SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

Una gran cantidad de problemas que se presentan en las ciencias e ingeniería estan asociados a la solución
de sistema de ecuaciones lineales, resolveremos este problema desde un enfoque matricial y decidiremos
el tipo de solución que presenta el sistema.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es un concepto que esta relacionado con la inversa de una matriz y con los sistemas
de ecuaciones y es tratado mas ampliamente en los espacios vectoriales.
De…nición
El rango de una matriz A de orden m n es de…nido como el orden (tamaño) de la submatriz no-singular
de A de mas alto orden

El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)

Ejemplo
Sea la matriz 0 1
1 1 1
B 1 1 0 C
A=B
@ 2
C
0 1 A
1 1 0
Notemos que la submatriz de mayor tamaño es de orden 3 3; estas submatrices y sus determinantes
son:
0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
det @ 1 1 0 A = 0 det @ 1 1 0 A=0
2 0 1 1 1 0
0 1 0 1
1 1 1 1 1 0
det @ 2 0 1 A = 0 det @ 2 0 1 A=0
1 1 0 1 1 0

por tanto el rango no puede ser tres.

Consideremos la matriz cuadrada de orden 2

1 1
M=
1 1

su determinante es igual a det M 6= 0 por tanto esta matriz es no singular luego el rango de A es 2, esto
es R (A) = 2
Este forma de hallar el rango es muy costoso, mas adelante veremos otra manera de encontrar dicho
rango.
Proposición
El rango de una matriz A de orden m n es siempre menor o igual que el mínimo entre m y n; esto es

R (A) min fm; ng

1
Operaciones Elementales
Se de…nen tres operaciones elementales sobre las …las (o columnas) de una matriz que a continuación
enunciamos

1. Intercambiar las …las (columnas) i y j

fi fj

2. Multiplicar una …la (columna) por un escalar k 6= 0

fi ! kfi

3. Añadir k-veces la …la (columna) i a la …la (columna) j

fj ! fj + kfi

El siguiente teorema es importante para el calculo del rango de una matriz

Teorema
El rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operaciones elementales de…nidas pre-
viamente.
Ejemplo
Calcular el rango de la matriz A de…nida por
0 1
0 1 1 1 0 0
B 1 0 1 1 1 0 C
B C
B 1 1 0 0 1 0 C
A=B
B
C
B 0 0 1 0 0 1 C
C
@ 0 0 0 1 0 0 A
1 1 0 0 1 0

mediante operaciones elementales A es transformada a la siguiente matriz

0 1
1 0 0 0 1 1
B 0 1 0 0 0 1 C
B C
B 0 0 1 0 0 1 C
B C
B 0 0 0 1 0 0 C
B C
@ 0 0 0 0 0 0 A
0 0 0 0 0 0

Podemos observar que el orden mas alto de la submatriz cuya determinate es diferente de cero es igual a
4.

Forma escalonada por …las

Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por …las si satisface las siguientes tres propiedades

1. El primer elemento diferente de cero en cada …la es 1, llamado a vaces el 1 principal o pivote

2. Una …la cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas las …las que contienen al menos
un elemento diferente de cero
3. Para dos …las sucesivas no nulas el pivote de la …la inferior aparece mas a la derecha
Ejemplo
Las siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por …las
0 1
0 1 0 1 1 0 2 0
1 0 2 1 0 0 0 B 0
@ 0 B 0 1 0 C
C
1 1 A @ 0 0 1 2 A @ 0 0 0 0 A
0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0

2
Forma escalonada reducida por …las
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por …las si

1. Esta en su forma escalonada por …las

2. Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a cero.
Ejemplo
Las siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por …las
0 1
0 1 1 0 0 0
1 3 0 0 B 0 0 1 2 C
A=@ 0 0 1 0 A B=B
@ 0
C
0 0 0 A
0 0 0 1
0 0 0 0

Nota
Una matriz tiene una única forma escalonada reducida por …las mientras que puede tener muchas formas
escalonadas por …las.
Nota
En cualquiera de los casos, el número de …las no nulas conteniendo los pivotes es igual al número de
columnas conteniendo los pivotes
Ejemplo
La matriz A tiene sus tres …las conteniendo al pivote y tiene tres columnas (columna 1,3,4) que contienen
al pivote
La matriz B tiene dos …las conteniendo al pivote (…la 1 y …la 2) y tiene 2 columnas conteniendo al pivote
(columna 1 y columna 3)

Proposición (rango de una matriz)

El rango de una matriz es igual al numero de …las no nulas de su forma escalonada por …las.

Esto es debido a que toda matriz es llevado a una forma escalonada reducida por …las mediante
operaciones elementales y por el teorema (4) que nos dice que el rango de la matriz es igual al rango de
su forma escalonada.

Matrices Elementales
En lo que sigue, mostraremos que cada operación elemental por …la puede ser expresado como una matriz
no-singular, llamada matriz elemental
De…nición
Una matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente una operacion elemental por …la
es llamada una matriz elemental.
Ejemplo
Las siguientes matrices son matrices elementales
0 1
0 0 1
@ 0 1 0 A : se obtiene intercambiando las …las 1 y 3 de I3
1 0 0
1 0
: se obtiene multiplicando por ( 8) la …la 2 de I2
0 8
1 0
: se obtiene sumando tres veces la …la 1 a la …la 2 de I2
3 1

Nota
Debemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por …la sobre la matriz
identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n; el producto EA es exactamente la matriz
que se obtiene cuando se aplica la misma operación elemental por …la sobre A

3
Ejemplo
Sea la matriz 0 1
1 2 3 5
A=@ 1 5 4 1 A
0 1 0 3
apliquemos la operación elemental f2 ! f2 + 5f3 entonces obtenemos
0 1
1 2 3 5
@ 1 10 4 16 A (1)
0 1 0 3

ahora si esta misma operación elemental por …la la aplicamos a la matriz identidad I3 obtenemos
0 1
1 0 0
E=@ 0 1 5 A
0 0 1

luego el producto de la matriz E por la matriz A es:

0 1
1 2 3 5
EA = @ 1 10 4 16 A (2)
0 1 0 3

como se ve tenemos que (2) es igual a (1)

El siguiente teorema determina la inversa de una matriz elemental

Teorema
Una matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental del mismo tipo. Ademas

1 1
1. Si E multiplica a una …la por c 6= 0, entonces E multiplica a la misma …la por
c
1
2. Si E intercambia dos …las, entonces, E los intercambia tambien
1
3. Si E añade un multiplo de una …la a otra, entonces E resta el mismo multiplo desde la misma
…la a la otra

De acuerdo a este teorema tenemos que:

Si fi ! fi + cfj de…ne a la matriz elemental E; entonces

1
fi ! fi cfj de…ne a la matriz elemental E
Si fi ! cfi de…ne a la matriz elemental E; entonces
1
fi ! fj de…ne a la matriz elemental E 1
c
Si fi fj de…ne a la matriz elemental E; entonces
1
fj fi de…ne a la matriz elemental E

Para aclara este punto veamos este ejemplo

Ejemplo
Sea la matriz 0 1
1 2 3 1 0
A=@ 2 8 1 0 3 A
1 1 0 1 1
Primero la operacion elemental consiste en multplicar la segunda …la por 5, entonces
0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
Si E = @ 0 5 0 A ! E 1 = @ 0 51 0 A
0 0 1 0 0 1
1
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental f2 ! 5f2 y la matriz elemental E viene de la
operacion elemental f2 ! 15 f2

4
 Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es
0 1 0 1
1 2 3 1 0 1 2 3 1 0
EA = @ 10 40 5 0 15 A y E 1 A = @ 25 8
5
1
5 0 3
5
A
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

Segundo la operación elemental consiste en intercambiar la segunda y tercera …la, entonces

0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
Si E = @ 0 0 1 A ! E 1 = @ 0 0 1 A notar que E 1 = E T
0 1 0 0 1 0
1
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental f2 f3 y la la matriz elemental E viene de la
operacion elemental f2 f3
Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es
0 1 0 1
1 2 3 1 0 1 2 3 1 0
EA = @ 1 1 0 1 1 A y E 1A = @ 1 1 0 1 1 A
2 8 1 0 3 2 8 1 0 3

Tercero, la operación elemental es sumar a la …la 2 3 veces la …la 3,entonces

0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
Si E = @ 0 1 3 A!E 1=@ 0 1 3 A
0 0 1 0 0 1
1
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental f2 ! f2 + 3f3 y la la matriz elemental E viene
de la operacion elemental f2 ! f2 3f3 :
Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es
0 1 0 10 1
1 2 3 1 0 1 0 0 1 2 3 1 0
EA = @ 5 11 1 3 6 A y E 1 A = @ 0 1 3 A@ 2 8 1 0 3 A
1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

De…nición
Una matrix de permutación es una matriz cuadrada obtenido de la matriz identidad por permutación de
…las
Ejemplo
Sea la matriz 0 1
0 1 0 0
B 1 0 0 0 C
P =B
@ 0
C
0 0 1 A
0 0 1 0
es una matriz de permutación pues se obtiene de intercambiar f1 f2 y f3 f4
Problema
Probar que

1. Una matriz de permutación es el producto de un número …nito de matrices elementales las cuales
corresponden a la operación elemental por …las de "intercambio de …las"
1
2. Toda matriz de permutación es invertible y P = PT
3. El producto de dos matrices de permutación es tambien una matriz de permutación
4. La transpuesta de una matria de permutación es tambien una matriz de permutación
Problema
De…na las operacones elementales por columna para una matriz reemplazando "…la" por "columna" en
la de…nición de operaciones elementales sobre …las. Mostrar que si A es una matriz de orden m n
y E es una matriz elemental al realizar una operación elemental sobre columnas a la matriz identidad
In , entonces AE es exactamente la matriz que se obtiene de A cuando realizamos la misma operacion
elemental sobre la matriz A

5
Inversa de una Matriz por Operaciones Elementales
Estableceremos una relación entre una matriz invertible y las matrices elementales y tambien entre una
matrices triangular y las matrices elementales
Teorema
Sea A una matriz de orden n n, entonces A es invertible si y solo si A es el producto de matrices
elementales.

Prueba. Primero supongamos que A es el producto de matrices elementales entonces

A = E1 E2 Em

como las matrices elementales son invertibles entonces

AEm1 Em1 1 E1 1 = I

luego entonces
A 1
= Em1 Em1 1 E1 1
por lo que A es invertible
Ahora supongamos que la matriz A es invertible, entonces

R (A) = n pues det (A) 6= 0

por otro lado del teorema (4) el rango no cambia si realizamos una operacion elemental, luego podemos
aplicar sucesivas operaciones elementales y llevar la matriz A hasta la identidad

Em E2 E1 A = I

entonces
A = E1 1 E2 1 Em1

Ejemplo
Expresar la matriz A como un producto de matrices elementales

2 1
A=
1 2

Mediante operaciones elementales llevamos A a la matriz identidad

1 1 f2 !f2 +f1 1 1 f2 ! 13 f2 1 1 f1 !f1 f2 1 0

1 2 ! 0 3 ! 0 1 ! 0 1
1 0 1 0 1 1
Ei : 1
1 1 0 3 0 1
1 1 0 1 0 1 1
Ei :
1 1 0 3 0 1

Entonces
1 1 1 0 1 0 1 1
=
1 2 1 1 0 3 0 1

Inversa por el método de Gauss-Jordan

El hecho de que toda matriz invertible es expresado como un producto de matrices invertibles nos conduce
al método planteado por Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa por medio de operaciones elementales.
Para ello formamos una nueva matriz
. .
A..I o.e
! I ..B

y mediante operaciones elementales llevamos a la matriz A a la identidad, por tanto la matriz B obtenida
viene a ser la matriz inversa de A.

6
 Esto se deduce del hecho de que
En En 1 E1 A = I
pero tambien podemos expresarlo como
(En En 1 E1 I) A = I
esto es, si aplicamos las mismas operaciones elementales a la matriz identidad obtenemos la inversa de la
matriz A.
Ejemplo
Calculemos la inversa de A
1 1
A=
1 2
Formamos la matriz que contiene a A y a la matriz identidad, luego procedemos mediante operaciones
elementales a llevar a la matriz A a la identidad
1 1 1 0 f2 !f2 +f1 1 1 1 0 f2 ! 13 f2
1 2 0 1 ! 0 3 1 1 !

2 1
1 1 1 0 f1 !f1 f2 1 0 3 3
1 1 ! 1 1
0 1 3 3 0 1 3 3

de donde tenemos que

2 1
1 3 3
A = 1 1
3 3

Factorización LU
Antes de pasar al proceso de factorización primero debemos establecer lo siguiente
Problema
Sea A y B dos matrices triangulares inferiores (superiores) cuadradas del mismo orden. Probar que
1. El producto tambien es triangular inferior (superior)
2. Si A es invertible, entonces su inversa es triangular inferior (superior)
3. Si los elementos de la diagonal de A y B son iguales a uno, entonces el producto tambien tiene sus
elementos de la diagonal igual a uno
Una matriz A puede ser llevado a una matriz triangular superior U mediante el siguiente proceso
1. para i = 1 n 1
2. si aii 6= 0 entonces
aj;i
para j = i + 1 n hacer fj ! fj fi
aii
en caso contrario intercambiar con alguna …la posterior
luego hemos llevado la matrices A hacia una matriz triangular superior mediante un número …nito de
operaciones elementales, esto es
Em Em 1 E1 A = U
Si no ocurre una permutación entre …las entonces E1 ; E2 ; Em son matrices triangulares.inferiores
(debera probarlo) por lo tanto E1 1 ; E2 1 ; Em1 son tambien matrices triangulares inferiores luego
A = E1 1 E2 1 Em1 U
haciendo L = E1 1 E2 1 Em1 ; tenemos que L es triangular inferior, y hemos obtenido la factorización
LU
A = LU
Ejemplo
Hallar la descomposición LU de la matriz
0 1
1 1 0
A=@ 1 2 1 A
0 1 2

7
Factorizacion P A = LU
Supongamos que durante la factorización LU de la matriz A es necesario intercambiar …las, En este caso,
podemos primero intercambiar todas las …las necesarias antes de hacer cualquier otra operación elemental
por …las, dado que el intercambio de …las puede ser hecho en cualquier momento, antes o despues de otra
operación, con el mismo efecto sobre la solución. Así no se necesitan mas intercambios de …las durante
el proceso de factorización y lo que conseguimos es la factorización LU de la matriz P A:
Ejemplo
Hallar la factorizacion LU de la matriz
0 1
0 1 2
A=@ 0 1 0 A
1 0 0

Es obvio que necesitamos intercambiar las …las 1 y 3 de la matriz A , asi necesitamos multiplicar por
la matriz 0 1
0 0 1
P =@ 0 1 0 A
1 0 0
entonces 0 1
1 0 0
PA = @ 0 1 0 A
0 1 2
y ahora para factorizar la matriz P A usamos el procedimento anterior y obtenemos
0 10 1
1 0 0 1 0 0
LU = @ 0 1 0 A@ 0 1 0 A
0 1 1 0 0 2

A continuación describimos con un ejemplo, el método para determinar la matriz L.

Suponiendo que es posible la factorización sin intercambiar …las. Sea la mariz
0 1
2 4 3
B 1 3 0 C
A=B @ 2
C
6 2 A
3 3 5

Paso 1.Hacemos que los elementos debajo de la diagonal de la primera columna sean iguales a cero
1
f2 ! f2 f1 (E1 )
2
2
f3 ! f3 f1 = f3 + f1 (E2 )
2
3
f4 ! f4 f1 (E3 )
2
Hasta este punto tenemos que
0 1
2 4 3
B 0 1 3C
E3 E2 E1 A = B
@ 0
2C = A(1)
2 5 A
1
0 3 2

Luego la matriz L en este instante es de la forma

0 1
1 0 0 0
B 1 1 0 0 C
L=B @ 1
2 C
1 0 A
3
2 1

8
Paso 2. Hacemos que los elementos de la segunda columna debajo de la diagonal de A(1) sean iguales
a cero
2
f3 ! f3 f1 = f3 ( 2) f1 (E4 )
1
3
f3 ! f3 f1 = f3 ( 3) f1 (E5 )
1
Hasta este punto tenemos que
0 1
2 4 3
B 0 1 3 C
E5 E4 A(1) = E5 E4 E3 E2 E1 A = B
@ 0 0
2 C = A(2)
2 A
0 0 4

Luego la matriz L en este instante es de la forma

0 1
1 0 0 0
B 1 1 0 0 C
L=B @ 1
2 C
2 1 0 A
3
2 3 1

Paso 3. Por último hacemos que los elementos de la tercera columna debajo de la diagonal de A(2)
sean iguales a cero
4
f4 ! f4 f3 = f4 ( 2) f3
2
tenemos que 0 1
2 4 3
B 0 1 3 C
E6 A(2) = E6 E5 E4 E3 E2 E1 A = B 2 C
@ 0 0 2 A=A =U
(3)

0 0 0
y la matriz L es 0 1
1 0 0 0
B 1
1 0 0 C
L=B
@
2 C
1 2 1 0 A
3
2 3 2 1
Compruebe que A = LU

Sistema de Ecuaciones Lineales

Una de las principales motivaciones del algebra lineal es resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas presenta la siguiente forma
8
>
> a11 x1 + a12 x2 + a1n x1 = b1
>
< a21 x1 + a22 x2 + a2n x1 = b2
.. (3)
>
> .
>
:
am1 x1 + am2 x2 + amn x1 = bm

donde aij ; bi denotan las constantes (reales o complejos) y x1 ; x2 ; ; xn son las incognitas
De…nición
Una sucesión de números (s1 ; s2 ; ; sn ) es llamada solución del sistema si x1 = s1 ; x2 = s2 ; ; xn = sn
satisface cada ecuación simultaneamente.

De…nición (Solución Trivial)

Cuando el conjunto x1 = 0; x2 = 0; ; xn = 0 satisface el sistema de ecuaciones, se le llama solución
trivial.

Nuestro interes esta centrado en determinar cuando un sistema de ecuaciones tiene solución o no lo
tiene y encontrar la (las) solución (soluciones) si es que lo tiene.

9
Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones
Todo sistema de ecuaciones como el sistema (3) puede ser representado matricialmente, para ello es
su…ciente de…nir las matrices A y los vectores b; x como sigue
0 1
a11 a12 a1n
B a21 a22 a2n C
B C
A = B . .. .. .. C
@ .. . . . A
am1 am2 amn
0 1 0 1
b1 x1
B b2 C B x2 C
B C B C
b = B .. C x=B .. C
@ . A @ . A
bm xm
entonces el sistema (3) es escrito en forma matricial como
Ax = b (4)
Donde:
A es llamado la matriz de coe…cientes
b el vector de constantes
x el vector incognita
De…nición (Sistema Consistente)
El sistema (4) se dice que es consistente cuando tiene al menos una solución
Ejemplo
El sistema
2x + 5y = 7
x 2y = 1
3x + y = 4
admite a (1; 1) como solución. por tanto es un sistema consistente
De…nición (Sistema Incosistente)
El sistema (4) se dice que es inconsistente si no tiene solución
Ejemplo
El sistema
x y = 2
2x 2y = 5
no tiene solución

Sistema Homogéneo
Primero trataremos con un sistema de ecuación muy particular, el sistema homogéneo.
De…nición (Sistema homogéneo)
Si b = 0 se dice que el sistema (4), es un sistema homogéneo.
Proposición
Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución, es decir es un sistema consistente.
Prueba. Del sistema homogéneo
Ax = 0
vemos claramente que x = 0 satisface el sistema, por tanto el sistema homogéneo admite al menos una
solución la cuál es la solución trivial.
Ahora la pregunta es ¿Cuando un sistema homogéneo tiene solución no trivial? y ¿Cual es?
Ahora vamos a desarrollar un método sistematico para encontrar todas las soluciones del sistema.

10
Sistemas Equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones

Ax = b (5)
~
Ax = ~b (6)

se dice que son sistemas equivalentes si solo si toda solución de el sistema (5) es solución del sistema (6)
y toda solución de el sistema (6) es solución del sistema (5), esto se formaliza con el siguiente teorema
Teorema
Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes por …las entonces ellos tienen el mismo conjunto de
soluciones.

Esta equivalencia de sistemas nos sugiere que partiendo de un sistema como Ax = b transformarlo a
otro sistema equivalente la cuál resulta ser mas conveniente para hallar su (sus) soluciones, si es que lo
tiene.
Las operaciones que permiten llevar un sistema de ecuaciones a otro equivalente son las operaciones
elementales.
Ejemplo
Resolver el sistema

3x + 9y + 6z = 18
x + 3y z = 3
x z = 0

Si dividimos la primera ecuación entre 3 la solución no se altera como resultado tenemos el sistema
resultante

x + 3y + 2z = 6
x + 3y z = 3
x z = 0

ahora a la segunda y tercera ecuación le restamos la primera, entonces

x + 3y + 2z = 6
3z = 3
3y 3z = 6

intercambiamos la segunda con la tercera ecuación

x + 3y + 2z = 6
3y 3z = 6
3z = 3

este sistema y los anteriores son sistemas equivalentes, pero la última tiene una forma muy particular,
una forma triangular, que resulta comodo para hallar la solución
Resolviendo el último sistema tenemos que x = 1; y = 1; z = 1 es solución de este sistema y por ser
un sistema equivalente es solución del sistema original.
Como habrá notado solo los coe…cientes del sistema es involucrado en los calculos y no las variables
o incognitas y el signo de igualdad, esto nos sugiere que podemos formar una matriz
0 1
a11 a12 a1n b1
B a21 a22 a2n b2 C
B C
Aa = B . . .. .. .. C
@ .. .. . . . A
am1 am2 amn bm
llamada matriz aumentada, la cual a menudo se suele escribir como
.
Aa = A..b

11
De…nición
Dos matrices aumentadas son equivalentes por …las si uno puede ser transformada al otro mediante un
conjunto …nito de operaciones elementales por …las
De…nición (Variable básica)
Las variables en el sistema, correspondientes a las columnas con el pivote en una forma escalonada por
…las son llamados variables básicas
Ejemplo
supongamos que tenemos el sistema
0 10 1 0 1
1 0 0 x1 0
@ 0 0 1 A @ x2 A = @ 2 A
0 0 0 x3 0
en su forma aumentada esta en la forma escalonada por …las
0 1
1 0 3 0
Aa = @ 0 0 1 2 A
0 0 0 0
de acuerdo a la de…nición, las variables x1 y x3 son las variables básicas
De…nición
Las variables en el sistema correspondiente a las columnas que no contienen a los pivotes son llamadas
variables libres.
Ejemplo
En el sistema anterior la variable x2 es la única variable libre.
Nota
respecto a las variables se cumple

# variables del sistema = # variables libres + # variables basicas

Métodos de Solución de Ecuaciones Lineales

A continuación presentamos dos métodos clásicos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

Eliminación gaussiana
Factorizacion LU

Eliminación gaussiana
El método de eliminación Gaussiana consiste en resolver el sistema Ax = b llevando la matriz aumentada
.
A = A..b a su forma escalonada por …las y luego resolver el sistema equivalente.
a

Ejemplo
Resolver el sistema

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 6x3 = 18

Formamos la matriz aumentada

2 3 2 6
3
2 4 6 18 1 0 0 5
4 4 5 6 24 5 o: elem 4 0 1 0 42 5
5
11
3 1 6 18 0 0 1 5

de aqui tenemos que

6 42 11
x1 = ; x2 = ; x3 =
5 5 5

12
 Ahora que sabemos una técnica para resolver un sistema, vamos a pasar a determinar cuando un
sistema es consistente y cuando no lo es.
Sabemos hasta el momento que el sistema homogéneo siempre es consistente, pero no hemos dicho
nada acerca de su número de soluciones.
De acuerdo a la proposición (11) el rango de una matriz es igual al número de …las no nulas de su
forma escalonada, esta proposición nos da una herramienta muy útil para hallar el rango de una matriz,
y es de mucha importancia para determinar si un sistema es consistente o no lo es.
Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
8
>
> a11 x1 + a12 x2 + a1n x1 = b1
>
< a21 x1 + a22 x2 + a2n x1 = b2
..
>
> .
>
:
am1 x1 + am2 x2 + amn x1 = bm
la cual expresado en su forma matricial viene dado por:
Ax = b
y su matriz aumentada de…nida por
.
Aa = A..b

entonces
1. Si el rango de A es igual al rango de Aa entonces el sistema es consistente, esto es
R (A) = R (Aa ) implica sistema consistente
si además

(a)
R (A) = R (Aa ) = n solución única
entonces tiene solución única
(b)
R (A) = R (Aa ) < n in…nitas soluciones
entonces tiene in…nitas soluciones

2. Si el rango de A es menor que el rango de Aa entonces el sistema es incosistente, esto es

R (A) < R (Aa ) implica sistema inconsistente

Ejemplo
Sea el sistema de ecuaciones
x y = 1
x y = 0
llevandolo a su forma matricial tenemos
1 1 x 1
=
1 1 y 0
luego su matriz aumentada viene dado por
1 1 1
Aa =
1 1 0
llevandolo a su forma escalonada obtenemos
1 1 1
0 0 1
de aqui podemos deducir que el R (A) = 1 y que el rango de R (Aa ) = 2; entonces
R(A) < R (Aa )
lo cual corresponde al caso que no tiene solución.

13
 notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales son paralelas

y 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-2

-4

Ejemplo
Sea el sistema de ecuaciones

x+y = 1
x y = 0

llevandolo a su forma matricial tenemos

1 1 x 1
=
1 1 y 0

luego su matriz aumentada viene dado por

1 1 1
Aa =
1 1 0

llevandolo a su forma escalonada obtenemos

1 1 1
0 2 1

de aqui podemos deducir que el R (A) = 2 y que el rango de R (Aa ) = 2; entonces

R(A) = R (Aa )

lo cual corresponde al caso que tiene solución. Ademas como

R(A) = R (Aa ) = 2 (# variables)

entonces tiene solución única y la solución es x = 21 ; y = 1

2

Debemos notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales que
se intersectan en un único punto

y 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-2

-4

14
Ejemplo
Sea el sistema de ecuaciones

x y = 1
2x 2y = 2

llevandolo a su forma matricial tenemos

1 1 x 1
=
2 2 y 2

luego su matriz aumentada viene dada por

1 1 1
Aa =
2 2 2

llevandolo a su forma escalonada obtenemos

1 1 1
0 0 0

podemos deducir que el R (A) = 1 y que el rango de R (Aa ) = 1; entonces

R(A) = R (Aa ) = 1

lo cual corresponde al caso que tiene solución. Ademas como

R(A) = R (Aa ) = 1 < 2 (# variables)

entonces tiene in…nitas soluciones

notar que este caso corresponde a tratar de hallar la intersección de 2 rectas, las cuales son rectas
coincidentes. x y = 1

y 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-2

-4

Ahora lo que nos queda por tratar es como expresar las soluciones cuando un sistema tiene in…nitas
soluciones.
Proposición
En un sistema consistente, el número de varibles libres es igual a el numero de variables menos el rango
de la matriz A (o Aa ) Esto es
# variables libres = n R (A)

Ejemplo
Hallar la solución del siguiente sistema

x1 + 3x2 2x3 =3
2x1 + 6x2 2x3 + 4x4 = 18
x2 + x3 + 3x4 = 10

15
llevandolo a su forma matricial tenemos el sistema
10
0 1
x1 0 1
1 3 2 0 B x2 C 3
@ 2 6 2 4 AB C @ 18 A
@ x3 A =
0 1 1 3 10
x4

formando la matriz aumentada obtenemos

0 1
1 3 2 0 3
Aa = @ 2 6 2 4 18 A
0 1 1 3 10

ahora lo llevamos a su forma escalonada y obtenemos

0 1
1 0 0 1 3
@ 0 1 0 1 4 A
0 0 1 2 6

entonces tenemos que R(A) = R(Aa ) = 3 < n = 4 entonces estamos en el caso de un sistema consistente
con in…nitas soluciones.

Recordemos que el número de variables libres viene dado por:

# variables libres = 4 3=1

y que además
n = # variables libres + # variables basicas
entonces identi…camos las 3 variables básicas en la matriz
x1 x2 x3 x4
1 0 0 1 3
0 1 0 1 4
0 0 1 2 6

estas son x1 ; x2 ; x3 ; por tanto la variable libre viene dado por x4 : Ahora llevamos nuestro sistema matricial
a su forma de sistema de ecuaciones
x1 + x4 = 3
x2 + x4 = 4
x3 + 2x4 = 6
Procedemos a despejar las variables básica en términos de las variables libres, esto es x4 = t; entonces
de la tercera ecuación x3 = 6 2t
Ahora de la segunda ecuación x2 = 4 t y de la primera ecuación x1 = 3 t
luego formamos el vector solución
0 1 0 1 0 1 0 1
x1 3 t 3 1
B x2 C B 4 t C B 4 C B 1 C
B C B C B C B C
@ x3 A = @ 6 2t A = @ 6 A + t @ 2 A con t 2 R
x4 t 0 1

Nota
Las variables libres toman todos los valores, por eso su denominación de variable libre.

Método de la factorización LU
Recordemos que la eliminación gaussiana es un método básico para resolver el sistema Ax = b; ahora
mostramos otro método basado en la factorización de la matriz A, para ello primero supondremos que
en el proceso de factorización no hay permutaciones.

Paso 1 Factorizamos la matriz A

A = LU

16
Paso 2 Calculamos el vector c mediante
1
c=L b

Paso 3 Resolvemos el sistema

Ux = c

Podemos resolver multiples sistemas donde la matriz A permanece constante, esto es, tenemos q
sistemas de ecuaciones lineales de…nidos por

Axi = bi i=1 q

por el proceso anterior calculamos los vectores ci como sigue

1
ci = L bi

y procedemos a resolver
U x i = ci
Ejemplo
Resolver los siguientes sistemas

x y = 2
x + 2y z = 1
y + 2z = 1

x y = 2
x + 2y z = 1
y + 2z = 2

Como notamos estos sistemas tienen la misma matriz de coe…cientes A, dado por
0 1
1 1 0
A=@ 1 2 1 A
0 1 2

luego tenemos los sistemas

Ax1 = b1
Ax2 = b2

donde 0 1 1 0
2 2
b1 = @ 1 A ; b2 = @ 1 A
1 2
Ahora procedemos a factorizar la matriz A
0 10 1
1 0 0 1 1 0
A = LU = @ 1 1 0 A@ 0 1 1 A
0 1 1 0 0 1

Seguidamente hallamos los vectores ci = L 1 bi

0 10 1 0 10 1
1 0 0 2 1 0 0 2
c1 = @ 1 1 0 A @ 1 A c2 = @ 1 1 0 A@ 1 A
1 1 1 1 1 1 1 2
0 1 0 1
2 2
c1 = @ 3 A c2 = @ 3 A
4 1

17
Finalmente resolvemos los sistemas U xi = ci
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 2 1 1 0 2
@ 0 1 1 A x1 = @ 3 A ; @ 0 1 1 A x2 = @ 3 A
0 0 1 4 0 0 1 1

Por el método de sustitución hacia atras, obtenemos

01
9
x1 = @ 7 A
4
0 1
6
x2 = @ 4 A
1

18