UNIVERSIDAD NACIONAL DE

INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

INFORME DE LABORATORIO N 6

MEDICIN Y MITIGACIN DE
ARMNICOS DE VOLTAJE Y
CORRIENTE EN CIRCUITOS
CON CARGAS NO LINEALES

CURSO: LABORATORIO DE CIRCUITOS ELCTRICOS II

Seccin: A
Autores:

Aiquipa Jorge Pedro Mijail

Benavides Rojas Diego Anbal
Castillo Farfn Manuel Humberto
Velsquez Prraga Diego Ayrton

FECHA DE REALIZACIN DEL EXPERIMENTO

06 noviembre de 2015

FECHA DE ENTREGA DEL INFORME

13 noviembre de 2015

UNI - FIM
INDICE
INDICE................1
INTRODUCCIN..2
1. OBJETIVOS...........3
2. FUNDAMENTO TERICO......3
3. .MATERIALES UTILIZADOS ....11
4. PROCEDIMIENTO................................................................................13
5. CLCULOS Y RESULTADOS.........15
6. CUESTIONARIO.
7. CONCLUSIONES......
8. RECOMENDACIONES
9. BIBLIOGRAFA.

INTRODUCCIN

UNI - FIM

En el presente informe de laboratorio se realiz la experiencia de Medicin y mitigacin de

armnicos de voltaje y corriente en circuitos con cargas no lineales. La experiencia tuvo como
finalidad utilizar el analizador de calidad Fluke para comprobar la existencia de armnicos de
voltaje y corriente.
Se analizaron magnitudes tales como Tasa de distorsin armnica (THD), Factor de cresta,
Factor de desclasificacin (K), etc.
Para la realizacin de la experiencia utilizamos como carga: mdulos de lmparas ahorradoras,
lmparas led, un transformador, etc.
Al final del informe se presentan los clculos y conclusiones obtenidas luego de la experiencia.

Medicin y mitigacin de
armnicos de voltaje y
corriente
2

UNI - FIM

1. OBJETIVOS
1. Utilizar el analizador de calidad Fluke en un circuito con cargas no lineales para comprobar
la existencia de armnicos de voltaje y corriente.
2. Realizar mediciones y verificar el error con los instrumentos de medida de valor eficaz
(RMS), analizador de calidad e instrumentos (TRMS) en una red que contienen armnicos.
3. Usar filtros pasivos para disminuir los armnicos en la red.

2. FUNDAMENTO TERICO
Qu son los armnicos y cmo nos afectan?
Con la instalacin masiva de equipos a base de electrnica de potencia (ordenadores,
variadores de velocidad, onduladores), la mayora de los usuarios se enfrenta a la presencia
de armnicos en las redes de distribucin elctrica.
Toda red elctrica est comprendida por una determinada cantidad de cargas. Cuando la
corriente que atraviesa una carga tiene la misma forma que la tensin, esta cargase denomina
lineal; por contra, cuando la forma de la corriente no se corresponde con la forma de la tensin,
la carga se denomina no lineal (vanse las figuras 1 y 2)
Lo

que provoca la deformidad de la seal, es la presencia de armnicos.

UNI - FIM

Qu son los armnicos?

Las corrientes armnicas son los componentes similares de una corriente elctrica peridica
descompuesta en la serie de Fourier. Los armnicos tienen una frecuencia que es mltiplo (2, 3,
4, 5, n) de la frecuencia fundamental (50 60 Hz en las redes elctricas).El nmero n
determina el rango de la componente armnica. Se denomina armnico del rango n ala
componente armnica del rango correspondiente a n veces la frecuencia de la red. Ejemplo:
para una frecuencia fundamental de 50 Hz, el armnico de rango 5 presentar una frecuencia
de 250 Hz.

Los armnicos de rango par (2,4, 6, 8) no suelen estudiarse en los entornos industriales
porque se anulan gracias a la simetra de la seal alterna. Slo se tienen en cuenta en
presencia de una componente continua. Por contra, las cargas no lineales monofsicas tienen
un espectrorico en componentes armnicas de rango impar (3, 5, 7, 9), algo que tambin
sucede en las cargas trifsicas conectadas en tringulo, salvo porque estas ltimas no tienen
componentes de rango 3.
Adems del rango, los armnicos se clasifican segn su amplitud (indicada en % con respecto a
la fundamental) y su paridad (par o impar). Los armnicos, que tambin tienen importancia en la
compatibilidad electromagntica, forman parte de las perturbaciones tratadas en la norma EN
50160 por lo que respecta a la calidad del suministro elctrico.

UNI - FIM
Espectro de frecuencias armnicas
Un elemento esencial del estudio es el espectro de frecuencias armnicas de la seal; se trata
de la representacin grfica que enumera los armnicos presentes, la seal en frecuencia y en
amplitud. Aqu puede ver (figura 3) el espectro de algunas cargas habituales.

Debe tenerse en

cuenta

que

adems de los

armnicos

indicados

anteriormente,

en las redes tambin se encuentran otros dos tipos de componentes superpuestos ala onda
fundamental. Los inter-armnicos que se caracterizan por una frecuencia que no es mltiplo
dela fundamental (por ejemplo: 175 Hz no es mltiplo de 50 Hz), y los infra-armnicos los
cuales presentan una frecuencia inferior a la de la red.
Los primeros, aunque slo estn presentes en una pequea cantidad,pueden, por ejemplo,
perturbar las seales de control a distancia enviadas por los distribuidores de energa elctrica,
mientras que los ltimos suelen deberse a los convertidores de ciclo, los hornos de arco o los
variadores de velocidad.

UNI - FIM
Medicin de los armnicos presentes en una red
La resultante de los armnicos normalmente se explica por la distorsin armnica total (THD:
Total Harmonics Distortion). El clculo de THD permite calificar globalmente el nivel de
contaminacin de una red en tensin o en corriente (consulte la tabla 1 inferior).

Normalmente

se

utilizan los mtodos de

clculo. La CEI 61000-2-2 define el THDF como la relacin (indicada en porcentajes) entre el
valor eficaz de las componentes armnicas y la amplitud de la fundamental:

UNI - FIM

En cuanto al THDR definido segn la norma DIN, representa la distorsin armnica en relacin al valor
eficaz real:

Debe tenerse en cuenta que, si bien los valores obtenidos mediante los dos mtodos son equivalentes en
casos de distorsiones reducidas, difieren mucho cuando los valores son importantes.

Influencia de los armnicos sobre los parmetros medidos en la red

a) Influencia sobre el factor de potencia
Caracterstico del receptor elctrico, el factor de potencia es igual a la potencia activa consumida por el
equipo elctrico dividida por el producto de los valores eficaces de la corriente y de la tensin (potencia
aparente). Siempre est comprendido entre el 1 y el 0.
Fp = P/S
Si la corriente y la tensin son funciones generales del tiempo, el factor de potencia es igual al coseno del
desfase entre la corriente y la tensin (cos ).
En presencia de corrientes armnicas importantes, esto ya no se cumple, debido a la presencia de una
potencia distorsionante. La potencia activa se obtiene de:

UNI - FIM

Donde I1 es el valor eficaz de la corriente fundamental y cos 1 es el factor de desplazamiento (DPF,

Displacement Power Factor) que representa el desfase entre fundamental de la tensin y fundamental de la
corriente (vase figura 5).

Por una parte,

la

potencia

aparente se obtiene de:

Donde Q es la potencia reactiva Q = U. I1. sen1 y D es la potencia deformante D2 = U12.Ih2 donde Ih es

el valor eficaz del conjunto de armnicos de rango superior a 1 de la corriente.

b) Influencia sobre el factor de cresta

Como relacin entre el valor de cresta y el valor eficaz, el factor de cresta equivale a la raz cuadrada de 2
en rgimen senoidal. En presencia de armnicos, puede alcanzar valores muy superiores. As, un factor de
cresta ms elevado exige, entre otros elementos, un aparato de medicin ms sensible y por consiguiente
mayor precisin en el circuito de conversin.

UNI - FIM
A ttulo de ejemplo, para un ordenador equipado de una fuente de alimentacin conmutada, el factor de
cresta puede llegar a valores de entre 2 y 3 (vase la figura 6).

Efectos de los armnicos sobre los equipos

Sobre los transformadores: La circulacin de corrientes armnicas implica prdidas por efecto joule y
prdidas magnticas suplementarias. De acuerdo con la norma NF EN 50464-3, se aplica una
desclasificacin de la potencia aparente del transformador segn la frmula siguiente:

En mquinas giratorias: Adems de prdidas por efecto joule y prdidas magnticas suplementarias, la
presencia de tensiones armnicas puede provocar pares pulsatorios y, de rebote, vibraciones mecnicas
perjudiciales adems de una disminucin del rendimiento mecnico del motor.

UNI - FIM
Por norma general, el factor armnico de tensin (HVF) debe ser inferior al 2%. Este factor se calcula con
la frmula siguiente:

En bateras de condensadores: La instalacin de bateras de condensadores en una instalacin elctrica

puede implicar una resonancia paralela que amplifique las corrientes armnicas presentes en la
instalacin. Este riesgo depende principalmente de la potencia de cortocircuito de la instalacin y del valor
capacitivo del sistema de compensacin. En tal caso, pueden circular corrientes armnicas intensas en los
condensadores y provocar el envejecimiento prematuro de sus componentes.
En dispositivos de medida: Las corrientes armnicas tambin pueden perturbar la medida de los equipos
no inmunizados asociados a equipos de corte y de proteccin, a controladores permanentes de aislamiento
y aparatos de medida.

3. MATERIALES UTILIZADOS

1 analizador de calidad Fluke 43B

Capacitores.

10

UNI - FIM

Focos

Pinza amperimtrica sin medicin de valor real

1 pinza amperimtrica Fluke TRMS

real)

(True RMS-Valor

Multmetro Fluke TRMS

11

UNI - FIM

1 llave termo magntica monofsica

4. PROCEDIMIENTO

12

UNI - FIM

CASO I:
de

Medicin

armnicos, potencia, corriente

1. Implementar el circuito 1 colocando una carga de 3 lmparas led en paralelo.
2. Usando en analizador de calidad Fluke ingresar en la opcin armnicos, tomar datos del
THD de voltaje (V) y corriente (I),

I RMS

V RMS

h1 ( A)

armnico 29 aproximadamente, igualmente tomar valores de

hasta el armnico que sea visible.

h2 (A) h3 (A)
,
h1 (V ) h2 (V )

hasta el
,

h3 (V )

3. Ingresar en la opcin potencia del analizador y tomar datos de la potencia activa (P),
reactiva (Q) y aparente (S), adems el valor de PF (factor de potencia) y DPF (cos).
4. Ingresar en la opcin voltios/amperios/Hz y tomar datos de los valores CF (factor de cresta)
de la onda de corriente.
5. Tomar fotografas de los 3 grficos mostrados en pantalla en cada uno de las opciones
(armnicos de corriente, potencia y voltios/amperios/Hz).

13

UNI - FIM
6. Realizar la medicin de la corriente en la lnea con la pinza amperimtrica (TRMS) y la pinza
(RMS), luego medir el voltaje en la lnea con el multmetro (TRMS).
7. Implementar el circuito 1 colocando una carga de 3 lmparas fluorescentes en paralelo y
repetir las mediciones anteriores (pasos: 2, 3, 4, 5, 6).
8. Implementar el circuito 1 colocando una carga de 3 lmparas ahorradoras en paralelo y
repetir las mediciones anteriores (2, 3, 4, 6).
9. Implementar el circuito 1 colocando una carga de 6 lmparas ahorradoras en paralelo y
repetir las mediciones anteriores (pasos: 2, 3, 4, 6).
10. Implementar el circuito 1 colocando una carga de 9 lmparas ahorradoras en paralelo y
repetir las mediciones anteriores (pasos: 2, 3, 4, 5, 6).
CASO II: Uso de filtros pasivos serie y paralelo
1. Usando como carga 6 lmparas ahorradoras implementar un filtro serie sintonizado al
armnico 3 5 y realizar las mediciones de los pasos 2, 3, 4, 5, 6 del CASO I, luego medir
el voltaje en la carga.
2. Usando como carga 6 lmparas ahorradoras implementar un filtro paralelo sintonizado al
armnico 3 5 y realizar las mediciones de los pasos 2, 3, 4, 5, 6del CASO I.

4. CALCULOS Y RESULTADOS

5. CUESTIONARIO
DATOS OBTENIDOS EN EL LABORATORIO

CARGA: FOCOS LED

MULTIMETRO Y
ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE
PINZA
IRM ITR
V
IRM
THD THD P
Q
S
VR
C
S
MS TRM
S
R (I) R (V) (K (KV (KV
MS
F
(A) (A) S (V) (A)
%
%
W) AR) A)
0.0
0.0 1.
0.19 0.2 231.9 0.18 231 24.1
2.3
0.04
1
4
4
231
0.0
0.0 1.
0.19 0.2 231.9 0.18
26.5
2.3
0.04
.5
1
4
4
231
0.0
0.0 1.
0.19 0.2 231.9 0.18
23.5
2.2
0.04
.6
1
4
4

D
PF
PF
0. 0.
27 26
0. 0.
27 26
0. 0.
27 26

14

UNI - FIM

0.19

0.2

0.19

0.2

0.19

0.2

0.19

0.2

231
.2
231
231.9 0.18
.4
231
231.9 0.18
.2
231
231.9 0.18
.3
231.9 0.17

24.5

2.3

24.5

2.3

25.6

2.3

24.9

2.4

0.0
1
0.0
1
0.0
1
0.0
1

0.04
0.04
0.04
0.04

0.0
4
0.0
4
0.0
4
0.0
4

1.
4
1.
4
1.
4
1.
4

0.
27
0.
27
0.
27
0.
27

0.
26
0.
26
0.
26
0.
26

CARGA: TRANSFORMADOR (220/120V 3 KVA)

MULTIMETRO Y PINZA
ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE
V
P
Q
S
IRMS ITRMS
IRMS VR THD R THDR
TRMS
(KW (KVA (KV
(A)
(A)
(A)
MS
(I) %
(V)%
(V)
)
R)
A)
121.
0.12
0.2
122.4
0.09
33.3
2.4
0.01
0
0.01
6
121.
0.12
0.2
122.4
0.1
27.5
2.2
0.01
0
0.01
8
121.
0.12
0.2
122.4
0.11
32.7
2.3
0.01
0
0.01
8
121.
0.12
0.2
122.4
0.09
33.4
2.2
0.01
0
0.01
8
121.
0.12
0.2
122.4
0.09
28.7
2.2
0.01
0
0.01
9
121.
0.12
0.2
122.4
0.09
32.5
2.3
0.01
0
0.01
8

C
F

DP P
F F

1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4

0.7
3
0.7
3
0.7
3
0.7
3
0.7
3
0.7
3

1
1
1
1
1
1

CARGA: FOCOS AHORRADORES (3)

MULTIMETRO Y
PINZA
V
IRMS ITRM
TRMS
(A)
S (A)
(V)

ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE

IRMS
(A)

VR
MS

THD R
(I) %

THDR
(V)%

P
(K
W)

Q
(KVA
R)

S
(KV
A)

231

87.1

2.3

0.11

0.22

0.25

87.3

2.3

0.11

0.22

0.25

87.4

2.3

0.11

0.22

0.25

87.5

2.3

0.11

0.22

0.25

87.5

2.3

0.11

0.22

0.25

86.7

2.3

0.11

0.22

0.25

0.467

232

1.03

0.467

232

1.02

0.467

232

1.03

0.467

232

1.03

0.467

232

1.01

0.467

232

1.03

231.
2
231.
3
231.
3
231.
4
231.
1

C
F

DP
PF
F

1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4

0.9
1
0.9
1
0.9
1
0.9
1
0.9
1
0.9
1

0.4
5
0.4
5
0.4
5
0.4
5
0.4
5
0.4
5

15

UNI - FIM
CARGA: FOCOS AHORRADORES (6)
MULTIMETRO Y
PINZA
V
IRMS ITRMS
TRMS
(A)
(A)
(V)

ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE

IRMS
(A)

VR
MS

THD R
(I) %

THDR
(V)%

P
(K
W)

Q
(KVA
R)

S
(KV
A)

232

85.7

1.9

0.23

0.43

0.43

85.8

0.23

0.43

0.43

85.6

1.9

0.23

0.43

0.43

85.7

1.9

0.23

0.43

0.43

85.8

0.23

0.43

0.43

85.6

1.9

0.23

0.43

0.43

85.3

1.9

0.23

0.43

0.43

1.04

2.08

231.5

2.08

1.04

2.08

231.5

2.07

1.04

2.08

231.5

2.06

1.04

2.08

231.5

2.05

1.04

2.08

231.5

2.05

1.04

2.08

231.5

2.06

1.04

2.08

231.5

2.01

231.
8
232.
1
232
231.
9
231.
7
231.
6

C
F

DP
PF
F

1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4
1.
4

0.9
3
0.9
3
0.9
3
0.9
3
0.9
3
0.9
3
0.9
3

0.4
7
0.4
7
0.4
7
0.4
7
0.4
7
0.4
7
0.4
7

CARGA: FOCOS AHORRADORES (9)

MULTIMETRO Y
PINZA
V
IRMS ITRMS
TRMS
(A)
(A)
(V)

ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE

IRMS
(A)

VR
MS

THD R
(I) %

229.
9

85.9

THDR
(V)%

P
(K
W)

Q
(KVA
R)

S
(KV
A)

C
DPF PF
F

1.
0.4
0.43
4
8
1.
0.4
1.53
2.9
230.4
3
230
85.6
2.6
0.34 0.62
0.7
0.43
4
8
229.
1.
0.4
1.53
2.9
230.4
3
85.6
2.6
0.34 0.62
0.7
0.43
7
4
8
CARGA: FOCOS AHORRADORES (6) CON FILTRO EN SERIE
MULTIMETRO Y
ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE
PINZA
V
P
Q
S
IRMS ITRM
IRMS VR THD R THDR
C DP
TRMS
(K (KVA (KV
PF
(A) S (A)
(A)
MS
(I) %
(V)%
F F
(V)
W)
R)
A)
230.
0.2
1. 0.9 0.9
1.06
1.1
231.3
1.08
36.4
2.8
0.1
0.24
4
2
4
9
1
231.
0.2
1. 0.9 0.9
1.06
1.1
231.3
1.08
35.8
2.7
0.1
0.24
4
2
4
9
1
231.
0.2
1. 0.9 0.9
1.06
1.1
231.3
1.08
37
2.6
0.1
0.24
2
2
4
9
1
1.53

2.9

230.4

2.6

0.34

0.62

0.7

CARGA: FOCOS AHORRADORES (6) CON FILTRO EN PARALELO

16

UNI - FIM
MULTIMETRO Y
PINZA
V
IRMS ITRMS
TRMS
(A)
(A)
(V)

ANALIZADOR DE CALIDAD FLUKE

IRMS
(A)

VR
MS

THD R
(I) %

THDR
(V)%

P
(K
W)

Q
(KVA
R)

S
(KV
A)

231

73.6

2.5

0.24

0.53

0.58

73.5

2.4

0.24

0.53

73.3

2.4

0.24

0.53

2.06

2.6

231.8

2.57

2.06

2.6

231.8

2.44

2.06

2.6

231.8

2.42

231.
7
231.
6

C
F

DP
PF
F

1. 0.6 0.4
4
1
1
1. 0.6 0.4
0.58
4
1
1
1. 0.6 0.4
0.58
4
1
1

1. Con los datos obtenidos de los armnicos de voltaje y corriente (h1, h2, h3,, hn) obtener
los valores de THDf (V), THDr (V), THDf (I), THD (I) y compararlos en un cuadro con los
valores obtenidos por el analizador de calidad (THDr) para cada uno de los casos.
Caso 1: 3 FOCOS LED EN PARALELO

FOCOS LED
h1

h3

h5

h
7

h9

h1
1

h1
3

h1
5

h1
7

h1
9

Corrie
0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.17
0
nte (I)
4
2
1
1
1
1
1
1
Voltaj 231.
1.
0.4 4.8
0.1 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1
e (V)
4
9

THDf
Calcul
ado

THDr
THDr
Calcula Medi
do
do

29.994

28.730

24.8

15.845
6

2.243

2.243

2.3

2.4833

Error
(%)

Caso 2: 3 FOCOS AHORRADORES EN PARALELO

h1

h3

Corrie
0.0
0.09
nte (I)
2
Voltaj 121.
0.3
e (V)
8

h5
0.01
2.5

TRANSORMADOR (220/120V 3KVA)

THDf
THDr
THDr
h1
Erro
h7
h9
h11
Calcul Calcula Medi
3
r (%)
ado
do
do
31.35 23.0
0
0
0
0 24.845 24.112
0
87
0.0
3.10
0.9
0
0.1
2.197
2.196
2.267
1
1

17

UNI - FIM

9. Explicar Por qu la corriente presenta ms armnicos que el voltaje?

Podemos aproximar el concepto de distorsin armnica a una malformacin de la corriente
elctrica que llega a nuestros hogares y empresas. Esta malformacin est originada por los
equipos electrnicos que consumen energa elctrica de una forma no lineal, es decir, de una
forma no continua en el tiempo. Esta forma de consumir electricidad, provoca que la forma de
onda senoidal de la corriente elctrica se distorsione. Esta distorsin se puede descomponer en
diferentes componentes, conocidas como armnicos.
10. Por qu se consideran a los armnicos impares 3, 5, 7, y no a los armnicos pares 2, 4,
6,?
Los armnicos de rango par (2,4, 6, 8) no suelen estudiarse en los entornos industriales
porque se anulan gracias a la simetra de la seal alterna. Slo se tienen en cuenta en
presencia de una componente continua. Por contra, las cargas no lineales monofsicas
tienen un espectrorico en componentes armnicas de rango impar (3, 5, 7, 9), algo que
tambin sucede en las cargas trifsicas conectadas en tringulo, salvo porque estas ltimas
no tienen componentes de rango 3.
11. Explicar el significado de THD y la manera como se obtienen
La resultante de los armnicos normalmente se explica por la distorsin armnica total
(THD: Total Harmonics Distortion). El clculo de THD permite calificar globalmente el nivel
de contaminacin de una red en tensin o en corriente.

h
THD =
f

2
2

+h32+h42 +hn2
h1
18

UNI - FIM

h
THD =
h
f

+h32+h42 +hn2

+h2 +h3 +hn

2
1

: representan el valor eficaz de los armnicos de orden 1,2,,n

h 1 h2
hn
: Distorsin total armnica con respecto a la seal total.
THDr
: Distorsin total armnica con respecto a la componente fundamental, muy
THD
f en Europa.
utilizado

12. Cules son las causas y consecuencias de los armnicos de voltaje y de corriente en una
instalacin elctrica?
Causas:
-

Necesidad de sobredimensionamiento de los conductores y de las potencias contratadas en

una instalacin.
Necesidad de sustitucin con mayor frecuencia de los aparatos y maquinas daados por los
armnicos.
Paradas de produccin debidas a los disparos intempestivos de los elementos de proteccin
y mando.
Usos de equipos que generan armnicos como: fuentes de alimentacin de funcionamiento
conmutado (SMPS), estabilizadores electrnicos de dispositivos de iluminacin fluorescente,
pequeas unidades de SAI (sistemas de alimentacin ininterrumpida o UPS), cargas
trifsicas como motores de velocidad variable y grandes unidades de UPS.

Consecuencias:
-

Sobrecalentamientos en los conductores especialmente en el neutro de las instalaciones,

debido al efecto pelicular.
Disparos intempestivos de Interruptores Automticos y Diferenciales.
Disminucin del factor de potencia de una instalacin y envejecimiento e incluso destruccin
de las bateras de condensadores utilizadas para su correccin debido a fenmenos de
resonancia y amplificacin.
Vibraciones en cuadros elctricos y acoplamientos en redes de telefona y de datos.
Deterioro de la forma de onda de la tensin, y consiguiente malfuncionamiento de los
aparatos elctricos.

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UNI - FIM
-

Calentamientos, degradaciones en los aislamientos, embalamientos y frenados en motores

asncronos.
Degradaciones del aislamiento de los transformadores, prdida de capacidad de suministro
de potencia en los mismos.

6. CONCLUSIONES

7. RECOMENDACIONES

8. BIBLIOGRAFIA
[1] Robert L. Boylestad. (2011). Introduccin al anlisis de circuitos. (12va ed).

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