VICERRECTORADO ACADÉMICO

Decanato de Innovación para el Aprendizaje y Calidad

Educativa (DIACE)
Dirección de Currículo - Coordinación de Apoyo Docente
Núcleo Táchira

PRINCIPIOS Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LA

ESTADÍSTICA, ORGANIZACIÓN DE DATOS MEDIANTE
TABLAS Y GRÁFICOS.

Tema 1

MSc. Jean Carlo Ramírez

SAN CRISTOBAL, MAYO DE 2020

 DEFINICIONES BASICAS

Significado de estadística

“Estadística” para mucha gente, significa: descripciones numéricas, también la

estadística es el estudio de los fenómenos aleatorios. La estadística tiene un alcance
ilimitado de aplicaciones, en un aspecto muy amplio de disciplina, que van desde las
ciencias y la ingeniería, hasta las leyes y la medicina. El aspecto más importante de la
estadística es la obtención de conclusiones basadas en los datos experimentales. Este
proceso se conoce como inferencia estadística.

Según Conrado Gini: la estadística es una técnica especial apta para el estudio
cuantitativo de los fenómenos de masas o colectivos, entendiendo por tales, aquellos
fenómenos naturales económicos, sociales, entre otros, cuya medición requiere una masa de
observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares.

Según Udne Yule: la estadística es la ciencia que trata la recolección, clasificación y

presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación,
descripción y comparación de un fenómeno.

¿Es la estadística ciencia o método?

Actualmente, se considera como un poderoso auxiliar en la investigación científica

que le permite a ésta, aprovechar el material cuantitativo. En consecuencia se considera a la
estadística no como una ciencia, sino como un conjunto de métodos, que se denominan
métodos estadísticos.

INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ESTADÍSTICA DESCRIPTVA

Cuando se está interesado en establecer conclusiones válidas sobre un grupo grande

de individuos u objetos, en lugar de examinar el grupo completo, llamado población lo
cual puede ser difícil o imposible, se examina solamente una parte pequeña de esa
población, la cual se denomina muestra.

Entonces cuando se infieren ciertos hechos, sobre la población a partir de los

resultados que se encuentran en la muestra, este proceso, se conoce como inferencia
estadística.

A la parte de la estadística que busca únicamente describir y analizar un grupo

determinado, sin sacar conclusiones o inferencias acerca de un grupo más grande, se le
conoce como estadística descriptiva o deductiva

Ejemplo: Si una conclusión dada a un indicador económico importante o a una posible

concentración peligrosa de cierto contaminante, o la relación entre la incidencia de cáncer
pulmonar y el fumar, es muy común que la conclusión esté basada en la inferencia
estadística.

Las ciencias que necesitan de la estadística se pueden clasificar de la siguiente

forma:
1) Las que obligatoriamente necesitan de la estadística, lo que implica que muchas
veces se confundan con ella, como es el caso de la Demografía.

2) Ciencias que necesitan de la estadística para estudiar fenómenos cuantitativos y

cualitativos como son: la Economía, la Sociología, la Psicología, la Biología,
ciencias de la Educación, entre otras.

3) Las ciencias que necesitan obtener sus resultados con máxima exactitud lo que
logran a través de la estadística, tales como: la Astronomía, Metereología, la física,
y otras.

Para comprender la naturaleza de la inferencia estadística es necesario entender las

nociones de población y muestra:

Población: Es la colección de toda la posible información que caracteriza a un fenómeno.

En estadística, la población es un conjunto mucho más general del que tiene la aceptación
común de esta palabra. En este sentido, una población, es cualquier colección ya seas de un
número finito de mediciones o una colección grande, virtualmente infinita, de datos acerca
de algo de interés.

Muestra: es un subconjunto representativo seleccionado de una población. Una buena

muestra es aquella que refleja las características esenciales de la población de la cual se
obtuvo.

El proceso de obtención de muestras, se denomina muestreo.

Ejemplos:

1) Se pueden sacar conclusiones sobre las estaturas (o pesos) de 12.000 estudiantes

adultos (población), al examinar tan solo 100 estudiantes (muestra) seleccionados
de esa población.

2) Se pueden sacar conclusiones sobre los colores de 200 canicas (población) en una
urna, seleccionando una muestra de 20 canicas de la urna, donde cada canica
seleccionada se regresa luego de que se observa su color.

La población puede ser finita o infinita, siendo su número el tamaño de la población

(N), el número de la muestra se denota por el tamaño de la muestra o tamaño muestral y
generalmente es finito (n).
 En el ejemplo 1, N = 12.000 y n = 100

El muestreo puede ser:

- Muestreo aleatorio simple.

- Muestreo aleatorio estratificado.

Variables estadísticas: Son los fenómenos o sucesos que al repetirlos en las mismas
condiciones dan resultados distintos, que no dependen del observador porque interviene el
azar, por ejemplo: lanzar una moneda al aire para determinar si cae cara o sello, lanzar un
dado para saber que número sale.

Una variable es un símbolo (X, Y, H,…) que puede tomar un conjunto prefijado de
valores llamado dominio. Una variable puede tomar cualquier valor entre dos valores
dados.

Tipos de variables

Existen dos tipos de variables, las variables continuas y las variables discretas.

Variables continuas: se caracterizan por el hecho de que para todo par de valores siempre
se puede encontrar un valor intermedio. (el peso, la estatura, el tiempo empleado para hacer
un trabajo, entre otros) una variable continua, puede tomar infinitos valores intermedios
dentro de dos valores consecutivos

Variables discretas: son aquellas que pueden tomar un solo número limitado de valores
separados y no continuos. Son aquellas que solo toman un determinado número de valores
porque entre dos valores consecutivos no pueden tomar ningún otro. Ejemplo el número de
estudiantes de una clase; es una variable discreta, ya que solo tomará los valores de 1, 2,
3,…. Porque no se encontrarán 1,5 estudiantes.

A los datos que se pueden describir mediante una variable discreta o continua se les
llaman datos discretos o continuos, respectivamente. El número de hijos en cada una de
1.000 familias es un ejemplo de datos discretos, mientras que las alturas de 100 estudiantes
universitarios son ejemplos de datos continuos. En general, las mediciones dan lugar a
datos continuos, mientras que las enumeraciones o los conteos dan lugar a datos discretos.
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BASICOS DE USO FRECUENTE EN LA
ESTADISTICA

Números, medidas y escala de valores.

Números

Los números tienen tres funciones importantes para el investigador, dependiendo de

la medida que se emplee, las series de números pueden ser:

1. Para categorizar el nivel nominal de la medición.

2. Para determinar el rango o el orden al nivel ordinal de la medición.
3. Par a obtener montajes al nivel de intervalo de la medición.

Medidas

Las principales medidas de la estadística descriptiva son:

a) Razones tasas y porcentajes: son medidas relativas que condensan información

sobre la incidencia de una característica entre grupo de unidades.

b) La distribución de frecuencia: la más completa forma de agrupación de los datos,

en la cual éstos se presentan en clases y cada clase exhibe su respectiva frecuencia.

c) Medidas de posición o de la tendencia central: las cuales se dividen en promedios

matemáticos: el aritmético, el geométrico, y el armónico; y promedio no
matemático: la mediana y el modo.

d) Medidas de dispersión: que se dividen en absolutas y relativas. Las absolutas son

el intervalo total, el intervalo de cuartil, la desviación media, la desviación típica y
error probable. Las relativas cuya medida principal, es el intervalo de variación.

e) Los momentos, medidas de asimetría y Kurtosis: Los momentos, son medidas

auxiliares en el cálculo de otras medidas. Mientras que las de asimetría y kurtosis
determinan la variación con respecto a la distribución normal.

f) Series cronológicas: estudian el comportamiento de la distribución de una

característica a través del tiempo.

g) Los números índices: son las medidas indirectas y compuestas, cuya función, es la
de reducir a términos relativos una determinada característica, para calcularla a
través del tiempo y del espacio.
Escala de valores

Una escala de valores puede concebirse como un conjunto de valores, ordenados

correlativamente que admite un punto inicial y otro final.

Ejemplo si se evalúa el rendimiento académico de los estudiantes, se le puede asignar el

valor cero (0) al mínimo rendimiento imaginable al respecto. Al mayor rendimiento
posible, podemos atribuirle un valor de 100, 20, 10 ó 7 puntos según resulte más práctico.

Con estos dos valores se tienen marcados los limites de una escala.

Para que una escala pueda considerarse como capaz de aportar información objetiva
debe reunir los siguientes requisitos:

- Confiabilidad
- Validez.

a) Una escala es confiable, cuando produzca constantemente los mismos resultados al

aplicarla a una misma muestra.
b) Una escala tiene validez , cuando verdaderamente mide lo que afirma medir.

Tipos de escala

- Nominales
- Ordinales
- De intervalos iguales
- De cociente o razones.

Escala ordinal: en esta escala lo valores de la variable además de la relación de igualdad o

diferencia, se pueden dar las relaciones “mayor que” o “menor que” = , ≠, > o < dados los
valores se pueden jerarquizar u ordenar los valores de las variables se denotan por letras,
números o palabras, pero existe un orden de los valores que en el caso de letras, viene dado
por el alfabeto.

Ejemplo: las escalas de tipo

Excelente_____ Bueno _____ Regular_____ Deficiente _____

Escalas nominales: en esta escala de valores que pueden tomar la variable es de igualdad o
diferencia. Es decir, dado los valores, solo se puede decir si son iguales o diferentes.

Ejemplo: el género, es decir el número de hombres y de mujeres en un lugar determinado.

Escala de Intervalos: en esta escala, los valores de las variables son números y entre ellos,
tiene sentido, las relaciones de igualdad, de orden y de distancia. Es decir, que la única
operación aritmética que tiene sentido entre los valores es la diferencia o la resta.
Ejemplo: la temperatura centígrada en un sitio o un cuerpo.

Escala de razón: esta escala tiene todas las características del nivel de intervalo, pero
además, el punto cero (0) tiene significado y la relación entre dos números, tiene sentido en
igualdad, orden, diferencias, sumas, y múltiplos, por lo tanto, es considerada la escala de
medida más completa.

Ejemplo: peso, estatura, longitud, el ingreso, el volumen de líquido.

DATOS

Son cifras, anotaciones, observaciones que se obtienen par aun estudio determinado.
Son el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se
produce el fenómeno que queremos estudiar.

Clasificación de los datos

1) Cualitativos: la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad (atributo) sexo,

nacionalidad, profesión, etc.

Ejemplo: se desean clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadística I, por su
estado civil, se observa que pueden existir: solteros, casados, divorciados, viudos.

2) Cuantitativos: cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes.

Ejemplo: la clasificación de los estudiantes de acuerdo a sus notas. (los valores representan
diferentes magnitudes).

3) Cronológicos: cuando los valores varían en diferentes instantes o periodos de tiempo.

4) Geográficos: cuando los datos están referidos a una localidad geográfica.

Ejemplo el número de estudiantes de educación superior en las distintas regiones del país.
REPRESENTACIÓN DE DATOS MEDIANTE TABLAS Y GRÁFICOS.

Datos sueltos

Se les llama datos sueltos a los datos recolectados que no han sido organizados
numéricamente. Un ejemplo de ello es el conjunto de las estaturas de 100 estudiantes
hombres, obtenidas del registro universitario, que está ordenado en forma alfabetica.

Ordenación

Una ordenación es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente

de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el menor se le conoce como rango de
los datos. Por ejemplo si la estatura mayor de los 100 estudiantes es 74 pulg. y la menor es
60, el rango es 74 – 60 = 14 pulg.

Distribuciones de frecuencias

Si se reúnen grandes cantidades de datos sueltos, es útil distribuirlos en clases o

categorías, y determinar el número de individuos que pertenecen a cada categoría, a lo que
se le llama frecuencia de clase. A una disposición tabular de los datos por clases, con sus
correspondientes frecuencias de clase, se le conoce como distribución de frecuencias o
tabla de frecuencias.

A los datos organizados y reunidos en clases se les llama datos agrupados.

Aunque el proceso de agrupamiento generalmente quita detalles originales de los datos, es
muy ventajosa pues proporciona una visión amplia y clara, además de que se obtienen
relaciones evidentes.

Estaturas de 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ

Estatura Número de
(pulg) estudiantes
60 – 62 5
63 – 65 18
66 – 68 42
69 – 71 27
72 – 74 8
Total 100
Intervalos de clase y límites de clase

El símbolo que define una clase, como el 60 – 62 se llama intervalo de clase. A los
números 60 – 62 se les conoce como limites de clase; el número más pequeño (60) es el
límite inferior de clase, mientras que el número más grande (62) es el límite superior de
clase.

A un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tiene límite de clase

inferior o límite de clase superior se le llama intervalo de clase abierto. Por ejemplo en
grupos de edades de individuos, el intervalo de clase “65 años o más” es un intervalo de
clase abierto.

Fronteras de clase

Si se miden estaturas con exactitud de 1 pulg, en teoría el intervalo de clase 60- 62

incluye todas las medidas desde 59.5000 hasta 62.5000. Estos números, indicados
brevemente por los números exactos 59.5 y 62. 5 se llaman fronteras de clase o limites
verdaderos de clase; el número menor (59.5) es la frontera inferior de la clase y el número
mayor (62.5), la frontera superior de clase.

En la práctica, las fronteras de clase se obtienen promediando los límites superior e

inferior de un intervalo de clase. Para evitar ambigüedad al usar tal notación, las fronteras
de clase no deben coincidir con observaciones posibles. Si una observación fuera 62.5 no
sería posible decidir a que intervalo pertenece.

Tamaño o amplitud de un intervalo de clase

El tamaño o la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre las fronteras

de clase inferior y superior y se le conoce como amplitud, tamaño o longitud de clase. Si
todos los intervalos de una distribución de frecuencia son de una misma amplitud, a esta
amplitud común se le denota por c. en tal caso c es igual a la diferencia entre dos limites
inferiores o superiores de clases sucesivas. Para los datos de la tabla anterior, por ejemplo
la amplitud del intervalo de clase c = 62.5 – 59.5 = 65.5 – 62.5 = 3

Marca de clase

La marca de clase, que es el punto medio del intervalo de clase, se obtiene

promediando los límites inferior y superior de clase. De este modo la marca de clase del
intervalo 60 – 62 es (60 + 62)/2 = 61 a la marca de clase también se le denomina punto
medio de clase.

Para efectos de análisis matemáticos subsiguientes, se asume que todas las

observaciones pertenecientes a un mismo intervalo de clase coinciden con la marca de
clase; de esta manera, todas las estaturas en el intervalo de clase 60 – 62 pulg. se consideran
de 61 pulg.
Reglas generales para construir distribuciones de frecuencia

1. Determinar el número mayor y el menor en los datos sueltos con el fin de

especificar el rango (la diferencia entre ambos).
2. Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase de clase del mismo
tamaño. Si esto no es posible, usar intervalos de clase de distintos tamaños o
intervalos de clase abiertos. Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, según
los datos. Los intervalos de clase se eligen también de modo tal que las marcas de
clase (o puntos medios) coincidan con los datos realmente observados. Ello tiende a
disminuir el llamado error de agrupamiento que se produce en análisis matemáticos
posteriores. No obstante, las fronteras de clase no deberían coincidir con los datos
realmente observados.
3. Determinar el número de observaciones que corresponden a cada intervalo de clase;
es decir, hallar las frecuencias de clase. Esto se logra con una hoja de recuentos o
registro de marcas.

Histogramas y polígonos de frecuencias.

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones gráficas de

las distribuciones de frecuencias.

Un histograma Consiste en un conjunto de rectángulos que tienen:

a) Sus bases en el eje horizontal (x), sus centros en las marcas de clase, y las
longitudes iguales a los tamaños de los intervalos de clase.
b) Áreas proporcionales a las frecuencias de clase.

Si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño, las alturas de los rectángulos
son proporcionales a la frecuencia de clase. Entonces se acostumbra a tomar alturas
numéricamente iguales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase no son del
mismo tamaño entonces hay que ajustar las alturas.

Un polígono de frecuencia es una gráfica de línea de las frecuencias de clase

dibujada con respecto a la marca de clase. Puede obtenerse uniendo los puntos medios de
las partes superiores de los rectángulos del histograma.

Distribuciones de frecuencias relativas

La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida entre la frecuencia total

de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. Por ejemplo la
frecuencia relativa de la clase 66 – 68 es 42 / 100 = 42% es claro que la sumas de todas las
frecuencias relativas de las clases es 1, es decir 100%. Se sustituyen las frecuencias, por las
correspondientes frecuencias relativas, a la tabla resultante se le llama distribución de
frecuencias relativas, distribución de porcentajes o tabla de frecuencias relativas.

Una representación gráfica de distribuciones de frecuencias relativas se puede

obtener, a partir del histograma o del polígono de frecuencias, con solo cambiar la escala
vertical de frecuencias a frecuencias relativas y manteniendo exactamente el mismo
diagrama. Las graficas resultantes se denominan histogramas de frecuencias relativas (o
histogramas de porcentajes) y polígonos de frecuencias relativas (o polígonos de
porcentajes), en ese orden.

Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas

La frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de
un intervalo de clase dado se conoce como frecuencia acumulada hasta ese intervalo de
clase, inclusive. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 66 – 68 es 5 + 18 + 42 = 65
lo que significa que 645 estudiantes tienen estaturas por debajo de 68.5 pulg.

Una tabla que presenta tales frecuencias se llama una distribución de frecuencias
acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o, brevemente, una distribución acumulada.

Una gráfica que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las
fronteras de clase superiores respecto a dicha frontera es denominada un polígono de
frecuencias acumuladas u ojiva.

Distribuciones de frecuencias relativas acumuladas y ojivas de porcentajes

La frecuencia relativa acumulada o frecuencia acumulada en porcentajes es la

frecuencia acumulada dividida entre la frecuencia total. Así, la frecuencia relativa
acumulada de estaturas menores que 68.5 pulg es 65/100 = 65%, lo que significa que 65%
de los estudiantes mide menos de 68.5 pulg.

Si se usan frecuencias relativas acumuladas en vez de frecuencias acumuladas (o

distribuciones acumuladas en porcentajes) y polígonos de frecuencias relativas acumuladas
(u ojivas en porcentajes), respectivamente.
Ejemplo

Las calificaciones finales en matemáticas de 80 estudiantes universitarios se reportan en la

siguiente tabla:

68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

A partir de esta tabla encuentre:

a) La calificación más alta.

b) La calificación más baja.
c) El rango.
d) Las cinco calificaciones más altas.
e) Las cinco calificaciones más bajas.
f) La calificación del alumno que obtuvo el décimo lugar más alto.
g) el número de estudiantes con calificaciones de 75 o más
h) el número de estudiantes con calificaciones menores que 85.
i) El porcentaje de estudiantes con calificaciones mayores que 65 pero menores que
85.
j) Las calificaciones que no aparecen en la tabla.
 GRÁFICO DE LINEA

La siguiente tabla muestra el número de pacientes en miles,

dados de alta de hospitales, con el diagnóstico del virus de
inmunodeficiencia humana (VIH), desde 1990 hasta 1994. Grafique
estos datos.

Año 1990 1991 1992 1993 1994

Altas de pac.
150 175 190 225 250
Con VIH

PACIENTES DADOS EN DE ALTA CON EL

DIAGNÓSTICO DE VIH

250
Altas de pacientes con VIH en

200
150
miles

100
50
0
1990 1991 1992 1993 1994
Año
Fuente: National Center for Health Statistics, vital and health statistics

El gráfico anterior muestra el número de pacientes

dados de alta con el diagnostico de VIH. Los puntos se
localizan mediante coordenadas tomadas de la tabla. Por
ejemplo (1990, 150), después se unen los puntos sucesivos
con una línea recta. A esta gráfica se le llama GRÁFICA DE
LINEA.
 PACIENTES DADOS EN DE ALTA CON EL
DIAGNÓSTICO DE VIH

250
Altas de pacientes con VIH en

200
150
miles

100
50
0
1990 1991 1992 1993 1994
Año
Fuente: National Center for Health Statistics, vital and health statistics

A este tipo de gráficas se le llama GRÁFICA DE BARRAS. La

anchura de las barras no importa, que es igual para todas, no tiene
importancia, puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando las barras no se
sobrepongan.
Los números sobre las barras es posible omitirlos. Si se mantienen, la
escala vertical de la izquierda es innecesaria.

PACIENTES DADOS EN DE ALTA CON EL

DIAGNÓSTICO DE VIH

1994

1993

Año 1992

1991

1990

0 50 100 150 200 250

Altas de pacientes con VIH en miles

Fuente: National Center for Health Statistics, vital and health statistics
 GRÁFICO CIRCULAR O DE PASTEL
La tabla muestra el área de los cinco grandes lagos bajo la
jurisdicción de Estados Unidos. Grafique los datos.

Gran Lago Área (en millas cuadradas)

Michigan 22342
Superior 20557
Hurón 8800
Erie 5033
Notario 3446
Total 60178

Fuente: U.S Bureau of Census.

Áreas de los cinco grandes lagos bajo la

jurisdicción de Estados Unidos

Superior

Michigan
Superior
Huron
Huron
Erie
Michigan
Ontario
Erie
Ontario

Se le llama GRÁFICA DE PASTEL, GRÁFICA CIRCULAR O

DIAGRANA CIRCULAR. Para construirla se hace corresponder el
área total, 60178 millas cuadradas, a los 360º del círculo. De este
modo, una milla cuadrada corresponde a 360º/60178. Se deduce que
el Lago Superior, con 20557 millas cuadradas, ocupa un arco de
20557(360º/60178) = 123º, mientras que los lagos Michigan, Hurón,
Erie y Notario ocupan arcos de 134º, 53º, 30º y 20º respectivamente.
Las líneas divisorias se pueden trazar usando transportador.
 HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRCUENCIA

Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos

representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencia.

UN HISTOGRAMA: Consiste en un conjunto de rectángulos que

tienen:
a) Sus bases en el eje horizontal (x), sus centros en las marcas de
clase, y las longitudes iguales a los tamaños de los intervalos de
clase.
b) Áreas proporcionales a las frecuencias de clase.

Si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño, las

alturas de los rectángulos son proporcionales a la frecuencia de clase.
Entonces se acostumbra a tomar alturas numéricamente iguales a las
frecuencias de clase. Si los intervalos de clase no son del mismo
tamaño entonces hay que ajustar las alturas.

Un POLÍGONO DE FRECUENCIA es una gráfica de línea de las

frecuencias de clase dibujada con respecto a la marca de clase.
Puede obtenerse uniendo los puntos medios de las partes superiores
de los rectángulos del histograma.
 GRÁFICOS COMPUESTOS

La tabla muestra el número de celemines (medida de volumen equivalente a 4.625

litros, en especial de granos) de trigo y de maíz producidos en la granja PQR de 1987 a
1997, usando esta tabla, determine el año o los años en los que: a) Se produjo el menor
numero de celemines de trigo. b) Se produjo el mayor número de celemines de maíz. c) se
dio el mayor descenso en la producción de trigo. d) la producción de maíz disminuyó
mientras que la producción de trigo aumentó con respecto a la del año anterior. e) se
produjeron las mismas cantidades de trigo, f) se obtuvo la máxima producción conjunta de
trigo y maíz.

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Maíz 200 185 225 250 240 195 210 225 250 230 235
Trigo 75 90 100 85 80 100 110 105 95 110 100

CELEMINES DE MAÍZ Y TRIGO PRODUCIDOS EN LA

GRANJA PQR

300
Número de
celemines

200 Maíz
100 Trigo

0
1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Año

CELEMINES DE MAÍZ Y TRIGO PRODUCIDOS EN LA

GRANJA PQR

300
Número de
celemines

200 Maíz
100 Trigo

0
1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Año