Lineas de Transmision Semana 4

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TRANSMISION ------ G R U P O
. EDITORIAL
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CAPÍTULO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN lAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
6.1 GENERALIDADES.
Continuando con un proyecto de líneas de transmisión, después de haber calculado los
parámetros físicos, eléctricos y características de una línea de transmisión y además,
haber seleccionado el tipo de conductor y su respectiva sección que cumpla la condición
de la impedancia característica; ahora es necesario determinar los valores de tensión e
intensidad de corriente en cualquier punto de la línea, el cual nos permitirá mantener las
caídas de tensión y las pérdidas de potencia dentro de unos límites establecidos. Para
ello, es necesario tener los datos la potencia de transmisión, la tensión de tra11smisión y
la configuración física de los conductores, la longitud de la línea, los datos del conductor
seleccionado, además de los parámetros físicos, la impedancia, admitancia, impedancia
característica y constante de propagación; que fueron calculados en el capítulo anterior.
En este capítulo se desarrollarán las ecuaciones que permitan calcular la tensión,

intensidad de corriente y potencia; en cualquier punto de la línea de transmisión; siempre
que estos valores sean conocidos en otro punto de la línea, generalmente son conocidos
en el punto final de la línea (extremo receptor- carga) aunque en algunos casos se
conocen en el punto inicial (extremo transmisor).
La tensión e intensidad de corriente de la línea se determinará haciendo un análisis de

línea cuando está operando en un régimen de estado permanente que corresponde
a las condiciones normales de operación y no están sometidas a variaciones bruscas
de energía, el cual ya corresponde a un régimen de estado transitorio (cortocircuito,
armónicos, etc.)
Para desarrollar las ecuaciones en este capítulo, se debe hacer varias consideraciones:
- Que la línea está operando en un régimen de estado permanente.
- Que la línea será construida en forma homogénea, es decir, que tiene las mismas
características constructivas en cualquier parte de la línea; lo que significa que la
c-=•''"=''-'='r''_,, entre condLrctores es la misma a lo largo de fa Hnea.
- Que la linea trifásica opera siempre con cargas trifásicas balanceadas.
Para calcular la tensión, intensidad de corriente y potencia en las líneas de transmisión,

se hace uso de la representación o modelo de la línea de transmisión que está en
función de las constantes físicas básicas: Resistencia (r), inductancia (l), capacitancia
(e) y conductancia (g); y que se encuentran distribuidos a lo largo de la línea, pero con
propósitos de cálculo muchas veces se considera como parámetros concentrados o
parcialmente concentrados.
En el capítulo V se han mostrados las ecuaciones para determinar r, l. e y g, así como

la impedancia (z) y la admitancia (y\ pero todos ellos están expresados por unidad
de longitud; entonces con la finalidad de distinguir entre la impedancia total de la línea
y la impedancia por unidad de longitud, así como para distinguir la admitancia total de
la línea y la admitancia por unidad de longitud; en todas las ecuaciones del presente
capítulo se adoptará la siguiente nomenclatura:
·-; ~ Impedancia por unidad de longitud (0/km).
Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Galeas Arana 121

Líneas de transmisión eléctrica
y -~ Admitancia por unidad de longitud (S/km).
L -> Longitud de la línea (km).
Z ~ Impedancia total de la línea (O). z = -;,L

Y ->- Admitancia total de la línea (S). Y= y.L
También es necesario distinguir entre los valores de la tensión, intensidad de corriente,
potencia y factor de potencia; tanto en el extremo transmisor como en el extremo receptor;
entonces para di~tinguir dichas magnitudes utilizaremos el subíndice(S para el extremo
transmisor y el 'fR'r'para el extremo receptor. (Ver Figura 6.1) · ··
Por otro lado, también es necesario aclarar que la interconexión de las líneas de
transmisión es generalmente en estrella (ver Figura 1.19 del capítulo 1), entonces en los
circuitos equivalentes del presente capítulo se consideran las tensiones de fase, entonces:
U 11 -->-Tensión de fase en el extremo receptor (V).
(6.1)
U.v ->Tensión de línea en el extremo transmisor (V).
. (6.2)
Dependiendo del grado de exactitud que se desea obtener los resultados, para poder
determinar las relaciones entre la tensión e intensidad de corriente en el extremo
receptor y transmisor, existen ~QS métodos básicqs: el método práctico_ o .9P[()XiQJg<:Lg
-~---······· ,, ·-·-···"······ ~--·•''"''"''"""'"'·"'" '\[
·6.2 MÉTODO
En este método se consideré? que la impedancia y la adrnitancia; son parámetros que
están concentrados y no distribuidos.
Para analizar una línea por este método es necesario tener en cuenta que el efecto
capacitivo en las líneas de transmisión, está en función de la longitud de la línea, entonces
se dividir las líneas para su estudio en: Líneas cortas (hasta 80 km), líneas medias
(hasta 240 km) y líneas largas (más de 240 km).
a) líneas de transmisión cortas.

En este caso se debe considerar que:
1°) El efecto capacitivo de la línea es muy pequeño y por tanto se considera

despreciable, es decir, el Valor de la capacitancia sería cero.
122 Grupo Editorial Megabyte

CAPÍTUlO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS lÍNEAS DE TRANSMISIÓN
2°) De igual manera, el efecto Corona, no influye demasiado en los resultados,

por lo que se puede considerar que las pérdidas por efecto Corona son cero.
Por tanto, en las líneas de transmisión cortas la admitancia se considera cero (Y= O);
entonces el circuito equivalente de una línea de transmisión corta quedará reducido
a una resistencia y a la reactancia inductiva conectados en serie y concentrados
en el centro de la línea, tal como se muestra en la Figura 6.1.
Central
Carga
eléctrica
Extremo Extremo
transmisor receptor
Figura 6.1. Circuito equivalente de una línea de transmisión corta
Donde:
Du ->Tensión de fase en el extremo receptor (V).
IR -> Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).
u_, ->Tensión de fase en ei extremo transmisor(\/).

J\. --> Intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).
R -> Resistencia total de la línea (O).
X -;.. Reactancía inductiva total de la línea (O).
z _:)' Impedancia total de la línea (O).

L ~ Longitud de la línea (km).
La solución del circuito equivalente de la Figura 6.1, consiste en establecer

la relación entre los valores de tensión e intensidad de corriente del extremo
transmisor_y rec~ptor. Como generalmente se conocen las cantidades el extremo
receptor: Uu e IR, entonces a partir de dichos valores se deben determinar en el
extremo transmisor: f)" e L,.
Aplicando la primera ley de Kirc.hhoff al circuito de una sola malla, de la Figura 6.1,
se tiene:
(6.3)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito, de la Figura 6.1, se tiené:
(6.4)
Normalmente, la tensión que se seleccionó en el capítulo 111, se considera como la
tensión de línea en el extremo receptor ( Vu), entonces el valor ( U11 ) se determina
con la ecuación (6.1 ), con un ángulo de 0° (ver Figura 6.2), es decir.
(6.5)
En la ecuación (6.5), se debe tener en cuenta que ( [1¡1 ) se expresa en volt (V) y
que ( VR) se expresa en kV, entonces es necesario multiplicar por 1 000 para que
quede expresado en volt (V).
La intensidad de corriente en la carga se encuentra, desfasada un cierto ángulo

con respecto a la tensión en el extremo receptor; al valor del coseno de dicho
ángulo se le conoce como factor de potencia, luego según el comportamiento de
la carga pueden existir tres casos:
1°) Que la carga sea inductiva, es decir, el factor de potencia es negativo (en
atraso).
2°) Que la carga sea resistiva, es decir, el factor de potencia es la unidad (en
fase).
3°) Que la carga se capacitiva, es decir, el factor de potencia es positivo (en

adelanto).
En las líneas de transmisión en régimen permanente, siempre la carga es inductiva,

es decir la intensidad de corriente en la carga retrasa a la tal
como muestra en la 6.2
lm
Plano complejo
UR
---K--~- ......- - Re
Figura 6.2. Tensión e intensidad de corriente en la carga de una L.T.

CAPÍTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN lAS lÍNEAS DE TRANSMISIÓN
La intensidad de corriente en el extremo receptor (iR) se determina con:
(6.6)
Donde:
111 --> Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).
Pu --> Potencia de transmisión que siempre es conocido (kW).
VR ---> Tensión de transmisión seleccionado (kV).

cosc/J 11 -> Factor de potencia que se debe asumir entre 0,8 a 0,9.
Las ecuaciones (6.5) y (6.6) sirven para calcular la tensión e intensidad de corriente
en el extremo receptor y dichas ecuaciones se utilizan también para líneas medias
y largas, tal como mostraremos en los ejemplos desarrollados para cada caso.
Una vez calculado la tensión e intensidad de corriente en el extremo receptor,

se concluye que ambos son fasores y por tanto tienen módulo y ángulo, a los
ángulos lo simbolizaremos con r/Jv y c/J 1 para el ángulo de la tensión e intensidad
de corriente respectivamente, entonces gráficamente en el plano complejo se
muestra en la Figura 6.3.
lm
Plano complejo
Us
Figura 6.3. Tensión e intensidad de corriente en extremo transmisor
El ángulo de la intensidad de corriente c/J 1 normalmente es negativo, por eso es

que el fasor intensidad de corriente L, se grafica en el cuarto cuadrante, tal como
se muestra en la Figura 6.3; entonces el factor de potencia r/Js en el extremo
transmisor es:
(6.7)
Donde:
c/J.,. -) Ángulo del factor de potencia en el extremo transmisor.
c/J, -). Ángulo de la tensión en el extremo transmisor.

1r/J,I -> Valor absoluto del ángulo de la intensidad de corriente en el extremo

transmisor.
Luego se debe calcular la potencia P8 en el extremo transmisor con la ecuación

(6.8).
(6.8)
Donde:
--¿. Potencia en el extremo transmisor (kW).
->- Módulo de la tensión de línea en el extremo transmisor (kV). Este·

valor es igual a V., = 13 Us y el valor de U.~· es el módulo de la tensión
calculada con la ecuación (6.5).
-> Módulo de la intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).
cos r/Js--¿. Factor de potencia en el extremo transmisor.
Luego se debe calcular las pérdidas de potencia con la siguiente relación:
(6.9)
Donde:
p"%->Porcentaje de pérdida de potencia en toda la línea(%), este valor no está

normado, pero se recomienda que sea menor a 3%.
P.,. ->Potencia en el extremo transmisor (MW).
Finalmente se debe calcular la caída de tensión en toda la línea con la siguiente

relación:
(6.10)
Donde:
.ó.v%--¿. Porcentaje de caída de tensión en toda la línea(%). Este valor según

el CNE, en ningún caso puede pasar de 5%.
V.~· ->- Tensión de línea en el extremo transmisor (kV).
V11 -> Tensión de línea en el extremo receptor (kV).
Las ecuaciones (6.7), (6.8), (6.9) y (6.10} también sirven para líneas medias y
largas, tal como mostraremos en los ejemplos desarrollados para cada caso, más
adelante.

CAPÍTULO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Para afianzar mejor nuestros conceptos, a continuación desarrollaremos un eje!Jlp1o de

aplicación para una línea corta. "'
Ejemplo 6.1 15 : Tomando como referencia el ejemplo 3.1 del capítulo 111 (ver página 51) y
el ejemplo 5.1 del capítulo V (ver página 11 O), para transmitir una potencia de 20 MW hasta
una distancia de 45 km, se desarrolló para dos alternativas, cuyos datos y resultados
obtenidos hasta el momento se muestran a continuación:
Alternativa 01:
- Tensión de transmisión 138 kV (ver página 54)
- Número de ternas t =1
- Número de conductores por fase n= 1

- Longitud de la línea L = 45 km
- Conductor seleccionado tipo AAAC:
Código Darien {ver página 113)
Número de hilos 19 hilos
Diámetro exterior 21,79 mm
Entonces para determinar los datos en el extremo transmisor considerando una

línea corta, es necesario los datos calculados de la impedancia, el cual se muestra a
continuación:
z= 0,516 05 ¡ 74,732 Q/km (ver página 113)
Entonces, en primer lugar calcularemos la tensión en el extremo transmisor con la

ecuación
= 79674,3371L._rV
Ahora, calcularemos la intensidad de corriente en el extremo transmisor con la ecuación

(6.6), considerando un cos óR=0,9 y por tanto el valor de óR=25,841 932 76°: entonces
queda como:
¿= p 11 j-ó/ = 20000 .j-25,84193276ÜA

13 T/¡¡COScPR 13(138)(0,9)'------
iR= 92,971 j-25,842° A

Ahora, calcularemos la impedancia total de la línea:
15 Aquí es necesario aclarar que en algunos cálculos sólo se ponen los valores en dos decimales, pero internamente, los cálculos se
realizan con todos los decimales, es por esta razón que muchas veces, los resultados no coinciden, pero que están bien calculados
cuando se guardan en memoria los datos con todos sus decimales.

Z= z.L
z = (0,51605 j74, 732°)(45) = 23,22240768 j74, 732° Q

Ahora, calcularemos la tensión de fase en el extremo transmisor con la ecuación (6.4 ).
f),. = 79674,3371~ +(92,97lj-25,842(\)(23,222j74,732")

Para solucionar estas operaciones con fasores (números complejos expresados en
forma polar) es necesario hacer las conversiones de polar a rectangular y viceversa;
entonces obtenemos lo siguiente:
i),. = 81110,214 3 jl, 14917253" V
La tensión de línea sería:
~· = /3(81110,214~) = 140,487 ~kV

(6.3).
f, In= 92,971j-25,842o A
Ahora. calcularemos el factor de potencia en el extremo receptor con la ecuación (6. 7).
é\AI""''t.l 1"'\/'í\.1\1""\Ü
i:54L J = LO,'J'JL
Luego, el factor de potencia sería:
cosqy 8 = cos(26,992°) = 0,8911
calcularemos la potencia en el extremo transmisor con la ecuación (6.8).
Ps = .f3VJ,.cosr/J.,. = /3(140,487)(92,971)(0,8911) = 20158,57 kW
Expresado en MW sería:
P,,. 20,159 Ni W
Ahora, calcularemos el porcentaje de pérdidas de potencia y la caída de tensión, con

las ecuaciones (6.9) y (6.1 0). ·

CAPÍTUlO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN lAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
1<
0 = lOO(f,.- P11 ) = 100(20, 159- 20) _O o/t
Pro f~ 20,159 - ' 787 0
8. OA _100(~·-V¡¡) _100(140,487-138) -177o/t

J' o - ~· - 140,487 - ' o
A continuación desarrollaremos para la segunda alternativa del ejemplo 6.1.
Alternativa 02:
-Tensión de transmisión 60 kV (ver página 54)
- Número de ternas t=
-Número de conductores por fase n =1

-Conductor seleccionado tipo AAAC:
Código Butte (ver página 117)
Entonces para determinar los datos en el extremo transmisor considerando una

línea corta, es necesario los datos calculados de la impedancia, el cual se muestra a
continuación:
"i = 0,260 394 8 ¡ 62, 186 462 7° Q/km ( ver Cuadro 5.3)
Entonces, en primer iugar caicuiaremos ia tensión en ei extremo transmisor con ia

ecuación
34 641 ,O 16 15 LQ:_ V

(6.6),considerando un cos r/;; 11 =0,9 y por tanto el valor de r/;; 11 =25,841 932 76°; entonces
queda como:
]R = Pu j-r/JRo = 20000 j-25,84193276"A

13 V¡¡cos ÓR 13(60)(0, 9)'---------
!11 213,833433 j-25,842° A
Ahora, calcularemos la impedancia total de la línea:
Z= z.L
z = (0,2603948j62, 1865°)(45) = 11,71776599 j62, 1865" Q

Ahora, calcularemos la tensión de fase en el extremo transmisor con la ecuación (6.4).
u.~= 34641, 016LQ:_ + (213, 833j-25, 842")(11 '718j62, 1865°)

U.,. = 36 689,299 84 j 2, 3 19 6° V
V<:= /3(36689,29984j2,3196") = 63,547 7j2,3l96"kV

(6.3).
fv = ¿= 213,833433j-25,842°A
Ahora, calcularemos el factor de potencia en el extremo receptor con la ecuación (6.7).
cosc/Js = cos(28, 1616°) = 0,8816
Luego, calcularemos la potencia en el extremo transmisor con la ecuación (6.8) ..
p,. = !3v~ 1.1· cosc/J.1. = 13(63,5477)(213,833)(0,8816) = 20749,994 kW
p,,. = 20,75 lvf W

las ecuaciones (6.9) y (6.1 O).
% 100( P1· - Pn) = 100(20, 75- 20) _ o/c

Pp p, 20,75 - 3 ' 614 o
¡\ 01 = IOO(J;;;- 1~,) = f00(63,5477)- 60 _ o1

uV;o V. 63 5477 - 5' 583 :ro
S '

CAPÍTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
b) Líneas de transmisión medias.

En este caso se debe considerar que el efecto capacitivo de la línea no es
despreciable; pero que sólo se debe representar como un parámetro concentrado
ya sea en el punto medio de la línea (circuito T) o en los extremos de las líneas
(circuito II).
- Circuito T para el cálculo de líneas medias.
El circuito T equivalente se representa en la Figura 6.4.
Central Carga
eléctrica
Extremo Extremo
transmisor receptor
Figura 6.4. Circuito T equivalente para una línea de transmisión media
Donde:
U11 ->Tensión de fase en el extremo receptor (V).
lh ~ intensidad de corriente en el extremo receptor (A).

-
U,, ->Tensión de fase en el extremo transmisor (V).
-
f). ~ Intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).
Z/2 --> Mitad de la impedancia total de la línea (0).

Y -> Admitancia total de la línea (S).
L -'--> Longitud de la línea (km).
Aplicando las leyes de Kirchhoff en el circuito de dos mallas de la Figura 6.4, se

obtiene:
(6.11)
(6.12)

u~'á$ de transmisión eléctrica
Ejemplo 6.2: Tomaremos las mismas dos alternativas del ejemplo 6.1 (ver página 127),
pero ahora resolveremos utilizando los modelos matemáticos del circuito T equivalente
de una línea de transmisión media.
Entonces, para determinar los datos en el extremo transmisor considerando un circuito

T equivalente de una línea media, es necesario recordar algunos datos calculados en
el ejemplo 6.1 que eran para líneas cortas, y que nos servirán en este ejemplo, dichos
datos son:
Alternativa 01:
Número de ternas t =1
- Número de conductores por fase n =1
- Longitud de la línea L =45 km
Código Darien (ver página 113)
z= 0,51605j74,732o.Qkm .(ver página 113)

6
y 3,30301 X 10" j89,937"S/km (ver página 113)
U" 79674,3371L.Q:V (ver página 127)

In 92,97lj-25,842° A (ver página 127)
Z 23,22240768J74,732°~2 (ver página 128)
En este caso es necesario calcular la admitancia total de la línea, con !a siguiente relación:
Y y.L
Y= (3,30301 X 10" 6
/89,937")(45) = 1,48635X 10- 4
J89,93T'S
Ahora, calcularemo~ los siguientes factores:
( + ( + (23,222 407 68 j74, 732")i1,48635 X 10' j89, 937"))

1 1
Resolviendo se tiene:
(1 + = 0,998 336 jO, 0262°
De igual manera calcularemos el factor:
( z f) (
4
(23,222 4o7 68 J74, 732° ). ( 1,48. 6 3.. 5 x I0- /89,937°))
1+-4- = 1+ .. 4

CAPíTUlO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(1 + 24Y) = o,999168Jo,o131"
Ahora, calcularemos la intensidad de corriente en el extremo transmisor utilizando la
ecuación (6.11 ), que corresponde a un circuito T equivalente de una línea media.
- = Un -Y+ fu (1 + -ZY)
f\. 2
-
Antes de empezar a determinar los datos, es necesario aclarar, que en algunos cálculos
sólo se ponen los valores en dos decimales o a veces en tres decimales, pero internamente,
los cálculos se realizan con todos los decimales, es por esta razón que muchas veces, los
resultados no coinciden, pero que están bien calculados; este mismo criterio se aplica
en todos los cálculos posteriores.
},. = (79 674,33 1..!1_)( 1,48 x 1o·

4
¡ 89,9°) + (92, 97 ¡ -25,8° )(O, 998 336 ¡o, 0262°)
},. = 88,317 4 j- 18, 879° A
Ahora, calcularemos la tensión de fase en el extremo transmisor con la ecuación (6.12),

que corresponde a un circuito T equivalente, de una línea media.
- -( zf) + In--;:-(
Z 1 + -zf)
U,,. = U¡¡ 1 + - -
2
-
4
= (79674,33
'
/0.026")'
/0")(0,998 ¿___·
L.:;:_. ' __ + 013"
Similar a los casos anteriores, para solucionar estas operaciones con fasores (números
complejos expresados en forma polar) es necesario hacer las conversiones de polar a
rectangular y viceversa; entonces obtenemos lo siguiente:
U,1 = 80976,794 72jl, 17606672" V
B.= 13 (80976, 795jl, 176°) = 140,255 922 711, 176° kV

Ahora, calcularemos el factor de potencia en el extremo receptor con la ecuación (6. 7).
ÍJs = <Pv + I1J1 1 = 1,176 + l-18,8791 = 20,055°
Luego, el factor de potencia sería: ·
cos <Ps = cos(20, 055°) = 0,939 4

líneas de transmisión eléctrica
Luego, calcularemos la potencia en el extremo transmisor con la ecuación (6.8).
P.,= 13 V;, J,. COS r/Js = 13 (140,255)(88, 317)(0, 939 4) = 20154,015 kW
P.,= 20,154 M W
las ecuaciones (6.9) y (6.1 0).
<V<_ 100(f\-PR) _ 100(20,154-20) _O 7640¡(

pp o- P.\' - 20, 154 - ' o
11 o/c0 - 100(~·- V¡¡) - 100(140, 255- 138) - 1 608<V<0

V - Vs - 140,255 - '
Alternativa 02:
- Número de conductores por fase n=1

- Conductor seleccionado tipo MAC:
._ 0,2603948j62, 1864627"Q/km (ver Cuadro 5.3)
y= 7,1625 X 10-(¡ /90" Slkm Cuadro 5.3)
VR = 34641,01615LQ:.V (ver página 129)
IR 213,833433j-25,842''A (ver página 129)
z 11,7176599 f62, 18665° Q (ver página 129)
En este caso es necesario calcular la admitancia total de la línea, con la siguiente relación:
y y.L
f 6 4
= (7, 1625 X 10- /90°)(45) = 3,22313 X 10- /90° S

CAPÍTUlO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE El\llAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Ahora, calcularemos los siguientes factores:
( zY) _(
4
(11,71776599 J62,1865°)(3,22313 x Io- /90°))
1+-2-- 1+ 2
(1 +
2Y) = o,998 33 ~,o5o6°
2
De igual manera calcularemos el factor:
:z y)_ ( . (11, 717 659 9162, 186 5"4 )(3, 22313 x 1o- L2Q:))'
4
(1+-4-- 1+
(1 + 24Y) = o,999165 10,02526"

ecuación (6.11 ), que corresponde a un circuito T equivalente de una línea medía.
- -- -(
f,,. = URY + l¡¡ 1 + -2-
ZY)
1,01 ><

forma polar) es necesario hacer las conversiones de polar a rectangular y
( 1· = 208,860 492 4 j- 23,032 496° A

fJ~ = (34 641, OI6 LQ:_)(O, 998 ¡o, 0 51 o)+ (213, 8331-25,8 )(11, 72162,2° )(O, 999 ¡o, o2s")

Similar a los casos anteriores, para solucionar estas operaciones con faso res (números
Us 36630,386 68 j2,37056413" V.
V, /3(36630,387j2,37056o) = 63,445 69082j2,37056o kV
Ahora, calcularemos eJ factor de potencia en el extremo receptor con la ecuación (6. 7).
cPs = cPr + 1 cP11 = 2,370 6 + l-23,03241 = 25,403 °
coscbs = cos(25,403°) = 0,903 3
P1 =.13r~ f).coscbs = /3(63,446)(208,86)(0,903 3) = 20732,755 kW
P,,. = 20,733 MW

pp%
100( p,.- P¡¡) = 100( 20,733 - 20) =
3' 534
o/c
P,, 20,733 o
!1v%
100(~.- V¡¡)= 100(63,446-60) = 5 431 %
~· 63,446 ' o
- Circuito 11 para el cálculo de líneas medias.
El circuito 11 equivalente se representa en la Figura 6.5.

CAPÍTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN lAS lÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Central ,~"]Y/2
eléctrica l....J
¡..¡ ................................................... L-----to-!

Extremo Extremo
transmisor receptor
Figura 6.5. Circuito n equivalente para una linea de transmisión media
Donde:
-
UR -~Tensión de fase en el extremo receptor (V).
-·
IR -> Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).
-
U.)· ->Tensión de fase en el extremo transmisor (V).
-
¡). -> Intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).
z -)> Impedancia total de la línea (0).
Y/2 -> Mitad de la admitancia total de la línea (S).
L ---)> Longitud de la línea (km).
ias leyes de Kirchhoff en el circuito de tres mallas de la 6.5, se obtiene:
(6.13)
(6.1
n-u::.n"l!a--.an 6.3: Tomaremos las mismas dos alternativas del ejemplo 6.1 (ver 127),
pero ahora resolveremos utilizando los modelos matemáticos del circuito TI equivalente
de una línea de transmisión media.
Antes de empezar a determinar los datos, es necesario aclarar, una vez más, que en
algunos cálculos sólo se ponen los valores en dos decimales o a veces en tres decimales,
pero internamente, los cálculos se realizan con todos los decimales, es por esta razón
que muchas veces, los resultados no .coinciden, pero que están bien calculados.
Entonces para determinar los datos en el extremo transmisor considerando un circuito n

equivalente de una línea media, es necesario recordar algunos datos calculados en el

ejemplo 6.2 que eran para líneas medias pero de un circuito T equivalente, y que nos
servirán en este ejemplo, dichos datos son:
Alternativa 01:
1
1·'

Código Darien (ver página 113)
,' :z· == 0,51605174,732° rJ.Jkm (ver página 113)
y== 6
3,30301 x 10· 189,937" Slkm (ver página 113)
Uu 79674,3371L.Q:_ V (ver página 127)
IR== 92,9711-25,842° A (ver página 127)

- -
z 222407 732" Q (ver página 128)
y 4
1,48635 X 10· j89,937o S (ver página 132)
(1 + == O, 998 3361 O, 02~ 2°_ (ver página 132)
(¡ + == 0,99916810,0131° (ver página 133)

ecuación (6.13), que corresponde a un circuito n equivalente de una línea media.
- - -( :Zf) ( :ZY)
¡,. = UR y 1 + ---¡- + /¡¡ 1 + -2-
J~ = (79 674,33 LQ~)( 1,48 x 1o· 189,9° )(o, 999jO, o13°) + (92, 971-25, so )(O, 998 ¡o, o26°)
4

1.
CAPÍTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DETRANSMISiói\J··

j<: = 88,318 482 j- 18,885 7° A
Ahora, calcularemos la tensión de fase en el extremo transmisor con la ecuación (6.14 ),

que corresponde a un circuito n equivalente, de una línea media.
- = Un-( 1 + -ZY)
Us
-·;::-
- + luZ
2
f),. = (79674,33 ~)(0,998 j0,026") + (92, 97 L:3_.~.:~_:)(23,22 j74, 73")
f),.= 80978,36805JI,176772r v
V,.= /3(80978,368jl, 177") = 140,258 6478jl, 177° kV
cos Ós = cos(20, 062°) = 0,939 3
P.,= /3 Vs f,. cosf/Js /3 (140,259)(88,318)(0, 939 3) = 20153,66 kW
P,,. = 20,154 MW

o/c = IOO(f,.- PR) = 100(20, 154- 20) =o 76220/

pp o p 20 154 , 10
S '
1\ 01 - 100(~.- 'V;;) = 100(140,255- 138) - 1 610/

DV/O- . Ji:. 140 255 - ' 10
S '
Alternativa 02:
z = 0,2603948162, 1864627" Q/knJ (ver Cuadro 5.3)
y 5X l S! km Cuadro
f)R = 34 64 1'o 16 15 LQ:_ V (ver página 129)
IR = 2 13' 83 3 4 33 1-2 5' 84 2 o A (ver página 129)
z= 11' 717 765 99162, 186 5° Q (ver página 129)
(ver página 134)
(t + z}') = o,99833 lo,o5o6" (ver página 135)
(1 + 24Y) = o,999I65 jo,o2526° (ver página 135)

CAPÍTULO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DEJRANSMISIÓN

ecuación (6.13), que corresponde a un circuito T equivalente de una línea media.
- - -( z Y) + 1,<-(1 + -2-
'" = UR y 1 + -4-
:Z:V)
J,. = (34641,016~)(3,223 X 10. 4 /90° )(0,999 j0,025o) + (213,83 j-25,8")(0, 998 j0,0506")
¿= 208,859 614j-23,0354a A
Ahora, calcularemos la tensión de fase en el extremo transmisor con la ecuación (6.14 ),

f),. = (34 641,016 fJr_)(O, 998 ¡o, 051 o)+ (213, 833 ¡- 25, s" )(II, 72 ¡ 62,2°)
Us = 36632,738 84!j2,37096122" V
V., h(36632,74j2,371a) = 63,449765j2,371" kV

Ós = Ór· + 1 c/J, 1 = 2,371 + l-23,0351 = 25,406°
cos cbs = cos(25,406°) = 0,903 29
Ps = /3 V.: 1<; cosc/Js = /3(63,45)(208,86)(0,90329) = 20733,4 kW
Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Galeas Arana 14.1

P.v = 20,733 MW

o/c _ 100(f\.-PR) _ 100(20,733-20) _ o/c

pp o- p, - 20 733 - 3' 5375 o
.~ '
1\ 01- 100(~.- TI;¡)- 100(63,45-60)- 5 4370./

Ll.V/o - v;. - 63 45 - ' 10
.S '
6.3 MÉTODO EXACTO.

Este método considera que la impedancia y admitancia no están concentrados, sino
que se encuentran distribuidos uniformemente a lo largo de la línea.
a) líneas de transmisión largas.

El caso más general, para el cálculo de líneas de transmisión, es el de las líneas
de transmisión largas; en este caso no es suficiente con observar los efectos que
ejercen la impedancia y la admitancia en forma concentrada. La Hnea es demasiado
larga como para concentrar los efectos de estos parámetros en un solo punto,
por lo tanto, es necesario para el cálculo de la tensión e intensidad de corriente,
distribuir la impedancia y la admitancia en forma uniforme a lo largo de toda la línea.
El circuito rr equivalente de una línea de transmisión larga, se representa en

la Figura 6.6; en el cual se toma un punto cualesquiera a una distancia "x" del
en dicho punto se torna un dlfe¡encial de distancia '\{y" y como
( ::: ) y admitancia y)
son distribuidos ex~xesacjos
por unidad de longitud, en dicho diferencial "dx", también existirán la impedancia
(z ) y admitancia (y ).
d( +C r dUx··~ lx
-----~--~· ~_.~~---
1
¡dL z
1
Central Ux Y Tfx +d Ux
¡
·u----·-
R Carga
eléctrica
Extremo Extremo
transmisor receptor
Figura 6.6. Circuito n equivalente para una línea de transmisión larga
142 Grupo ·Editorial Mega byte

CAPÍTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Donde:
UR ~ Tensión de fase en el extremo receptor (V).
Í 11 ~ Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).

U.v ~Tensión de fase en el extremo transmisor (V).
Ís -> Intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).

u.. ->Tensión de fase a una distancia x del el extremo receptor (V).
I.r ~ Intensidad de corriente a una distancia x del extremo receptor (A).
z ~ Impedancia por unidad de longitud de la línea (0/km).
y ~ Admitancia por unidad de longitud de la línea (S/m).
x -> Distancia cualesquiera del extremo receptor (km).
dx -> Diferencial de x (km)
Aplicando la ley de Ohm en el circuito, se obtiene:
(6.15)
(6.16)
Derivando con respecto a x las ecuaciones (6.15) y (6.16) se tiene:
(6.18)
Reemplazando las ecuaciones (6.15) y (6.16) en (6.17) y (6.18) respectivamente,

se tiene:
(6.19)
(6.20)
Las ecuaciones (6.19) y (6.20) .representan las ecuaciones diferenciales de las

líneas de transmisión y que para su solución existen diversas formas, una de esas
soluciones analizaremos a continuación.

Por experiencia se sabe, que este tipo de ecuaciones diferenciales tienen

soluciones exponenciales de la siguiente forma:
(6.21)
Para comprobar que la ecuación (6.21) es la solución de (6.19), derivamos dos

veces con respecto a "x", entonces resulta:
2u - -~- i2 u·--
d x - --(K-- xf;-v K-; .-xfi ") --- e .r
d-c2 - z y 1e
1
.- 2 e -=> --¡¡;¡- - :··-;U-
-
.:. } .r
Con lo que se confirma que la ecuación (6.21) es la solución de la ecuación

diferencial (6.19).
En forma similar al anterior, se puede obtener la solución de la ecuación diferencial

(6.20), el cual es:
(6.22)
En las ecuaciones (6.21) y (6.22), los valores de K1 y K2 son constantes

cualesquiera, su valor se determina a través de las condiciones de entorno de la
línea; entonces para determinar su valor analizaremos la línea, junto al extremo
receptor donde la distancia es x=O y por tanto: flr
= Un e ir = In; luego tomando
en cuenta esta consideraciones y reemplazando en las ecuaciones (6.21) y (6.22),
se tiene:
(6.24)
Las e~uac~nes (6.23) y (6.24) son dos ecuaciones simultáneas cuyas incógnitas
son K1 y K2 , y su solución es:
(6.25)
(6.26)
Finalmente reemplazando las ecuaciones (6.25) y (6.26) en las ecuaciones (6.21)

y (6.22) respectivamente, se tiene:

CAPÍTULO VI: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS lÍNEAS DE TRANSMISIÓm
(6.27)
(6.28)
Estas son las ecuaciones generales de las líneas de transmisión con corriente
alterna seno id al en régimen permanente; a través de las cuales se puede relacionar
tensión e intensidad de corriente en cualquier punto a lo largo de la línea en función
de las condiciones existentes en el extremo receptor.
Interpretando las ecuaciones (6.27) y (6./l s~ obse.!:_V~ que en ambas se destacan

las funciones exponenciales complejas z 1y y ¡;-=;, a la primera se le conoce
con el nombre de Impedancia Característica (.Zc·) y a la segunda se le conoce
como Constante de Propagación (r\ luego reemplazando dichos valores en las
ecuaciones (6.27) y (6.28), se tiene:
(6.29)
(6.30)
Haciendo las operaciones y factorizando adecuadamente las ecuaciones (6.29)

y (6.30), se obtiene las siguientes ecuaciones:
(6.31)
(6.32)
Sabiendo que senh(B) = (/- e- 0 )12 y cosh(O) = (/ + e- 0 )12 , luego aplicando a

las ecuaciones (6.31) y (6.32), se tiene:
(6.33)
(6.34)
A las ecuaciones (6.33) y (6.34) se le conoce como la forma hiperbólica de las

ecuaciones de las líneas de transmisión; con las cuales se puede relacionar la
tensión e intensidad de corriente en cualquier punto de la línea a una distancia "x"
del extremo receptor. Entonces para hallar la tensión e intensidad de corriente en

el extremo transmisor; en las ecuaciones (6.33) y (6.34); se tiene que reemplazar

x=L que es la longitud total de la línea; entonces quedaría como:
(6.35)
(6.36)
Ejemplo 6.4: Tomaremos las mismas dos alternativas del ejemplo 6.1 (ver página 165),
pero ahora resolveremos utilizando los modelos matemáticos del método exacto de una
línea de transmisión larga.
Antes de empezar a determinar los datos, es necesario aclarar, una vez más, que en
algunos cálculos sólo se ponen los valores en dos decimales o a veces en tres decimales,
pero internamente, los cálculos se realizan con todos los decimales, es por esta razón
que muchas veces, los resultados no coinciden, pero que están bien calculados.
Entonces, para determinar los datos en el extremo transmisor considerando una línea
larga, es necesario recordar algunos datos calculados en el ejemplo 6.2 que eran para
líneas medias pero de un circuito T equivalente, y que nos servirán en este ejemplo,
dichos datos son:
Alternativa 01 :
- Número de ternas t= 1
de la línea L =45 km
Código Da ríen (ver página 113)
z = 0,51605 j74, 732° Q/km (ver página 113)
y= 3,30301 X10- 6
j89,937" S/km (ver página 113)
[jR = 79674,3371 ~V (ver página 127)
/¡¡ 92,971 j-25,842° A (ver página 127)

CAPÍTUlO VI: RELACIONES DE TENSIÓN VCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Adicionalmente, necesitamos los datos de impedancia característica y constante de

propagación calculados en el capítulo V, los cuales se muestra a continuación:
Zc = 395,2688306j-7,6023896" Q (ver página 113)
r= 1,306x 10- j82,3343766° 1/km

3
(ver página 113)
Ahora, calcularemos los factores del seno hiperbólico y coseno hiperbólico, que son
necesarios para líneas largas.
senh(Lr) = senh[ (45)( 1, 306 x 1o- /82, 334 376 6°)]

3
senh(Lr) = 0,058718331 j82,3430934o
cosh(Lr) = cosh[ (45)( 1, 306 x 1o-J j82, 334 376 6")]
cosh(Ly) = 0,998336112j0,02617364"
Con los datos anteriores, calcularemos la intensidad de corriente en el extremo transmisor

utilizando la ecuación (6.36), que corresponde a una línea larga.
Solucionando estas operaciones con fasores se tiene:
f,. = 88,317 o7/ e i l_- 18, 883546'' A

que corresponde a una línea larga.
iJ.~. = (79674,337 LQ:_)(0,998j0,026°) j- (92,97 j-25,84°)(395,269j-7,6")(0,0587 j82,34°)

ulié'as'de translnisión eléctrica
[/, = 80977,352 97 jl, 17628734" V
V;= /3(80977,353jl, 1763") = 140,256 8896j1,1763a kV
cPs = c/J,. + 1 cP1 1 = 1,176 3 + j-18,8835j = 20,059 8°
cosc/Js = cos(20,0598°) = 0,939 349
p,. = /3 ~ fv cosr/Js = /3(140,257)(88,318)(0,9393) = 20153,66 kW
P~· 20,154 MW
calcularemos el nrH"I"'C,;r;·t">IC' con

o/(= 100(f,.-P11 ) _ 100(20,154-20) _O o/(

p, o p - 20' 154 - ' 7624 o
,)
1\ 01 = lüü(Vs·- v;l) = 100(140,255 -138) = 1 60901

uv 10 V
,)
140 ' 255 ' 10
Alternativa 02:
- Número de ternas t=1

CAPíTULO VI: RELACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

z= O, 260 394 8 j 62, 186 462 7" Q/km (ver Cuadro 5.3)
y= 7,1625 X 10- L2.Q: S/ km

6
(ver Cuadro 5.3)
U¡¡ = 34641 '01615 LQ:. V (ver pagina 129)
Iu = 213,833433 j-25,842° A (ver página 129)
Adicionalmente, necesitamos los datos de impedancia característica y constante de

propagación calculados en el Capítulo V, los cuales se muestra a continuación:
zc = 190,6704209 j-13,906769° Q (ver Cuadro 5.3)
r= 1,366 3
X 10- j76,0932314o 1/km (ver Cuadro 5.3)
Ahora, calcularemos los factores del seno hiperbólico y coseno hiperbólico, que son
necesarios para líneas largas.
senh(Lr) = 0,061421396 j76, 1100632°
cosh(Lr) = cosh[(45)(1,366x 10- 3 ~,0932314°)]
cosh(Lr) = 0,998330493j0,05054058"
Con los datos anteriores, calcularemos la intensidad de corriente en el extremo transmisor

utilizando la ecuación (6.36), que corresponde a una línea larga.
is = ( 19~~¡.:¿4~1_%~l'')ro:o614!_76, 11') + (213, 83/-25, 84" )(O, 998/_ o, 051" l

ultéas de transmisión eléctrica
f.s· = 208,8599739 j-23,034447" A

que corresponde a una línea larga.
if,; = (34641,0167 LQ:.)(0,998j0,05l 0

) +· (92,97 j-25,84°)(190,67 j-13,91")(0,0614j76, 11")
Solucionando esta& operaciones con faso res se tiene:
i), = 36631,18192j2,37066903o V
V,= /3(36631, 182j2,3707") = 63,44706823j2,3707o kV
Ahora, calcularemos el factor de potencia en el extremo receptor con la ecuación (6.7).
Ós = r/J,. + 1 r/J1! = 2,370 7 + j-23,03441 = 25,4051°
cos Ós = cos(25,4051 °) = 0,903 297
f\. = f3v, fsCOScPs = /3(63,447)(208,86)(0,9033) = 20732,8 kW
P,. = 20,733 J\1W

las ecuaciones (6.9) y (6. 1O).
lOO(f,. P¡¡) _ 100(20,733 -20) _ <X

5345
pp% f\' - 20,733 - 3' o
Llv%
100(~- f~) - 100( 63,447- 138) = 5 433<X
V - 63,447 ' o
En el Cuadro 6.1 se muestra un resumen de los resultados obtenidos para las líneas
cortas, medias y largas, para la primera alternativa, mientras que en el Cuadro 6.2 se
muestra el resumen de los resultados obtenidos para la segunda alternativa; en los
cuales se pueden comparar los resultados en cada caso.

CAPÍTULO Vl: RElACIONES DE TENSIÓN YCORRIENTE EN LAS LÍNEASDE T"ANSMIS~ÓN
Cuadro 6.1. Resumen de resultados para la alternativa 01
Cuadro 6.2. Resumen de resultados para !a alternativa 02
Observando los cuadros 6.1 y 6.2 se puede concluir que la alternativa 01 es la

más viable, ya que el porcentaje de caída de tensión es de 1 ,609°/o; el cual está
dentro de lo que indica el de es de
el cual es muy conveniente desde el de vista económico. Mientras que
en la alternativa 02 e! porcentaje de caída de tensión es de 5,43o/o; el cual está
fuera de lo que indica el CNE. Además dichos cuadros nos sirven para concluir
que la diferencia de resultados entre una línea corta, media y larga; es mínima;
sin embargo, en estos tiempos en que la tecnología ha avanzado, es importante
obtener los resultados, utilizando las fórmulas del método exacto, es decir se
debe considerar a las líneas de transmisión como si fueran líneas largas, sin
tener en cuenta su longitud.
6.4 MÉTODO MATRICIAL.

Este método utiliza unas constantes generalizadas que se deducen utilizando el concepto
de cuadripolos; este método, establece la relación entre la tensión e intensidad de
corriente en el extremo receptor con los del extremo transmisor; y que dicha relación se
establece por medio de cuatro constantes complejas que se simbolizan por A,B, C,D y
cuyo circuito equivalente se muestrá en la Figura 6.7.
Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Arana 151

Lineas de Transmision Semana 4

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•..

En este capítulo se desarrollarán las ecuaciones que permitan calcular la tensión,

La tensión e intensidad de corriente de la línea se determinará haciendo un análisis de

- Que la línea está operando en un régimen de estado permanente.

- Que la linea trifásica opera siempre con cargas trifásicas balanceadas.

Para calcular la tensión, intensidad de corriente y potencia en las líneas de transmisión,

En el capítulo V se han mostrados las ecuaciones para determinar r, l. e y g, así como

·-; ~ Impedancia por unidad de longitud (0/km).

Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Galeas Arana 121

y -~ Admitancia por unidad de longitud (S/km).

L -> Longitud de la línea (km).

Z ~ Impedancia total de la línea (O). z = -;,L

U 11 -->-Tensión de fase en el extremo receptor (V).

U.v ->Tensión de línea en el extremo transmisor (V).

a) líneas de transmisión cortas.

1°) El efecto capacitivo de la línea es muy pequeño y por tanto se considera

122 Grupo Editorial Megabyte

2°) De igual manera, el efecto Corona, no influye demasiado en los resultados,

Figura 6.1. Circuito equivalente de una línea de transmisión corta

Du ->Tensión de fase en el extremo receptor (V).

IR -> Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).

u_, ->Tensión de fase en ei extremo transmisor(\/).

X -;.. Reactancía inductiva total de la línea (O).

z _:)' Impedancia total de la línea (O).

La solución del circuito equivalente de la Figura 6.1, consiste en establecer

Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Galeas Arana 123

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito, de la Figura 6.1, se tiené:

La intensidad de corriente en la carga se encuentra, desfasada un cierto ángulo

3°) Que la carga se capacitiva, es decir, el factor de potencia es positivo (en

En las líneas de transmisión en régimen permanente, siempre la carga es inductiva,

Figura 6.2. Tensión e intensidad de corriente en la carga de una L.T.

124 Grupo Editorial Megabyte

La intensidad de corriente en el extremo receptor (iR) se determina con:

111 --> Intensidad de corriente en el extremo receptor (A).

Pu --> Potencia de transmisión que siempre es conocido (kW).

VR ---> Tensión de transmisión seleccionado (kV).

Una vez calculado la tensión e intensidad de corriente en el extremo receptor,

Figura 6.3. Tensión e intensidad de corriente en extremo transmisor

El ángulo de la intensidad de corriente c/J 1 normalmente es negativo, por eso es

c/J.,. -) Ángulo del factor de potencia en el extremo transmisor.

c/J, -). Ángulo de la tensión en el extremo transmisor.

Grupo Editorial Megabyte lng. Rubén Galeas Arana 125

1r/J,I -> Valor absoluto del ángulo de la intensidad de corriente en el extremo

Luego se debe calcular la potencia P8 en el extremo transmisor con la ecuación

--¿. Potencia en el extremo transmisor (kW).

->- Módulo de la tensión de línea en el extremo transmisor (kV). Este·

-> Módulo de la intensidad de corriente en el extremo transmisor (A).

cos r/Js--¿. Factor de potencia en el extremo transmisor.

Luego se debe calcular las pérdidas de potencia con la siguiente relación:

p"%->Porcentaje de pérdida de potencia en toda la línea(%), este valor no está

P.,. ->Potencia en el extremo transmisor (MW).

Finalmente se debe calcular la caída de tensión en toda la línea con la siguiente

.ó.v%--¿. Porcentaje de caída de tensión en toda la línea(%). Este valor según

V.~· ->- Tensión de línea en el extremo transmisor (kV).

V11 -> Tensión de línea en el extremo receptor (kV).

126 Grupo Editorial Megabyte

Para afianzar mejor nuestros conceptos, a continuación desarrollaremos un eje!Jlp1o de

- Tensión de transmisión 138 kV (ver página 54)