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Teorema de Pitagoras.
Teorema de Pitagoras.
Teorema de Pitagoras.
Teorema de Pitágoras
Pitágoras
(1)
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo
de la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían
ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se
utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en
algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga
teóricamente su relación.2 La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la
primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio,
de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales
Ángulos
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones
diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad
Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster
matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el
matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de
1927 The Pythogorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las
algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las
que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza,
masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-
200 a. C.
El Zhoubi Suanjing es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares,
aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que
Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiuzhang Suanshu parece que es posterior; está
fechado en torno al año 250 a. C.
Demostración
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la
figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar
que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este
cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
Ya que
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos
de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen
dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener
sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre
sus superficies:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado
de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
Y por lo tanto:
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los
cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados
diferentes:
Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro
triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de
la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del
cuadrado gris equivale a la de los cuadrados amarillo y azul , habiéndose demostrado el
teorema de Pitágoras.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual
a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Basándose en la proposición I.414 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y
altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y
perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC,
necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son
iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son
asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido
positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo,
transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará
nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la
misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41 4 de Los Elementos, AHJK
tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de
ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas
equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto
al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que estos últimos
tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: «la suma de
las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa».
Demostración de Papus
Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies
equivalentes.
Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos
construido los cuadrados correspondientes.
En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
1. Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos
entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
2. Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n– resulta
que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.
Análogamente:
1. CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t.
Sus superficies son equivalentes.
2. CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son
iguales.
Demostración de Bhaskara
Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa,
Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas
superficies va a demostrar que son equivalentes:
De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
o A de ADGB y A de CIJA
o B de ADGB y J de CIJA
Demostración de Garfield
como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura
compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
expandiendo el miembro derecho... restando a ambos miembros, finalmente nos da: y el teorema
está demostrado.
En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos con la igualdad 13
Ejemplos:
Problema 1
¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus dos catetos miden 1cm?
Datos:
La hipotenusa es h
.
Los catetos son a=1 y b=1
.
(aproximadamente, 1.41cm
).
Problema 2
La hipotenusa de un triángulo mide 5m y uno de sus catetos mide 4m. ¿Cuánto mide el otro
cateto?
Datos:
La hipotenusa es h=5
Un cateto es a=4
El otro cateto es b
Problema 3
A una distancia de 2 metros de la base de una torre, vemos su bandera a una distancia de
5.39 metros en línea recta. ¿Cuál es la altura de la torre si la de la bandera es 1 metro?
Datos:
La hipotenusa es h=5.39
Despejamos b2
Calculamos b
Por tanto, la altura de la torre y la bandera es de 5m. Como la altura de la bandera es 1m, la
altura de la torre es 4 metros.