.
Un modelode programació nlineal es degeneradosi una o más de la variables

básicas llegan a ser cero en cualquier paso o iteración. En estos casos al aplicar
75
el métod osimplex la variableque entraa la base quedacon valor cero y el valor
de la función permaneceinalterable, las iteracionesentranen un ciclo o circulo
cerrado, repitiendoestas sin llegar a la solución óMima,es decir el valor de la
función, F, nose optimiza.
76
Problema propuestos.
3.1. Considere el siguiente problema.
Max. FE 54X,+ 53X 2+ 56'6.

sujetoa . 9x, + 3x2+ 9x3 900
+ + 6x3 800
a). Exprese el problemaplanteadoen una tabla simplex.
b). Resuelva el problemaaplicandoel métodosimplex e interpretelos resultados.
La Compañía Limpi - Lara C.A. fabricantesde productosde limpiezas, produce
actualmente tres produdos : desinfectantes, lavaplatos y cloro.

La elaboració nde estos producto sse realiza a través de dos procesos : el proceso
de mezclado y llenado y el procesode etiquetad oy empaque.
Las horasdisponiblessemanal en cada procesoson : en el procesode mezclado y

llenado 210 hrsJsemanal y en el procesode etiquetado80 hrs./semanal.
El tiempo requeridopara producir un litro de desinfectante es de 25 segundos en el
procesode mezcladoy llenado,mientrasque en el procesode etiquetadoy empaquees

de 10 segundos por litro.
El tiemporequeridopara producirun litrode lavaplatoses de 40 segundos en el

proceso de mezclado y 10 segundos en el proceso de etiquetado.
El tiemporequerid para
o producir un litro de cloro es de 20 segundos en el
procesode mezcladoy IO segundosen el procesode etiquetadoy empaque. La utilidad
por litrode cada product oes la siguiente: 15 Bs. para el desinfectante25
. Bs. para el
lavaplato y 18 Bs. para el cloro.
77
La Compañia Limpi • Lara desea determinar cuántos litrosde cada produdo debe
V0ducir semanalmentecon la finalidadde maximiar sus utilidades. Utilice el método
simplex para resolver ede problemae interpret elos resultados.
3.3 La empresaToys - Lara CA, se dedicaa la fabricació de

n juguetes en especial
muñecas, adualmente se fabricancuatrosmodelosde muñecas, (m-l rn4).
La materia prima básica para la elaboraciónde edas muñecas de
dióxido de titanic, desmoldante y clorurode polivinilo.
La disponibilidadde materiaprimapara el próximomes es la siguiente .
500 kilogramos de clorurode polivinilo,

810 kilogramos de dióxidode titanic,
315 kilogramos de desmoldante.
Los beneficiosesperadospor cada modeloson : del modelo m-l Bs. 520 por
unidad,de m-2 Bs. 710 por unidad,de m-3 Bs. 390 por unidady del modelom-4 Bs. 410
por unidad.
Los requerimientosde materia prima por unidad de cada modelo son los
siguientes:
Cada unidad de modelom-l requierede : 1.000 gramos de cloruro de

polivinilo, 500 gramos de dióxido de titanicy 1.125 gramos de desmoldante.
Cada unidadde m-2 requierede : 2.000 gramos de clorurode polivinilo,
1.500 gramos de dióxido de titanicy 150 gramos de desmoldante.
Cada unidad de m-3 requiere de : 500 gramos de cloruro de polivinilo, 1 600
gramos de dióxido de titanicy 75 gramos de desmoldante,

Cada unidad de m-4 requierede : 600 gramos de clorurode polivinilo, 1 500
gramos de dióxido de titanicy 85 gramos de desmoldante.
78
må)dmicesus
el plan de producci6nque
La empresaToys - Lara desea determina r
e interpretelos resuttados.
beneficios. Resuelva este problemacon el métodosimplex
- Problema de
Resuelva el problemade la compahia LaraCola ( caso 2.2.
minimizacion), cuya formulaciånes
Min. F = 120.000Xl+
s.a. + 48.000
+ 48.000
+ 72.000
3.6. Resuelva el problema 1.12 ( recorte de papel ) aplicando el método simplex.
3.6. Resuelva el problema1.17. ( compaöia Dac-Ven) aplicando el métodosimplex. E
interprete los resuttados.
3.7. Resuelva el siguienteproblemade programaciönlineal con el métodosimplex y
explique la soluci6n.
Min. F = + + 16x3
sujetoa: 4x3s36
8X1+ + = 32
20
79
simplex y
Resuelva ei siguiente problemade programación lineal con el método
explique la solución.
Min. F - 10x2
sujetoa: 6x, + 3x2S 18
+ 4x2= 16
2x, exa
'(1 , '(220
3.9. Considere el siguiente problema .
Max. F = 5x1+ 10x2

sujetoa: 2x, 26
IO
XI + 4
Resuelva el problema aplicando el métodosimplex e interpretelos resultados.
3.10. La Compañía Arti- Dac fabrica 3 tipos de artículos,A, B y C. Cada articulopasa

por tres procesos : P, , Pa , P, . Las capacidadesde operaciónde cada procesoy los
requerimientos de los diferentes artículos son los siguientes ,
•—pepqo nset eołwpqtu anb łensuew uqponpud ep uetdla Jeu!uuełapeesap es
•Oend •se g ved OZ •sg ued Ot •sg ep sa ołnoyu eepeoep pepłunJod en
ozŤ
(•sjq) łensuow O V nseoo.ld

penoedeo
Capitulo IV.
El problema dual y el análisis de sensibilidad.
82
N. El problernadual y el análisis de sensibilidad.
El proúemadual y el análi± de suiNlid•d represeüi dos aspeaos muy
Importantesde la lineal,bs anles egin reladonedosentre
En el caso del dual se tieneque todoproblemade 709ramadón lineal ( —ema
otwnal yesenta modeb asodado a el, el cual es como el yoblema dual.
El dual genera deda Infomad6n necesariapara realizar el análi± de senslbil"ad, el
en ediilar los posibles que podrfaexperimentar la solWón óptimade
un de gogmmadón lineal undo oan•re ncamuos en hs parámetro sdel
Foblema odglnal.
Asodado a todo problema de programación lineal, exiãe otm voblema de
optimizació nllamú el voblema dual. El problem aque se formula
llamadotambiénel primaly el problema dual presentanuna edrecha relación,ya que a
partirde la solucióndMimade uno anlquiera de los dos se tiene información
la soludón óÑima del otro.
Para lograr un mayor entendimientode como un problemadual es formuladoa partirde un
problema original o primal se considerará el siguiente problemade programación lineal :
Si el problema primal es
Max. F x,
sujetoa: atl XI + + alnxnSb1
a21XI + + + aznxosb2
ami X, + +
83
entonces, la formulacióndel dual es la siguiente .
Minimizar g • bi Yt
sujetoa las restricciones.
aq Y' Ya+ a31Ys+ + amiYmZC1
Y' + an Ya+ anYs+
atnY' + + + amYm
y, 20,
Donde ym son los variables duales.
Para analizar la relaciónentreel problemaprimaly el dual hay que tener presentelos

siguientes puntos:
1. Si el problema primal es una maximización, el dual será una minimización y
viceversa.
2. En la maximizacióndel primal, las restriccionesdeben ser expresadas en S,
mientras que la minimización del dual en .
3. En la minimizacióndel primal,las restriccione sse deben expresar en , mientras
que la maximización del dual en S.
Es decir,
si el primal: max. (S) Dual min. (2)
y si el primal: min.(Z) Dual teax.
4. Si una restricción del primt,r ss una igualdad entonces la variable dual
correspondiente no tiene restricciones en su signo.
5. A cada restricción del primal le corresponde una variable dual.
84
6 Los coenclentes de la matriz de restricciones del problema dual se obtienen
escribiendo la transpuesta del primal.
7' Los coeficientes de la función objetivo del dual son los términos independientes
br.) del primal.

8. Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos independientes
del dual (Cl , ca ,

9. De simetrfa, el dual del problema dual será el problema primal.
10. Si el primal tiene n variables y m entonces el dual tendrá m
variables y n
11. Tanto en el pdmal como en el dual las variables son no-negativas.
Como un ejemplo del problemadual, se utilizará el problema 1.1.. cuya formulación

originales
Max. F = 300x1+ 450x2
25x1+5x2<400
s.a. 2x,+X2S200
1,6x2' 80
La formulación anterior corresponde al primal, donde se esta maximizando la

función objetivoy todas las restricciones expresadas en . Asociando a cada
restricción del primal una variable dual ( y, por la primera, Y2 por la segunda y por la
tercera restricción ).
El problema dual es entonces :
mín. g = 400Yl+ 200Y 2+ 80Y3

sujeto a . 2,5Yl+ + 300
5Y1+ Y2+ 1 450
85
Como se puedeobservar en la formulacióndel dual, esta presenta2 restricdones
y 3 variablesIo cual simplificalos etculos al resolverel problemaaplicandoel método
simplex.
4.2. la la
Una de las importanciadel
s a dual es que minimizaen algunos casos los
problem
cómputos al aplicarel métodosimplex; ya que si en el primalse minimizandoen el
dual se procedea maximizarla función (con todas las expresadas
en S eliminando asi a la funciónartificial,por otra parte el númerode variables y

se transponen al llevar un problemade primala dual, resultandoen ciertos
casos menos en la formulacióndel dual, lo cual simplíca los cálculos al
aplicar el métodosimplex. Entonces, un problemade programaciónlineal se puede
resolver aplicando el método simplex al modelodual y luego relacionar el resultadodel
dual el primal.
Para relación ( dual - primal ) se utilizará el ejemplo del punto anterior
( 4.1. ) cuya formulació ndel dual es
Min. g= + 80Y3
sujeto a . 2,5Y+l + 300

5Yl + Y2+ 1.6ys2450
Y3ZO.
al aplicar el métodosimplex ( con ya y y, como variablesde excedentey ye y y,
variablesartificiale sy F artificial y, + y, = 750- 7,5Y1- 3Y2- l,eya + y, + ys) se tiene:
Min, g= 200Y 2+ 80Y3
sujetoa 2,5Yl + -y, + yo = 300
5Y1+ Y2+ 1,6ys -Ys+Y7 z 450

y, + 750 — • 3Y2 • 1 Ya
86
Иа soluci6n del ргоЬ1етаdual set 'а slguiente
тама inic\al
Уз У? v.v.B.
2 1 зоо
1 450
400 200 во 0
1 -750
1ега. l!enci6q.
УЗ Ув v.v.B.
-1 75
1 од 0,32 о • 0,20 о 0,20 90
-9 120 -48 80 • 36.000
Fa О -1,5 1 о 1,5 -75
2da.
Уз v.v.B.
1
• 0,533 орав • 0,333 50
0,426 0,133 • 0,266 • 0,133 ода
40 • 42.000
Eliminando la función artificialy variables artificiales( 0 ) se obtienela tabla final
simplex:
Tqblp - -
V.V.B.
Ya - 0.533 - 0.666 0,333 50
o 0,426 0,133 - 0,266 80
-g o o 16 80 - 42.000
asociando resultado del dual ( tabla final simplex - dual ) con el problema primal cuya
tabla final simplex es la siguiente:
Tabla final simplex - primal - problema 1.1
V.B. X3 x, xs V.V.B.
- 0,133 0,666 o 80
o o - 0,426 0,533 1 16
o 1 0,266 - 0,333
-F o o -80 -50 o - 42.000
como se puede observar en las dos tablas simplex anterioreshay una gran conexión; de
donde se puede establecer las siguientes relaciones .
a. Si un problema primal tiene solución entonces también lo tendrá el dual y
Max. F = Min. g 42.000 es decir el valor óptimode la funciónobjetivodel
primal ( F ) es igual al valor óptimode la funciónobjetivo del dual ( g ). Sin
embargo, si el primal es ilimitadoentonces el dual es un modelo no soluble.
88
b. Los coeficientes de la fundón objetivode la tabla anal sí*x del primal (80 y 50)
son iguales a los valores de las variables del dual, ( tomandovalor
absoluto) y viceversa.
c. La solución óptima del dual proporciona diredamente la

solución del primal y
viceversa. Estableciendo la siguiente relación entre las variables del
primaly del
dual : la primera variable de holgura del primal se asoda con
la primera variable
dual y asf sucesivamente,es decir.
Variables del primal Variables del dual

X3
xs Ya
Ys
mediante eãe relación se puede llegar a la tabla simplex del primal a
partirde la
tabla simplex del dual y viceversa. (Para obtenerlos valores internosde la
tabla se
cambia de signo, porejemplo,el valor x, se asocia con el y, ya ( y, y, = 0,133 )
entonces el valor x, x3 = - 0,133 ).
4.3.
Otro aspeao importantedel problemadual radica en la interpretació n

económica
de las variables duales.
Ya que la función objetivo del :
brn ym
donde cada bi y, puede interpretarsecomo la contribucióna la ganancia por disponerde bi
unidades del recurso i en el problema primal ( ya que b, representala disponibilidadde
89
recursos: mientrasque Yi la variable dual, se puede Interpretarcomo la contribucióna la
ganancia por unidaddel recurso I (l á 1,2,
Por ejemplo. en el problema 1.1. la función objetivo del dual es

y los valores óptimosson y, = 80, y ya= 50 ( según tabla final simplex del dual , sección
4.2. ) ; esto significaque cada unidadde recursode la máquinaI contribuyecon 80 a la
funciónobjetivo, mientrasque cada unidaddel recursode la máquina2 contribuyecon SO
a la funciónobjetivo.
En el análisis del problema1.1.. las variables duales puedenser interpretadas

como el costo/hor adel tiempoutilizadoen las tres máquinas,a estos valores duales
también se les conocen como precios sombras, costo o utilidadmarginal y representanel
precio unitario( máximo ) que se está dispuestoa pagar con la finalidad de incrementarla
asignaciónde los recursos.

Si por ejemplo el tiempo disponible en la máquina 1 fuera incrementado
marginalmentea 400 + horas mensuales, entoncescomo la base del dual no se afeea,

por lo tanto min. g. se incrementaría a
( 400 + a) 80 + 200 • 50 + 80 O
y como Min.g = Max. F lo cual implicaque Max. F se increment en

a 80 a.
Los precios sombras ( o los valores de las variablesduales ) representanel efecto

sobre la función objetivocuandoocurrenpequeñoscambios en el lado derechode las
restricciones; lo cual es muy impone"' cuandose desea evaluar la sensibilidadde ta
solución.
4.4. Anülslg de s•lbllldad.

Con la finalidadde determinarel efecto en la soluciónóptimade un problemade
programación lineal cuando se producen cambios en los parámetrosdel modelo ( cambios
90
en la disponibilidado
d recursosen
. la función nuevasrestriccioneetc.„)
s es
necesario realizar un análisis de sensibilidadel cual eda basado en la informaciónde ta
tabla anal simplex, evitando asf el tenerque resolver por completoun nuevo problemapor
el métodosimplex.
En esta sección se analizaránlos siguientescasos :

I. Cambios en los limitesde las restricciones.
z Cambios en los coeficientesde la funciónobjetivo.
3. Cambios en los coeficientesde las variablesen las
4. La incorporació nde nuevas restricciones.
5. La incorporació nde nuevas variables al problema,
4.4.I. Caso I: Carnbbs en hs limÑesde las o cambios en las b,

Si ocurrencambiosen la disponibilida dde los recursos( ) y se desea inve<jgar
el efedo que estos cambios producenen la solución óptima, es necesario realizar un
análisis de sensibilidad. Ya que en la formulació ndel modelode programaciónlineal
cada restricción asociada a una variable de holgurao excedente,entoncescada
relacionadocon las variables de holguray su correspondient variable
e dual de la
tabla final simplex :
Para una mayorcomprensiónde este caso se analizará en dos partes:
a. Cuanú la vuiable de holgara parte la solwión óptima y
b. Cuando la wiable de holgcra no forma parte de le soluc4n óptima y se desea
en las b, asociadas a dmas "Viables
a. Cuando ta va•iablede holgua torma pute de la solucón óÑúna.
En el problem a1.1. el cual fue tratad oen el problem adual, se puede

observar que en ta tabla final simplex y, es el preciosombra ( o variable dual )
para la restricciónbasada en la tercera máquina y toma un valor de cero, = O;
ya que el precio sombra da el valor matvinal de cada recurso. significa que la

función objetivo no experimentará cambios, al incrementar los recursos
disponiblesen la máquina3 y en de que la variable asociada a y, es xs. la
cual es la variable de holguray forma partede la solución óptima, = 16, se
puede interpretar que en el plan o solución óptima existe un sobrante u holgura de
16 horas máquinas (máquina 3) de un total de 80 horas disponibles. Ahora, si
d númerode horas en la máquina 3, por

OCUtT une cambio en la disponibilida del
d de 100 horas - maquinas, esto significa que el

ejemplosi la disponibilida es
númerode horas - maquinas sobranteu holgura se incrementaráen 20 horas ( es
decir se tendría una holgura de 36 horas en la maquina 3 mientras que la función
objetivono se altera,ya que h = 0 y si los recursosde la máquina3 son mayores

o iguales a 64 horas ( 80 - 16 ) el plan o solución óptima no se alterará.
Por lo tanto, cuando la variable de holgura forma parte de la solución

óptima no ocurrirán cambios en la función objetivo al incrementar o modificar la
disponibilidadde los recursos de la restricciónasociada a dicha variable de

holgura, ya que la variable dual o precio sombra asociada a la variable de holgura
correspondientees igual a cero ( y = O).
b. Cuando la variablede holgara no forma parte de la solución óptima.
En el problema 1.1. se puede observar que las restricciones

correspondientesa la maquinas I y 2, presentan una disponibilidadde recursos de
400 y 200 horas y las variables duales asociadas a ellas •y, y Y2
• toman un valor de = 80 y Y2 = 50; así como tambiénlas variables de

holguras( y ) asociadasa esas restriccione sno formanpartede la solución
óptima,como se muestraen la tabla final simplex :
92
le
V.B. V.V.B
1 o -0,133 0,666 O 80
o -0,426 1 16
1 0,266 - 0,333 O 40
-F o o - 80 -50 o - 42.000
Entonces, si ocurren cambios en los limites de esas restricciones
(máquina 1 y máquina 2), se produciráncambios en la función objetivo, lo cual
será proporcionaal
l preciosombra ( o valor marginalde cada recurso), así como
también cambios en la solución.
Estos posibles cambios en la solución, al igual que el rango de valores de
los limites ( bi) de las restriccionespara el cual no se alterael plan óptimo,pueden
ser determinadosrealizando un análisis de sensibilidad a partir de la tabla final
símplex.
Así, de la tabla final símplex del problema 1.1. se tiene que .
- 0,133X3+ 0,666X4= 80
0,426x3 + 0,533x4 = 16
+ 0,266x3 - 0,333x4 = 40
F = - 80x3- 50x4+ 42.000

Ahora, si la capacidadde la máquina1 se increment ade 400 horas
máquinasa 400 + cz, esto es equivalentea cambiar el cual tiene un valor de
cero ( según tabla final símplex ) por - , ya que según la restricciónde la
máquina 1 .
2,5x, + 5x2+X3=400
al incrementar la disponibilidad:
93
2,5x1+ 5x2+ a = 400+
entonces, para que no se altere la solución '(3+ a = 0, es decir, -a. Como
se está analizando cambios en la máquina I, xa permanececero (xa es la variable
de holgura asociada a la máquina 2
Substituyendo = - oty = O en el sistema de ecuaciones anterior,se
tiene .
XI -0,133 XI = 80 - 0,133C
& - 0,426( -CC) = 16 & — 16 - 0,426C

-
+ 0,266( -Q) = 40 40 + 0,266C
-80 a + 42.000 F = 42.000+ 80

como las variables XI , , , son mayor o igual o cero (Z O) por ser variables
básicas, entonces:
80-0,1s33
16-0,426
40+0,266 -150,37
así, el posible cambio de la capacidad de la maquina 1 @ para el cual no se altera
el plan de producción se encuentra en el rango .
- 150,37 37,55
al analizar la relación :
400 37,55= 437,55
400 +
400 - 150,37 = 249,63
94
se obtiene que el tiempo disponible en la máquina 1 puede oscilar entre el rango
de valoresde 249,63 a 437,55 horas - máquinas,y dentrode este rango la
solución óptima continua presentandolas mismas variables dentro de la base.
Mientras que .
F = 42.000+ 80
indicaque la utilidado beneficiocambia a una razón de 80 ( donde 80 es el
precio sombra y es la variación de la disponibilidad de recursos ).
Si, porejemplo,la disponibilidade

d recursosen la máquina1 es de 430 horas,
para determinarcomo quedaría la solución, se realiza el análisis de sensibilidad:
De la tabla final símplex se tiene .
80-0,133a
16 - 0,426
= 40 + 0,266
F= 42.000 +
ya que el incrementoes de 30 horas es decir = 30, sustituyendose obtiene:
80-0,133
16 - 0,426 ( 30) = 3,22
= 40 + 0,266 ( 30 ) = 48
lo cual indica que al incrementar30 horas en la disponibilidadde la máquina I, se
van a producir76 unidades del productoA y 48 unidades del producto B,

quedando una holgura de 3,22 horas en la máquina 3.
Mientrasque la utilidado beneficiose incrementaen 80 • 30 = 2.400 Bs.,

por lo tanto la nueva utilidad será
42.000+ 80 (30) = 44.400 Bs.
95
4.4.2. Caso 2 : Cambio en los coeficientesde la funciónobjetivo.
Si ocurren cambios en los coeficientes de la función objetivo estos pueden afectar
a la solución o plan óptimodel problemay para no resolver el problema nuevamente se
realiza un análisis de sensibilidad, tomando como referencia la tabla final simplex del
problema planteado.
Para una mayor comprensiónde este caso, el análisis de sensibilidad se basará en
el problema 1.1. Supongamos que en el problema 1.1. tas utilidades o beneficios por
unidadde XI y son Cl y esto es en el lugar de 300 y 450. Entonces,

la función objetivo será
F = Cl XI+C2X2
ya que las variables XI y son básicas, utilizandola informaciónque suministra la tabla
final símplex :
Tabla final simplex - problema 1.1.
V.B. X3 V.V.B.
1 o - 0,133 0,666 o 80
- 0,426 0,533 1 16
o I 0,266 - 0,333 o 40
o o -80 -50 o - 42.000
se observa en la tabla final símplex que los coeficientesde la función objetivode las
variables no básicas y son negativos, Ca' = - 80 y = - 50, por lo tanto si ocurren
cambiosen los coeficiente sde las variablesde la funciónobjetivo,entonces,hay que

analizar si con estos cambios los coeficientesde la función objetivode las variables no
básicas de la tabla final símplex continúansiendo negativos; ya que el problemaplanteado
consiste en maximizar, entonces,si c3' y c4' llegan a ser positivos, implica, que el plan
96
óptimose alterarla,mientrasque si Cs' y c4' son iguales a cero, indica que existen
múltiplessoluciones con las mismas utilidadesy si Cs' y c4' son negativos el plan óptimo
anterio r se mantienees
, decir, XI = 80 y = 40, sólo que la funciónobjetivo
experimenta un cambio según sean los nuevos valores de Cl y c2 .
Para determina rlos nuevos valores de Cs' y c4' cuando ocurren cambios en los
coeficientesde la funciónobjetivo,de la tabla final simplex se analizan aquellas variables
no básicas, siendo en este caso ( problema 1.1. ) y '(4y tomando como referencia sus
columnas respectivas, es decir :
= + 0,133Cl + 0,426C5 - 0,266C2
C4' = - 0,666C1 - 0,533C5 + 0,333C2
Si, por ejemplolos nuevos valores de los coeficientesde la función objetivoson:

Cl = 350, y c2 = 450 ( nuevasutilidades ). -Y c3 , C4Y cs son iguales a cero ( ya que
representa na los coeficientesde las variablesde holgura), al sustituirestos valores, se
tiene:
03' = 0,133 (350) - 0,266 (450) = - 73,15
C4'= - 0,666 (350) + 0,333 (450) = - 83,25
Ya que c3'( - 73,15) y c4'( - 83,25) son negativos,significa que si los beneficios
de los A y B se incrementaan Bs. 350 y Bs. 450 respectivamente,el plan
óptimoanteriorno se altera,es decir XI = 80 y = 40, mientrasque la función objetivo
cambia a .
F= + 4002
F = 80 (350) + 40 (450)
F = 46.000
y la nueva tabla final símplex cuando ocurrencambios en la función objetivo ( Cl =

350 y
c2 = 450) quedaría .
97
V.B. V.V.B.
1 o - 0,133 0,666 O 80
o o - 0,426 0,533 I 16
o 1 0,266 - 0,333 o 40
o o - 73,15 - 83,25 o - 46.000
Nota: Si c3' o c4' fuesen positivos se tendría que continuarlas iteraciones hasta obtener
la nueva solución.
Caso 3: Cambiosen los coeficientesde las variablesen las restricciones.
El análisis de sensibilidaden este caso, trata sobre el que en la solución

óptima puede existir si se presentancambios en los coeficientes de las restricciones.
Este caso se puede analizar en dos partes.
a). Cuando los cambios ocurrenen una variable no básica.

b). Cuando los cambios ocurrenen una variable básica.
a). Cuando los cambios ocurrenen una variable no básica.
Si los cambios en los coeficiente de

s las variables en las restricciones
ocurrenen una variable no básica en la soluciónóptima,entoncesel análisis de
sensibilidad se lleva a cabo de la siguiente manera:
si porejemploallX1+
, a12X+2 ao bi es la primerarestricciónde un problema
de programaciónlineal y es una variable no básica en la solución óptima,si se
desea evaluar el efecto que en la solución óptima pueda presentarsecuando
ocurren cambio en el coeficientede entonces se realiza un análisis de
sensibilidad basado en la tabla final símplex.
98
Si el coeficient de
e el cual es an en la restricció noriginalpasa a ser
a13+ a, entonces, los nuevos coeficientesde ( para cada restriccióny para la
función objetivo ) en la tabla final simplex nueva se determinanutilizando las
siguientes expresiones:
Nuevos coeficientes en cada restricción: ã'r3= a'r3+ a'rh
donde, ã'r3 : es el nuevocoeficientede en la restricciónr que iría en la nueva

tabla final símplex.
ar3: es el coeficientede en la restricciónr de la tabla final símplex

anterior.
arh es el coeficientede la variable de holgura de la primera restricción
en la restricciónr ( si el cambio del coeficientees en la primera

restricción).
es la cantidaden la cual cambia el coeficiente de la variable.
Mientrasque el nuevo coeficientede en la función objetivoserá:
E'3 = c'3 + c'h
donde, õ'3•. es el nuevo coeficiente de en la función objetivo ( tabla final

símplex )
es el coeficientede x3 en la función objetivo tabla final símplex
anterior
c'h : es el coeficientede en la función objetivode la variable de

holgura asociada a la primera restricción ( si el cambio del
coeficiente se realiza en la primerarestricción).
a. es la cantidad en la cual cambia el coeficiente de la variable.
99
Para determina rsi la soluciónsigue siendo óptima basta con chequear el
nuevo coeficientede '(3en la funciónobjetivo ( 73 en el caso de un problemade
maximizar sl este coeficientees negativola solución seguirá siendo óptima, si se
hace positivo habrá que seguir iterando hasta encontrar la solución óptima.
Mientras,que si el problemaconsiste en minimizar, entonces, la solución seguirá
siendo óptima si el coeficiente es positivo.
Para una mayorcomprensió nde este caso del análisis de sensibilidad,se

plantea el siguiente problema de programación lineal:
Problema 4.4.3.:
Max, 190x1+ 250x2+ 150x3

sujeto a:
5x, + 5x2+ 5x3s 12.000

5x, + 10x2+ 18.000
10x1 + 5x3 20.000
agregando las variables de holgura:
Max. F: 190x1+ 250x2 + 150x3
+ + 5X3+ = 12.000
5x1+ 10x 2+ = 18.000
10x1+ 5x2+ 5x3+ —
- 20.000
Después de aplicar el métodosímplex la última iteración o tabla final símplex fue .
100
Tabla final simplex - problema4.4.3.
V.B. V.V.B.
- 0,2 1200
0,2 O 1200
2.000
-40 -12 - 528.000
de la tabla final simplex, se observa que:

Xi = 1200
= 1.200
= 2.000
F = 528.000
Ahora, si el coeficientede en la primerarestricciónpasa a ser 7 (
entonces, los nuevos coeficientesde en la tabla final símplex serán .
Función objetivo . 40-26 (2) = -92
Primera restricción: 713 = 1 +
Segunda restricción:
Tercera restricción: - 3 ( 2) = - 11
Con este cambio, la tabla final simplex será:
V.V.B.
1.8 1200
• 0,4 0.2 1200
-11 2.000
92 -26 -12 o - 528.000
101
Como el coeficientede en la función objetivosigue siendo negativo, la solución
sigue siendo óptima .
Xi = 1.200
= 1.200
= 2.000
F = 528.000
Ahora, si el coeficientede en la segunda restriccióndisminuye en 4 ( cz= 4 ),
es decir de 5 pasa a ser 1, los nuevos coeficientes de serán:

Función objetivo :
Primera restricción:
Segunda restricción: ã'a=0+
Tercera restricción: 733 = -5+1

Al sustituir estos nuevos valores en la tabla final símplex:
Tabla final símplex.
V.B. V.V.B.
1 o 1,8 0,4 o 1.200
a
: 08 -0,2 0,2 o 1.200
o O 1 1
-3 2.000
o o 8 -26 -12 o - 528.000
como el coeficientede en la funciónobjetivopasa a ser positivo ( +8 la

solución no sigue siendo óptimay se tendría que continuarcon el proceso de
iteración para obtener la nueva solución.
102
b) Cuando los cambios ocurrenen una variable básica.
s las variable sen las restricciones
Si los cambiosen los coeficientede
ocurrenen una variable básica, puedensuceder los siguientes casos:
que la actual solución continuesiendo óptima,

que la actual solución se altere,
que el modelo quede degenerado, ilimitado o no soluble.
Por lo tanto es difícil considerar de una manera sistemática los efectos de cambios
en los coeficientesde variables básicas y en vista de que el análisis de

sensibilidad puede no aportar información sobre la factibilidad del nuevo problema
este puntono será analizado.
4.4.4. Caso 4: La incorporaciónde nuevas restricciones.
La incorporació nde nuevas restriccionesal modeloya planteadopuede afectar la
solución óptima del problema planteado. Estas incorporaciones de nuevas restricciones
pueden ser como consecuencia de que se obvio una restricción en un principio o porque
surgieron nuevos elementos después de la formulación original.
El análisis de sensibilidad al incorporaruna nueva restricciónconsiste en verificar
si la solución óptima del problema planteadosatisface la nueva restricción. Si la solución
anterior satisface a la nueva restricción, entonces, la solución continua siendo óptima aún
cuando se hubiese agregado una nueva restricción al modelo. Si la solución no satisface
la nueva restriccióny se desea encontrarla nueva solución, se procede a introduciresta
restricción en la tabla final símplex tomando como variable básica a su variable de holgura
o artificial, se eliminan de esta restricciónlas otras variables básicas y la nueva variable
básica de la restricciónque se ha incorporadose hará negativa, lo cual puede interpretarse
103
que la solución no es posibley para resolvereste modelo ( con la nueva restricción) se
aplica el métododual símplex.
Para ilustrareste caso se consideraráel problema1.1„ donde se presenta una

nueva restricción basada en la disponibilida dde materia prima:
Si se disponede 460 unidadesde materiaprimay el productoA requierede 4

unidades y el productoB requierede 3 unidadesde materia prima, entonces, la nueva
restricción será:
4x1 + 3x2 460 ( materiaprima )

Como la solución original del problema 1.1. (según tabla final símplex) es: XI = 80, = 40
y = 16; al sustituir estos valores en la nueva restricción :
4 (80)+3 <460
ya que la soluciónanterior(XI = 80 y h = 40 ) satisface la nueva restricción,se dice que
la solución original no cambia y continua siendo óptima.
Ahora, si la disponibilida dde materiaprima es de 400 unidades, la nueva

restricción será:
4x1 + 3x2 400 ( materiaprima)
al sustituir Xi = 80 y
4 (80)+3
entonces, como 440 > 400, la soluciónoriginalno satisface la nueva restricción,por lo
tanto se altera el plan óptimoanterior( original ). Para encontrar la nueva solución óptima,
se agrega esta restricciónnueva a la tablafinal simplex - problema1.1. - con x, ( variable
de holgura, 4x1+ 3x2 + = 400 ) como su variable básica inicial:
104
V.B. V.V.B.
- 0,133 0,666 80
- 0,426 0,533 16
0,266 - 0,333 40
400
- 80 -50 - 42.000
Estos valores deben ser ceros, ya que XI y son variables

básicas. Para reducirlosa cero se multiplicala fila XI por - 4 y la
fila por- 3, luego se le suman a la fila y la tabla queda de la
siguiente manera:
V.B. V.V.B.
-0,133 0,666 80
- 0,426 0,533
0,266 - 0,333
- 0,266 -1 ,666 -40
-80 - 50 - 42.000
como el valor de negativo( - 40 ) la soluciónno es posible. Para obtenerla

solucióri óptima y fae4,iOtese apiica el método dual símplex a la tabla anterior,
quedando la
siguiente solución:
105
V.B. X3 xs V.V.B.
1 o - 0,239 o 0,399
o - 0,512 1 0,32 3,2
o 1 0,319 o o -0,2
o o 0,16 1 24
o o -72 30 - 40.800
Así, la nueva solución óptima al incorporaral

problema 1.1. la restricción 4x1 + 3x2 400
será:
XI =64; y F=40.800
es decir, el nuevo plan de producció consisteen : producir64 unidadesdel productoA y
n
48 unidades del productoB,
obteniend ounos beneficiosde Bs. 40.800.
4.4.5. Caso 5: La incorporació de nuevas variablesal voblema.

n
En este caso se analiza el efectoque se presentaen la solución óptima del modelo
original cuando se incorporannuevas variables al problema.
El agregar una nueva variable al modelo original de programación lineal se puede

considerar como un cambio en el coeficientede una variable no básica, lo cual cambia de
cero ( tanto en la función objetivo como en las restricciones ) a los nuevos

coeficientes de
la variable que se incorpora al problema.
El procedimientopara realizar el análisis de sensibilidad en este caso es muy

parecido al de la sección 4.4.3.
Para ilustrar este caso, se consideraráel problema1.1., al cual se le incorporará
una nueva variable, , que representaun nuevo tipo de producto,llamado C, el cual

genera un beneficio de Bs.330 por unidady requierede 3,2 y 1 horas en las máquinas Ml ,
M2y M3 respectivamente.
106
La formulació ndel modelocon la incorporació nde esta nueva variable ( ) será:
Max F = 300x,+ 450x2+ 330xc

sujetoa: 2,5x1+ 5x2+ 3xc 400
2x1 + '(2 + 2xc < 200
1,6X2
Ya que el análisis de sensibilidadse basa en la tabla final símplex:
Tabla final símplex problema 1.1
V.B. V.V.B.
O - 0,133 0,666
o - 0,426 0,533 1 16
o
0,266 - 0,333 0
o o -80 -50 o - 42.000
Para determinarel efedo en la solución óptima al introducirxc , se utilizan las expresiones
de la sección 4.3.3. y los nuevos coeficientesde xc serán:
Función objetivo : 330 - 80 (3)-50 (2)-0 (1
Primera restricción: -0,933
Segunda restricción: 7'2 C= o + 0,426(3) + 0,533(2)+1 (1 ) 0,212

Tercera restricción: ã'3c=0+ 0,266 = 0,132
como E'c es negativo( - 10 ), la soluciónanterio sigue

r siendo óptimay la tabla final
símplex con ja nueva variable (xc) queda :
V.B. X3 V.V.B.
1 o - 0,133 0,666 o 0,933 80
o 0 - 0,426 0,533 - 0,212 16
o 1 0,266 - 0,333 o 0,132 40
o 0 -80 -50 o -10 - 42000
107
es decir; XI = 80, & = 40, 16 y F = 42.000
Si el beneficiodel productoc fuera de Bs. 350 por unidad, entonces, al analizar el

nuevo coeficiente de xc en la función objetivo, se tiene que :
= 350 - 80 (3)-50 (2)-0 (1 10

en este caso, como es positivo ( + 10 ) indica que la solución no sigue siendo óptima y
para obtener la nueva solución hay que seguir iterando a partir de la siguiente tabla
simplex :
V.B. V.V.B.
1 o - 0,133 0,666 o 0,933 80
o o - 0,426 0,533 - 0,212 16
o 1 0,266 - 0,333 o 0,132
0 o -80 - 50 - 42.000
se hace básica xc y no-básica XI; la nueva solución es
F = 42.857,45
XC = 86 = 29
108
Problemas propuestos.
4.1. La compañíaTV-SET Lara C.A., ensambla4 modelosde televisores( A, B, C y D ).

Siendo, cada televisorprimeroensambladoen el Departamentode ensamblaje y luego es
enviado al Departamentode empaque para retoquesfinales, prueba y empaque.
El númerode horas hombre requerido por cada unidad de los diferentes modelos
en cada departamento es la siguiente :
Televisores - modelos DepartamentoEnsamblaje Departamento

Empaque
7,5 1
6 0,5
c 12 1,5
D 10,5 1
Debidoa limitacione sen la capacidadde la compañíaTV-SET Lara, no más de 10.500
horas- hombrespuedenutilizarleen el departament ode ensamblaje y no más de 1.010
horas- hombres en el departamentode empaque, esto es durante los próximos 6 meses.
La utilidad de cada televisor es la siguiente :
Televisores - modelos Utilidad (Bs./unidad)
10.500
8.225
c 15.750
14.000
a. La compañía TV - SET Lara desea determinar ¿, cuántos televisores de cada
modelo debe ensamblar con la finalidadde maximizar las utilidades ?
b. Determinarel rango de la capacidad del Departamentode Empaque para el cual
no se altera el plan óptima anterior.
109
4.2. Si en el problema4.1. las utilidadesde cada modelo de televisor son .
Televisores - modelos Utilidad (Bs./unidad)

12.000
9.500
c 17.200
D 15.500
como quedaría la solución.
4.3. Si la compañíaTV-SET Lara C.A., problema4.1., desea ensamblar un nuevo

modelo de televisor llamado el modelo E, el cual requiere por unidad de 5 horas-hombre
en el Departament ode Ensamblajey 1 hora-hombreen el Departamentode Empaque y

genera una utilidadde 9.000 Bs./unidad.
Realice un análisis de sensibilidady determinesi la solución óptima del modelo

original se altera.
4.4. Si en el problema4.1., ocurre un cambio del tiempo de ensamblaje para el

televisor modeloC, de 12 pasa a ser IO horas-hombre. Como quedaría la
solución
óptima. Realice un análisis de sensibilidad.
4.5. La Compañía Vin-Lara producetres tipos de vinos: blancos, tinto y rosado.

La
compañía Vin-Lara es relativamentepequeñay disponecada mes de un máximo de
400
horas para el procesamiento de los vinos, 825 horas para el embotellado, etiquietadoy
110
empaque, La compañíatambiéndispone de un deposito con una capacidad de 200
metros cúbicos, donde la producciónes almacenada antes de ser distribuida.
Las utilidadespor cada caja de vino son: Bs.1.500, Bs.1.800 y Bs. 1.400 para
los vinos blanco, tinto y rosado respectivamente. La gerencia de la compañía ha,
formulado este problema como uno de programación lineal de la siguiente manera:
Max. F = + 1.800x+t 1.400xr
+ + 825
1,2xt + 1,6xr
a). La compañí aVin-Laradesea determinacuántascajas

r de vinos de cada tipo
deben producir cada mes, con la finalidad de maximizar las utilidades.
b). Si el coeficientede la variable xr en la primerarestriccióncambia de 3 a I, como
quedaría la solución óptima.
c). Cambiaría el plan o solución óptimasi la utilidaddel vino rosado se incrementa en

Bs.200 por caja.
4.6. Con relación al problema3.2 ( Compañía Limpi-Lara C.A. )
a) Si en el proceso de mezclado - llenado aumentan las horas

disponibles a 250
horas semanal, como quedaría el pian óptimo.
b)
Cambiaríael planóptim osi las utilidade scambiana Bs. 30, Bs. 27 y
Bs. 50 por
litro para los desinfectantes, cloros y lavaplatos respectivamente.
c) Si el tiemporequeridopara producirI litrode desinfectante

es de 28 segundos en
el proceso de mezclado - llenado, como quedaría la solución.
4.7. Con relaciónal problema3.3 ( Empresa Toys-Lara si la disponibilida ddel cloruro
de polivinilocambia a 400 kilogramos,se alteraríael plan óptimooriginal.
4.9. Con relaciónal problema3.10 ( Compañía Arti-Dac ); si para el proceso de

fabricaciónde los artículosA, B y C se incorporaun nuevo proceso, P4, con una
capacidad máxima mensual de 520 horas y con las siguientes especificaciones: los
artículosA, B y C requiere den 1, 3 y 0,5 horas respectivamenteen el proceso P4.
Realice un análisis de sensibilidad para determinar como quedaría la nueva

solución.
112
CAPITULO V
Uso de paquetecomputarizado ( QSB ) para la
resolución de problemas de programación lineal
113
V. USO DE PAQUETE COMPUTARIZADO( QSB ) PARA RESOLVER
PROBLEMAS DE PROGRAMACIONLINEAL
5.1. Introducdóm
d los problemasgerenciales, los cuales involucran

Debidoa la complejida de
muchas variables y gran cantidad de restricciones, el uso de paquetes computarizados de
programaciónlineal se hace indispensable para poder resolver estos problemas.
a uso de paquetescomputarizadospara resolver problemas de

La importanci del
programació nlineal se fundament en
a la velocidad de respuesta que generan las
computadoras,Io cual es un aspectoprimordiaen
l el procesode toma de decisión. Sin
embargo,es important tener
e presenteque para la interpretació den los resultados
generados por las computadoras es recomendable tener cierto dominio de como trabaja el
métodosímplex.
Existe una gran diversidad de paquetes que se utilizan para resolver los problemas
de programación lineal; entre los de mayor uso se tienen:
• QSB - Quantitativ Systems

e for Business - Desarrolladopor Yih-Long Chang y
Robert Sullivan, 1985.
• LINDO - Linear Interactiv eand Discrete Optimizer-, desarrollado

por Linus
Schrage, 1986.
• STORM - Desarrolladoen el Institut ode Tecnología de Massachusetts.
Estos paquetes difieren uno otro en su complejidad,

en la cantidad de
restricciones y variables que puedenaceptar, así como
también en la presentación de las
soluciones y análisis de sensibilidad.
114
Este capítulose concentrar áen el uso de QSB, el cual es consideradocomo uno
de los paquetespara resolver problemasde programaciónlineal fácil de manejar y muy
didáctico.
El QSB es un programadesarrolladopor Yih-Long Chang y Sullivan el cual se

puede usar para resolver problemas de programación lineal, entera, programación
dinámica, problemasde transporteasignación,
, PERT-CPM, etc., es decir es un programa
que sirve de soportepara el proceso de toma de decisiones gerenciales.
5.2 Pasos a s«uir para el QS Bpara resolver problemas de programación lineal.

Para ilustrarel uso del QSB se tomará como referenciael problema 1.1 cuya formulación
Max. F = 300x 1+ 450x2

s.a. 2,5x1+ 5x2 400
2x1+ 200
1,6x2
Ahora, los pasos a seguir para utilizar el QSB para resolver

el problema planteado
( problema 1.1 ) son los siguientes :
1.- Asumiendoque el QSB este instalado en la unidad

de disco duro C
Teclee: CD QSB seguidode la tecla [ ENTER I y aparecerá en pantalla.
teclee nuevament eQSB seguido de la tecla [

ENTER I y aparecerá en pantalla,
presentacióndel QSB
115
OSB Quantitative Systems for Business
Version 2.0
by
Yih—Long Chang and

Robert S. Sullivan
copyright (C) Prentice—Hal 1, Inc. , 1986

BASRUN20.EXE version 2.0 copyright (C) IBM corp., 1985
Press any key to continue .
2.- Pulse cualquiertecla para continuar,y aparece en pantalla informaciön acerca
de la licencia .
The Licensee is permitted to make multiple copies of QSB

and keep and use at the licensed site. For personal copy ,
you can purchase from Prentice—Hal 1, Inc. Please contact
Ryan Coldy, College Operation, Prentice—Halle Inc. , Route
9 West, Englewood Cliffs, NJ 07632. (Tex: 201-592-2368)
116
3.- Pulsela barraespaciadoroa [ ENTER y apareceen pantallaun menü
principal con 16 opciones .
Welcome to QSB (Quantitative Systems for Business) !

You may choose from following management science decision support systems:
Code Code
No. Program No. Program
Linear programming 9 — Inventory theory

2 — Integer linear programming Queuingtheory
3 Transshipment problem Queuing system simulation
Assignment problem — Decision/probabilit ytheory
Network modeling Markov process
6 Project scheduling - CPM — Time series forecasting
7
Project scheduling - PERT Specify the type of printer
Dynamic programming G —— Exit from QSB
8
4.- Ya que se desea utilizarla programaciånlineal, entonces, se selecciona esta

opci6n(1) ( utilizando las teclas —
+ f—t ), luego se pulsa t ENTER donde
aparezca la altemativasombreada( la deseada ) .
Linearprogramm
y aparecerå en la pantallala siguiente informaciån :
Welcome to your Linear Programming (LP) Decision Support System!

The options available for LP are as follows .
If you are a first—time user, you might benefit from
option 1.
Option Function
Overvmew of LP Decision Support System
Enter new problem
3 Read existing problem from disk( ette)
4 Display and/or print input data
5 Solve problem
6 Save problem on disk( ette)
7 Modify problem
8 Display and/or print final solution
9 Return to the program menu
Exit from QSB
117
5.- Seleccione la opciåndeseada, con la ayuda de las flechas t Ya que en este
la opciån 2
r problem a resolver, se debe escoger
pasose deseaintroduciel
• Enter newproblem• Luego pulse [ ENTER y aparece en pantalla
Nombre para identificar el problema, use menos de 6 tetras.

El nombreque se tomÖen este caso, problema 1.1, fue : ARTILA.
aparece en pantalla
Una vez escritoel nombredel problema,se pulsa [ ENTER I y
de como introducirlos
el nombredel problema. ARTILA y una explicaciån acerca
datos del problematlos tipos de restricciones( , asf como también un sub-

,
tales como .
menü con una serie de preguntasque se deben responder,
- Ud. desea maximizar (1) o minimizar (2)
- Cuåntas variables tiene su problema
- Cuåntas restriccione stienesu problema
- Cuåntas restricciones tienesu problema <
- Desea usarvariables ... xn)(YIN)? <
Respondiendo estas preguntas segün las especificaciones del problema 1.1

planteado, aparece en pantalla .
LP Model Entry for Artila
Please observe the following conventions when entering a problem:
(1) 100, 100.0, +100, +100.0, IE2, and I.OE+2 are the same.
(2) -123, -1.23E2, and -1.23E+2 are the same.
> , =>, and 2 are the same; <=, < , =<, and S are the same.
(4) After you enter your data, press the ENTER key.
(5) On the same screen page, you may correct errors by pressing
the BACKSPACE key to move the cursor to the correct position.
(6) When you are satisfied with the data on a page, press the SPACE BAR.
(7) When entering the problem, press the Esc key to go to a previous
page; press the / key to go to the next page.
Do you want to maximize (1) or minimize (2) criterion? (Enter 1 or 2)
How many variables are there in your problem? (Enter number 500 )
How many constraints are there in your problem? (Enter number S 500 )
How many '2' constraints are there in youy problem? (Enter number S 500 )<3
names (XI ,...,Xn) (Y/N)?
Do you want to use the default variable
Press the SPACE BAR to continue if your entries are correct.
118
Luego pulse la barra espaciadora
6.- En el siguientepaso apareceunainformaciónen pantallala cual va a depender
del númerode variables y restriccionesque tenga el problema;como el problema

Io
planteado(1.1) tiene dos variables, y tres restricciones;aparecerá en pantalla
siguiente :
X2
subjet to :
(2_xt_xz
)
(3)_X1_X2
Se introduce nlos datos de la función objetivo y de las restriccionespulsando
[ ENTER I —después
I de cada dato introducido,obteniendo lo siguiente .
Enter the coefficients of the LP Model
Max 300 XI 450

subject to
(1) 2.5 XI 5
XI 1
XI 1.6
7.- Pulse nuevamentela barra espaciadora y aparece en pantalla otro menú como
119
se indica a continuaciån :
Welcom eto your Linear Programming(LP) De cision Support System

The options avai table for LP are as fol lows. 1.
If you are
a first—time user, you might benefit from option
Option Funct ion
1 Overviewof LP Decision Support System
e Enter new—problem
3 Read existing problem from disk (et te)
4 Display and/or print—input data
Solve prob lem
6
7
Save problem on disk (ette)
Modify prob lem
9
Ctisplay and/or print final SOIUtion
Return to the programmenu
Exit from QSB
8.- Con la ayuda de las flechas t ; seleccione la opciön 5 solve problem para
buscar la soluciön del problema.
Luego pulse [ ENTER y aparece en pantalla un sub-menü •
Option
1 Solve and display the initial tableau
2 Solve and display the final tableau
3 Solve and display the initial and final tableaus
4 Solve and display every tableau
5 Solve without displaying any tableau
6 Solve by using the graphic method
7 Return to the function menu
Estas opcionesrepresentanlas diferentesformas de presentarla tabla final

simplex; por ejemplo si se selecciona la cpci6n 3 solve and display the initial and
120
final tableaus • ( solución y presentaciónde las tablas inicial y final ) y después
pulsar t ENTER se obtienela siguiente información :
Initial tableau
BasisC(j) 300.0 450.0 o B(i)
SI o 2.500 5.000 1.000 o 400.0

o 2.000 1.000 o 1.000 o 200.0
o 1.600 o 1.000 80 . oo
300.0 450.0
* Big M o o o
Press any key to continue . Or press 'G' to go without stop.
Final tableau (Total iteration
B(i)
Basis C(j) 300.0 450.0 o B(i)
300.0 1.000 o -.133 0.667 o 80.00
o -.427 0.533 1.000 16.00
450.0 o 1.000 0.267 -.333 o 40.00
c(j)-z(j) o -80.0 -50.0 o 42000
* Big M o o
(Max.) Optimal OBJ value = 42000
121
Como se observa en la tabla final simplex la solución al problemaplanteado
( problema ) es la siguiente•
XI = 80
s, = 16
= 40
Y 42.000 Bs.
es decir, que se van a producir 80 unidadesdel producto A y 40 unidadesdel
productoB con la finalidadde maximizar las utilidades a Bs. 42.000. Mientrasque

s3 = 16 representa la holgura asociada a la máquina 3.
9.- Si se desea imprimiro realizar el análisis de sensibilidad, pulse cualquier tecla
para continuar, obteniendoen pantalla el siguiente menú de opciones
Option Menu for Displaying and/or Printing the Final Solution to Artila
You have the following options available for displaying
or printing the final solution. If you want to print the
solution, make sure that the printer is ready.
Option
1 Display the final solution only

2 Display the solution and sensitivity analysis
3 Display/print the solution
4 Display/print the solution and sensitivity analysis
5 Print the final tableau
6 Return to the function menu
con la ayuda de las flechas t C, seleccione la opción deseada y pulse ( ENTER J —l
para continuar.
Como una prácticadel QSB se le recomiendaal lector resolver los problemas
propuestos en los capítulos II, III y IV con el uso de este programa.
122
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126

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12. Definiciones básicas de programaciónlineal. 8

1.3. Suposiciones de la programaciónlineal.

1.4. Formulación del modelode programaciónlineal. 11

Problemas propuestos- Capítulo I 24

2.1. Problemade maximización. 37

2.2. Problema de minimización. 42

2.3. Soluciones múltiples.. 46

2.4. Problemas nosolubles. 47

Problemas propuestos- Capítulo ll 48

3.2. Pasos del métodosimplex. 54

4.1. El problem adual.. .83

4.2. Aplicación del método simplex al dual y la relación de la

4.4.3. Cambios en los coeficientes de las variables en las restricciones .

4.4.4. Incorporaciónde nuevas redricciones.

que consiste en la optimización de una

las altemativas posibles

Debido a la complejidad de problemas que confrontanlas organizaciones, la programación

una base científica para el proceso de toma de decisiones.

alumnos cursantes del programa de estudio de la asignatura Instrumentos Cuantitativos; en los

Referido a • el modelo de programación lineal •, haciendo énfasis en definiciones

básicas de la programación lineal, supuestos de la programación lineal y

formulación de problemas gerenciales aplicando la programación lineal.

Trata sobre la aplicación del método simplex para resolver problemas de

Referido al problema dual y al análisis de sensibilidad aplicado a los

El Modelode Programación Lineal

el procesode toma de decisiónesta basadoen un análisis cuantitativopara alcanzar la

meta deseada. Generalmente, el problemaconside en lograr una asignación eficiente de

la capacidad de produccióna los máximos niveles. Un ejemplo típico ocume en la

industria cuando se desea optimizar la medida de eficiencia ( maximizar beneficios o

de ciertos productos,sujeto el procesoa restriccionesde la cantidad disponiblede cada

recurso,de la cantidadmínimao máximade cada productode

La programaciónlineal, es una técnica que se utiliza para resolver este tipo de

en 1.947 mientrastrabajabacomo asesor matemáticopara las Fuerzas Aéreas de los

resolver los problemasde programaciónlineal. Desde entonces un gran número de

incluyendonuevas aplicaciones, desarrollosteóricos y aspectos de computación.como el

En este capítulo se tratan los siguientestópicos: definicionesbásicas en la

amiXI + am2X2 +am3X3+

La formulación del modelo matemático de programación lineal en forma condensada

(Para 3 ...„.m y j = i n)•

caso: Minimizar f = Cl XI + + '(3 +

son las variables de decisién a ser determinadas.

Los coeficiente sa, ( para i 1, 2, 3 n ), son llamados los

Los inecuaciones E a. b, representanlas restriccionesfuncionalesdel problema,

pudiendoser estas restricciones en forma de ecuaciones ( = ), o inecuaciones (2 0

El término (i = 1. 2, 3 m ) es referidocomo el vector del lado derecho de las

restricciones o término independientey representa el requerimientomínimo a satisfacer y

las restricciones XI , 0, se les conocencomo las restriccionesde

ng neqatividady significa que las variables de decisión no pueden tomar valores

La programaciónlineal tratade encontrarel máximo o el mínimo de una función

lineal ( función objetivo ) de n variables no negativas, la cual esta sujeta a restricciones

( ecuaciones y/o inecuaciones ) lineales, es decir que se utiliza un modelo matemático

para describir el problema y la formulación de este modelo incluye los siguientes

suposición indica que la medida total de optimización ( ingreso,

El supuestode aditividadsignifica que el total es igual a la suma de las

La suposición de certidumbreindica que todos los coeficientes del modelo

El modelo y análisis de un problemade programaciónlineal involucra una serie de

Una segunda etapa consiste en la resolucióndel modelomatemáticoplanteado,

para ello se puede utilizar el métodográfico, el métodosimplex o el uso de paquetes