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Primer Año
NÚMEROS NATURALES
Imagina un mundo ¿Cómo podríamos expresar la edad, el
peso? ¿Cómo indicaríamos la hora?
sin números...
¿Qué otras situaciones se te ocurren en
las que usamos números?
Los primero símbolos gráficos surgieron por la necesidad de recordar cantidades. Se realizaban
marcas en una vara, trazos sobre rocas, nudos en una cuerda. Nacieron así los NÚMEROS
NATURALES.
El conjunto N
Para referirnos a todos los números naturales se usa el símbolo IN. También se suele escribir IN
del siguiente modo:
Para realizarla se dibuja una recta, dividida en partes iguales y se disponen a colocar los números
de izquierda a derecha, empezando desde el cero.
Martín jugó con sus amigos a un juego de mesa que tiene fichas.
3. Si en la tercera ronda ganó 12.735 puntos, ¿qué fichas pudo haber recibido?
4. En la cuarta ronda ganó 34.510 puntos, pero ya no había fichas de 100, ¿qué fichas habrá
ganado?
5. En la quinta ronda ganó 3.604 puntos, ¿pudo recibir fichas si no había de 10 ni de 100?
Explica.
Usa los signos < y > para comparar los siguientes pares de números.
344 433
553.675 553.756
900.900 9.008.990
Para leer números naturales primero se separan las cifras de tres en tres comenzando por la
derecha. Después se leen de izquierda a derecha como si fuesen números de tres cifras
añadiendo las palabras mil, millones, billones, trillones... donde corresponda.
Números grandes
Por Adrián Paenza
¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de
millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene 3 mil millones de
nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy seguro de que cada uno que
esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar,
ponerlas en perspectiva.
Por ejemplo, si yo le preguntara: ¿cuál es la diferencia que hay entre un millón y mil millones, usted qué contestaría? Ya
sé: su primera reacción sería decir: “tres ceros”. Bien. Es cierto. Pero, ¿qué significan tres ceros en este caso? Si los convirtiéramos en
segundos, ¿qué diferencia hay entre un millón y mil millones de segundos?
Tengo claro que uno puede hacer la cuenta y darse cuenta, pero la idea no es ésa. La idea es tratar de comprender si uno,
internamente, tiene conceptualizada esa diferencia como para imaginarla en términos del tiempo. Y ahí es donde creo que –en
general– nosotros no tenemos noción clara de cuán grandes son ciertos números, a pesar de que los usamos todos los días.
Ahora respondo la pregunta: un millón de segundos son un poco más de 11 (once) días y medio. En cambio, mil millones
de segundos son casi ¡32 (treinta y dos) años! Es decir, la diferencia es abismal. No tengo claro que cuando uno responde “tres ceros”
tenga noción de la “real” diferencia que hay entre un millón y mil millones.
Otro ejemplo: en el mundo hay más de seis mil seiscientos millones de personas. Parece que somos muchos. Pero, ¿qué
quiere decir “muchos”? Si pusieran fotos de todos nosotros en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro
de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja... el libro tendría más de ¡33 (treinta y tres)
kilómetros de alto!
Además, si una persona tardara un segundo por página para recorrer las diez fotos que hay allí, y le dedicara 16 horas
diarias, le llevaría casi 31 años mirarlas todas. Peor aún: cuando llegara al final, en el año 2038, el libro ya habría aumentado su
tamaño, porque ya seríamos dos mil doscientos millones de personas más y el libro tendría otros 11 (once) kilómetros más de
espesor.
Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera
formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del
Ecuador.
Y si filmáramos una película con cada persona como “estrella” y apareciendo sólo 15 segundos en pantalla (o sea, un poco
menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos ¡46 millones de kilómetros de negativo! Además, si alguien
quisiera verla (a la película), se tendría que sentar en el cine por más de 27 millones de horas, o lo que es lo mismo, más de 1.152.000
días, lo que significa unos 3.158 años. Y esto sucedería siempre que esta persona decidiera no dormir, comer ni hacer ninguna otra
cosa en la vida.
Como último ejemplo, uno escucha hablar de “años luz”. ¿Usted pensó lo que significa? En realidad, un año luz es una
medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Recuerdo aquí que la luz viaja a 300.000
kilómetros ¡por segundo! El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 kilómetros
por minuto. Luego, nuevamente multiplicando por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de
kilómetros por hora). Multiplicando por 24, resulta que la luz viajó 25 mil millones de kilómetros en un día. Finalmente, multiplicando
por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi 9 billones y
medio) de kilómetros. De manera tal que cada vez que le pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una
manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros.
En todo caso, la reflexión final es que los números serán todo lo grandes que quiera pero nosotros, los humanos... “somos
muchos” y los objetos en el espacio... “están muy, muy lejos”.
1
Adrián Arnoldo Paenza (n. Buenos Aires, 9 de mayo de 1949) es un licenciado y doctor en ciencias
matemáticas por la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y periodista
deportivo.
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
• Asociativa. Esta propiedad indica que, cuando existen tres o más cifras en una operación, el
resultado no depende de la manera en la que se agrupan los términos. (Se pueden asociar de
cualquier modo los sumandos sin alterar la suma).
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
Resta
Los términos de una resta son:
Multiplicación
Los términos de una multiplicación son:
• Conmutativa: 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎
• Distributiva: La propiedad distributiva nos afirma que la multiplicación de un número por una
suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
División
Los términos de una multiplicación son:
1. Realiza una primera lectura del texto y busca las palabras que no conozcas en el
diccionario.
2. Realiza una segunda lectura del texto y explica a un compañero el contenido de la lectura.
3. Realiza un breve texto explicando por qué, según la lectura, no se puede dividir por cero.
3 1. 2 5 0 9835 25
7. 8 5 2
2) En cada caso:
a. Resuelve usando las propiedades estudiadas.
b. Indica que propiedades aplicas.
𝑎) 39 + 55 + 11 = 𝑏) 4 . (15 + 8) =
d. Ana es menos alta que Lucía y más que Alicia. ¿Quién es la más alta de las tres?
e. Al restar de 91 un número se obtiene otro formado por dos cuatros. ¿Cuál fue el
número restado?
Planes de financiación
a) Escribe un cálculo que permita hallar cuánto cuesta cada cuota del plan 1.
b) Propone un único cálculo que permita obtener la diferencia entre el precio del plan
2 respecto del precio de contado.
c) ¿Cuáles de estos cálculos permiten hallar el valor total del auto según el plan 3?
2) Multiplicaciones y divisiones
3) Sumas y restas
Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a
derecha.
Ejemplos:
a) 6 + 5 . 3 – 7 + 4 = b) 9 + 5 + 3 . (6 – 4) + 5 =
c) 6 . (2 + 6) = d) 16 : 2 + 3 – 7. (3 – 2)=
e) 15 : (2 + 3) + 4 . 2 = f) 18 : 6 . 2 + 21 : 7 –1=
2) A diez decenas se le resta la suma entre cinco unidades y la mitad de una docena. ¿Cuál de
los siguientes cálculos expresa la situación?
10 – (5 + 12) :2=
100 – 5 + 6=
100 – 11=
10 . 10 – 5 + 12: 2=
c) 18 : 6 : 3= 9 d) 8 . 2 + 3= 40
4) Problema. En la escuela se organizó una rifa para comprar algunos equipos. Quieren comprar
un microscopio que cuesta $16680, cuatro mapas que cuestan $5680 cada una y dos cajas
de fibrones de $2620 cada uno.
a. ¿Cuál de estos cálculos permite hallar el dinero total que se debe recaudar?
16680 + 5680 + 2620 (16680 + 5680 + 2620)𝑥(1 + 4 + 2) 16680 + 5680𝑥4 + 2620𝑥2 =
= =
b. Si venden a $180 cada rifa, ¿cuántos números se deben vender para recaudar el total del
dinero necesario para la compra?
c. Escribe un solo cálculo que te permita saber a cuanto deben vender las rifas si se hacen 140
números.
Potenciación
El ajedrez y el arroz
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez, Sessa, le mostró el juego al príncipe de la India,
Sheran, y este último quedo tan encantado con el ingenioso juego que le ofreció a Sessa que
eligiera la paga que él quisiese por su invento. Sessa, luego de pensarlo
largamente, le pidió al príncipe que le diera un grano de arroz por la primera
casilla de su tablero, el doble por la segunda, el doble de esta por la tercera y así
sucesivamente hasta completar todo el tablero de ajedrez. El príncipe, encantado
con esta curiosa petición y pensando que el pago resultaría muy económico
aceptó contento.
Este problema puede resolverse también utilizando una nueva operación llamada
POTENCIACIÓN.
En general: exponente
Responde:
a) ¿Cómo llamamos a la expresión que se repite?
b) ¿Qué indica el exponente?
c) ¿Qué nombre reciben las potencias de exponente dos, tres y cuatro?
33 = 10 3 = 26 =
105 = 32 = 101=
Y así sucesivamente……
105 = 82 = 120=
Radicación
Números cuadrados y raíz cuadrada
Los antiguos matemáticos griegos clasificaban los números naturales según sus formas
geométricas que les asociaban.: números triangulares, cuadrados, pentagonales, cúbicos,
piramidales, etcétera.
Los números cuadrados son aquellos en los cuales la cantidad de puntos que hay en
cada fila coincide con la cantidad de puntos de cada columna.
Por ejemplo:
1 4 9
4) Una caja de fósforos. ¿Cuántos fósforos se necesitan para construir 14 cuadrados en línea de
modo que el lado de cada cuadrado sea un fósforo, como en la sucesión del dibujo?
¿Encontraste algún procedimiento que te permita calcular cuántos fósforos necesitas para
cualquier sucesión de cuadrados? ¿Para cuántos cuadrados en línea te alcanzarán los fósforos
de una caja?
5) Las patentes. Las patentes de los autos están formadas por cuatro letras de nuestro alfabeto
y tres cifras que pueden repetirse. ¿Cuántas patentes diferentes pueden hacerse? ¿Cómo
puedes plantear el cálculo con potencias?
DIVISIBILIDAD
Este hecho hizo que se estudiara que relación se encontraba entre los números en los
que este problema sí tenía solución y los números en los que no. De esta forma comenzó a
estudiarse la divisibilidad.
La divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindúes ya
conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e
impares. El matemático griego Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de
números enteros. Ya posteriormente, el matemático francés Pascal (1623-1662) propuso las
reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.
Definiciones importantes.
Propiedades
La diferencia de dos múltiplos de un
número es otro múltiplo de dicho
número.
Para hallar los múltiplos de
un número múliplícalo por
cada natural. Si un número es múltiplo de otro, todos
los múltiplos del primero lo son también
del segundo.
ACTIVIDAD 1
a) Escribe los cinco primeros múltiplos de cada uno de los siguientes números:
a) 3
b) 12
c) 7
d) 20
d) Lean lo que hicieron Paula y Nico para saber si 640 y 564 son múltiplos de 8.
e) Indica cuales de estos números son múltiplos de 12. Expliquen cómo se dieron cuenta.
f) Decidan, sin hacer la cuenta, si el resultado de 25x42x18 es múltiplo de cada uno de los
siguientes números. En cada caso indiquen como se dieron cuenta.
2 5 7 10 11 15 26 27
ACTIVIDAD 2
a) Pinto los dos números que no son divisores de 60.
5 6 1 12 17 30 15 49
b) Santiago tiene 6 lápices. ¿Cómo puede agruparlos sin que sobre ninguno?
20 21
16 13
d) Responde: ¿Qué número es divisor de todos los naturales? ¿La cantidad de divisores es
infinita?
e) Alonso quiere empacar 32 libros en cajas iguales sin que sobre ninguno. ¿Qué combinaciones
de las siguientes alternativas son posibles?
Respuesta:
.........................................................................................................................................................
La edad de Paola es un número impar menor que 30, es un número de dos cifras y,
además, 9 es divisor de su edad. ¿Cuántos años tiene Paola?
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten averiguar con rapidez si un
número es divisible por otro.
Por ejemplo: “Todo número natural es divisible por dos cuando es par”
Número Criterio
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ACTIVIDAD 3
a) Identifica qué criterio de divisibilidad cumple cada número y marca con una X
16
20
132
205
7428
c) Determina si cada uno de estos números es divisor de 441. Explica en cada caso como aplicas
el criterio correspondiente.
3 6 7 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Factorización
La importancia fundamental de los números primos es que son suficientes para expresar
cualquier otro número natural mediante una multiplicación.
Por ejemplo:
14= 2 . 7 49= 7 . 7
72= 2 . 2 . 2 . 3 . 3 240 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5
Todos los números compuestos se pueden escribir como producto de números primos
de una única manera, excepto por el orden de los factores.
2
10
30 5 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5
60 3
120 2
2
Divisiones reiteradas
120 2
60 2
30 2
120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 2³. 3 . 5
15 3
5 5
1
A modo de síntesis:
Descomposición
factorial
TODO NÚMERO
NATURAL PUEDE SER
Los demás números se
PREPRESENTADO DE
pueden descomponer Diagrama de árbol Divisiones reiteradas
UNA FORMA UNICA
en factores primos.
COMO PRODUCTO DE
FACTORES PRIMOS.
ACTIVIDAD 4.
a) Analiza la estrategia utilizada en la resolución.
Ejemplo:
Si queremos hallar el D.C.M. de 36, 60 y 72, descomponemos los tres en factores primos:
36 = 22·32
60 = 22·3·5
72 = 23·32
Vemos que los únicos factores que se repiten en las tres descomposiciones son el 2 y el 3. Los
escogemos con los menores exponentes al que están afectados, por lo que el D.C.M. será
Resolvemos juntos
Ejemplo:
El M.C.M de 36, 60 y 72, que ya tenemos descompuestos más arriba. Los factores que se repiten
son el 2 y el 3, y los que no se repiten, el 5. Los escogemos con los mayores exponentes, es decir,
23, 32 y 5. El M.C.M. es, por lo tanto:
Resolvemos juntos
Tres series de luces de navidad se encienden de la siguiente manera:
la primera serie cada 15 segundos, la segunda cada 20 segundos y la
tercera cada minuto. Si las tres series de luces se encendieron
simultáneamente a las 18hs, ¿a qué hora volverán a coincidir
encendidas?
1- Encuentra como lo hicimos en clase todos los divisores de los siguientes números:
a) 32 b) 25 c) 64 d) 42
2- Escribe los cinco primeros múltiplos de cada uno de los siguientes números:
a) 3 b) 12 c) 7 d) 20
a) 48 y 72 b) 135 y 90
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
Ahora que conoces el peso de cada bola del desafío puedes representar
las tres igualdades numéricas:
Una IGUALDAD NUMÉRICA es una relación entre dos expresiones numéricas que
representan el mismo número.
En el siguiente ejemplo:
5 + 11 = 8 + 9 - 1
Santiago e Ignacio encontraron en su casa una balanza de platillos como la que se ve en la figura.
Encontraron solo una pesa de 1 kg y entusiasmados juntaron cosas para pesarlas.
¿Cómo habrán hecho los chicos para descubrir los pesos de las
siguientes cosas? Dibuja las balanzas correspondientes a cada situación.
* Un teléfono antiguo de 3 kg
Una IGUALDAD es como una balanza en equilibrio. Cada platillo representa un término de la
igualdad.
Para que el equilibrio se mantenga podemos agregar o quitar peso, siempre que lo hagamos de
ambos lados de la igualdad (de los dos platillos de la balanza). Esta es la PROPIEDAD UNIFORME
DE LAS IGUALDADES.
a) Si suponemos que esta pirámide pesa 20 kilogramos, ¿cuál es el peso que existe a cada lado
de la balanza.
Las siguientes balanzas están en equilibrio, es decir que son IGUALDADES. Pero en una de ellas
conocemos todos los términos y en la otra no:
Una ecuación es una igualdad en la que hay un valor desconocido llamado incógnita.
Las incógnitas se representan a través de letras minúsculas, como "x", "y", "z".
Álgebra:
Se conoce como álgebra a la rama de la matemática en la cual las operaciones son
generalizadas empleando números, letras y signos que representan simbólicamente un
número u otra entidad matemática.
Ecuación:
Una ecuación en matemática se define como una igualdad
establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una
o más incógnitas.
Incógnita:
Las incógnitas son los valores desconocidos en la ecuación, se representan con letras.
Verificación:
Es comprobar que la solución hallada es quien transforma la ecuación en igualdad
numérica. El proceso para hacerlo es muy directo. Todo lo que tienes que hacer es
reemplazar la variable x en la ecuación por el valor que obtuviste.
Ecuaciones equivalentes:
Son expresiones algebraicas (dos o más) que representan la misma cantidad. Éstas
pueden tener una estructura distinta, pero su valor numérico será el mismo.
2) Completa el acróstico
a. 𝒙 + 𝟓 = 𝟏𝟏
b. 𝟒𝒙 + 𝟐 = 𝟏𝟒
c. 𝟐. 𝒙 + 𝟖 = 𝟐𝟎
d. 𝒙 + 𝟕 = 𝟗
FRACCIONES
Se cree que fueron los egipcios los que usaron las fracciones por primera vez, pero solo aquellas
cuyo numerador es uno, por ejemplo:
El óvalo significaba “parte de un todo” y debajo del mismo aparece el denominador (símbolos
que hemos visto en primer año).
Otra evidencia del uso de las fracciones unitarias en la cultura egipcia es el ojo de Horus, utilizado
por los antiguos egipcios en las medidas de capacidad para cereales.
Cada parte del ojo de Horus representaba una
fracción unitaria y, a su vez, una parte del ojo.
En Babilonia y en la antigua China también se conocían las fracciones. Los chinos, por ejemplo,
sabían calcular el común denominador de varias fracciones para poder hacer cálculos.
Los griegos trabajaron con fracciones en lo que respecta a construcciones geométricas donde
algunas longitudes se representaban con fracciones.
El famoso Fibonacci en el siglo XII fue el responsable de colocar la barra horizontal para separar
el numerador del denominador. En el siglo XV el árabe Al Kashiquien generalizó el uso de
números decimales tales como los conocemos hoy. Las fracciones decimales fueron
representadas por Simon Stevin a fines del siglo XVI.
Gracias a John Napier, en el siglo XVII, se conocen los números decimales como en la actualidad,
separando la parte entera de la decimal con una coma o punto.
Traza una línea de tiempo marcando los momentos más importantes de las fracciones a lo
largo de la historia que se mencionan en el texto anterior.
PROBLEMA
La orientación en comunicación del colegio decidió publicar una revista mensual con las noticias
más importantes de la escuela. Pero hay un problema, nadie se pone de acuerdo con la parte
que asignarán a las fotos en la portada que tiene el tamaño de una hoja de carpeta.
La presidenta del grupo sostiene que hay que asignar a las fotos de la portada, la secretaria
opina que , el tesorero y los demás integrantes .
Partes que se
toman de la
unidad 1 NUMERADOR
4 DENOMINADOR
Partes en que
se divide la
unidad
Para representar cantidades que son partes de otra, usamos los números
fraccionarios que se escriben de la forma donde 𝑎 y 𝑏 son números
naturales y 𝑏 ≠ 0
¿Por qué b debe ser distinto de cero?
ACTIVIDADES
1) Expresa que parte del total representan los siguientes grupos de instrumentos. Escribe
la fracción y como se lee.
a) Instrumentos de cuerda
b) Instrumentos de percusión
c) Instrumentos de viento
6) Lucía pidió de la tarta. El mozo le trajo ¿Es la misma cantidad? ¿Por qué?
:4 :3
Ejemplos: = =
:4 :3
Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores comunes, salvo el
1, de dice que la fracción es IRREDUCIBLE.
30 120
𝑐) = 𝑑) =
45 450
2 5 8
𝑎) = 𝑏) = 𝑐) =
3 2 4
3 12 7
𝑑) = 𝑒) = 𝑓) =
4 6 5
¿Cuáles de las fracciones del ejercicio anterior A estas fracciones se las llama
tiene numerador menor que el denominador?
FRACCIONES PROPIAS.
En una panadería cada 100 kg de pan que se vende 40 kg es pan francés. ¿Cuál es el
porcentaje de pan francés que se vende en esta panadería?
De 3 docenas de frutillas usé ¼ para la decoración de una torta y el resto para el relleno.
¿Cuántas frutillas usé en cada caso?
.
Ayer fui a la panadería y pedí ½ de pan. Cuando lo pesaron en una balanza electrónica
el peso era 0.500. También pedí ¼ de pan de salvado y la balanza pesaba 0.250. ¿Por
qué figuran de esta manera las fracciones en la balanza?
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑝=
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
En el ejemplo de la moneda:
casos favorables son: ….
total de casos posibles: ……
Entonces la probabilidad de que al tirar la moneda caiga del lado de la cara será: ……
Si lanzamos un dado:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos o un tres?
Vamos a representar fracciones en la recta numérica como lo hicimos con los números
naturales.
Representemos , gráficamente es
Recordemos que la figura representa la unidad, 1, esto quiere decir que está entre 0 y 1:
1 2 3 4 5 6 7
ACTIVIDADES
Paola quiere comprar una bicicleta y la compra con las siguientes condiciones:
A la entrega de la bicicleta se paga la mitad del precio.
5) Luciano debía pintar un poste. En la primera hora pinta dos quintos de este, en la segunda un
tercio del resto y aún le quedan por pintar 128 centímetros. ¿Cuánto mide el poste?
6) Juan gastó del dinero que tenía. Vuelve a su casa con $28. ¿Cuánto gastó? ¿Cuánto dinero
tenía antes de salir de su casa?
Fabián y César hablan sobre su desempeño en el fútbol. Fabián dice que de diez veces
que ha pateado al arco ha hecho 6 goles y César asegura que de esa misma cantidad de tiradas
acertó 7 veces.
En este caso no resulta difícil indicar quien de los dos es más efectivo a la hora de patear
al arco, ¿no? <
Veamos otro caso… Luis y Carlos juegan al básquet. Si Luis encesta 3 veces de 8
lanzamientos y Carlos 5 de 6. ¿Cuál es más efectivo?
ACTIVIDADES:
a) 𝑦 b) 𝑦
Problema 1. Camila ene un terreno en el que sembró árboles frutales. De ellos, un noveno
da limones, cuatro novenos dan mandarinas y el resto da duraznos. ¿Qué fracción de los árboles
son de duraznos?
Para conocer qué fracción de los árboles son de duraznos, primero sumamos los árboles de
limón y de mandarinas:
1 4 5
+ =
9 9 9
Luego restamos del total de árboles para hallar la fracción que corresponde a los durazneros:
9 5 4
− =
9 9 9
Problema 2. En la merienda; Lidia se comió la mitad de la tarta; Juan la cuarta parte y Elena
la sexta parte. ¿Ha quedado vacío el plato?
1 1 1
En este caso sumamos lo que comieron Lidia, Juan y Elena: + + =
2 4 6
Para poder resolver esta suma buscamos fracciones equivalentes a , y con el mismo
denominador: 6 3 2 11
+ + = Para el cálculo de fracciones
12 12 12 12
equivalentes puedes realizar
Observa que el denominador es MULTIPLO de 2, 4 y 6. la siguiente cuenta:
1 1 1 6 3 2 11
+ + = + + =
2 4 6 12 12 12 12
Finalmente concluimos que el plato no ha quedado vacío porque el resultado obtenido es menor
a la unidad. Podemos calcular lo que está en el plato: 12 11 1
− =
12 12 12
ACTIVIDADES:
1- Juana camina de km para llegar a su escuela y Luis camina de km. ¿Quién camina más y
qué fracción representa la diferencia?
2- Cris na tejió un saco para su madre. Para el cuerpo u lizó de la madeja. Para los brazos
usó de la madeja. ¿Qué fracción de la lana u lizó y cuánto le sobró?
1 1 7 23 7 1
𝑑) + + = 𝑒) − = 𝑓) 2 + =
2 6 3 8 4 3
Porciones ocupadas: 5 x 4 = 20
La solución es entonces
Volvamos a la multiplicación, ¿ya te diste cuenta que debemos hacer para hallar el resultado?
5 4 5.4 20
∙ = =
8 5 8.5 40
Simplifica este resultado. Respecto a este, ¿qué puedes concluir en el contexto del problema?
ACTIVIDADES.
1- Dentro de un rectángulo se quiere pintar otro que tenga del largo y del ancho.
a) ¿Cómo representarías en un dibujo el rectángulo original y el que se va a pintar?
b) ¿Qué parte del rectángulo original va a ser el nuevo rectángulo?
3- Luisa compró kg de azúcar. U lizó para endulzar el jugo. ¿Qué can dad de azúcar u lizó?
3 1 3 1 1 5
𝑎) . 𝑏) . 𝑐) .
5 3 2 3 3 3
𝟏 𝟒 𝟑.𝟒
Operación: 𝟑 ÷ 𝟒 = 𝟑. 𝟏 = 𝟏
= 𝟏𝟐
Resolvamos gráficamente:
Si dividimos un entero en tres partes cada una de ellas será y al pintar 2 obtenemos
2 1
Entonces: ÷ =4
3 6
𝟐 𝟏 𝟐 𝟔 𝟐.𝟔 𝟏𝟐
Operación: 𝟑
÷ 𝟔 = 𝟑 ∙ 𝟏 = 𝟑.𝟏 = 𝟑
=𝟒
ACTIVIDADES.
1-Se quieren envasar 13 litros y medio de jugo en botellitas de litro. ¿Cuántas botellitas se
van a llenar? ¿Quedará jugo sin envasar?
2-¿Cuál o cuáles de los siguientes cálculos permiten conocer el número que multiplicado por
da como resultado ?
𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟑 𝟖 𝟖 𝟑
𝒂) 𝟑
.𝟓 𝒃) 𝟑
+ 𝟓 𝒄) 𝟑 ∶ 𝟓
𝒅) 𝟓
∶ 𝟑
𝒆) 𝟑 − 𝟓
1 3
c) ∶7= d) ∶4=
5 5
¿Es posible formular una regla que permita encontrar rápidamente el resultado de estas
cuentas? Explica.
3 4 121 49
𝑎) . = 𝑏) . =
5 15 14 11
100 25 8 15
𝑐) : = 𝑑) . =
27 36 25 24
4 2 24
𝑒) : = 𝑓) 36: =
9 27 5
5-Andrés disponía de de litro de pintura para pintar las cuatro paredes de su alcoba. ¿Qué
fracción de pintura usó en cada pared, si en cada una u lizó la misma can dad?
7-Una máquina fabrica medio tornillo en segundos. ¿Cuántos tornillos fabrica en una hora y
cuántos en de hora?
2- Completa el cuadro:
5- Escribe la fracción bajo cada representación gráfica y luego compara si son > , < ó = entre
sí:
b)
c)
d)
e)
4).- En un juego al azar Ruperto gana los 5/8 de su dinero, ¿con cuánto se retira si
llegó al juego con $5440?
a) 3400
b) 8704
c) 1088
d) 8840
e) 680
5).- Diana tiene 120 figuritas y desea repartir las en partes iguales a 10 amigos.
¿Cuántas figuritas recibe cada uno?
a) 4
b) 72
c) 36
d) 8
GEOMETRÍA
Elementos fundamentales
Así como la aritmética se basa en elementos fundamentales que son los números, de los cuales
se estudian propiedades y a los que se le aplican operaciones, así también la geometría se basa
en ciertos entes fundamentales, que son: el punto, la recta y el plano.
Un plano es como la superficie de una hoja de papel que se extiende sin límites.
Como todo papel, por más grande que sea, tiene límites representaremos al plano con una figura
de borde ondulado que dará la idea de ilimitada y lo nombraremos con una letra griega:
La señal que deja el golpe de la punta de un lápiz en la hoja da la idea de punto. En el plano
hay puntos, que representaremos con pequeñas cruces y nombraremos con letra mAayúscula
de imprenta.
x x
A C
x B
π
Un rayo de luz que entra por el ojo de la cerradura de una puerta, la cuerda tensa de una
guitarra, imaginados sin espesor y de longitud ilimitada dan idea de recta.
Con ayuda de una regla podemos trazar muchas rectas que pasen por el punto A. Las
nombraremos con letras minúsculas de imprenta.
c x
b
A
C π
Postulados o Axiomas
Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos
geométricos que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple
observación.
2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
5. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto
pertenece al mismo y la recta está incluida en él.
6. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano. También
puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que está
incluida en el plano.
OBLICUAS PERPENDICULARES
Actividades:
1. Observa las siguientes situaciones y luego completa:
A y B son ……………………….
A M
C C y D son ………………………
B
M y N son ……………………...
N
D
s y r son paralelas
Para trazar una perpendicular apoya la escuadra sobre la recta y por el lado que forma un ángulo
recto con la anterior traza otra recta. Esta es perpendicular a la recta dada.
s y r son perpendiculares
Curiosidades…
Observa los siguientes dibujos y responde: ¿son paralelas las
rectas en ellos?
Si miras estas imágenes te parecerá que todo está deforme, pero si te fijas verás que las
líneas que forman las cuadrículas son rectas completamente paralelas. Lo que hace que te
despiste son los pequeños cuadrados blancos en el interior, pues hacen que tu cerebro tienda a
asociarlos con los cuadrados grandes de color blanco.
En el plano 𝛿 :
o Colorea Spl(m, A)
o Traza 𝐴𝐶 y 𝐵𝐴⃗
Mediatriz de un segmento
La recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio se llama MEDIATRIZ.
Angulo
Definición
Un ángulo es la región del plano determinada por dos
semirrectas cuyo origen es el mismo punto. a
Ángulo
Observa en la figura que quedan determinadas dos Ángulo convexo
o
regiones, una llamada ANGULO CÓNCAVO y la otra cóncavo
ANGULO CONVEXO.
b
Los elementos del ángulo son VÉRTICE y LADOS:
Existen distintas unidades de medida para la amplitud de un ángulo. Una de ellas es el grado
sexagesimal (que en forma abreviada llamamos grado).
En este sistema un giro completo está dividido en 360 partes iguales, es decir que un ángulo
recto de divide en noventa partes. Cada una de ellas recibe el nombre de GRADO.
Este sistema de medición de ángulos se llama SEXAGESIMAL porque cada unidad se fracciona
en 60 partes iguales: cada grado está dividido en 60 partes iguales (cada una de las cuales se
denomina MINUTO) y cada minuto en otras sesenta partes (llamadas SEGUNDO):
1
1° =
90 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
1° 1´
1´ = 1´´ =
60 60
Ejemplos:
𝛼 = 24°17´38´´ 𝛽 = 87°18´
Suma: Resta:
78° 12’ 25’’ 78° 25’
+ 25° 36’47’’ - 32° 16’ 47’’
90°
58° 36’ 27’’
-
Multiplicación: División:
57° 22’ 41’’ 95° 33’ 44’’ | 2
X 4
Ejercicio 2. Álex sigue con sus cálculos y concluye ahora que 60º son 3600’’. ¿Es
correcta su afirmación?
Ejercicio 3. ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos 30º 12’ 40’’ y 23º 29’
13’’?
Ejercicio 4. ¿Cuál es el resultado de restarle 23º 29’ 13’’ a 30º 12’ 48’’?
Clasificación de ángulos
Bisectriz de un ángulo
La BISECTRIZ de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos
partes iguales. También se puede definir la bisectriz como el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan (es decir, están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Para trazar labisectriz del ángulo ABC seguimos los siguientes pasos:
Pares de ángulos
Clasificación según su posición
En esta clasificación se trata de ver un ángulo con respecto de otro. De tal manera que se pueden
encontrar:
Ángulos consecutivos
Son dos ángulos que comparten un vértice y un ángulo. Es decir, tienen el vértice y uno de sus
lados en común.
Ángulos adyacentes.
Son un tipo de ángulos consecutivos que suman entre los dos 180º.
En este caso, ya se tiene en cuenta lo que suman en la categoría anterior, pero en esta se hace
más evidente y, un ángulo puede ser varias cosas a la vez. De esta forma, tenemos:
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Si 𝛼 = 38°17´calcula 𝛽, 𝜋 y 𝛿
𝛽
𝛼 𝛿
𝜋
T
1 2
3 4
A
5 6
7 8 B
ANGULOS ALTERNOS: son los pares de ángulos que están en distintos semiplanos respecto
de la transversal. Ambos son internos o externos y no son adyacentes.
Si son internos se llaman: alternos internos. En la figura son los ángulos: .......................
ANGULOS CONJUGADOS: son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano
respecto de la transversal. Ambos son internos o externos.
Si las rectas A y B son paralelas, ¿qué se puede decir de las propiedades de los ángulos alternos,
conjugados y correspondientes?
T
𝛽 = ………………………….………………
𝛼= 105° α
β
A//B 𝜋=……………………….………………
π A
ω
B 𝜔= ….....…………………….……………
α=………………………… γ=…………………………
β=………………………… π=…………………………
ε=………………………… ω=………………………
... …...
𝛼 = 30° 𝑦 𝛽 = 60°
𝛼 = 𝛽 = 90°
𝛼 𝑦 𝛽 son suplementarios
𝛼 = 100° 𝑦 𝛽 = 𝛼 − 20°
𝛼 = 𝛽 = 45°
3- Marca en cada una de las figuras un par de ángulos adyacentes y con otro color un par de
ángulos opuestos por el vértice.
4- Encuentra el valor de cada uno de los siguientes ángulos y justifica tus cálculos:
α
α δ
δ
8. Dados:
ˆ = 42°15'27" y ̂ = 46°44'33", ¿son complementarios estos ángulos? ¿Por qué?
ˆ
9. Calcula y ˆ . Justifica tus cálculos.
α π
ˆ = 40°27’17’’
β
10. Calcular el valor de cada uno de los ángulos indicados, justificando la respuesta.
𝛼 = ………………………….…………
T
𝜀̂=49°12’9’’ 𝜇̂ =………………………….…………..
α
A//B δ A 𝜔 = ….....…………………….…………
µ
𝜔 = ………………………….…………
ω ε B
𝛿 = …………………….………………
Triángulo
RECORDAMOS:
Actividad 1:
Los elementos primarios corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos
exteriores. Los elementos secundarios corresponden a la altura, bisectriz, mediatriz y mediana.
Actividad 2:
Actividad 3:
b) ¿Pudieron construir el triángulo solicitado en todos los casos? ¿A qué creen que se debe?
Actividad 4:
Observando la ilustración anterior caracteriza cada tipo de triángulo y completa el cuadro
TRIÁNGULO
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Un triángulo es EQUILÁTERO
cuando sus lados tienen igual
longitud (miden lo mismo)
Construcción de triángulos
Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, seguimos
los siguientes pasos:
1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un segmento de esa
longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B:
2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 5
cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo izquierdo del segmento y trazamos
un arco de circunferencia
3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4
cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y
trazamos otro arco de circunferencia.
4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto de corte, C, y el triángulo queda dibujado
Actividad 6
Construye con regla y compás los siguientes triángulos. Clasifica según sus lados.
6 cm 3,5 cm 4 cm
5 cm 5 cm 5 cm
6 cm 4 cm 6 cm
12 cm 7 cm 3 cm
En todo triángulo suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 180°.
Actividad 7
a) Completar el cuadro:
45° 45°
60° 60°
50° 35°
b) Calcular el mayor ángulo de un triángulo, sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son
iguales.
En todo triángulo la suma de las amplitudes de los ángulos exteriores es igual a 360°.
Demostración:
U lizando papel de colores realiza la siguiente ac vidad:
Recorta un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno acutángulo (los tres de
dis ntos colores), y nombra los ángulos interiores de cada uno de ellos.
Recorta los ángulos exteriores del triángulo acutángulo, y pégalos en tu cuadernillo,
de forma que cada ángulo quede adyacente al otro.
¿Qué ocurre con los tres ángulos?
Realiza el mismo procedimiento para los triángulos rectángulo y obtusángulo, y
escribe una conclusión general sobre la suma de los ángulos exteriores de un
triángulo.
En todo triángulo, cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior
correspondiente.
En todo triángulo la amplitud de un ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes
de los ángulos interiores no adyacentes con él.
Actividad 8
Calcular el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos:
𝛼 = 148°
𝜔
𝛾 𝛼
𝛽 = 52°
𝜑
𝜀 𝜑 = 105°
𝜋 𝛽
𝛼
a. ¿Qué puedes decir sobre los ángulos interiores de un triángulo rectángulo? ¿Cuánto miden?
b. ¿Qué puedes decir sobre los ángulos interiores de un triángulo isósceles? ¿Puedes conocer
sus amplitudes, sin saber a qué triángulo nos referimos?
2- Construye con regla y compás los triángulos con los siguientes datos. En caso de no ser
posible construir alguno, intenta explicar por qué.
5-En un triángulo isósceles, el ángulo dis nto ene una amplitud de 46º. Calcula la amplitud
de los otros ángulos interiores.
1- Si se sabe que el lado distinto de un triángulo isósceles no equilátero mide 5 cm, y los lados
iguales miden 9 cm, ¿cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? Realiza la construcción
en GeoGebra y comprueba tus suposiciones.
3- Andrés y Blanca son vecinos y viven a 80 metros de distancia, aunque entre sus casas hay un
pantano. Quieren instalar un pozo de agua que esté a igual distancia de la casa de los dos.
DESAFÍO FINAL
Paula lee la revista “Super Matemática”, en la que se publican acertijos y curiosidades
matemáticas. En el último número publicaron un concurso de construcciones geométricas, y el
lector que envíe la construcción propuesta recibirá un importante premio. Las consignas del
juego son las siguientes:
ESTADÍSTICA
La palabra Estadística procede del vocablo “Estado”, pues era función principal de los
Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones,
impuestos, cosechas... La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus
condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron
sociedades humanas organizadas.
Es difícil conocer los orígenes de la Estadística. Desde los comienzos de la civilización han
existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros
símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de
personas, animales o ciertas cosas.
La maestra realizó una encuesta sobre las salidas preferidas de sus alumnos durante el fin de
semana. Organizó las respuestas en la siguiente tabla:
Gráficos estadísticos
Los datos obtenidos en una encuesta y tablas como la anterior pueden graficarse mediante
representaciones convenientemente elegidas. Los gráficos permiten interpretar y visualizar, en
forma más clara, lo que estamos analizando. Mediante los mismos se logra una comprensión
más rápida del significado de las observaciones realizadas y de la relación que puede existir entre
ellas.
Veamos algunos tipos de gráficos. Ilustra buscando en diarios y revistas:
Gráfico de barras
Estos gráficos son una de las formas más simples de representación. La longitud de las barras es
igual al número de veces que se repite cada observación.
Gráficos circulares
Resulta útil cuando se quiere comparar datos. Mediante los sectores de un círculo se representa
la proporción entre los distintos valores de cada observación.
Pictogramas
En un pictograma las veces que se repite una observación se presentan por medio de un dibujo
que está relacionado con lo que se estudia.
Por ejemplo, la estatura es una variable estadística continua, ya que puede tomar valores como
1,28 m, 1,56 m o 1,36 m; mientras que el número de hermanos es una variable discreta, pues
solo puede tomar valores enteros como cero, uno, tres, cinco...
Los datos de un estudio estadístico se disponen en tablas, las cuales permiten clasificar y
organizar la información recogida.
Por ejemplo: se les preguntó a diez estudiantes de séptimo grado por su número de hermanos
y se obtuvieron estos datos:
0 2 2 0 1 2 3 1 3 1.
N° de Frecuencia absoluta
hermanos En estadística, una población es el
conjunto de todos los elementos sobre
0 2 el que se hace un estudio estadístico
y una muestra es un subconjunto de
1 3 la población.
2 3
3 2
Ac vidad 1.
Indicar en cada caso población, muestra y variable considerada.
Ac vidad 3.
Elabora una tabla de frecuencia absoluta para cada conjunto de datos.
a. Las edades de los miembros de una compañía de teatro juvenil:
15 17 14 19 17 16 13 12 15 16 13
12 19 13 12 18 17 16 15 14 13 12
b. La estatura, en cen metros, de los integrantes de un equipo de básquet:
175 177 178 179 185 184
175 178 178 179 181 190
Ac vidad 4.
Los siguientes datos corresponden a la temperatura mínima (en grados Celsius) registrada
durante el mes de junio en una ciudad.
12 11 10 11 10 9 8 10 11 9 9 12 11 10 9 5 3 7 7 8 5 6 8 6 10 10 12 8
a. Organiza la información en una tabla de frecuencias absolutas.
b. ¿Cuál fue la temperatura mínima registrada en junio?
c. ¿Cuántos días de ese mes la temperatura fue por lo menos de 8 °C?
d. ¿Qué porcentaje de los días de junio la temperatura fue de 6 °C?
e. Elabora un gráfico de barras.