Algebra de Boole - Relaciones Formulario

EDWIN CONDORI CHUME ALGEBRA I (MAT-100)
ALGEBRA DE BOOLE
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Idempotencia: a  a  a; a  a  a
Conmutativa: a  b  b  a; a  b  b  a
Asociativa: a   b  c    a  b   c; a   b  c    a  b   c
Distributiva: a   b  c    a  b    a  c ; a   b  c   a  b  + a  c 
Absorción: a  a  b  a ; a  a  b  a ; a  0  0 ; a 1 1
De Morgan: a  b  ab ; ab  a  b
Complemento: a  a ; a  a 1 ; a  a  0
Identidad: a  0  a ; a 1  a
Tabla de verdad de los operadores lógicos

RELACIONES
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Reflexiva: Una relación R en un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento x
de A esta relacionado consigo mismo. Es decir:
R es reflexiva  x : x  A  xRx
No reflexiva: Se dice que una relación R en un conjunto A es no reflexiva si existe
algún elemento de A que no esta relacionado consigo mismo. Es decir:
R es no reflexiva  x / x  A  x R x
Arreflexiva: Una relación R definida en un conjunto A es arreflexiva si ningún

elemento de A esta relacionado consigo mismo. Es decir:
R es arreflexiva  x : x  A  x R x
Simétrica: Una relación R en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par

(x,y) que pertenece a la relación, entonces el par (y,x) también pertenece. Es decir:
R es simétrica  xy  A: xRy  yRx
No simétrica: Una relación R, definida en un conjunto A, es no simétrica si existe

algún par (x,y) en la relación, pero su transpuesta (y,x) no pertenece a ella. Es decir:
R es no simétrica  xy / xRy  y R x
Asimétrica: Se dice que una relación R en un conjunto A es asimétrica si un par (x,y)

pertenece a la relación entonces su transpuesta (y,x) no pertenece a ella. Es decir:
R es no simétrica  xy : xRy  y R x
Transitiva: Una relacion R, definida en un conjunto A, es transitiva si, cualesquiera

que sean los pares ordenados (x,y) y (y,z) que pertenecen a la relación, entonces el par
ordenado (x,z) también pertenece a ella. Es decir:
R es transitiva  xyz : xRy  yRz  xRz
No transitiva: La relación R en un conjunto A se dice que es no transitiva si existen

pares (x,y) y (y,z) que pertenecen a R pero el par (x,z) no pertenecen a ella. Es decir:
R es no transitiva  xyz / xRy  yRz  x R z

Atransitiva: Una relación R en un conjunto A se llama atransitiva si, cualesquiera que

sean los pares (x,y) y (y,z) que pertenecen a la relación, entonces el par (x,z) no pertenece a
ella. Es decir:
R es atransitiva  xyz : xRy  yRz  x R z
Antisimétrica: Dada una relación R en un conjunto A se denomina antisimétrica si

todo par (x,y) y su transpuesta (y,x) pertenecen a la relación, entonces x es igual a y. Es
decir:
R es antisimétrica  xy : xRy  yRx  x  y
1. CLASIFICACIÓN DE LAS RELACIONES

1.1. RELACION DE EQUIVALENCIA
 Reflexiva

Relación de Equivalencia  Simetría
Transitiva

Si la relación es de equivalencia, cumple las siguientes características de la relación.
A) Clases de equivalencia: Es el conjunto de todos los elementos de A que

son equivalentes a uno dado. Se define:
K a  x  A / x a o bien K a  x  A /  x,a   R
Se lee: La clase de equivalencia para un elemento dado “a” son todos los elementos que
pertenecen a A tal que estos elementos estén relacionados con a.
B) Conjunto de índices: Se denomina conjunto índice a un conjunto formado

por los representantes de cada clase de equivalencia. Es decir:
I  a  A / K a es una clase de equivalencia en A
C) Conjunto cociente de A: Es el conjunto formado por todas las clases de

equivalencia, se escribe A/ . Es decir:
A A
 K a / a  I o  K1,K 2 ,K 3 ,...,K n 
1.2. RELACION DE ORDEN

  Reflexiva
 
 Amplio Antisimétrica
  Transitiva

Relación de Orden 
 Arreflexiva
 Estricto  Asimetrica
  Transitiva
 
1.2.1. RELACION DE ORDEN PARCIAL O TOTAL
A) Relación de orden total: Cuando todos los elementos de A son
comparables dos a dos.
Es decir:
R es de orden TOTAL si x  y  xRy  yRx

O bien x  y   x, y   R o  y, x   R
B) Relación de orden parcial: Cuando existen pares de elementos de A que

no son comparables. Es decir:
R es de orden PARCIAL si x, y / x R y  y R x

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EDWIN CONDORI CHUME ALGEBRA I (MAT-100)

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

De Morgan: a  b  ab ; ab  a  b

Tabla de verdad de los operadores lógicos

Arreflexiva: Una relación R definida en un conjunto A es arreflexiva si ningún

Simétrica: Una relación R en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par

R es simétrica  xy  A: xRy  yRx

No simétrica: Una relación R, definida en un conjunto A, es no simétrica si existe

R es no simétrica  xy / xRy  y R x

Asimétrica: Se dice que una relación R en un conjunto A es asimétrica si un par (x,y)

R es no simétrica  xy : xRy  y R x

Transitiva: Una relacion R, definida en un conjunto A, es transitiva si, cualesquiera

R es transitiva  xyz : xRy  yRz  xRz

No transitiva: La relación R en un conjunto A se dice que es no transitiva si existen

R es no transitiva  xyz / xRy  yRz  x R z

Atransitiva: Una relación R en un conjunto A se llama atransitiva si, cualesquiera que

R es atransitiva  xyz : xRy  yRz  x R z

Antisimétrica: Dada una relación R en un conjunto A se denomina antisimétrica si

R es antisimétrica  xy : xRy  yRx  x  y

1. CLASIFICACIÓN DE LAS RELACIONES

A) Clases de equivalencia: Es el conjunto de todos los elementos de A que

B) Conjunto de índices: Se denomina conjunto índice a un conjunto formado

I  a  A / K a es una clase de equivalencia en A

C) Conjunto cociente de A: Es el conjunto formado por todas las clases de

1.2. RELACION DE ORDEN

R es de orden TOTAL si x  y  xRy  yRx

B) Relación de orden parcial: Cuando existen pares de elementos de A que

R es de orden PARCIAL si x, y / x R y  y R x

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