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    Notación y Determinación de Determinantes

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    Profesor Gabriel
    1) El documento define el determinante como una función que transforma una matriz cuadrada en un escalar. 2) Explica las notaciones y reglas para calcular determinantes de matrices de orden uno, dos y tres. 3) Enumera propiedades importantes de los determinantes como que cambian de signo si se intercambian filas o columnas.

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    Notación y Determinación de Determinantes

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    Profesor Gabriel
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    1) El documento define el determinante como una función que transforma una matriz cuadrada en un escalar. 2) Explica las notaciones y reglas para calcular determinantes de matrices de orden uno, dos y tres. 3) Enumera propiedades importantes de los determinantes como que cambian de signo si se intercambian filas o columnas.

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    Notación y Determinación de Determinantes

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    Profesor Gabriel
    1) El documento define el determinante como una función que transforma una matriz cuadrada en un escalar. 2) Explica las notaciones y reglas para calcular determinantes de matrices de orden uno, dos y tres. 3) Enumera propiedades importantes de los determinantes como que cambian de signo si se intercambian filas o columnas.

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    NOTACIÓN Y DETERMINACIÓN DE DETERMINANTES

    DEFINICIÓN – – –

    El determinante es una función que aplicada a una a11 a12 a13 a11 a12
    matriz cuadrada, la transforma en un escalar. ⇒ |A| = a21 a22 a23 a21 a22
    a31 a32 a33 a31 a32
    + + +
    NOTACIÓN
    Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la ⇒ |A| = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) –
    matriz A se representa por |A| o det(A). (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
    Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas
    de orden «n»; entonces la definición queda de la Propiedades
    siguiente manera: 1. |A| = |AT|
    | |: Mn×n → R o C 2. |A•B| = |A|•|B|
    A → |A| 3. Si una matriz cuadrada tiene los elementos
    de dos filas o dos columnas, respectivamente
    1. Matriz de orden uno proporcionales, se obtendrá que su determi-
    Se llama determinante de una matriz de primer nante es cero.
    orden, formada por el elemento a11 al propio ele- Ejemplo:
    mento a11. a ka
    A= ⇒ |A| = abk – abk = 0
    Ejemplos: b kb
    A = (8) ⇒ |A| = 8; B = (–15) ⇒ |B| = –15
    4. Si se intercambian dos filas o columnas con-
    secutivas de una matriz cuadrada, su deter-
    2. Matriz de orden dos minante solo cambia de signo.
    a a
    Sea la matriz A = 11 12 se define su determi- 3 4
    a21 a22 A= ⇒ |A| = 15 – 8 = 7
    nante: 2 5
    |A| = a11•a22 – a21•a12 4 3
    A= ⇒ |B| = 8 – 15 = –7
    5 2
    Ejemplo:
    5. Cuando una fila o columna se le suma una
    Sea A = 2 1 ⇒ |A| = (2)(3) – (1)(4) = 2 cierta cantidad de veces otra fila o columna
    4 3 Luego: |A| = 2 las dos matrices obtenidas tienen igual deter-
    – +
    (1)(4) (2)(3) minante.
    Ejemplos:
    3. Matriz de orden tres
    5 2
    A= ⇒ |A| = 5 – 12 = –7
    6 1
    Regla de Sarrus
    a11 a12 a13 5 2+5k
    B = ⇒ |B| = 5(1+6k) – 6(2+5k) = –7
    Sea A = a21 a22 a23 6 1+6k
    a31 a32 a33
    6. El determinante de una matriz escalar, trian-
    gular inferior o triangular superior es igual al
    Se trasladan las dos primeras columnas al final de
    la matriz y se hacen multiplicaciones en dirección producto de multiplicar los elementos de la
    a las diagonales como se indica: diagonal principal.
    Ejemplo: ⇒ |A| = 0 + 20 – 20 – (0 + 0 + 0)
    ⇒ |A| = 0
    1 2 3 4
    A = 0 5 6 7 ⇒ |A| 1•5•8•10 = 400 8. Sea A una matriz de orden «n», se cumple
    0 0 8 9 |kA| = kn |A|; k ∈ R
    0 0 0 10
    Ejemplo:
    7. El determinante de una matriz antisimétrica
    3 1
    de orden impar es igual a cero. A= ⇒ |A| = 6 – 4 = 2 ⇒ |A| = 2
    4 2
    Ejemplo: – – –
    0 1 5 0 1 5 0 1 12 4
    B = 4a ⇒ B = = 96 – 64 = 32 ⇒ |B| = 32
    A = –1 0 –4 ⇒ –1 0 –4 –1 0 16 8
    –5 4 0 –5 4 0 –5 4
    + + +
    ⇒ |B| = |4A| = 42|A| = 16•2 = 32

    Trabajando en casa
    Integral 7. Calcula
    0 5 –7
    –3 6 –5 0 –2
    1. Calcula el determinante de A =
    2 1 7 2 0
    2. Calcula «x» en x 2 = 0
    18 x
    UNMSM
    3. Si |A| = 3, calcula el determinante de A.AT.
    8. Si A es una matriz cuadrada de orden tres cuyo
    Católica
    determinante es 2, calcula |8A|.
    1 3 5
    4. Calcula: |A| = –2 0 4
    Resolución
    4 2 –1 Como A es de orden 3 entonces:
    |8A| = 83|A| = 512(2) = 1024
    Resolución:
    0 8 6 ∴ |8A| = 1024
    1 3 5 1 3 5 1 3
    A = –2 0 4 = –2 0 4 –2 0 9. Si A es una matriz de orden cuatro cuyo determi-
    4 2 –1 4 2 –1 4 2 nante es 3, calcula |5A|.
    0 48 –20 10. Resuelve:
    A = (0 + 48 – 20) – (0 + 8 + 6) = 28 – 14 1 –2 3
    ∴ A = 14 0 x 1 = –10
    2x 4 –1
    5. Calcula:
    11. Calcula:
    3 1 –5
    2 0 2 a d g
    –3 3 6 b e h
    c f i

    6. Calcula: Si:
    5 2 1 d a g
    0 –2 3 e b h = 5
    0 0 3 f c i
    UNI ⇒ Por ser una matriz triangular
    superior:
    12. Calcula: 1.2.3.4.5 = 120
    5 4 3 2 1
    8 8 6 4 2
    9 9 9 6 3 13. Calcula:
    8 8 8 8 4 11 10 9 8 7
    5 5 5 5 5 14 14 12 10 8
    15 15 15 12 9
    Resolución: 14 14 14 14 10
    Efectuando las siguientes transformaciones: 11 11 11 11 11
    C1 – C2; C2 – C3; C3 – C4; C4– C5, obtenemos:
    1 1 1 1 1 14. Calcula:
    0 2 2 2 2 1 2 3 4
    0 0 3 3 3 2 3 4 1
    0 0 0 4 4 3 4 1 2
    0 0 0 0 5 4 1 2 3

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