240 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual

RESUMEN DEL CAPÍTULO

El método del valor anual para comparar alternativas a menudo se prefiere sobre el
método del valor presente, ya que la comparación del VA tiene que ver con un solo
ciclo de vida. Ésta es una ventaja diferente cuando se comparan alternativas de vida
distintas. El VA para el primer ciclo de vida es el VA para el segundo, tercero y
todos los ciclos de vida sucesivos, bajo ciertos supuestos. Cuando se especifica un
periodo de estudio, el cálculo del VA se relaciona con dicho periodo, independien-
temente de las vidas de las alternativas. Como en el caso del método del valor
presente, el valor que queda de una alternativa al final del periodo de estudio se
reconoce calculando un valor comercial.
En el caso de las alternativas de vida a perpetuidad, el costo inicial se anualiza
multiplicando sencillamente P por i. Si se trata de alternativas de vida finita, el VA
a través de un ciclo de vida es igual al valor anual equivalente perpetuo.

PROBLEMAS
6.1 Suponga que una alternativa tiene 3 años Comparación de alternativas
de vida y que usted calculó su valor anual
6.3 Una empresa de consultoría en ingeniería
durante este ciclo de vida. Si se le pidiera
estudia dos modelos de SUV para sus di-
que proporcionara el valor anual de la mis-
rectivos. El de la marca General Motors
ma alternativa para un periodo de estudio
tendrá un costo inicial de $26 000, uno de
de 4 años, la estimación del valor anual
operación de $2 000, y un valor de rescate
calculado para la alternativa con vida de 3
de $12 000 después de 3 años. Por otra parte,
años, ¿sería válida para el periodo de estudio
el fabricado por Ford tendría un costo inicial
de 4 años? ¿Sí o no? ¿Por qué?
de $29 000, uno de operación de $1 200,
6.2 La máquina A tiene una vida de 3 años sin y un valor de reventa de $15 000 una vez
valor de rescate y suponga que el servicio que transcurridos 3 años. Con una tasa de interés
proporciona sería de solo 5 años. La alternati- de 15% anual, ¿cuál modelo debe comprar
va A implica volver a comprar la máquina y la compañía? Haga un análisis del valor
conservarla durante 2 años únicamente. ¿Cuál anual.
tendría que ser su valor de rescate después de
2 años para que su valor anual fuera el mismo 6.4 Para desalojar los sedimentos del agua,
con el ciclo de vida de 3 años y una tasa de una compañía textil grande trata de decidir
interés de 10% anual? cuál proceso debe usar después de la opera-
Año Alternativa A, $ Alternativa B, $ ción de secado. A continuación se muestra
el costo asociado con los sistemas de cen-
0 –10 000 –20 000 trifugación y banda compresora. Com-
1 –7 000 –5 000
2 –7 000 –5 000
párelas sobre la base de sus valores anua-
3 –7 000 –5 000 les con el empleo de una tasa de 10% por
4 –5 000 año.
5 –5 000

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 PROBLEMAS 241

Banda presión del agua alrededor del molde y

Centrífuga compresora de los productos químicos involucrados
Costo inicial, $ –250 000 –170 000 en el proceso. El costo inicial de la ma-
Costo de operación anual, –31 000 –35 000 quinaria para el molde flotante sólo es de
$/año $25 000, pero debido a la novedad del pro-
Reparación mayor –– –26 000 ceso, se pronostica que los costos de per-
en el año 2, $ sonal y rechazo del producto sean mayores
Valor de rescate, $ 40 000 10 000 que los del proceso convencional. La com-
Vida, años 6 4 pañía supone que los costos de operación
serán de $45 000 mensuales durante los
6.5 Un ingeniero químico estudia dos calibres primeros 8 meses, y que después dismi-
de tubería para transportar productos des- nuirán en $10 000 por mes de entonces en
tilados de una refinería al tanque de una adelante. Con este plan no habría valor de
granja. La compra de un tubo delgado rescate. Con una tasa de interés del 12%
costaría menos (incluyendo las válvulas y anual, con capitalización mensual, ¿cuál
otros accesorios) pero tendría una elevada proceso debe seleccionar la empresa de
pérdida por fricción y, por lo tanto, un mayor acuerdo con el análisis del valor anual, para
costo de bombeo. Una tubería con estas ca- un periodo de estudio de 3 años?
racterísticas costaría $1.7 millones una vez
instalada y tendría un costo de operación 6.7 Un ingeniero industrial analiza la compra
de $12 000 por mes. Otra de mayor diáme- de dos robots para una compañía que manu-
tro costaría $2.1 millones ya instalada, pero factura fibra óptica. El robot X tendría un
su costo de operación sería únicamente de costo inicial de $85 000, otro anual de man-
$8 000 por mes. ¿Qué calibre de tubo es más tenimiento y operación (M&O) de $30 000,
económico, con una tasa de interés de 1% y un valor de rescate de $40 000. El robot Y
mensual, según el análisis del valor anual? tendría un costo inicial de $97 000, costos
Suponga que el valor de rescate es el 10% de M&O de $27 000 por año, y un valor de
del costo inicial para cada tubo al final del rescate de $48 000. ¿Cuál debiera seleccio-
periodo de 10 años del proyecto. nar sobre la base de comparar su valor anual
con una tasa de interés de 12% anual? Use
6.6 Polymer Molding, Inc. estudia dos proce- un periodo de estudio de 3 años.
sos para manufacturar drenes de tormentas.
El plan A involucra el moldeo por inyección 6.8 La medición precisa del flujo de aire re-
convencional, lo cual costaría $2 millones quiere tubos rectos sin obstrucciones para
porque requiere elaborar un molde de acero. un mínimo de 10 diámetros flujo arriba y 5
Se espera que el costo de la inspección, diámetros flujo abajo del dispositivo de me-
mantenimiento y limpieza del molde sea de dición. Para una aplicación en particular, las
$5 000 por mes. Como se espera que el costo restricciones físicas comprometen la distri-
de los materiales para el plan A sea el mismo bución de los tubos, por lo que el ingeniero
que para el B, este costo no se incluirá en la planea instalar los aparatos medidores en un
comparación. El valor de rescate para el plan codo, aunque sabe que las mediciones serán
A se estima que será de 10% del costo ini- menos precisas, pero suficientemente bue-
cial. El plan B involucra el uso de un proceso nas para el control del proceso. El anterior
innovador que se conoce como compuestos es el plan A, que resulta aceptable sólo por
virtuales de ingeniería en el que se usa un 2 años, después de lo cual estará disponible
molde flotante, el cual utiliza un sistema de otro sistema de medición de flujo más exac-
operación que ajusta constantemente la to y con los mismos costos que el plan A,

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242 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual

cuyo costo inicial es de $25 000, con un im- tendría un costo inicial de $160 000, otro
porte por mantenimiento anual estimado en de operación de $7 000 mensuales, y un va-
$4 000. El plan B involucra la instalación lor de rescate de $40 000 después de 2 años
de una sonda sumergible de flujo de aire he- de vida. El proceso L tendría un costo ini-
cha de acero inoxidable y que puede insta- cial de $210 000, otro de operación de $5 000
larse dentro de un tubo con un transmisor por mes, y un valor de rescate de $26 000
localizado en un compartimiento a prueba después de 4 años de vida. ¿Cuál proceso
de agua en la barandilla. El costo de este debe seleccionarse, de acuerdo con el aná-
sistema es de $88 000, pero gracias a su lisis de valor anual, con un interés de 12%
exactitud no tendrá que reemplazarse en al por año, compuesto mensualmente?
menos 6 años. Se estima que su costo de
6.12 Dos proyectos mutuamente excluyentes
mantenimiento sea de $1 400 anual. Nin-
tienen los flujos de efectivo estimados que
guno de los sistemas tendrá valor de rescate.
se indica a continuación. Utilice un análisis
Con una tasa de interés de 12% anual, ¿cuál
de valor anual para determinar cuál debe
debe seleccionarse, con el criterio de com-
seleccionarse, con una tasa de interés de
parar su valor anual?
10% anual.
6.9 Un ingeniero mecánico analiza dos tipos de
sensores de presión para una línea de va- Proyecto Q Proyecto R
por de baja presión. ¿Cuál debe seleccionar- Costo inicial, $ –42 000 –80 000
se, con base en la comparación del valor Costo anual, –6 000 –7 000 en el año 1,
anual, con una tasa de interés de 12% por $/año con incremento de
año? Los costos se muestran a continuación. $1 000 por año
Valor de rescate, $ 0 4 000
Tipo X Tipo Y Vida, años 2 4
Costo inicial, $ –7 650 –12 900
Costo de mantenimiento, –1 200 –900 6.13 Un ingeniero ambiental estudia tres métodos
$/año para eliminar un sedimento químico que no
Valor de rescate, $ 0 2 000 es peligroso: aplicación de tierra, incinera-
Vida, años 2 4 ción por capas fluidas, y un contrato para
que la eliminación sea llevada a cabo por
6.10 Las máquinas cuyos datos se muestran en un particular. Determine cuál tiene el menor
la parte inferior se analizan para mejorar un costo según el criterio de comparar su va-
proceso automático de envoltura de cara- lor anual, con el 12% por año. Los detalles
melos. Determine cuál debe seleccionarse, de cada método se muestran a continuación.
según el criterio del valor anual, con el em-
pleo de una tasa de interés de 15% por año. Aplicación Incine-
de tierra ración Contrato
Máquina C Máquina D
Costo inicial, $ –110 000 –800 000 0
Costo inicial, $ –40 000 –65 000 Costo anual, $/año –95 000 –60 000 –190 000
Costo anual, $/año –10 000 –12 000 Valor de rescate, $ 15 000 250 000 0
Valor de rescate, $ 12 000 25 000 Vida, años 3 6 2
Vida, años 3 6
6.14 El departamento de carreteras estatales trata
6.11 Para producir un polímero pueden usarse de decidir si debe colocar baches en una
dos procesos que reducen las pérdidas por sección pequeña de un camino local o
fricción en las máquinas. El proceso K repavimentarlo. Si se usa el método del

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 PROBLEMAS 243

bacheo, se requerirían aproximadamente 6.18 Determine el valor anual equivalente perpetuo

300 metros cúbicos de material, con un costo (en los años 1 al infinito) de una inversión
de $700 por metro cúbico (en el sitio). Ade- de $50 000 en el tiempo 0 y $50 000 anuales
más, al mismo tiempo tendrían que mejo- de entonces en adelante (para siempre), con
rarse las cunetas a un costo de $24 000. Estas una tasa de interés de 10% por año.
mejoras durarían al menos 2 años y después
tendrían que volverse a hacer. El costo anual 6.19 El flujo de efectivo asociado con el arreglo
del mantenimiento preventivo en la carretera y mantenimiento de un monumento ubicado
bacheada sería de $5 000. La alternativa es en Washington, D.C., es de $100 000 ahora
que el Estado repavimente el camino, con y $50 000 cada 5 años para siempre. Deter-
un costo de $850 000. Esta superficie duraría mine su valor anual equivalente perpetuo
al menos 10 años si se le da mantenimiento, (en los años 1 al infinito) con una tasa de
lo que costaría $2 000 por año, y comienza interés de 8% anual.
dentro de 3 años. Cualquiera que sea la alter- 6.20 El costo asociado con el mantenimiento de
nativa seleccionada, el camino se recons- caminos rurales sigue un patrón predecible:
truiría por completo dentro de 10 años. Con por lo general no existen costos durante los
una tasa de interés de 8% anual, ¿cuál alter- tres primeros años, pero de ahí en adelante
nativa debe seleccionar el Estado, según el se requiere un mantenimiento que inclu-
análisis del valor anual? ye pintar, control de malezas, sustituciones
pequeñas, reparación de cunetas, etc. Para
Inversiones permanentes y proyectos cierta sección de una autopista se proyecta
6.15 ¿Cuánto debe depositar usted en su cuenta que estos costos sean de $6 000 en el año 3,
de ahorros para el retiro si comienza hoy y $7 000 en el 4, y cantidades que se incre-
continúa haciéndolo anualmente hasta el mentan $1 000 por año durante la vida es-
noveno año (es decir, 10 depósitos), si desea perada de 30 años de dicha vía. Suponga
tener la capacidad de retirar $80 000 por año que es reemplazada con una carretera simi-
para siempre, y empieza a hacerlo dentro lar, ¿cuál es su valor anual equivalente per-
de 30 años? Suponga que la cuenta gana un petuo (en los años 1 al infinito) con una tasa
interés de 10% anual. de interés de 8% por año?
6.16 ¿Cuál es la diferencia en el valor anual entre 6.21 Un filántropo que trabaja para establecer un
una inversión de $100 000 anuales durante fondo permanente quiere depositar dinero
100 años, y una inversión de $100 000 anua- cada año, comenzando ahora y haciendo 10
les para siempre, con una tasa de interés de depósitos más (es decir, 11 depósitos), de
10% por año? modo que haya dinero disponible para in-
vestigaciones relacionadas con la coloni-
6.17 Una agente de bolsa afirma que puede ganar zación planetaria. Si el monto del primer
15% de manera consistente con el dinero depósito es de $1 000 000, y cada uno de
de un inversionista. Si ella invierte $20 000 los sucesivos es mayor en $100 000 al an-
ahora, $40 000 dentro de dos años y $10 000 terior, ¿cuánto habría disponible para siem-
anuales hasta el año 11, y comienza a hacer pre a partir del año 11, si el fondo percibe
esto cuatro años después de hoy, ¿cuánto una tasa de interés de 10% anual?
dinero podría retirar el cliente cada año y
para siempre, si se inicia dentro de 12 años, 6.22 Para la secuencia de flujo de efectivo que
la agente de bolsa logra lo que dijo y la cuen- se muestra a continuación (en miles de
ta gana 6% anual del año 12 en adelante? dólares), determine la cantidad de dinero
Ignore los impuestos. que puede retirarse cada año durante un

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244 CAPÍTULO 6 Análisis del valor anual

periodo infinito de tiempo, si el primer retiro anual. b) Si las opciones son independientes,
se hará en el año 10 y la tasa de interés es determine cuáles son económicamente
de 12% anual. aceptables (todos los valores de dinero están
Año 0 1 2 3 4 5 6 en millones).
Monto del depósito, $ 100 90 80 70 60 50 40 En la
empresa Licencia Contrato
6.23 Una compañía que manufactura interrup-
tores magnéticos de membrana investiga Costo inicial, $ –30 –2 0
tres opciones de producción, las cuales tie- Costo anual, $/año –5 –0.2 –2
nen los flujos de efectivo que se muestran Ingreso anual, $/año 14 1.5 2.5
más abajo. a) Determine cuál opción es Valor de rescate, $ 7 –– ––
preferible con una tasa de interés de 15% Vida, años 10 ∞ 5

PROBLEMAS DE REPASO FI
Nota: La convención de signos que se emplea en nida. El donador planea dar dinero ahora y
el examen de FI puede ser contraria a la que aquí para cada uno de los 2 años siguientes. Si el
se utiliza. Es decir, que en el examen de FI, los cos- monto de cada donación es exactamente la
tos pueden ser positivos y los ingresos negativos. misma, la cantidad que debe donarse cada
6.24 Para las alternativas mutuamente excluyen- año con i = 8% anual, es muy cercana a:
a) $190 820
tes que se muestran a continuación, deter-
b) $122 280
mine cuál o cuáles deben seleccionarse. c) $127 460
Alternativa Valor anual, $/año d) $132 040
A –25 000 6.27 ¿Cuánto debe depositar cada año una per-
B –12 000 sona en su cuenta de ahorros para el retiro,
C 10 000 durante 10 años e iniciando ahora (es decir,
D 15 000 años 0 a 9), si desea poder retirar $50 000
a) Sólo A anuales para siempre, y empieza a hacer esto
b) Sólo D dentro de 30 años? Suponga que la cuenta
c) Sólo A y B gana un interés de 10% anual.
d) Sólo C y D a) $4 239
b) $4 662
6.25 El valor anual (en los años 1 al infinito) de c) $4 974
$50 000 de hoy, $10 000 anuales en los años d) $5 471
1 al 15, y $20 000 anuales en los años 16 al 6.28 Suponga que un graduado de ingeniería eco-
infinito, al 10% anual, está muy cerca de: nómica está agradecido y comienza un fondo
a) Menos de $16 900 en UTEP con la donación hoy de $100 000.
b) $16 958 Las condiciones del donativo son que se da-
c) $17 394 rán becas por un total de $10 000 anuales a
d) $19 573 estudiantes de ingeniería económica, a partir
6.26 Un alumno de West Virginia University desea de ahora para continuar hasta el año 5. Des-
comenzar un fondo que proporcione dinero pués de eso (es decir, año 6), las becas se
para becas de $40 000 anuales, para comen- darán por una cantidad igual al interés que
zar en el año 5 y continuar en forma indefi- se genere sobre la inversión. Si la inversión

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 ESTUDIO DE CASO 245

percibe una tasa efectiva de 10% anual, b) –200 000(A/P,10%,5) – 60 000 +

compuesto continuamente, ¿cuánto dinero 20 000(A/F,10%,5)
para becas estará disponible del año 6 en c) –200 000(A/P,5%,10) – 60 000 +
adelante? 20 000(A/F,5%,10)
a) $7 380 d) –200 000(A/P,10.25%,5) – 60 000 +
b) $8 389 20 000(A/F,10.25%,5)
c) $10 000
6.30 El valor anual de servicio perpetuo para la
d) $11 611
alternativa X se denota con:
Los problemas 6.29 a 6.31 se basan en los flujos a) –200 000(0.1025) – 60 000 +
de efectivo siguientes, con una tasa de interés de 20 000(0.1025)
10% anual, compuesto semestralmente. b) –200 000(A/P,10%,5) – 60 000 +
Alternativa X Alternativa Y 20 000(A/F,10%,5)
c) –200 000(0.10) – 60 000 +
Costo inicial, $ –200 000 –800 000 20 000(0.10)
Costo anual, $/año –60 000 –10 000 d) –200 000(A/P,10.25%,5) – 60 000 +
Valor de rescate, $ 20 000 150 000 20 000(A/F,10.25%,5)
Vida, años 5 ⬁
6.31 El valor anual de la alternativa Y es el más
6.29 Al comparar las alternativas por medio del cercano a:
método del valor anual, el de la alternativa X a) $–50 000
está representado por: b) $–76 625
a) –200 000(0.1025) – 60 000 + c) $–90 000
20 000(0.1025) d) $–92 000

ESTUDIO DE CASO
AMBIENTE CAMBIANTE DE UN ANÁLISIS DE VALOR ANUAL
Harry, el propietario de una distribuidora de baterías para La hoja de cálculo de la figura 6.8 es la que Harry em-
automóvil en Atlanta, Georgia, llevó a cabo un análisis pleó para tomar su decisión. La elección clara fue
económico hace 3 años, cuando decidió colocar protec- Lloyd’s como consecuencia de que su VA fue conside-
tores contra sobrevoltajes a sus principales equipos de rablemente más grande. Se instalaron los protectores
pruebas. En seguida se resumen los cálculos empleados de Lloyd’s.
y el análisis de valor anual a una TMAR = 15%. Se com- Durante una revisión rápida el año pasado (año 3 de
pararon los protectores de dos diferentes fabricantes. la operación), se hizo evidente que los costos de man-
tenimiento y los ahorros en reparaciones no siguieron
PowrUp Lloyd’s
(ni seguirán) las estimaciones de hace 3 años. De he-
Costo de instalación $–26 000 $–36 000 cho, el costo del contrato de mantenimiento (que in-
Costo anual cluye una inspección trimestral) se elevará de $300 a
de mantenimiento –800 –300 $1 200 anuales el próximo año y, después, se incremen-
Valor de salvamento 2 000 3 000 tará 10% anual los siguientes 10 años. Asimismo, los
Ahorros en reparación ahorros por reparaciones de los últimos 3 años fueron
de equipo 25 000 35 000
de $35 000, $32 000 y $28 000, según los mejores
Vida útil, años 6 10
cálculos que Harry pudo hacer. Él cree que los ahorros

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276 CAPÍTULO 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

de TR. El número máximo de valores i* es igual al número de cambios en los

signos de la serie de flujo de efectivo neto (regla de Descartes de los signos). Ade-
más, puede encontrarse una tasa positiva única si la serie del flujo de efectivo neto
acumulado empieza negativamente y tiene sólo un cambio de signo (criterio de
Norstrom).
Para todas las series de flujo de efectivo con una indicación de raíces múltiples,
tiene que tomarse una decisión sobre si se deben calcular las múltiples tasas inter-
nas i* o la tasa de rendimiento compuesta, usando una tasa de reinversión externa-
mente determinada. Dicha tasa, por lo general, se define igual a la TMAR. Aunque
la tasa interna casi siempre es más fácil de calcular, la tasa compuesta es el enfoque
correcto, ya que implica dos ventajas: se eliminan las tasas múltiples de rendimien-
to y se consideran los flujos de efectivo neto liberados por el proyecto, utilizando
una tasa de reinversión realista. Sin embargo, el cálculo de múltiples tasas i*, o la
tasa de rendimiento compuesta, con frecuencia incluye herramientas compu-
tacionales.
Si no es necesaria una TR exacta, se recomienda ampliamente que se usen
los métodos VP o VA con la TMAR para evaluar la justificación económica.

PROBLEMAS
Comprensión de la TR diato en los sitios de construcción. El costo
del edificio fue de $100 000 y el contratista
7.1 ¿Qué significa una tasa de rendimiento de
acordó con el vendedor financiar la compra
100%?
durante un periodo de 5 años. En el acuerdo
7.2 Un préstamo de $10 000, amortizado durante se estableció que los pagos mensuales de-
5 años con una tasa de interés de 10% anual, bían hacerse sobre una amortización a 30 años,
requeriría abonos de $2 638 para terminar pero el saldo adeudado al final del año 5
de pagarlo cuando el interés se carga al saldo debería pagarse en una sola exhibición.
insoluto. Si el interés se carga al capital prin- ¿Cuál fue el monto de esta suma global, si
cipal en lugar de al saldo insoluto, ¿cuál sería la tasa de interés sobre el préstamo fue de
el balance después de 5 años, si los mismos 6% anual, compuesto mensualmente?
pagos de $2 638 se hicieran cada año?
Determinación de TR
7.3 A-1 Loans hace préstamos con el interés
pagado sobre el capital principal en lugar 7.5 ¿Qué tasa de rendimiento por mes obtendrá
de sobre el saldo insoluto. Para un préstamo un emprendedor durante el periodo de pro-
de $10 000 pagadero a 4 años, al 10% anual, yecto de 21/2 años, si invirtió $150 000 en la
¿qué pago por año se requeriría para reem- producción de compresores portátiles de aire
bolsarlo en 4 años si el interés se cargara al de 12 voltios? Sus costos estimados mensua-
a) capital principal y b) saldo insoluto? les son de $27 000, con ingresos de $33 000
por mes.
7.4 Un pequeño contratista industrial compró
un edificio de bodegas para almacenar equi- 7.6 Se pidió a la empresa Camino Real Landfill
pos y materiales que no necesita de inme- que instalara una membrana de plástico para

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 PROBLEMAS 277

impedir que las lechadas se trasminaran 7.10 La compañía PPG manufactura una amina
hacia el agua subterránea. El área por cubrir epóxica que se usa para evitar que el conte-
era de 50 000 metros cuadrados y el costo nido de envases con tereftalato de polie-
de la membrana instalada fue de $8 por tileno (TP) reaccionen con el oxígeno. A
metro cuadrado. Para recuperar la inversión, continuación se muestra el flujo de efectivo
el propietario del relleno sanitario cargó $10 (en millones) asociado con el proceso.
por cada carga de camioneta, $25 por la de Determine la tasa de rendimiento.
camión de cascajo, y $70 por la de vehículo
compactador. Si la distribución mensual fue Año Costo, $ Ingreso, $
de 200 camionetas, 50 camiones y 100 ve-
hículos compactadores, ¿cuál será la tasa de 0 –10 —
rendimiento que el dueño del relleno obten- 1 –4 2
2 –4 3
drá sobre la inversión, si el área por llenar
3 –4 9
se adecua para 4 años? 4 –3 9
5 –3 9
7.7 Swagelok Enterprises fabrica accesorios y
6 –3 9
válvulas en miniatura. Durante un periodo de
5 años, los costos asociados con una línea
de producto fueron los siguientes: costo ini- 7.11 Una ingeniera mecánica emprendedora co-
cial de $30 000 y costos anuales de $18 000. menzó un negocio para cortar llantas en tiras,
El ingreso anual fue de $27 000, y el equipo a fin de aprovechar las ventajas que otorga
usado se vendió en $4 000. ¿Qué tasa de una ley del Estado de Texas que prohíbe de-
rendimiento obtuvo la compañía por este secharlas completas en los rellenos sanita-
producto? rios. El costo de la cortadora fue de $220 000
y se gastó $15 000 para conseguir energía
7.8 Barron Chemical usa un polímero termo- de 460 voltios, además de otros $76 000 en
plástico para mejorar la apariencia de ciertos la preparación del sitio para ubicar la cor-
paneles RV. El costo inicial de un proce- tadora. Por medio de contratos celebrados
so fue de $130 000, con costos anuales de con distribuidores de llantas, recibía un pago
$49 000 e ingresos de $78 000 en el año 1, de $2 por llanta y manejaba un promedio de
con incrementos anuales de $1 000. Se 12 000 de éstas al mes, durante 3 años. Los
obtuvo un valor de rescate de $23 000 cuan- costos anuales de operación por mano de
do el proceso se descontinuó después de obra, energía, reparaciones, etc., sumaban
8 años. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la un total de $1.05 por llanta. También vendió
empresa por este proceso? algunos trozos de llanta a instaladores de
fosas sépticas quienes las usan en los cam-
7.9 Una egresada de la Universidad de Nuevo
pos por drenar. La empresa generó $2 000
México posee un negocio exitoso y quisiera
netos por mes y después de 3 años, la inge-
iniciar un fondo por su cuenta para otorgar
niera vendió el equipo en $100 000. ¿Qué tasa
becas a estudiantes de ingeniería económica.
de rendimiento obtuvo a) por mes y b) por
Ella desea que las becas sean de $10 000
año (nominal y efectiva)?
por año, y que la primera se otorgara el día
de la donación (es decir, en el momento 0). 7.12 Una compañía de Internet N a C proyectó
Si planea donar $100 000, ¿qué tasa de ren- los flujos de efectivo (en millones, vea la
dimiento tendría que alcanzar la universidad siguiente página). ¿Cuál es la tasa de rendi-
a fin de poder entregar las becas de $10 000 miento que obtendría si los flujos ocurrieran
anuales para siempre? de acuerdo a lo planeado?

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278 CAPÍTULO 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

Año Gasto, $ Ingreso, $ 7.15 Techstreet.com es un negocio pequeño de

0 –40 —
diseño de páginas web que proporciona
1 –40 12 servicios para dos tipos principales de sitios
2 –43 15 web: los de tipo folleto y los de comercio
3 –45 17 electrónico. Un paquete involucra un pago
4 –46 51 inicial de $90 000, y pagos mensuales de
5 –48 63 1.4¢ por visita. Una compañía de software
6-10 –50 80 para dibujo por computadora está analizan-
do el paquete y calcula que va a tener al
menos 6 000 visitas por mes, de las cuales
7.13 La Universidad de California en San Diego, espera que 1.5% terminen en una venta. Si
estudia un plan para construir una planta de el ingreso promedio por ventas (después de
8 megawatts de cogeneración para satisfacer pagar tarifas y otros gastos) es de $150, ¿qué
parte de sus necesidades de energía. Se tasa de rendimiento mensual obtendría la
espera que el costo de la planta sea de $41 compañía de software para dibujo si usara
millones. Con un costo de $120 por cada el sitio web durante 2 años?
megawatt-hora, la universidad consume al
año 55 000 de éstos. a) Si la universidad 7.16 Una persona entabló una demanda, ganó el
fuera capaz de producir energía a la mitad juicio y obtuvo una compensación de $4 800
del costo que paga ahora, ¿qué tasa de rendi- por mes durante 5 años. El demandante ne-
miento lograría por su inversión, si la planta cesita ahora una suma bastante grande de
de energía durara 30 años? b) Si la univer- dinero para hacer una inversión y ofreció
sidad vendiera un promedio de 12 000 me- al defensor de su oponente la oportunidad
gawatt-hora por año en $90 cada uno, ¿qué de pagar $110 000 en una sola exhibición.
tasa de rendimiento obtendría? Si el defensor acepta la oferta y pagaran
$110 000 ahora, ¿cuál sería la tasa de rendi-
7.14 Una nueva máquina de afeitar de Gillette miento que obtendría el defensor por la inver-
llamada M3Power emite pulsos que hacen sión realizada? Suponga que el pago próximo
que la piel levante el pelo de modo que pue- de $4 800 debe hacerse dentro de un mes.
de cortarse con más facilidad. Esto tal vez
haga que las navajas duren más debido que 7.17 En el Army Research Laboratory, los cien-
habría menos necesidad de rasurar repetidas tíficos desarrollaron un mejor proceso de
veces la misma superficie. El sistema adhesión por difusión que se espera aumen-
M3Power (que incluye las baterías) se vende te en forma significativa el rendimiento de
en $14.99 en ciertas tiendas y un paquete compuestos híbridos multifuncionales. Los
de cuatro navajas cuesta $10.99, mientras ingenieros de la NASA estiman que los com-
que las navajas M3Turbo, más convencio- puestos que se fabrican por medio del nuevo
nales, cuestan $7.99 en un paquete de cuatro. proceso procurarán ahorros en muchos pro-
Si las navajas para el sistema M3Power du- yectos de exploración espacial. A continua-
ran 2 meses, en tanto que las M3Turbo duran ción se muestran los flujos de efectivo para
sólo 1 mes, ¿qué tasa de rendimiento (no- un proyecto. Determine la tasa de rendi-
minal y efectiva) se obtendría si una persona miento anual.
comprara el sistema M3Power, a) por mes Año t Costo ($1 000) Ahorro ($1 000)
y b) por año? Suponga que la persona ya
tiene una rasuradora M3Turbo pero necesita 0 –210 —
1 –150 —
comprar navajas en el momento 0. Use un
2-5 — 100 + 60(t – 2)
periodo de proyecto de un año.

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 PROBLEMAS 279

7.18 Una compañía acerera australiana, ASM servirá para financiar a 100 estudiantes con
International, afirma que puede lograrse un $10 000 para cada uno por año, ¿qué tasa
ahorro de 40% del costo de una barra de de rendimiento debe lograr el donativo?
acero inoxidable para alambre si se reem-
plazan los hilos fabricados por deposiciones 7.21 Una fundación filantrópica recibió un do-
precisas de soldadura. Un fabricante esta- nativo de $5 millones por parte de un prós-
dounidense de remaches y accesorios para pero contratista de la construcción. Se es-
rellenar planea adquirir el equipo, por lo que pecificó que como premio se entregarían
un ingeniero mecánico de esta empresa pre- $200 000 durante cada uno de los 5 años a
paró las estimaciones de flujo de efectivo partir de hoy (es decir, 6 premios) a una
siguientes. Determine la tasa de rendimiento universidad involucrada en la investigación
(nominal) esperada por trimestre y por año. acerca del desarrollo de materiales com-
puestos en capas. De ahí en adelante, se
harían entregas iguales al monto de los
Trimestre Costo, $ Ahorro, $
intereses generados cada año. Si se espera
0 –450 000 — que el importe de los fondos del año 6 has-
1 –50 000 10 000 ta el futuro indefinido sea de $1 000 000
2 –40 000 20 000 anuales, ¿cuál es la tasa de rendimiento que
3 –30 000 30 000 obtendría la fundación?
4 –20 000 40 000
5 –10 000 50 000
6-12 — 80 000
Valores TR múltiples
7.19 Se piensa que una aleación de indio-galio- 7.22 ¿Cuál es la diferencia entre una serie de
arsénico-nitrógeno, desarrollada en Sandia flujo de efectivo convencional y no con-
National Laboratory, tiene usos potenciales vencional?
en la generación de electricidad por medio
7.23 ¿Cuáles flujos de efectivo se asocian con la
de celdas solares. Se espera que el material
regla de los signos de Descartes y el criterio
nuevo tenga una vida más larga, y se cree
de Norstrom?
que tendrá una tasa de eficiencia de 40%,
lo que representa casi el doble del de las 7.24 De acuerdo con la regla de los signos de
celdas solares convencionales. De usarse Descartes, ¿cuántos valores posibles de i*
las celdas nuevas, la vida útil de un satéli- existen para los flujos de efectivo que tienen
te de comunicaciones podría ampliarse de los signos indicados a continuación?
10 a 15 años. ¿Qué tasa de rendimiento a) – – –+ + + – +
podría obtenerse si una inversión adicional b) – – – – – –+ + + + +
de $950 000 generara ingresos extra de c) + + + + – – – – – – + – + – – –
$450 000 en el año 11, $500 000 en el 12,
y cantidades que crezcan $50 000 por año 7.25 En la página siguiente se muestra el flujo de
hasta el año 15? efectivo (en miles) asociado con un método
nuevo para fabricar cortadores de cartón, pa-
7.20 Un donativo permanente a la Universidad ra un periodo de 2 años. a) Use la regla de
de Alabama se destinará para premiar con los signos de Descartes para determinar el
becas a los estudiantes de ingeniería. Los número máximo de valores posibles de la
premios se entregarán 5 años después de que tasa de rendimiento. b) Use el criterio de
se haga la donación global de $10 millo- Norstrom para determinar si sólo existe un
nes. Si el interés que genere el donativo valor positivo de la tasa de rendimiento..

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280 CAPÍTULO 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

Trimestre Egreso, $ Ingreso, $ flujos de efectivo que se aprecian a continua-

0 –20 0 ción. a) Determine el número posible de los
1 –20 5 valores de la tasa de rendimiento, b) encuen-
2 –10 10 tre todos los valores de i* entre 0% y 100%.
3 –10 25
4 –10 26 Año Egreso, $ Ahorro, $
5 –10 20 0 –33 000 0
6 –15 17 1 –15 000 18 000
7 –12 15 2 –40 000 38 000
8 –15 2 3 –20 000 55 000
4 –13 000 12 000
7.26 RKI Instruments manufactura un contro-
lador de ventilación diseñado para vigilar y 7.29 Hace cinco años, una compañía hizo una
controlar el monóxido de carbono en esta- inversión de $5 millones en un material
cionamientos cerrados, salas de calderas, nuevo de alta temperatura. El producto no
túneles, etc. A continuación se presenta el fue bien recibido después de su primer año
flujo de efectivo neto asociado con una fa- en el mercado. Sin embargo, cuando se
se de la operación. a) ¿Cuántos valores po- reintrodujo 4 años después, se vendió bien
sibles de tasas de rendimiento hay para esta durante un año. El financiamiento para
serie de flujo de efectivo? b) Encuentre efectuar investigación profunda a fin de
todos los valores de la tasa de rendimiento diversificar sus aplicaciones costó $15
entre 0% y 100%. millones en el año 5. Determine la tasa de
Año Flujo neto de efectivo, $ rendimiento de estos flujos de efectivo (se
muestran en seguida con cifras en miles).
0 –30 000
1 20 000 Año Flujo neto de efectivo, $
2 15 000
3 –2 000 0 –5 000
1 4 000
7.27 Un fabricante de fibras de carbono para es- 2 0
3 0
puma densa (que se usa en artículos depor-
4 20 000
tivos, compuestos termoplásticos, aspas de 5 –15 000
molinos de viento, etc.) reportó los flujos
de efectivo que se presentan en seguida. a)
Determine el número de valores posibles de Tasa de rendimiento compuesta
la tasa de rendimiento, y b) encuentre todos 7.30 ¿Qué significa el concepto tasa de reinver-
los valores de la tasa de rendimiento entre sión?
–50% y 120%.
7.31 Un ingeniero que trabaja para General
Año Flujo neto de efectivo, $ Electric invirtió su bono anual en acciones
de la compañía. Su bono fue de $5 000 du-
0 –17 000
1 20 000 rante cada uno de los 6 años pasados (es
2 –5 000 decir, al final de los años 1 a 6). Al final del
3 8 000 año 7, él vendió acciones por $9 000 que usó
para remodelar su cocina (ese año no com-
7.28 Arc-bot Technologies, fabricante de robots pró acciones). En los años 8 a 10, de nuevo
con servomecanismos eléctricos de seis ejes, invirtió su bono de $5 000. El ingeniero
obtuvo para un departamento de envíos los vendió todas sus acciones remanentes en

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 PROBLEMAS 281

$50 000, inmediatamente después de que Bonos

hizo la última inversión al final del año 10.
a) Determine el número de valores posibles 7.35 Un bono municipal que emitió hace tres
de la tasa de rendimiento de la serie de flujo de años la ciudad de Phoenix tiene un valor
efectivo. b) Calcule la tasa de rendimiento nominal de $25 000 y una tasa de interés de
compuesta. Use una tasa de reinversión de 6% que se paga semestralmente. Si hay que
20% anual. pagar el bono 25 años después de que se
emitió, a) ¿cuáles son la cantidad y fre-
7.32 Una compañía que fabrica discos para em- cuencia de los pagos por intereses del bono,
bragues de carros de carreras, tuvo en uno de y b) ¿qué valor de n debe usarse en la
sus departamentos los flujos de efectivo que fórmula P/A para encontrar el valor presente
se presentan a continuación. Calcule a) la de los pagos restantes por intereses del
tasa interna de rendimiento, y b) la tasa de bono? Suponga que la tasa de interés en el
rendimiento compuesta, con el uso de una mercado es de 8% anual, compuesto semes-
tasa de reinversión de 15% anual. tralmente.
Año Flujo de efectivo, $1 000
7.36 Un bono hipotecario de $10 000 con tasa
0 –65 de interés de 8% anual que se paga en forma
1 30 trimestral se compró en $9 200. El bono se
2 84 guardó hasta que debió pagarse, es decir, 7
3 –10 años en total. ¿Qué tasa de rendimiento
4 –12
(nominal) obtuvo el comprador por 3 meses
7.33 Para la serie de flujo de efectivo que se y por año?
muestra, calcule la tasa de rendimiento com- 7.37 Un plan para remodelar el centro de Steu-
puesta con el empleo de una tasa de rein- benville, Ohio, requirió que la ciudad emi-
versión de 14% anual. tiera bonos de obligaciones generales con
Año Flujo de efectivo, $ valor de 5 millones para reemplazar la in-
0 3 000
fraestructura. La tasa de interés del bono se
1 –2 000 fijó en 6% anual, pagaderos en forma tri-
2 1 000 mestral, con fecha de repago futuro del
3 –6 000 capital principal para 30 años después. Las
4 3 800 tarifas bursátiles por la transacción fueron
por un total de $100 000. Si la ciudad recibió
7.34 Para el proyecto del material de alta tempe- $4.6 millones (antes de pagar las comisiones
ratura que se describe en el problema 7.29, mencionadas) generados por la emisión del
determine la tasa de rendimiento compuesta bono, a) ¿qué tasa de interés (trimestral)
si la tasa de reinversión es de 15% anual. Los necesitan los inversionistas para comprar los
flujos de efectivo (que se repiten a conti- bonos?, b) ¿cuáles son para los inversionis-
nuación), están expresados en unidades de tas las tasas de rendimiento nominal y
$1 000. efectiva por año?
Año Flujo de efectivo, $
0 –5 000
7.38 Un bono colateral con valor nominal de
1 4 000 $5 000 fue comprado por un inversionista
2 0 en $4 100. Hay que pagar el bono dentro de
3 0 11 años con una tasa de interés de 4% anual,
4 20 000 que se paga de modo semestral. Si el inver-
5 –15 000 sionista guardó el bono hasta su vencimien-

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282 CAPÍTULO 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

to, ¿qué tasa de rendimiento obtuvo por miento semestral que logró un inversionis-
periodo semestral? ta que compró uno con valor nominal de
$5 000 hace 4 años y lo conservó hasta que
7.39 Un ingeniero que planeaba la educación
se lo solicitaron 4 años más tarde?
universitaria de su hijo compró un cupón
cero corporativo (es decir, que no tiene 7.41 Hace cinco años, GSI, una compañía pe-
pagos por intereses) por $9 250. El bono trolera de servicios, emitió bonos a 30 años
tiene un valor nominal de $50 000 y debe con valor de $10 millones al 12%. La tasa
pagarse en 18 años. Si el bono se conserva de interés en el mercado disminuyó lo su-
hasta su vencimiento, ¿cuál es la tasa de ficiente para que la compañía considerara
rendimiento que obtendrá el ingeniero por recuperar los bonos. Si la empresa los
su inversión? comprara de nuevo en $11 millones, a) ¿qué
7.40 Hace cuatro años, Texaco hizo una emisión tasa de rendimiento trimestral obtendría
de $5 millones de bonos certificados con una sobre el desembolso de $11 millones, y b)
tasa de interés de 10% anual, que se paga ¿qué tasa nominal de rendimiento anual
en forma semestral. Las tasas de interés en lograría sobre la inversión de $11 millones?
el mercado disminuyeron y la compañía Recomendación: si gasta $11 millones
recuperó los bonos (es decir, los pagó en ahora, la compañía no tendría que pagar los
forma anticipada) con un 10% de premio intereses semestrales del bono o pagar el
sobre su valor nominal (pagó $5.5 millones valor nominal de éstos cuando venzan
por retirarlos). ¿Cuál fue la tasa de rendi- dentro de 25 años.

PROBLEMAS DE REPASO FI
7.42 Cuando el flujo de efectivo neto de una al- por medio de pagos mensuales de $20 000
ternativa cambia de signo más de una vez, durante 2 años más un pago global único de
se dice que el flujo de efectivo es: $1 millón al final de 2 años. La tasa de inte-
a) Convencional rés sobre el préstamo fue la más cercana a:
b) Simple a) 0.5% mensual
c) Extraordinario b) 2% mensual
d) No convencional c) 2% anual
d) 8% anual
7.43 De acuerdo con la regla de los signos de
Descartes, ¿cuántos valores posibles de la
7.45 De acuerdo con el criterio de Norstrom, sólo
tasa de rendimiento existen para el flujo de
hay un valor positivo de la tasa de rendi-
efectivo que tienen los siguientes signos?:
miento en una serie de flujo de efectivo
++++– – –– – –+–+– – –++
cuando éste:
a) 3
a) Comienza como positivo y cambia de
b) 5
signo sólo una vez
c) 6
b) Empieza como negativo y cambia de
d) Menos de 3
signo sólo una vez
7.44 Una compañía manufacturera pequeña ob- c) Su total acumulado es mayor que cero
tuvo un préstamo de $1 millón, lo reembolsó d) Su total acumulado es menor que cero

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 PROBLEMAS DE
PROBLEMAS
REPASO FI 283

7.46 Una inversión de $60 000 dio origen a un 7.50 Hace cinco años un alumno de una univer-
ingreso uniforme de $10 000 anuales du- sidad pequeña donó $50 000 para establecer
rante 10 años. La tasa de rendimiento sobre un fondo permanente para becas, de las cua-
la inversión fue la más cercana a: les las primeras se entregaron 1 año después
a) 10.6% anual de que se donó el dinero. Si la cantidad en-
b) 14.2% anual tregada cada año (es decir, el interés) es de
c) 16.4% anual $4 500, la tasa de rendimiento que gana el
d) 18.6% anual fondo es lo más cerca a:
a) 7.5% anual
7.47 Para los flujos netos de efectivo que se
b) 8.5% anual
muestran a continuación, el número máximo
c) 9% anual
de soluciones posibles para la tasa de ren-
d) 10% anual
dimiento es:
a) 0 7.51 Cuando los flujos netos de efectivo son
b) 1 positivos y se generan antes del final de un
c) 2 proyecto y cuando estos flujos de efectivo
d) 3 se reinvierten con una tasa de interés mayor
Año Flujo neto de efectivo, $ a la tasa interna de retorno,
a) la tasa de retorno resultante es igual a la
0 –60 000
tasa interna de retorno
1 20 000
2 22 000
b) la tasa de retorno resultante es menor
3 15 000 a la tasa interna de retorno
4 35 000 c) la tasa de retorno resultante es igual a la
5 13 000 tasa de reinversión de retorno
6 –2 000 d) la tasa de retorno resultante es mayor
a la tasa interna de retorno
7.48 Un transportista de grandes cantidades de ma-
terial compró un camión usado en $50 000, 7.52 Un bono hipotecario de $10 000 que se de-
cuyo costo de operación fue de $5 000 por vuelve en 20 años paga intereses de $250
mes, con ingresos promedio de $7 500 cada seis meses. La tasa de interés del bono
mensuales. Después de 2 años, lo vendió en está muy cerca de:
$11 000. La tasa de rendimiento fue la más a) 2.5% anual, con pagos trimestrales
cercana a: b) 5.0 % anual, con pagos trimestrales
a) 2.6% mensual c) 5% anual, con pagos semestrales
b) 2.6% anual d) 10% anual, con pagos trimestrales
c) 3.6% mensual 7.53 Un bono de $10 000 que vence en 20 años
d) 3.6% anual con interés de 8% anual pagadero trimes-
7.49 Suponga que a usted le proponen invertir tralmente, se emitió hace 4 años. Si el bono
hoy $100 000 para recibir $10 000 anuales se comprara ahora en $10 000 y se conser-
a partir del año 5 y que eso continuará siem- vara hasta su vencimiento, ¿cuál sería para
pre. Si aceptara la oferta, la tasa de rendi- el comprador la tasa efectiva de rendimiento
miento sobre la inversión sería de: por trimestre?
a) Menos de 10% anual a) 2%
b) 0% anual b) 2.03%
c) 10% anual c) 4%
d) Más de 10% anual d) 8%

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284 CAPÍTULO 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única

7.54 Una persona compra en $4 000 un bono de d) 0 = –4 000 + 125(P/A,12%,6) +

$5 000 con 5% anual, con intereses que se x(P/F,12%,6)
pagan semestralmente. El bono tiene una 7.55 Se encuentra a la venta un bono corporativo
fecha de vencimiento de 14 años a partir de de $50 000 a pagarse en 20 años, con una
hoy. La ecuación para calcular en cuánto tasa de interés de 10% anual que se paga en
debe vender el bono la persona para dentro forma trimestral. Si un inversionista lo com-
de 6 años, a fin de obtener una tasa de ren- pra y lo conserva hasta su vencimiento, la
dimiento de 12% anual, compuesto semes- tasa de rendimiento será la más cercana a:
tralmente, es: a) 10% nominal anual, compuesto trimes-
a) 0 = –4 000 + 125(P/A,6%,12) + tralmente
x(P/F,6%,12) b) 2.5% por trimestre
b) 0 = –4 000 + 100(P/A,6%,12) + c) Ambos incisos, a) y b), son correctos
x(P/F,6%,12) d) 10% efectivo por año
c) 0 = –5 000 + 125(P/A,6%,12) +
x(P/F,6%,12)

EJERCICIOS AMPLIADOS
EJERCICIO AMPLIADO 1: EL COSTO DE UNA POBRE
CLASIFICACIÓN CREDITICIA
Dos personas han solicitado préstamos de $5 000, cada una, a una tasa de interés
del 10% anual durante 3 años. Una parte del acuerdo de préstamo de Charles esta-
blece que el interés “...se paga a la tasa de 10% compuesto cada año sobre el saldo
decreciente”. A Charles se le indica que su pago anual será de $2 010.57, con ven-
cimiento al final de cada año del préstamo.
Actualmente, Jeremy tiene una clasificación crediticia ligeramente degradada,
la cual fue descubierta por el ejecutivo de préstamos del banco. Jeremy tiene el
hábito de pagar tarde sus facturas. El banco aprobó el préstamo, pero una parte de
su acuerdo establece que el interés “...se paga a una tasa del 10% compuesta cada
año sobre la cantidad original del préstamo”. A Jeremy se le dice que su pago anual
será de $2 166.67 con vencimiento al final de cada año.
Preguntas
Responda lo siguiente a mano, por computadora o ambos.

1. Desarrolle un cuadro y una gráfica para Charles y para Jeremy de los saldos no
recuperados (cantidad total que se debe) justo antes de que venza cada pago.
2. ¿Cuánto dinero en intereses totales pagará Jeremy más que Charles durante los
3 años?

EJERCICIO AMPLIADO 2: ¿CUÁNDO ES MEJOR

VENDER UN NEGOCIO?
Luego de que Jeff terminó sus estudios en la escuela de medicina e Imelda completó
su carrera en ingeniería, la pareja decidió poner una parte sustancial de sus ahorros

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 ESTUDIO DE CASO 285

en propiedades para rentarse. Con un fuerte préstamo bancario y un pago de $120 000
de sus propios fondos, fueron capaces de comprar seis casas a una persona que salía
del negocio de renta residencial. El flujo de efectivo neto sobre el ingreso por rentas
después de todos los gastos e impuestos para los primeros 4 años fue bueno: $25 000
al final del primer año, y aumentando en $5 000 cada año desde entonces. Un amigo
de Jeff lo presentó con un potencial comprador de todas las propiedades con un
estimado de $225 000 de efectivo neto después de los 4 años de propiedad. Pero
ellos no venden, pues quieren permanecer en el negocio un poco más, dado el
creciente flujo de efectivo neto que han experimentado hasta el momento.
Durante el año 5, una crisis económica redujo el flujo de efectivo neto a $35 000.
En respuesta, se gastaron $20 000 adicionales en mejoras y publicidad en cada uno
de los años 6 y 7, pero el flujo de efectivo neto continuó disminuyendo en $10 000
por año hasta el año 7. Jeff tuvo otra oferta para vender en el año 7 por sólo $60 000.
Esto fue considerado demasiada pérdida, así que ellos no aprovecharon la oportuni-
dad.
En los últimos 3 años, ellos han gastado $20 000, $20 000 y $30 000 cada año
en mejoras y costos de publicidad, aunque el flujo de efectivo neto del negocio ha
sido de sólo $15 000, $10 000 y $10 000 cada año.
Imelda y Jeff quieren salir del negocio, pero no tienen ofertas para comprar a
cualquier precio y tienen la mayor parte de sus ahorros comprometidos en la renta
de propiedades.

Preguntas
Determine la tasa de rendimiento para lo siguiente:
1. Al final del año 4, primero, si la oferta de compra de $225 000 se hubiese
aceptado; segundo, sin la venta.
2. Después de 7 años, primero, si la oferta de “sacrificio” de $60 000 se hubiese
aceptado; y, segundo, sin vender.
3. Ahora, después de 10 años, sin perspectiva de venta.
4. Si las casas se vendieran y diesen como caridad, suponga una infusión de efec-
tivo neto de $25 000 para Jeff e Imelda, después de impuestos, al final de este
año. ¿Cuál es la tasa de rendimiento durante los 10 años de propiedad?

ESTUDIO DE CASO
BOB APRENDE ACERCA DE TASAS DE RENDIMIENTO MÚLTIPLES

Antecedentes habitantes, su jefe, Kathy, le dio un proyecto en su pri-

mer día. Homeworth, uno de los principales clientes
Cuando Bob comenzó un internado de verano con VAC, corporativos, acababa de solicitar una tasa más baja por
una compañía distribuidora de electricidad en una ciu- kwh, una vez que su consumo mínimo requerido se ex-
dad de la costa atlántica con aproximadamente 275 000 ceda cada mes. Kathy tiene un reporte interno del De-

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514 CAPÍTULO 14 Efectos de la inflación

VP de una cantidad futura considerando la inflación: P = F(P/F,iƒ,n)

Valor futuro de una cantidad presente en dólares de valor constante con el mis-
mo poder de compra: F = P(F/P,i,n)
Cantidad futura para cubrir una cantidad actual sin intereses: F = P(F/P,ƒ,n)
Cantidad futura para cubrir una cantidad actual con intereses: F = P(F/P,iƒ,n)
Equivalente anual de una cantidad futura de dólares: A = F(A/F,iƒ,n)
Equivalente anual de una cantidad presente en dólares futuros: A = P(A/P,iƒ,n)

La hiperinflación implica valores de ƒ muy altos. Los fondos disponibles se gastan

de inmediato puesto que los costos aumentan tan rápidamente que las mayores en-
tradas de efectivo no pueden compensar el hecho de que la moneda esté perdiendo
su valor. En general, esto puede ocasionar un desastre financiero nacional cuando
continúa durante periodos extendidos.

PROBLEMAS
Ajustes por inflación 14.4 Convierta $10 000 dólares presentes a dó-
lares corrientes del año 10, si la tasa de in-
14.1 Describa cómo se convierte dinero inflado
flación es de 7% anual.
en dinero de valor constante.
14.2 ¿Cuál es la tasa de inflación si algo cuesta 14.5 Convierta $10 000 dólares futuros, en el año
exactamente el doble que 10 años antes? 10, en dólares de valor constante (no dólares
equivalentes) de hoy, si la tasa de interés
14.3 En un intento por reducir la rotura de ajustada por inflación (mercado) es de 11%
tuberías, el golpe hidráulico y la agitación anual y la tasa de inflación es de 7% por año.
del producto, una compañía química planea
instalar varios humidificadores de pulsación 14.6 Convierta $10 000 dólares del futuro, en el
resistentes al ataque químico. El costo de año 10, en dólares de valor constante (no
los humidificadores es hoy de $106 000, dólares equivalentes) de ahora, si la tasa de
pero la empresa tiene que esperar hasta que interés ajustada por inflación (mercado) es
se apruebe un permiso para su línea de de 12% anual y la tasa de inflación es de
conducción bidireccional entre el puerto y 3% por año.
la planta. El proceso de aprobación tomará 14.7 Se espera que los costos estimados para man-
al menos 2 años por el tiempo que se tenimiento y operación de cierta máquina
requiere para preparar la declaración de sean de $13 000 anuales (dólares corrien-
impacto ambiental. Debido a la intensa tes) en los años 1 a 3. Con una tasa de in-
competencia extranjera, el fabricante planea flación de 6% por año, ¿cuál es la cantidad
incrementar el precio sólo en un porcentaje de valor constante (en términos de dólares de
igual a la tasa de inflación anual; si ésta fuera hoy) de la cantidad futura en dólares de cada
de 3% por año, calcule el costo de los hu- año?
midificadores dentro de 2 años, en términos
de: a) dólares corrientes de ese entonces, y 14.8 Si la tasa de interés del mercado es de 12%
b) dólares de hoy. anual y la tasa de inflación es 5% anual,

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 PROBLEMAS 515

determine el número de dólares futuros en 14.15 Qué tasa de interés trimestral del mercado
el año 5 que tengan el mismo poder de com- se asociaría con una tasa de inflación de 5%
pra que $2 000 de hoy. por trimestre y una tasa de interés real de
2% trimestral?
14.9 Ford Motor Company anunció que el precio
de su modelo F-150 se incrementará durante 14.16 Si la tasa de interés del mercado es de 48%
los 2 años próximos únicamente en un por- anual, capitalizable en forma mensual (de-
centaje igual a la tasa de inflación. Si el bido a la hiperinflación), ¿cuál es la tasa de
precio actual de uno de estos vehículos es interés mensual si la tasa de interés real es
de $21 000 y se espera que la tasa de de 6% anual, compuesto mensualmente?
inflación sea de 2.8% anual en promedio,
¿cuál es el precio esperado de la camioneta 14.17 ¿Qué tasa de rendimiento obtendría un in-
dentro de 2 años? versionista sobre una tasa de rendimiento
de 25% anual, cuando la tasa de inflación
14.10 En un encabezado del Chronicle of Higher es de 10% por año?
Education se lee: “Los costos de la educa-
ción se elevan más rápido que la inflación”. 14.18 ¿Cuál es la tasa de interés real por periodo
El artículo afirma que la colegiatura en co- semestral si la tasa de interés del mercado
legios y universidades públicos se incremen- es de 22% anual, capitalizable semestral-
tó 56% durante los últimos 5 años. a) ¿Cuál mente, y la tasa de inflación es de 7% cada
es el porcentaje promedio anual del incre- 6 meses?
mento en dicho tiempo? b) Si la tasa de in- 14.19 Una póliza de seguro de vida con valor en
flación fue de 2.5% anual, ¿cuántos puntos efectivo pagará una suma de $1 000 000
porcentuales aumentó la colegiatura anual si el asegurado alcanza la edad de 65 años.
por sobre la tasa de inflación? Si la persona asegurada tendrá 65 años den-
14.11 Una máquina comprada por Holtzman tro de 27, ¿cuál será el valor de la cifra de
Industries tuvo un costo de $45 000 hace $1 000 000 en términos de dólares con poder
cuatro años. Si un equipo similar cuesta hoy de compra de hoy, si la tasa de inflación es de
$55 000 y su precio se incrementó sólo en 3% anual durante dicho periodo de tiempo?
la tasa de inflación, ¿cuál fue la tasa de
inflación anual durante el periodo de 4 años? Comparación de alternativas con ajuste
por inflación
Tasas de interés real y de mercado
14.20 Un contratista que construye y da mante-
14.12 Diga las condiciones en las que, respecto nimiento a infraestructura regional está por
de la tasa de interés real, el interés del mer- decidir si compra ahora una máquina com-
cado es a) mayor que, b) menor que, y c) el pacta nueva de perforación horizontal direc-
mismo. cional (PHD), o espera 2 años para la ad-
quisición, momento en que el contrato para
14.13 Calcule la tasa de interés ajustada por in-
una tubería larga haría necesario el nuevo
flación cuando la tasa de inflación es de 27%
equipo. La máquina PHD incluiría un diseño
anual (Caracas, 2004) y la tasa de interés
innovador de cargador de tubo y un sistema
real es de 4% por año.
acarreador maniobrable. El costo del sistema
14.14 ¿Qué tasa de inflación se obtiene a partir de es de $68 000 si se compra ahora, o $81 000
una tasa de interés del mercado de 15% por si se adquiere dentro de 2 años. Con una TMAR
año, cuando la tasa de interés real es de 4% de interés real de 10% anual e inflación de
anual? 5% por año, determine si la compañía debe

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516 CAPÍTULO 14 Efectos de la inflación

comprar ahora o después, a) sin ningún dor A le da las estimaciones en dólares

ajuste por inflación, y b) con la inflación futuros (corrientes para entonces), mientras
tomada en cuenta. que el B le entrega estimaciones en dólares
de hoy (de valor constante). La compañía
14.21 Como una forma innovadora de pagar por
tiene una TMAR de 15% real anual y espera
varios paquetes de software, una compañía
que la inflación sea de 5% anual. Use el
nueva de servicios de alta tecnología ofre-
análisis del VP para determinar cuál máqui-
ció pagarle a usted, dueño de otra empre-
na debería recomendar la ingeniera.
sa, en una de tres maneras: 1) pagar ahora
$400 000, 2) pagar $1.1 millones dentro de Vendedor A, Vendedor B,
5 años, o 3) pagar dentro de 5 años una can- $ futuros $ de hoy
tidad que tenga el mismo poder de compra
que $750 000 de hoy. Si usted quiere obtener Costo inicial, $ –60 000 –95 000
una tasa de interés real de 10% por año y la Costo de operación –55 000 –35 000
inflación es de 6% anual, ¿cuál oferta debe anual, $/año
aceptar? Vida, años 10 10

14.22 Considere las alternativas A y B, con base

en sus valores presentes, con el uso de una Valor futuro y otros cálculos con inflación
tasa de interés real de 10% por año e infla-
ción de 3% anual, a) sin hacer ningún ajuste 14.25 Un ingeniero compró un bono corporativo
por inflación, y b) con la inflación conside- emitido por Finance Bank ligado a la
rada. inflación (es decir, el interés del bono
cambia con la inflación), que tiene un valor
Máquina A Máquina B
nominal de $25 000. En la época en que se
Costo inicial, $ –31 000 –48 000 compró el bono, el rendimiento era de
Costo de operación –28 000 –19 000 2.16% anual más la inflación, pagadero en
anual, $/año forma mensual. La tasa de interés del bono
Valor de rescate, $ 5 000 7 000 se ajusta cada mes con base en el cambio
Vida, años 5 5 del Índice de Precios al Consumidor (IPC)
respecto al mismo mes del año anterior. En
14.23 Compare las alternativas que se presentan un mes en particular, el IPC fue 3.02% más
en seguida con base en sus costos capita- alto que el del mes del año anterior.
lizados con ajustes incluidos por inflación. a) ¿Cuál es el rendimiento nuevo del bono?
Use una ir = 12% anual y f = 3% anual. b) Si el interés se paga mensualmente,
¿cuánto interés recibió el ingeniero en
Alternativa X Alternativa Y dicho mes (es decir, después del ajuste)?
Costo inicial, $ –18 500 000 –9 000 000 14.26 Un ingeniero deposita $10 000 en una
Costo de operación –25 000 –10 000 cuenta cuando la tasa de interés del mercado
anual, $/año es de 10% anual y la inflación de 5% por
Valor de rescate, $ 105 000 82 000 año. La cuenta se mantiene sin movimiento
Vida, años ∞ 10
durante 5 años.
a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta?
14.24 Una ingeniera debe recomendar una de dos b) ¿Cuál será el poder de compra (de adqui-
máquinas para integrarla a una línea de sición) en términos de dólares de hoy?
manufactura actualizada. Ella obtiene c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento real que
estimaciones de dos vendedores: el vende- se obtiene sobre la cuenta?

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 PROBLEMAS 517

14.27 Una compañía química desea reservar dinero hoy cuesta $40 000 y el fabricante planea
ahora para poder comprar dentro de 3 años elevar el precio de modo que obtenga una
registradores de datos nuevos. Se espera que tasa de rendimiento real de 5% anual durante
el precio de los registradores se incremente dicho periodo de tiempo?
sólo en el porcentaje inflacionario de 3.7%
14.33 Convierta $100 000 dólares de hoy a dólares
anual durante cada uno de los 3 próximos
corrientes del año 10, cuando la tasa de
años. Si el costo total de los equipos es hoy
deflación es de 1.5% anual.
de $45 000, determine a) su costo esperado
dentro de 3 años, y b) ¿cuánto tendrá que 14.34 Una compañía ha sido invitada para que
reservar la empresa ahora si percibe una tasa invierta $1 000 000 en una sociedad y reciba
de interés de 8% anual? una cantidad total garantizada de $2.5
millones después de 4 años. La política
14.28 Construir cierta rampa de emergencia en una
corporativa establece que la TMAR siempre
autopista costó de $625 000 hace 7 años.
se establece 4% por arriba del costo real del
Un ingeniero diseña otra casi con las mis-
capital. Si la tasa de interés real pagado sobre
mas estimaciones y su costo ahora sería de
el capital es actualmente de 10% por año, y
$740 000. Si el costo se hubiera incrementado
se espera que la tasa de inflación durante el
únicamente en el porcentaje de la inflación
periodo de 4 años sea de 3% anual, ¿se
durante el periodo de tiempo mencionado,
justifica económicamente la inversión?
¿cuál fue la tasa de inflación anual?
14.29 Si usted hiciera una inversión en bienes 14.35 El Premio Nobel se estableció en 1901 con
raíces comerciales que le garantizaran la $150 000; en 1996 se elevó de $489 000 a
obtención neta de $1.5 millones dentro de $653 000. a) ¿Con qué tasa de inflación sería
25 años, ¿cuál sería el poder de compra de ese equivalente (en poder adquisitivo) el premio
dinero respecto a dólares de hoy, si la tasa de de $653 000 de 1996, al premio original de
interés del mercado es de 8% anual y la in- 1901? b) Si la fundación espera que en
flación permanece en 3.8% por año durante promedio la inflación sea de 3.5% anual de
ese periodo de tiempo? 1996 a 2010, ¿qué monto debería tener el
premio en 2010 para poseer el mismo valor
14.30 Goodyear Tire and Rubber Corporation que en 1996?
puede comprar equipo hoy por $80 000 o
adquirirlo dentro de 3 años en $128 000. El 14.36 Los factores que incrementan los costos y
requerimiento de TMAR para la planta es precios —en especial para materiales y ma-
un rendimiento real de 15% por año. Si debe nufacturas sensibles al mercado, tecnología
tenerse en cuenta una tasa de inflación de y disponibilidad de mano de obra— pueden
4% anual, ¿debe la compañía comprar la má- considerarse por separado con el uso de la
quina ahora o después? tasa de interés real i, la tasa de inflación f, e
incrementos adicionales que crecen con tasa
14.31 En un periodo de inflación de 3% anual, geométrica g. La cantidad futura se calcula
¿cuánto costará una máquina dentro de 3 años con base en una estimación actual por medio
en términos de dólares de valor constante, si de la relación:
el costo hoy es de $40 000 y se espera que el
costo de la máquina se incremente solamente F = P(1 + i)n(1 + ƒ)n(1 + g)n
en el porcentaje de la inflación? = P[(1 + i)(1 + ƒ)(1 + g)]n
14.32 En un periodo de inflación de 4% anual, El producto de los dos primeros términos
¿cuánto costará una máquina dentro de 3 años encerrados entre paréntesis da como resul-
en términos de dólares de valor constante, si tado la tasa de interés inflada if . La tasa geo-

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518 CAPÍTULO 14 Efectos de la inflación

métrica es la misma que la usada en la serie año, y la inflación es en promedio de 2% anual,

gradiente geométrico (véase el capítulo 2). encuentre la cantidad por año necesaria para
Por lo común se aplica a incrementos en el cumplir la meta.
costo de mantenimiento y reparaciones con- 14.41 Un laboratorio de investigación en inge-
forme la maquinaria envejece, lo que está por niería genética animal, con sede en Europa,
arriba de la tasa de inflación. Si el costo co- planea hacer un gasto importante en equipo
rriente de manufacturar un subcomponente de investigación. El laboratorio necesita $5
electrónico es de $250 000 anuales, ¿cuál es el millones de dólares de hoy, de manera que
valor equivalente dentro de 5 años si se esti- pueda efectuar la adquisición dentro de 4
ma que las tasas promedio anuales son: i = 5%, años. La tasa de inflación es estable de 5%
f = 3%, y g = 2%, por año? por año. a) ¿Qué cantidad de dólares futuros
Recuperación de capital con inflación se necesitaría al momento de comprarse el
equipo si se mantuviera el poder adquisi-
14.37 Aquatech Mycrosystems gastó $183 000 en tivo? b) ¿Cuál es la cantidad requerida por
un protocolo de comunicaciones para lograr año del depósito, en un fondo que gana la
la operabilidad entre sus sistemas de utile- tasa del mercado de 10% anual, para garan-
rías. Si la compañía usa una tasa de interés tizar que la cantidad calculada en el inciso
real de 15% anual en dichas inversiones y a) logre acumularse?
un periodo de recuperación de 5 años, ¿cuál
es el valor anual del gasto en dólares co- 14.42 a) Calcule el valor anual equivalente per-
rrientes de ese entonces, con una tasa de in- petuo en dólares del futuro (para los años
flación de 6% anual? 1 al ∞) para un ingreso de $50 000 de
hoy y $50 00 cada año de ahí en adelante.
14.38 La compañía ADSL hizo una inversión de Suponga que la tasa de interés del mer-
$40 millones en equipo con la expectativa cado es de 8% anual y la inflación es en
de recuperarlos en 10 años. La empresa tiene promedio de 4% anual. Todas las canti-
una TMAR basada en una tasa de rendi- dades se piden en dólares futuros.
miento real de 12% anual. Si la inflación es b) Si las cantidades se solicitan en dólares
de 7% por año, ¿cuánto debe obtener la com- de valor constante, ¿cómo se encuentra
pañía cada año para alcanzar su expectativa, el valor anual en dólares del futuro?
a) en dólares de valor constante, y b) en dó-
lares del futuro. 14.43 Las dos máquinas de las que se dan detalles
a continuación están en estudio para una ope-
14.39 ¿Cuál es el valor anual en dólares corrien- ración de manufactura de chips. Suponga que
tes durante los años 1 a 5 de una cuenta de la TMAR de la compañía es un rendimiento
$750 000 de ahora si la tasa de interés del real de 12% anual y que la tasa de inflación
mercado es de 10% anual, y la tasa de infla- es de 7% por año. ¿Cuál máquina debe se-
ción es de 5% por año? leccionarse con base en un análisis de valor
14.40 Un ingeniero mecánico recién graduado quiere anual, si las estimaciones están en a) dólares
formar un fondo de reserva como seguro neto de valor constante, y b) dólares del futuro.
para pagar sus gastos en el improbable caso
Máquina A Máquina B
de quedarse desempleado durante un breve
periodo. Se propone acumular $15 000 duran- Costo inicial, $ –150 000 –1 025 000
te los 3 años siguientes, con la previsión de Costo anual de mantenimiento –70 000 –5 000
que la cantidad tenga el mismo poder adqui- y operación $/año
sitivo que $15 000 de hoy. Si la tasa esperada Valor de rescate, $ 40 000 200 000
del mercado sobre inversiones es de 8% por Vida, años 5 ∞

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 EJERCICIO AMPLIADO 519

PROBLEMAS DE REPASO FI
14.44 Para una tasa de interés de mercado de 12% 14.47 Para convertir dólares inflados en dólares
anual y una tasa de inflación de 7% anual, de valor constante, es necesario:
la tasa de interés real anual es más cerca- a) Dividir entre (1 + iƒ)n
na a: b) Dividir entre (1 + ƒ)n
a) 4.7% c) Dividir entre (1 + i)n
b) 7% d) Multiplicar por (1 + ƒ)n
c) 12%
14.48 Cuando la tasa de interés del mercado es
d) 19.8%
menor que la tasa de interés real, entonces:
14.45 Cuando todos los flujos de efectivo futuros a) La tasa de interés inflada es mayor que
se expresan en dólares corrientes, la tasa la tasa de interés real
que debe usarse para encontrar el valor b) La tasa de interés real es igual a cero
presente es la: c) Existe una condición deflacionaria
a) TMAR real d) Sucede todo lo anterior.
b) Tasa de inflación
14.49 Cuando dólares del futuro se expresan en
c) Tasa de interés inflada
términos de dólares de valor constante, la
d) Tasa de interés real
tasa que debe usarse en los cálculos de
14.46 Para convertir dólares de valor constante valor presente es la:
en dólares inflados, es necesario: a) Tasa de interés real
a) Dividir entre (1 + iƒ)n b) Tasa de interés del mercado
b) Dividir entre (1 + ƒ)n c) Tasa de inflación
c) Dividir entre (1 + i)n d) Tasa del mercado menos la tasa de
d) Multiplicar por (1 + ƒ)n inflación

EJERCICIO AMPLIADO
INVERSIONES DE INGRESO FIJO CONTRA LAS FUERZAS
DE LA INFLACIÓN
Los ahorros e inversiones que un individuo mantiene deberían tener algún equili-
brio entre patrimonio (por ejemplo, acciones corporativas que dependen del creci-
miento del mercado e ingresos por dividendos) y las inversiones de ingreso fijo (es
decir, bonos que pagan dividendos al comprador). Cuando la inflación es modera-
damente elevada, los bonos convencionales ofrecen un bajo rendimiento en compa-
ración con las acciones, ya que el potencial para el crecimiento de mercado no se
presenta con los bonos. De manera adicional, la fuerza de la inflación hace que los
dividendos valgan menos en los años futuros, debido a que no existe ajuste de infla-
ción en la cantidad de dividendos pagados conforme pasa el tiempo. Sin embargo,
los bonos en realidad ofrecen un ingreso estable que puede ser importante para un
individuo, y sirven para preservar el capital invertido en el bono, pues el valor
nominal se regresa al vencimiento.

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520 CAPÍTULO 14 Efectos de la inflación

Harold es un ingeniero que quiere un flujo de dinero predecible para viajar y

vacacionar. Él tiene un salario lo suficientemente alto como para considerarse den-
tro de un rango impositivo relativamente elevado (28% o más). Como primer paso,
decidió comprar un bono municipal, debido al ingreso predecible y al hecho de que
el dividendo está completamente libre de impuestos sobre la renta, tanto federales
como estatales. Él planea comprar un bono municipal exento de impuesto que tiene
un valor nominal de $25 000, una tasa de 5.9% pagada anualmente y con venci-
miento en 12 años.

Preguntas
Ayude a Harold con algún análisis para responder lo siguiente, usando una hoja de
cálculo:

1. ¿Cuál es la tasa de rendimiento global si el bono se conserva hasta su venci-

miento? ¿Este valor de rendimiento tiene alguno de los efectos inherentes de la
inflación incluidos en él?
2. Harold puede decidir vender el bono inmediatamente después del tercer divi-
dendo anual. ¿Cuál es el precio de venta mínimo si él quiere lograr un 7% de
rendimiento real y desea ajustarlo para una inflación de 4% anual?
3. Si Harold tuviese necesidad de dinero inmediatamente después del tercer pago
de dividendo, ¿cuál sería el precio de venta mínimo del bono en dólares futu-
ros, si él vendiera por una cantidad que es equivalente al poder de compra del
precio original?
4. Como seguimiento a la pregunta 3, ¿qué ocurre al precio de venta (en dólares
futuros) 3 años después de la compra, si Harold desea incluir el poder de com-
pra corriente de entonces de cada uno de los dividendos en el cálculo para
determinar el precio de venta? Suponga que Harold gasta los dividendos inme-
diatamente después de recibirlos.
5. Harold planea retener el bono hasta su vencimiento en 12 años, pero necesita
un rendimiento de 7% anual ajustado al 4% anual de inflación. Tal vez él esté
dispuesto a comprar el bono con un descuento, es decir, pagar menos de los
$25 000 ahora. ¿Cuál es el máximo que debería pagar por el bono?

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