Dinámica Poblacional

   
1. Con base en las mismas hipótesis d e t r á s del modelo de la ecuación
ecuación diferencial para la población
1,
 de un país cuando se les permite a las

determine una

población
> 
inmigrar a u n país con una razón constante >
, ¿Cuál es la ecuación diferencial para la
del país cuando se les permite a las personas emigrar del país con una

constante ?
Datos:


Hipótesis de la ecuación (1): entre más personas estén presentes al tiempo , habrá más en el
fututo.

 = 1
  

Donde  es una constante de proporcionalidad
Población:

Constante de inmigración: r
Desarrollo:

  >0     <0


    =
Respuesta:
son:
=
Las ecuaciones resultantes de población

 =.
           ó 
   =.   ó 
Conclusión: En las ecuaciones la población que inmigran va aumentando en función del tiempo,
mientras que las que emigran hace que vaya decreciendo la población en función del tiempo.
2. El modelo de población dado en la ecuación (1) falla no considerar la tasa de
mortalidad; la razón crecimiento es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del
cambio de población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la

 
población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de
mortalidad en la comunidad. Determine un modelo para la población si tanto la


tasa de natalidad y la mortalidad son proporcionales a la población presente el
tiempo.
Datos:


Hipótesis de la ecuación (1): entre más personas estén presentes al tiempo , habrá más en el
fututo.

= 1
  
=
Donde  es una constante de proporcionalidad de crecimiento de la población
Tasa de natalidad es:

Tasa de mortalidad es:

Desarrollo:
=
La ecuación de población es:

 =
 
Donde  es la constante de proporcionalidad
 
Planteamos que = 

Ya que con  la población aumenta y con  la población disminuye reemplazando en la ecuación

(1) se tiene: 

 =
Respuesta:
La ecuación diferencial del crecimiento poblacional con referencia a la tasa de natalidad y de
mortalidad en la población es:
  = 
 
Conclusión: La diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad nos da una ecuación
con dos constantes individuales respectivas a cada variable.

3. Utilice el concepto de razón neta introducido en el problema 2 para determinar el

para
modelouna
el población 
tiempo , pero si
la la tasa
tasa de de natalidadeses
mortalidad proporcional
proporcional al acuadrado
la población
de la población
presente
al tiempo
presentada en
Datos:


. la ecuación (1): entre más personas estén presentes al tiempo , habrá más en el
Hipótesis de
fututo.

= 1
  
=
Donde  es una constante de proporcionalidad de crecimiento de la población
Tasa de natalidad es:

=
Tasa de mortalidad es:
Desarrollo:

   

   ∗
Tasa de natalidad es proporcional a la población establecemo s:
mortalidad
y la tasa de

    
óó: : :
 == ∗∗

 
∗
es proporcional al cuadrado de la población tenemos:

Planteando la ecuación tenemos:

 
= ∗  ∗

del tiempo en la comunidad es:  =1∗2∗
función

Respuesta: La ecuación de la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en
Conclusión: La ecuación diferencial nos resulta al sumar la tasa de natalidad y de
mortalidad con las condiciones que nos da el ejercicio.
4.
en el problema 3 para la razón neta con la que la población

Modifique
 de una
>
cierta clase de pez cambia al suponer que el pez está siendo pescado con una razón
constante de
.

∗
En el problema 3 se plantea que: Tasa de natalidad es proporcional a la población

  
establecemos:
población
tenemos:
y la tasa de mortalidad es proporcional al cuadrado de la

∗ 
La ecuación es:
= ∗ ∗
Datos:

Razón constante de h>0
=
=
La población de peces
Tasa de natalidad es:

Tasa de mortalidad es: =

Desarrollo:

ecuación nos queda así:

h>0
Si se sabe que la razón de pesca es , la población de peces va disminuyendo, y la

 = ∗ ∗ ℎ

 
Donde h es la razón constante de pesca.
Respuesta: La ecuación de la población de peces al ser pescados con una razón
constante es: h>0

Conclusión:
= ∗ ∗ h

En la EDO tenemos que la variación la población de peces en inversamente proporcionas a la
 población de peces vivos menos la razón de población muertos y menos el numero constante de
 peces pescados
h>0 .
5.- Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, ecuación
Utilice  
los datos ,de la ygráfica
(3). constantes  en undemodelo
la temperatura
de la forma deenunlaproblema
figura 1con
para estimar
valores iniciales de

 
primer
las de enfriamiento de Newton: la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es
Ley
 proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y al del medio que lo rodea. La
rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo es:


= 3
Donde:
= 
Una constante de proporcionalidad

=  La temperatura del cuerpo

 =  La temperatura del medio

Datos:

0 =0
0 =175°
25 =80°
Desarrollo:

 =,  =

 
 FIGURA 1: Curva de enfriamiento
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Desarrollo 
Tomamos la ecuación (3) y al integramos:

= 3

   =∗
  =

 =ln

Se aplica eleva a la exponencial a ambos lados para eliminar el logaritmo natural:

− = +

 =
  =755.1
   
Al observar en la gráfica se determina que

=
Y al observar la gráfica sabemos que
tenemos:
0 =175 , reemplazando en la fórmula 5.1  a un tiempo

0 75=
 17575=
Despejando :
Por lo tanto la ecuación 5.1 =100
 nos queda así:

=75100   5.2

Aplicando la condición de la gráfica, cuando 25 =80 5.2
 en

80=75100∗
5=100∗
∗ =1210
∗25=ln  
=0.122 0
Respuesta: Se determina el valor para
observadas en la gráfica determinamos que
 =100
=75, =0.12
 por inspección en la gráfica. Con las condiciones
 y .
Conclusión
La temperatura va descendiendo rápidamente hasta llegar a un punto en donde se mantendrá
constante a un tiempo determinado con una constante de proporcionalidad


    
6. La temperatura ambiente   en la ecuación (3) p o dría ser una función del tiempo


Suponga que en un medio ambiente
.
 es periódica con un período de

horas, como se muestra en la figura 2. Diseñe un modelo matemático para la temperatura

 de un cuerpo dentro de este medio ambiente.
 FIGURA 2: Temperatura ambiente del problema 6
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Ley de enfriamiento de Newton: la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es

 proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y al del medio que lo rodea. La
rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo es:


= 3
Donde:
= 
Una constante de proporcionalidad

=  La temperatura del cuerpo

 =  La temperatura del medio

DATOS:
 = 80°
T = 24 horas
  =30
Desarrollo:
Utilizando la ecuación del movimiento armónico simple para la curva sinusoidal en función del

=∗cos
coseno.

Donde:

  = La amplitud
= La velocidad angular

= Un ángulo de desfasamiento

=∗cos  6.1
Debido a que no existe un desfase inicial.

Mediante la gráfica se puede ver que   =30 6.2

Y calculando B, si sabemos que el periodo es:

2
== 2 
= 
224ℎ

= 1 2  6.3
 6.3  6.2 6.1
=30∗cos
 =  12 ∗6.4
Temperatura del medio total es:

 = 8030∗cos12 ∗ 6.5

6.5 
 3 
1 ∗2]
Respuesta: =[8030∗cos
El modelo matemático para la temperatura 
 de un cuerpo dentro de este medio ambiente es:
 Conclusión:
 
=[8030∗cos ∗]
 12
La temperatura en un ambiente controlado es una función periódica de donde se tiene una
función periódica con una frecuencia y una amplitud.

PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD

7. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa al apartado
campus de su universidad de 100 estudiantes. Determine una ecuación diferencial

para el número de personas que contraerán la gripe si la razón con la que la
enfermedad se propaga es proporcional al número de interacciones entre el número
de estudiantes que tiene gripe y el número de estudiantes que aún no se han
expuesto a ella
Datos:

  =
  Personas enfermas

Y= Personas no enfermas

=1000   Estudiantes
Desarrollo:
La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula:


= 1
 xy=1000
Se sabe
que:

=1000 2 Reemplazando (2) en

(1)

 =1000
Respuesta:
Ecuación diferencial para el número de personas x(t) que contraerán la gripe es:
 
=1000
 
Donde  es la constante usual de proporcionalidad
Conclusión:
La ecuación diferencial de una propagación tiene que estar en terminos de dos variables para
lo cual se necesita relacionar la otra incógnita para poder estableer la ecuación
diferencial.

8. Al tiempo denotado =  se introduce una innovación tegnológica en una comunidad
con adoptado
 personas. la innovación
Determine al diferencial
la ecuación tiempo t sipara
se elsupone
númeroque la razón con que
de personas la que
propaga la innovación es conjuntamente proporcional al número de personas que ya
hayanse 
la han adoptado y al número de personas que no la han adoptado.
Datos: 
t=0
= Personas que la han adoptado

y=
n=Personas
 Personas que no la han adoptado

Desarrollo:
La ecuación diferencial de propagación se da mediante la siguiente fórmula:


= 1
Se sabe que:
 xy=n
Reemplazando (2) en (1)
= 2
tenemos:

 =
t=0
Al tiempo  las personas que adotan la innovación son:
 Respuesta:
x0 =1    .
La ecuación diferencial para el número de personas que hayan adoptado la innovación es:

  =
x0 =1    .
Conclusión:
La ecuación diferencial de una propgación tiene que estar en terminos de dos variables
para lo cual se necesita relacionar las otra incognitas para poder estableer la ecuación
diferencial con una
x 0 =1  t=0
 poblacion n. Pa ra que la propagación se de al  la cantidad mínida de personas que deben

adoptarla son .

MEZCLAS

 
       
9. Suponga que u n t a n q u e de mezclado contiene inicialmente de
agua en los
que disolvieron de
de sal. Entra agua pura a una región
 y cuando la solución
está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine una ecuación diferencial que expresa la
cantidad
Datos:
 de sal que hay dentro del tanque al tiempo
  . ¿Cuánto vale ?

Q=300 galones
 50   
ó  =
3
ó  =3

DESARROLLO
La ecuación diferencial de mezclas es:

 =ó ó á 1

 ó   :∗=ó  
 ó    ∗ 3    
á=3 00
ó= á= 1 00  2 ;
Reemplazando (2) en (1)

 1 00 

Respuesta:
  =0  ℎ  50   
At
 =   ; 
La ecuación diferencial que expresa la cantidad
es:
 de sal que hay dentro del tanque al tiempo t
     y
Conclusión:
  =0  ℎ  50   
La cantidad de sal que existe en el tanque será la misma.

en agua,
los que se han       
10. Suponga que un tanqu e g r a n d e de mezclado contiene inicialmente
de sal. Otra salmuera introducida al tanque a una
  de

 
de
 
y cuando la solución está bien mezclada sale a razón lenta de   . Si la
concentración de la solución que entra es , determine una ecuación diferencial que

exprese la cantidad de sal

Datos:
 
que hay en el tanque al tiempo . 
=3 
=2  
Entrada
Salida

=2 
Concentración

=300 galones
 Desarrollo: 
La ecuación diferencial de mezclas es:

=ó ó á 1

R  ∗ 2 l b lb 2
=3 =6
mgainl  
Como la entrada es más rápido que la salida entonces tenemos que:

mgainl mgainl mgainl

3 2 =1t 300  t 
Lo cual hace que se vaya acumulando más el Q inicial en minutos

R = ∗ 00  lb =320 0 lb 3

2   Reemplazando (3) y (2) en (1):

lb 
mgainl 3

Ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal   que hay en el tanque al tiempo t:   =
Respuesta:


Conclusión:
   
 
  +
El volumen del tanque ira aumentando ya que la razón de entrada en mayor que la de salida

11 ¿Cuál es la ecuación diferencial del problema 10, si la solución bien mezclada

 ,
sale a razón más rápida de   ?
En el problema 10 existen estos datos
Entrada =3 
Salida =2 
 =2 
Concentración

=300 galones
Y la ecuación diferencial resultante es:
l b

=6 
lb 3 
00
Datos:

=3 
Entrada

=3,5 
Salida

=2 
Concentración

=300 galones
Desarrollo:
La ecuación diferencial de mezclas es:


=ó ó á 1
La razón de entrada
es: 
 2   

= ∗3 
  m i n =6 lb 2
Dado
 
que el tanque pierde líquido a la tasa
neta de:

=0.
3   3,5     5  
      galones. Así,
300  
Después de t minutos el número de galones de salmuera en el tanque es
la tasa de:
 lb  
 = ∗3.5 
1
300 2  g al m in
3.5  = mlbin
12 300 
7
 =60 0 lb  3
 m in
Reemplazando (3) y (2) en (1):

lb 
Respuesta:
Por
es: lo tanto, la ecuación diferencial

l b
   lb
=  
Conclusión: 
El volumen del tanque va disminuyendo a razón que pasa el tiempo ya que la razón de salida
es mayor que la de entrada.

  
12. Generalice el
modelo dado en la ecuación (8) de la página 23, suponiendo que el gran tanque
contiene inicialmente número de galones de salmuera, y son las
razones de entrada y salida de la salmuera respectivamente (medidas en galones por
minuto)  
 
,
el

es la concentración de sal en el flujo que entra,
  
es la concentración de s a l en
tanque así como el flujo que sale al
 tiempo cantidad
de sal en el tanque al tiempo .  (medida en libras de sal por galón es la
), y
Datos

 =    ó  

 
Partiendo de la ecuación (8) tenemos
 at = Concentración de salida
Desarrollo
Donde

=   100
ct =
 Número de galones de salida
Concentración de entrada
Con estos datos remplazamos en la formula y obtenemos que:
=6
   
=  
Respuesta:
El modelo matemático
 N
es:
   
Conclusión: =  
 N
El modelo matemático encontrado nos indica cómo será el comportamiento de entrada y salida
de un tanque en distintas condiciones.

DRENADO DE UN TANQUE
13. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de

 área que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la
contracción

a “ ..  
ecuación
<<
de la corriente cerca de agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por
, donde

  es una constante empírica. Determine una
segundo diferencial para la altura del agua al tiempo para el tanque cúbico que se
muestra en la

Datos:
  =
figura 3. El radio del agujero es de  y .
 ℎ. 2  ℎ 0<<1
, donde
El radio del agujero es de 2 
=32 / .

FIGURA 3: Tanque cúbico

Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Desarrollo:
La ecuación diferencial es:

ℎ =    2  ℎ    1

           
   = 2ℎ
=  . =. 2  ℎ  →
ℎ  1  
  
ℎ = 1 .(. 2ℎ)
 ℎ =.     2 ℎ

  , :
  =2. 121  = 16  
Área del
agujero:

1 

  = =  =  
6 3 6 2
Área del cubo contenedor:
  = =10 =100  3
 2 33 1
 
ℎ  =. 1360     
ℎ =.3600√ 64ℎ 2  32 ℎ
ℎ =.3600.8√ ℎ  
ℎ =45.0√ ℎ
Respuesta:

La ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cúbico es:

 
=
Conclusión:
.√ ℎ
El drenado de un tanque depende de muchos factores como el tamaño del agujero por
donde saldrá el líquido, el material del que está hecho el recipiente y así podemos sacar los
datos que se necesita.

14. Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la figura 4 sale el agua por
un agujero circular que está en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la
altura h
 del agua al tiempo  . El radio
= 
=   y el factor de fricción/contracción d el
, 
agujero es ,

.
es
 
r=2 pulg
 DATOS

psies
=0, 6
PREGUNTA

ddht =??
 DESARROLLO
F rias. Autor Dennis Zill
I
G
U
R
A

4
:

C
o
n
o

i
n
v
e
r
t
i
d
o
F
u
e
n
t
e
:

E
c
u
a
c
i
o
n
e
s

D
i
f
e
r
e
n
c
i
a
l
e
s

O
r
d
i
n
a
 

La ecuación diferencial es:

ℎ =    2  ℎ    1

    
Relacionamos los radios:

=2 2ℎ0 ℎ=>=
El volumen del cono es:

8 5  ℎ
 =1
1 2 
 = 3  3 5 ℎ ℎ





=
7
4

5

ℎ

 =4753ℎ ℎ
ℎ =425ℎ    ===>  
 =1 = 2ℎ
 ==>  = 1 
6 3 6
Reemplazando en (1) tenemos:

ℎ = 2 5  (2  ℎ)
ℎ    = 4245ℎ 0,
Respuesta: 1 
 6ℎ∗ 3 6√ 64ℎ
ℎ
  =6ℎ 5
Ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t:

 =
    
Conclusión:
En un cono el agua ira bajando según la siguiente ecuación por la forma del agujero y la forma
del recipiente de donde sale

CIRCUITOS EN SERIE

15.- Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura 5.

.
inductancia es L y el voltaje aplicado es 
Determine una ecuación diferencial para la corriente si la resistencia es R, la

Datos:
 L=L∗
R=R∗i

FIGURA 5: Circuito LR
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Desarrollo:

 :
 
  =∗  =∗   1

  =∗ =∗ 2
Se
 
sabe que en un circuito en serie la suma de los voltajes individuales nos da el voltaje total o

 = 3

equivalente

Reemplazando (1) y (2) en(3)

=∗ ∗1
Respuesta:
Ecuación diferencial para la corriente i(t):

 1

 =∗  ∗
Conclusión:
 
La en un circuito en serie la suma de los voltajes es igual al voltaje total o equivalente,
además que la corriente en todo el circuito es la misma.
16. Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor como se muestra en la figura 6.

es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es .

Datos:
  
Determine una ecuación diferencial que exprese la c a rga en el capacitor si la resistencia

 1
 =∗  
 
Desarrollo:

FIGURA 6: Circuito RC
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Se sabe que en un circuito en serie la suma de los voltajes individuales nos da el voltaje total o
equivalente

 = 1

 :
1
   =  2
  =∗=∗ 3
Reemplazando (3) y (2) en (1)
 1
=
1=

4

Para integrar buscamos el factor de integración:
1
   =

=    = 
∫  
Luego multiplicamos por 4   =  
 
 
 =   
    

 =    
      
=   − 
Respuesta:
Determine una ecuación diferencial que exprese la carga q(t)

= 
−  
Conclusión:
La en un circuito en serie la suma de los voltajes es igual al voltaje total o equivalente,
además que la corriente en todo el circuito es la misma.

CAIDA LIBRE Y RESISTENCIA DEL AIRE

17.- Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se
muestra en la figura 7, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia
del aire es
cercana a una potencia de la velocidad instantánea 
. Determine una ecuación

para la velocidad
proporcional
diferencial al
  de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es
cuadrado de la velocidad
 FIGURA 7: Resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad del problema 17.
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill
Datos

=
 ==
 =
Pregunta

Determine la ecuación diferencial para la velocidad 

Desarrollo
Para ello se considera la fuerza neta que es:

= 
= 
 = 
 = 
Respuesta:
 = 
La ecuación diferencial encontrada es:

Conclusión:
En caída libre tenemos un amortiguamiento que es contrario al sentido del movimiento y es
directamente proporcional a una constante por la velocidad al cuadrado.

""  
18. Un barril cilíndrico de  pies de diámetro y  de peso, está flotando en agua como
se muestra en la figura 8(a). Después de un hundimiento inicial el barril presenta un
movimiento oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical. Utilizando
la figura 8(b), defina una ecuación diferencial para establecer el desplazamiento
vertical , si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficie del agua 
cuando el barril está en reposo. Use el Principio de Arquímedes: La fuerza de flotación
o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril es igual al peso del agua desplazado.
Suponga que la dirección  
hacia abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es 62. 4
entre el barril y el agua.
 y que no hay resistencia

FIGURA 8: Movimiento oscilatorio del barril flotando del problema 18

Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

∅=
DATOS:

=
=
2
Principio de Arquímedes:
Desarrollo:
==∗∗
 1
=∗ ∗ℎ
Mediante la fórmula del Volumen de un cilindro tenemos la ecuación


=∗  ∗ 1


=∗∗ 2
Aplicamos el principio de Arquímedes


=∗2  ∗∗


=∗  ∗∗62.4

=15.26∗ ∗ 2
=∗
Tenemos una ecuación (3) en
donde:


=  
Aplicando la segunda Ley de Newton en la figura (a)

∑=∗ 4
3  4
 

= ∗  
 
2  5
5.6∗ ∗= ∗
 15.6∗ ∗∗
Respuesta:
Ecuación Diferencial de Segundo Orden

 15.6∗ ∗
∗=0
Conclusión:

Tenemos que la ecuación es de segundo grado con respecto a la posición que, la caída libre del
objeto se rige a esta ecuación.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

19. Después de que se fija una masa m a un resorte, este se estira s y cuelga en reposo
en la posición de equilibrio como se muestra en la figura 9. después el sistema resorte/masa

se pone en movimiento, sea que denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la
masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento que
efectúan en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las
únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa y la fuerza de
restauración del resorte estirado.
Utilice la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su
elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento
Datos:
 
 al tiempo .

 =0
 =
 =
Desarrollo:
 FIGURA 9: Sistema masa/resorte
Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Con un diagrama de cuerpo libre obtenemos:

=

=    1
= 
mg=ks
Sabemos que en la condición de equilibrio entonces tenemos:

= 2
Igualamos las ecuaciones 1  2  
    =
Respuesta:
La ecuación diferencial es:

    =
Conclusión:
Por la posición de equilibrio y realizando los diagramas de cuerpo libre podemos ver que al
agregar un peso extra al resorte y extenderlo la ecuación diferencial nos queda de esa
manera.
 20. En el problema 19, ¿Cuál es la ecuación diferencial para el desplazamiento si
el movimiento tiene lugar sobre un medio que ejerce una fuerza de amortiguamiento

sobre el sistema resorte/masa que es proporcional a la velocidad instantánea de la
masa y actúa en dirección contraria al movimiento?
Datos:
En el problema 19 la ecuación diferencial es:


   =
Amortiguamiento:


=  

Desarrollo:

= á

Realizando el diagrama de cuerpo libre de un resorte en movimiento tenemos que el
amortiguamiento es opuesto al sentido del movimiento entonces tenemos que:

 =
 =
Respuesta:
La ecuación diferencial
es:
 
      =0
Conclusión:
La nueva ecuación deferencial tiene una nueva oposición al movimiento que impedirá que se
desplace con facilidad.
21. De acuerdo con la ley de gravitación universal de Newton, la aceleración de caída
libre de un cuerpo, tal como el satélite que se muestra en la figura 10, que está
cayendo desdeproporcional
inversamente una gran distancia haciadelalasuperficie
al cuadrado no es el
distancia desde la centro
constante
de lag.Tierra
Más bien,
 =
la aceleración a es


donde es la constante de proporcionalidad utilice el hecho que en la superficie de la Tierra
para determinar . Si la dirección positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda
de Newton y la ley de gravitación universal para encontrar una ecuación diferencial

 
para la distancia .
ley

FIGURA 10: Diagrama del ejercicio 21

Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill
Datos:

a=
kr
k=
=r
 Es la constante de proporcionalidad
Distancia

DESARROLLO 
La gravedad es igual a:

= 
= 
La aceleración es:
 
=  
 Por el sentido del movimiento se la toma con signo contrario:


  == 
La aceleración s la gravedad y  entonces:

 = 
   
= 

   =
 0
Respuesta:
La ecuación diferencial
es:  =0
Conclusión:  
La fuerza gravitacional es diferente si se encuentra demasiado alejado de la tierra de la misma
manera resulta si se acerca demasiado al núcleo terrestre.

22. Suponga que se hace un agujero que pasa por el centro de la Tierra y que por él se
deja de caer una bola de masa m como se muestra en la figura 11. Construya un
modelo
matemático que describa el posible movimiento de la bola. Al tiempo  sea que  denote

  
distancia desde el centro de la Tierra, que , denote la masa de la parte de la Tierra que está
la
dentro de una esfera de radio , y que  denote la densidad constante de la
Datos:
Tierra.
Bola 
de masa m 
R= distancia entre el centro de la tierra

y m M= masa de la tierra

δ = densidad constante de la Tierra.

Desarrollo:

FIGURA 11: Diagrama del ejercicio 22

Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

La fuerza gravitacional en m
es:
= 1
 
Podemos calcular la masa de la tierra con sus diferentes radios

 = 2 
43δ
 = 3 
43δ
Dividimos (1) entre
(2)

 =   4 
Reemplazamos (4) en
(1)
    
= ∗  
=   ∗ 5
Reduciendo términos

Pero como sabemos que   =∗    entonces igualamos las ecuaciones
∗ ∗ =∗
 ∗=
Respuesta:
La ecuación diferencial
es:
 
   ∗=  
Conclusión
La fuerza gravitacional es diferente si se encuentra demasiado alejado de la tierra de la misma
manera resulta si se acerca demasiado al núcleo terrestre.

MODELOS MATEMÁTICOS ADICIONALES

23. Teoría
del aprendizaje. En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se
memoriza algo es proporcional a la cantidad que queda por memoriza. Suponga que denota
cantidad total de un tema que se debe memorizada y que es la cantidad memorizada

la

al 
tiempo t. Determine una ecuación diferencial para determinar la cantidad
Datos
  .

=  Cantidad total que se debe memorizar.

 Es la cantidad memorizada al tiempo t

Desarrollo
La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula:


=
Donde
 =
La ecuación diferencial
=
es:
 
Respuesta:
La ecuación diferencial es: =
Conclusión

  =
Es el mismo análisis que la propagación de una enfermedad en donde la ecuación debemos
dejar en términos de una constante en este caso A

24.Falta de memoria con los datos del problema anterior suponga que la razón con la
cual el material es olvidado es proporcional a la cantidad memorizada al tiempo t. Determine
At
una ecua ción diferencial para , cuando se considera la falta de memoria.

Datos
Partiendo del ejercicio anterior tenemos:

 =
Tomando en cuenta el enunciado del ejercicio podemos encontrar una pérdida de memora la
cual
 plantea lo siguiente

P =  pérdida de memoria.
Tomando en cuenta que q va a ser una constante de la falta de memoria.

Donde

Desarrollo
P =
Con estos datos concluimos
que
  (a)

Remplazando P  en a
=

(






)

P
