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Taller Funciones
Taller Funciones
Taller Funciones
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: y = 0,5x+2
en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando
aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el
eje y en el punto y= 2
Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define
mediante un polinomio de segundo grado como:
f(x) =ax2 + bx + c
Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
f(x) =a.02 + b.0 + c
f(0) = c la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función: f(x) =ax2 + bx + c, tendremos que: y = 0
entonces
ax2 + bx + c = 0
Las distintas soluciones de esta ecuación,, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es
sabido por la expresión:
• Discriminante positivo
Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2.
Veamos por ejemplo la función:
En este caso:
Que resulta:
Operando:
Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.
Discriminante nulo
Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x,
el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
si la función cuadrática:
su solución será:
la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una única solución:
El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función
con el eje, ver figura..
Discriminante negativo
Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones,
por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura. Si
tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes
operaciones:
Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma
ecuación estudiada dentro de los números complejos.
La función exponencial es del tipo: f(x) = a x . Donde a un número real positivo. La función
que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial
de base a y exponente x.
f(x) = 2 x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x
y=2 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
f(x) =(1/ 2) x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas
económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que
permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla.
• Costo lineal:
Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos
que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la
producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su
nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste
(p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio,
los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del
servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)
Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una
función constante de la forma f(x) = b
Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo,
por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante.
Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por unidad de
artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcionales a la
cantidad de artículos producidos.
Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del
artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la forma g(x) = ax.
Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x, por lo que expresamos la función de costo variable:
CV(x) = 0,8 x
Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos
CT(x) = CV(x) + CF(x)
CT(x) = ax + b (función afín)
CT(x) = 0,8 x + 6
Ejemplo 1 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos
por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica
Solución
Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas
del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la
fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.
Solución:
En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuación que
determine la relación. Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos
y = 0,16x+0,6
En el gráfico observamos que como x puede tomar únicamente valores enteros no negativos, no
podemos representar a la función como una linea recta continua.
Generalmente, cuando se trabaja con funciones económicas, se considera el dominio real, por lo que se
la representa como una
Para el análisis de funciones lineales relacionadas con el ingreso, valen las mismas consideraciones
hechas referentes a las funciones lineales de costo
El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o
servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida por el
precio unitario del bien o servicio.
I = P.q
Si volvemos al concepto de función lineal del tipo f(x) = ax + b vemos que en la función de ingreso el
término b es igual a 0 por cuanto si no hay ventas de bienes el ingreso se anula. Por lo tanto esta
función es del tipo f(x) = ax , como a medida que aumentan las unidades vendidas, aumenta el ingreso,
es una función creciente y del primer cuadrante en la representación cartesiana, pues las cantidades
vendidas no pueden ser negativas siendo su menor valor x = 0 (cero unidades vendidas). En este caso
los ingresos serán también igual a 0 (cero). La gráfica de esta función tendría su nacimiento en el
origen de un sistema de coordenadas cartesiana, es decir en el punto (0,0).
Ejemplo 1:
El precio de venta de una campera es de $ 30. La función de ingreso es: I(x) = 30x (x son las
unidades vendidas) y su representación gráfica:
Ejemplo 2:
El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la función
el número 300 representa el sueldo fijo, es decir el valor independiente de las ventas (valores de x) del
vendedor. El número de unidades vendidas por el empleado es el valor de x que matemáticamente
puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales, pero en este caso, obviamente
no se pueden vender cantidades negativas, por lo que cobra importancia la definición del dominio de la
función que según lo descripto debe ser un número mayor o igual a 0 (cero).
Otra posible restricción al dominio estaría dada por la cantidad máxima de ventas determinada por la
capacidad del vendedor, la del mercado para absorber la demanda mensual. Así podríamos decir, por
ejemplo, que las ventas máximas en promedio en los últimos dos años, no superan las 100 unidades.
Este dato nos limita aún más el dominio de la función pues x (cantidad vendida) además de tener que
ser un número mayor o igual que cero debe ser menor o igual a 100.
DI = {x / x Î R Ù 0 £ x £ 100}
Cabría preguntarse ¿Cuál es el sueldo mensual mínimo y máximo que podría cobrar el vendedor?
Sueldo mensual mínimo: cuando las ventas son nulas, es decir x = 0
I(x)= 1,5.0 + 300 = 300
Intuitivamente diremos que cuanto más vende el empleado, mayor será su ingreso por lo que estamos
en presencia de una función creciente, definida en el primer cuadrante con dominio
DI = {x / x Î R Ù 0 £ x £ 100 }
y conjunto imagen
II = {y / y Î R Ù 300 < y < 450}
FUNCION UTILIDAD
Donde “U” es el nivel de la utilidad y “Xi” son los bienes y/o servicios que consume una determinada
persona.
En la figura siguiente, donde el eje vertical es la utilidad total y el eje horizontal, las cantidades del bien
“X”, se analiza cómo evoluciona la utilidad a medida que aumenta el consumo del bien “X”.
a) La utilidad se incrementa pero de manera decreciente, lo que significa que es cóncava hacia abajo,
por tanto tendrá un valor máximo y a partir de éste la utilidad disminuirá.
b) Si aumenta el consumo de “X”, la satisfacción total crece; sin embargo las variaciones pequeñas en
la utilidad cada vez son menores.
c) Si se divide el eje horizontal en cantidades iguales y las proyectamos verticalmente, los cambios en
la utilidad (U), cada vez se harán menores hasta hacerse cero.
d) Si hacemos que los cambios en el consumo del bien “X” sean infinitamente pequeños, tendremos
una curva continua que aumenta de manera decreciente, lo que significa que la utilidad marginal
disminuye a medida que aumenta el consumo de “X”.
FUNCION DEMANDA
Utilizaremos como ejemplo el mercado del trigo de un país imaginario. Los consumidores estarán
dispuestos a comprar más trigo si el precio es bajo que si el precio es alto. Supongamos que si el precio
del trigo fuese, digamos, de 8 mil euros la tonelada, los consumidores de ese país estarían dispuestos a
consumir 2 millones de toneladas al año. Si el precio de la tonelada bajase a 5 mil euros, se podría
comprar más, por ejemplo, 4 millones al año. Si bajase aún más, a 3 mil euros el consumo aumentaría a
7 millones. Por último, si llegase a 2 mil euros se adquirirían hasta 10 millones de toneladas. Las cuatro
posibilidades descritas, señaladas con las letras F, G, H e I, están resumidas en el cuadro adjunto en el
que P significa precio de la tonelada de trigo en miles de euros y Q la cantidad que sería demandada
anualmente en millones de quintales.
LA DEMANDA DE TRIGO
P Q
F 8 2
G 5 4
H 3 7
1
I 2
0
Si el precio del trigo fuese alguna cantidad intermedia no descrita en el cuadro, por ejemplo, 6 o 7 mil
euros, es evidente que la cantidad demandada estaría entre 2 y 4 millones. Para tener una idea más clara
de cuál será la cantidad demandada para precios intermedios a los descritos se pueden representar las
situaciones conocidas como puntos en un eje de coordenadas y unirlos mediante una línea curva. La
curva resultante se llama curva de demanda.
La forma de la curva que hemos representado, con su pendiente decreciente y su curvatura convexa
hacia el origen, es típica de las curvas de demanda de todos los bienes y servicios. Cada bien tendrá su
curva de demanda característica, más o menos inclinada, más o menos convexa. Además, la posición
de la curva, más alta, más baja, desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha, dependerá de la mayor
o menor renta que perciban los consumidores, de los gustos y las modas y de los precios de otros bienes
relacionados. En cualquier caso todas las curvas de demanda serán decrecientes ya que ello es
consecuencia de la ley universal de que a precios más bajos los consumidores demandarán más
cantidad del producto.
FUNCION OFERTA
La pendiente de esta curva determina cómo aumenta o disminuye la cantidad ofrecida de un bien ante
una disminución o un aumento del precio del mismo.